LA TRASFORMATA DI FOURIER,
PROPRIETA’ ED ESEMPI
L’operatore che consente di riottenere il segnale x(t) a partire dalla sua trasformata di Fourier X(f) viene detto trasformata inversa di Fourier:
L’operatore che consente di ottenere la risposta in frequenza H(f) a partire dalla risposta all’impulso del sistema h(t), viene detto trasformata di Fourier.
La trasformata di Fourier puo’ essere calcolata per un generico segnale x(t), non solo per la risposta all’impulso di un sistema LTI:
Trasformata di Fourier
( )
t
{
j
ft
}
dt
x
f
X
∫
∞ ∞ −−
=
exp
2
π
)
(
{
j
ft
}
df
f
X
t
x
∫
∞ ∞ −=
(
)
exp
2
π
)
(
Si noti che la trasformata di Fourier e la sua inversa sono uguali, a parte il segno dell’esponente.
Si dice anche che x(t) e X(f) sono una coppia per la trasformata di Fourier : trasformata di Fourier
Trasformata di Fourier: notazioni
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
ℑ
=
t
x
FT
t
x
TDF
t
x
)
f
(
X
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
ℑ
=
−f
X
IFT
f
X
TDFI
f
X
)
t
(
x
1trasformata inversa di Fourier
( )
f
X
)
t
(
x
↔
( )
f
X
t
x
(
)
TDF
LINEARITA’: la TDF della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali e’ uguale alla combinazione lineare delle TDF dei due segnali.
Proprieta’ della TDF (1)
a
1x
1(t) +a
2x
2(t)
TDF
a
1X
1(f) +a
2X
2(f)
SIMMETRIA:
x(t)
reale
TDF
X(-f) = X
*(f)
conseguenze: la TDF di una segnale reale gode di simmetria complessa coniugata. La parte reale e il modulo sono simmetrici rispetto all’origine (sono “pari”), la parte
immaginaria e la fase sono antisimmetriche rispetto all’origine (sono “dispari”).
x
*(t)
TDF
X
*(-f)
Proprieta’ della TDF (2)
TDF
x(t) reale pari
X(f) reale pari
x(t) reale dispari
X(f) immaginario dispari
TDF di una segnale reale
f
A
f
Parte reale
Fase
A
f
Modulo
A
f
Parte immag.
Casi particolari
x(-t )
X(-f)
Proprieta’ della TDF (3)
Valori nell’origine: la TDF in f=0 e’ uguale all’integrale del segnale nei tempi. Il segnale in t=0 e’ uguale all’integrale della TDF nelle frequenze.
Dualita’: dato il segnale x(t) e la sua TDF X(f), vale la seguente relazione duale:
X(-t )
TDF
x(f)
∫
∫
∞ ∞ − ∞ ∞ −=
=
(
)
;
(
0
)
(
)
;
)
0
(
x
t
dt
x
X
f
df
X
Scalatura:
a
f
X
a
at
x
(
)
TDF
1
TDF
Esempi di trasformata di Fourier (il rettangolo)
AT -1/T 1/T f -T/2 T/2 A tF
x(t)
X(f)
(
)
AT
( )
Tf
fT
fT
AT
dt
ft
j
A
f
X
T
t
rect
A
t
x
T Tsinc
sin
2
exp
)
(
)
(
/2 2 /−
=
=
=
⇔
=
∫
−π
π
π
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
f
f
f
π
π
sin
)
(
sinc
=
Si annulla per tutti i valori
interi di
f
tranne nell’origine,
dove ha valore unitario
Scalatura del rettangolo
( )
Tf
AT
f
X
T
t
rect
A
t
x
(
)
⇔
(
)
=
sinc
=
-T/2 T/2 A t AT -1/T 1/T 2/T 3/T f -2/T -T/2 T/2 A t AT f 1/T -1/T -T/2 T/2 t A AT 1/T 3/T fT--T
++Esempi di trasformata di Fourier (il sinc)
( )
fT rect AT ) f ( X T t sinc A ) t ( x ⇔ = =A
-T
T
t
TDF
x(t)
-1/2T
1/2T
AT
f
X(f)
x(t-t
0)
TDF
e
-j2
π
f t
0X(f)
Proprieta’ della TDF (4)
Traslazione nei tempi: la TDF del segnale ritardato e’ uguale a quella del segnale originale moltiplicata per un esponenziale complesso
Traslazione nelle frequenze: traslare in frequenza la TDF del segnale equivale a moltiplicare il segnale nei tempi per un esponenziale complesso
x(t )
e
j2
π
f
0t
X(f- f
0
)
TDF
Derivazione nei tempi: la TDF del segnale derivato nel tempo e’ uguale a quella del segnale originale moltiplicata per :
