Universit`a dell’Aquila - Facolt`a di Ingegneria Prova Scritta di Fisica Generale II - 23/9/2014
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CREDITI Canale ... ... ... ... ... ...
Tempo a disposizione 2 ore e 30 min. 3-4 CFU solo primi due esercizi 1 ora e mezzo. Problema 1
Due fili conduttori cilindrici di raggio a e molto lunghi sono paralleli tra loro, con gli assi posti a distanza d. I due fili ven-gono collegati ad un generatore di potenziale V . a) Sapendo che il valore del campo elettrico in un punto equidistante dagli assi dei 2 conduttori vale E0, calcolare il valore della densit´a
di carica per unit´a di lunghezza (λ = 2πaσ) che si stabilisce sui conduttori (2 punti). b) Calcolare il valore della differenza di potenziale V che produce la densit´a di carica ottenuta (4 punti). c) Calcolare la velocit´a con cui una carica q e massa m tocca il filo pi´u a destra se viene lasciata ferma ad una dis-tanza 3d dal filo positivo (4 punti). Dati: E0 = 10kV /cm, a
= 5 mm, d = 10 cm, q = 1 nC, m = 1 ×10−6kg.
Problema 2 Il circuito in figura ´e a regime con T aperto. All’istante t = 0 si chiude l’interruttore T. a) Calcolare la differenza di potenziale su C nella condizione a regime per t < 0 (3 punti). b) Calcolare la differenza di potenziale su R3
all’istante t1 successivo alla chiusura di T (4 punti). c)
Calco-lare l’energia del condensatore nello stesso istante (3 punti). Dati: V = 10 V, R1 = 1kΩ, R2 = 2kΩ, R3 = 3kΩ, R4 = 4kΩ
C = 1nF, t1 = 1 µ s.
Problema 3
Una spira quadrata di lato L, sezione S e resistivit´a ρ gia-ce sul piano (x, y) ed ´e immersa in un campo magnetico B diretto nella direzione z: Bz = B0sin(2Lπ x)cos(ωt) come in
figura. a) Calcolare la forza elettromotrice indotta nella spira in funzione del tempo ed il suo valore massimo (5 punti). b) Calcolare l’energia dissipata in un periodo nella spira (3 punti). c) Calcolare di quanto deve essere spostata la spira ed in quale direzione dalla posizione data affinch´e il flusso concatenato sia massimo all’istante t = 0 (2 punti). Dati: B0
= 0.1T, L= 10 cm, S = 2 mm2, ω = 100rads , ρ = 1.63×10−8Ωm
SOLUZIONI Problema 1
a) Il campo elettrico tra i due fili ´e la somma del contributo dovuto alla carica che si va a distribuire su ciasuno dei fili. Quindi in un punto generico x < d ´e:
E(x) = λ 2π0 (1 x + 1 d − x)
Se il valore del campo in un punto equidistante dai 2 fili deve valere E0 avremo:
E0 = λ 2π0 ( 1 d/2 + 1 d/2) Quindi la densit´a di carica per unit´a di lunghezza deve valere:
λ = π0E0d
2 = 4.1µC/m
b) La corrispondente differenza di potenziale tra i due fili ´e data da: ∆V = Z d−a a Edx = λ 2π0 Z d−a a (1 x + 1 d − x) = λ π0 lnd − a a = E0d 2 ln d − a a = 442.0kV. c) La velocit´a della carica q pu´o essere calcolata dalla conservazione dell’energia:
q(V (3d) − V (d + a)) = 1 2mv 2, v = r 2q∆V0 m ∆V0 = − Z 3d d+a Edx = − λ 2π0 Z 3d d+a (1 x − 1 x − d)dx = − λ 2π0 (ln 3d d + a − Z 2d a dy y ) = ∆V0 = −dE0 4 (ln( 3d d + a) − ln( 2d a )) = − dE0 4 ln( 3a 2(d + a)) v = 19.9m/s Problema 2
a) Con l’interruttore aperto e a regime ai capi del condensatore c’´e la stessa differenza di potenziale che c’´e sulla resistenza R2:
Vc= VR2 = IR2, I = V R1+ R2 , Vc = V R2 R1 + R2 = 6.7V b) Quando si chiude l’interruttore la differenza di potenziale su R3 ´e data da:
V3(t) = I(t)R3
dove I(t) ´e legata al condensatore: I(t) = −dQdt. Il condensatore si scarica sulle resistenze R3
ed R4 partendo da Q0 = CVc; la costante di tempo del circuito ´e τ = (R3+ R4)C e la carica
sul condensatore varia secondo:
Q(t) = Q0e− t τ quindi V3(t) = Q0 τ e −t τ = C V R2 R1+ R2 e−τt (R3+ R4)C R3 e di conseguenza V3(t1) = 2.5V
c) La carica su C dopo t1 = 1µs vale:
Q(t1) = Q0e−
t1
τ = 5.8nC
per cui l’energia immagazzinata ´e: E = 1
2
Q(t1)2
C = 16.8nJ Problema 3
Il flusso concatenato dalla spira circolare pu´o essere calcolato come segue: ΦB = Z L 0 Bz(x)Ldx = B0L Z L 0 sin(πx 2L)cosωtdx = 2B0L2 π cosωt f = −dΦ dt = 2B0L2ω π sinωt fmax= 2B0L2ω π = 64mV
b) La potenza dissipata nella spira ´e pari a: P = RI2(t). La resistenza ´e data da: R = ρ4L/S, e la corrente I(t) = f (t)R . L’energia dissipata in un periodo si pu´o calcolare da:
E = Z T 0 RI2(t)dt = R(2B0L 2ω πR ) 2 Z T 0 sin2ωtdt = 4B 2 0L4ω2 π2R 1 2T essendo T = 2πω si ottiene, E = 19.9mJ
c) Per ottenere il flusso massimo a t = 0 calcoliamo prima il flusso per un generico sposta-mento e poi imponiamo la condizione di massimo:
ΦB(t = 0) = B0L Z L+x x sin( π 2Lx 0 )dx0 = −B0L 2L π cos( π 2Lx 0 )|L+xx = B0L2 2 π(sin( πx 2L)+cos( πx 2L)) Dobbiamo cercare x che rende massimo ΦB quindi imponiamo dΦdxB = 0 per cui:
cos(πx 2L) = sin( πx 2L), x = L/2 . 3
