esercizi su matrici e sistemi lineari

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Esercizi su matrici e sistemi lineari

1) Siano A e B matrici. Provare o confutare (con un controesempio) le seguenti affermazioni:

a) se AB `e definita, anche BA `e definita.

b) se AB è definita e A è quadrata, allora anche BA è definita.

c) se AB = BA, allora A e B sono entrambe quadrate dello stesso ordine. d) se A2 _`_{e definita, allora A `}_{e quadrata.}

e) se A ha righe (o colonne) nulle, allora AB ha righe (o colonne) nulle. f) se AB = 0, allora A = 0 oppure B = 0.

g) (AB)2_{= A}2_B2_.

h) se AB = A, allora B = I.

i) se A2_{= A, allora A = I oppure A = 0.}

2) Provare che se A ∈ Mn(R) `e simmetrica e A2 = 0, allora A = 0. `E vero senza

assumere A simmetrica?

3) Provare che se A `e idempotente (A2_{= A), allora I − A e}t_{A sono tali.}

4) Siano A e B matrici. Provare o confutare (con un controesempio) le seguenti affermazioni:

a) se A 6= 0, allora A `e invertibile. b) se A `e invertibile, allora A 6= 0. c) se A3_{= 3I, allora A `}_{e invertibile.}

d) se A2_{= A e A 6= 0, allora A `}_{e invertibile.}

e) se A2= A e A `e invertibile, allora A = I.

f) se A e B sono invertibili, allora A + B `e invertibile. g) se A e B sono invertibili, allora AB `e invertibile. h) se AB = 0 e A 6= 0, allora B = 0.

i) se AB = 0 e A `e invertibile, allora B = 0.

5) Provare che per ogni P ∈ Gln(k) e A ∈ Mn(k) si ha (P−1AP )m= P−1AmP per

ogni m ∈ N∗.

6) Dire se l’applicazione f : Mn(k) → R, n ≥ 2, definita da f (A) = tr(A) ∀A ∈

Mn(k) `e iniettiva e/o surgettiva.

(*) 7) Date A, B ∈ Mn(k)

a) Provare che tr(A + B) = tr(A) + tr(B), tr(AB) = tr(BA). b) Dedurre che AB − BA 6= I.

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(*) 8) Provare che, se A `e una matrice nilpotente (ossia Ak = 0 per qualche intero k > 0), allora I + A `e invertibile.

9) Provare che ogni matrice 2 × 2 invertibile `e esprimibile come prodotto di al pi´u quattro matrici elementari (diverse dalla matrice identica).

10) Sia A =   1 2 0 0 1 0 2 3 1  

a) Dire se esiste una matrice B ∈ M3(R) tale che

BA =   1 0 0 0 2 0 0 0 3  .

In caso affermativo determinarla.

b) Dire se esiste una matrice C ∈ M3(R) tale che

CA =   1 0 0 0 1 0 0 0 0   .

In caso affermativo determinarla.

11) Applicare il procedimento di riduzione a ciascuno dei seguenti sistemi e, quando esistono, determinarne le soluzioni reali:

a)    x + 2y + 3z = 1 3x + 3y + 5z = 2 x − y − z = −1 b)      x + y + z − t = 0 x − 2y + 2z = 1 x + y + z = 3 y + z + t = 1 c)    x + y + 2z + 3u + 4v = 0 2x + y + 2z + 3u + 4v = 0 3x + 3y + 6z + 10u + 15v = 0 d)    x + 2y − z + t = 2 x − y + 2t = 0 x − 8y − 3y − t = 6 13) Determinare l’inversa delle seguenti matrici

a) 3 5 1 2 b)   0 1 2 1 1 3 1 0 0   c)    1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1   .