funzioni elementari

(1)

(2)

Potenze e polinomi

Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola

Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima

Potenze ad esponente reale Esponenziali e logaritmi Il valore assoluto

Le funzioni trigonometriche Funzioni trigonometriche inverse

(3)

Potenze e polinomi

Funzioni lineari e affini

Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola

(4)

Potenze e polinomi

Funzioni lineari e affini

Esempio 1.

Assorbimento del concime da

parte di un vegetale

(5)

Potenze e polinomi

Funzioni lineari e affini

Esempio 1.

Assorbimento del concime da

parte di un vegetale

(6)

Potenze e polinomi

Funzioni lineari e affini

Esempio 1.

Assorbimento del concime da

parte di un vegetale

y(t) =

quantit`a di concime assorbita

_{nell’unit`a di tempo}

Sperimentalmente: l’assorbimento è propor-

_{zionale al tempo trascorso:}

y

t

`e costante = a

(7)

Potenze e polinomi

Funzioni lineari e affini

Esempio 1.

Assorbimento del concime da

parte di un vegetale

y(t) =

quantit`a di concime assorbita

_{nell’unit`a di tempo}

Sperimentalmente: l’assorbimento è propor-

_{zionale al tempo trascorso:}

y

t

`e costante =

a

tasso d’assorbimento

Si scrive anche che y ∝ t

(8)

Potenze e polinomi

Funzioni lineari e affini

Esempio 1.

Assorbimento del concime da

parte di un vegetale

y(t) =

quantit`a di concime assorbita

_{nell’unit`a di tempo}

Sperimentalmente: l’assorbimento è propor-

_{zionale al tempo trascorso:}

y

t

`e costante =

a

tasso d’assorbimento

Si scrive anche che y ∝ t

Si ricava

(9)

Potenze e polinomi

(10)

Potenze e polinomi

Esempio 2.

Pressione dell’acqua

È proporzionale alla profondità

d = profondit`a (in metri)

p(d) = pressione (in atm.) alla profondit`a d

Si ha che

(11)

Potenze e polinomi

Esempio 2.

Pressione dell’acqua

È proporzionale alla profondità

d = profondit`a (in metri)

p(d) = pressione (in atm.) alla profondit`a d

Si ha che

p(d) = kd

_{k ∈ R}

La pressione totale alla profondità d:

P (d) = p(d) + 1 = kd + 1

(12)

Potenze e polinomi

Esempio 2.

Pressione dell’acqua

È proporzionale alla profondità

d = profondit`a (in metri)

p(d) = pressione (in atm.) alla profondit`a d

Si ha che

p(d) = kd

_{k ∈ R}

La pressione totale alla profondità d:

P (d) =

p(d)

+

1 = kd + 1

(13)

Potenze e polinomi

Definizioni

Le

funzioni lineari

sono del tipo

f : R → R

(14)

Potenze e polinomi

Definizioni

Le

funzioni lineari

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx

m ∈ R

(15)

Potenze e polinomi

Definizioni

Le

funzioni lineari

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx

m ∈ R

Il grafico è una retta passante per l’origine

x

y

(16)

Potenze e polinomi

Definizioni

Le

funzioni lineari

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx

m ∈ R

Il grafico è una retta passante per l’origine

x

y

x

y

(17)

Potenze e polinomi

Le

funzioni affini

sono del tipo

f : R → R

(18)

Potenze e polinomi

Le

funzioni affini

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx + q

m, q ∈ R

(19)

Potenze e polinomi

Le

funzioni affini

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx + q

m, q ∈ R

Il grafico è una retta

x

y

(20)

Potenze e polinomi

Le

funzioni affini

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx + q

m, q ∈ R

Il grafico è una retta

x

y

x

y

(21)

Potenze e polinomi

Le

funzioni affini

sono del tipo

f : R → R

f (x) = mx + q

m, q ∈ R

Il grafico è una retta

x

y

x

y

x

y

(22)

Potenze e polinomi

x

y

(23)

Potenze e polinomi

x

y

= mx +

q

(24)

Potenze e polinomi

x

y

= mx +

q

(0, q)

■

q

è il

termine noto

, e rappresenta l’ordinata

(25)

Potenze e polinomi

x

y

=

mx

+ q

■

q

è il

termine noto

, e rappresenta l’ordinata

del punto d’intersezione con l’asse y

(26)

Potenze e polinomi

x

y

=

mx

+ q

α

■

q

è il

termine noto

, e rappresenta l’ordinata

del punto d’intersezione con l’asse y

■

m

è il

coefficiente angolare

, ed è la tangente

(27)

Potenze e polinomi

x

y

= mx + q

■

q

è il

termine noto

, e rappresenta l’ordinata

del punto d’intersezione con l’asse y

■

m

è il

coefficiente angolare

, ed è la tangente

dell’angolo

α

Se m 6= 0 le funzioni lineari/affini sono

strettamente monotone, quindi biiettive e

invertibili

(28)

Potenze e polinomi Funzioni lineari e affini

Potenze ad esponente naturale

Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola

Potenze ad esponente naturale

La funzione

potenza ad esponente

n

R

→ R

x 7→ x

n

(n ∈ N \ {0})

dove x

n

_{= x · x · · · x}

|

{z

}

(29)

Potenze ad esponente naturale

La funzione

potenza ad esponente

n

R

→ R

x 7→ x

n

(n ∈ N \ {0})

dove x

n

_{= x · x · · · x}

|

{z

}

n volte

Le potenze ad esponente pari sono funzioni

pari, quelle ad esponente dispari sono dispari

(30)

Potenze ad esponente naturale

La funzione

potenza ad esponente

n

R

→ R

x 7→ x

n

(n ∈ N \ {0})

dove x

n

_{= x · x · · · x}

|

{z

}

n volte

Le potenze ad esponente pari sono funzioni

pari, quelle ad esponente dispari sono dispari

(31)

Potenze e polinomi Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale

Confronto tra potenze

Polinomi e funzioni razionali Parabola

Confronto tra potenze

1

(32)

Confronto tra potenze

1

1 −1

(33)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2

(34)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2 f

₂

(x) = x

4 f

₃

(x) = x

6

(35)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2 f

₂

(x) = x

4 f

₃

(x) = x

6

1

1 −1

−1

g

₁

(x) = x

(36)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2 f

₂

(x) = x

4 f

₃

(x) = x

6

1

1 −1

−1

g

₁

(x) = x

g

₁

(x) = x

3

(37)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2 f

₂

(x) = x

4 f

₃

(x) = x

6

1

1 −1

−1

g

₁

(x) = x

g

₁

(x) = x

3 g

₂

(x) = x

5

(38)

Confronto tra potenze

1

1 −1

f

₁

(x) = x

2 f

₂

(x) = x

4 f

₃

(x) = x

6

1

1 −1

−1

g

₁

(x) = x

g

₁

(x) = x

3 g

₂

(x) = x

5 g

₃

(x) = x

7

(39)

Potenze e polinomi Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze

Polinomi e funzioni razionali

Parabola

Polinomi e funzioni razionali

I

polinomi

_{sono funzioni da R → R, del tipo}

x 7→ a

0 +

n

X

k=1

a

_k

x

k

= a

₀

+ a

₁

_{x + · · · + a}

_n−1

x

n−1

+ a

_n

x

n

dove a

₀

, . . . , a

_n

sono assegnati numeri reali

(40)

Potenze e polinomi Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze

Polinomi e funzioni razionali

Parabola

Polinomi e funzioni razionali

I

polinomi

_{sono funzioni da R → R, del tipo}

x 7→ a

0 +

n

X

k=1

a

_k

x

k

= a

₀

+ a

₁

_{x + · · · + a}

_n−1

x

n−1

+ a

_n

x

n

dove a

₀

, . . . , a

_n

sono assegnati numeri reali

Le

funzioni razionali

sono del tipo

R(x) =

P (x)

Q(x)

definite su {x : Q(x) 6= 0}, dove P e Q

sono polinomi

(41)

Potenze e polinomi Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali

Parabola

Il grafico di ogni polinomio di grado 2

f : R → R

f (x) = ax

2 + bx + c

a, b, c ∈ R, a 6= 0

rappresenta una

parabola

nel piano R

2

(42)

Parabola

Il grafico di ogni polinomio di grado 2

f : R → R

f (x) = ax

2 + bx + c

a, b, c ∈ R, a 6= 0

rappresenta una

parabola

nel piano R

2 x

y

x

y

(43)

Parabola

Il grafico di ogni polinomio di grado 2

f : R → R

f (x) = ax

2 + bx + c

a, b, c ∈ R, a 6= 0

rappresenta una

parabola

nel piano R

2 x

y

b

V

−

2a

b

f (−

2a

b

)

Il

vertice V

ha coordinate

V =

₋

b

2a

, f (−

b

2a

)

(44)

Parabola

Il grafico di ogni polinomio di grado 2

f : R → R

f (x) = ax

2 + bx + c

a, b, c ∈ R, a 6= 0

rappresenta una

parabola

nel piano R

2 x

y

b

x

2

b

x

1 Il

vertice V

ha coordinate

V =

₋

b

2a

, f (−

b

2a

)

I punti d’intersezione con l’asse x hanno

ascissa

x

1 ,

x

2 , soluzioni dell’equazione

(45)

Potenze e polinomi Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola

Potenze ad esponente intero

Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima

Potenze ad esponente intero

Un esempio di funzione razionale è la

Potenza ad esponente intero (negativo)

:

R

\ {0} → R

x 7→ x

−n

:=

1 x

n

(46)

Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima

Potenze ad esponente intero

Un esempio di funzione razionale è la

Potenza ad esponente intero (negativo)

:

R

\ {0} → R

x 7→ x

−n

:=

1 x

n

x

y

x

y

n pari

n dispari

(47)

Iperbole equilatera

Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima

Iperbole equilatera

È una funzione razionale del tipo

f : R \ {−

d

_c

} → R

f (x) =

ax + b

cx + d

a, b, c, d ∈ R

c 6= 0, ad 6= bc

(48)

Iperbole equilatera

È una funzione razionale del tipo

f : R \ {−

d

_c

} → R

f (x) =

ax + b

cx + d

a, b, c, d ∈ R

c 6= 0, ad 6= bc

x

y

x = −

d

c

y =

a

_c

(49)

Iperbole equilatera

È una funzione razionale del tipo

f : R \ {−

d

_c

} → R

f (x) =

ax + b

cx + d

a, b, c, d ∈ R

c 6= 0, ad 6= bc

x

y

x = −

d

c

y =

a

_c

x

y

x = −

d

c

y =

a

_c

(50)

Iperbole equilatera

È una funzione razionale del tipo

f : R \ {−

d

_c

} → R

f (x) =

ax + b

cx + d

a, b, c, d ∈ R

c 6= 0, ad 6= bc

x

y

x = −

d

c

y =

a

_c

Gli

asintoti

dell’iperbole

hanno equazione

x = −

d

c

,

y =

a

c

(51)

Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera

Radice quadrata

Radice cubica Radice n-esima

Radice quadrata

La funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

2 è biettiva, quindi invertibile

x

(52)

Radice quadrata

La funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

2 è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

quadrata

di x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

x

2

(53)

Radice quadrata

La funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

2 è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

quadrata

di x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

x

2 simmetria

(54)

Radice quadrata

La funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

2 è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

quadrata

di x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

x

2 simmetria

x

√

x

(55)

Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata

Radice cubica

Radice n-esima

Radice cubica

La funzione

R

→ R

x 7→ x

3 è biettiva, quindi invertibile

x

3

(56)

Radice cubica

Radice n-esima

Radice cubica

La funzione

R

→ R

x 7→ x

3 è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

cubica

di x:

R

→ R

x 7→

√

3 x

x

3

(57)

Radice cubica

Radice n-esima

Radice cubica

La funzione

R

→ R

x 7→ x

3 è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

cubica

di x:

R

→ R

x 7→

√

3 x

x

3 simmetria

(58)

Radice cubica

Radice n-esima

Radice cubica

La funzione

R

→ R

x 7→ x

3 è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

cubica

di x:

R

→ R

x 7→

√

3 x

x

3 simmetria

x

3 √

x

(59)

Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica

Radice n-esima

In generale, se n è

pari

, la

funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

n

è biettiva, quindi invertibile

x

n

(60)

Radice n-esima

In generale, se n è

pari

, la

funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

n

è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

n

x

n

(61)

Radice n-esima

In generale, se n è

pari

, la

funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

n

è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

n

x

n

simmetria

(62)

Radice n-esima

In generale, se n è

pari

, la

funzione

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ x

n

è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di x:

[0, +∞[ → [0, +∞[

x 7→

√

n

x

n

simmetria

x

n

√

x

n

√

x con n pari

(63)

Radice n-esima

In generale, se n ≥ 3 è

dispari

, la funzione

R

→ R

x 7→ x

n

è biettiva, quindi invertibile

x

n

(64)

Radice n-esima

In generale, se n ≥ 3 è

dispari

, la funzione

R

→ R

x 7→ x

n

è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di x:

R

→ R

x 7→

√

n

x

n

(65)

Radice n-esima

In generale, se n ≥ 3 è

dispari

, la funzione

R

→ R

x 7→ x

n

è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di x:

R

→ R

x 7→

√

n

x

n

simmetria

(66)

Radice n-esima

In generale, se n ≥ 3 è

dispari

, la funzione

R

→ R

x 7→ x

n

è biettiva, quindi invertibile

L’inversa è detta

radice

n-esima

di x:

R

→ R

x 7→

√

n

x

n

simmetria

x

n

√

x

n

√

x con n dispari

(67)

Radice n-esima

Confronto tra radici

_n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

x

y

1

(68)

Radice n-esima

Confronto tra radici

_n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

f

2 (x) =

√

4 x

x

y

1

(69)

Radice n-esima

Confronto tra radici

_n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

f

2 (x) =

√

4 x

f

₃

(x) =

√

6 x

x

y

1

(70)

Radice n-esima

Confronto tra radici

_n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

f

2 (x) =

√

4 x

f

₃

(x) =

√

6 x

f

₄

(x) =

√

3 x

x

y

1

1 x

y

1

1 −1

−1

(71)

Radice n-esima

Confronto tra radici

_n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

f

2 (x) =

√

4 x

f

₃

(x) =

√

6 x

f

₄

(x) =

√

3 x

f

₅

(x) =

√

5 x

x

y

1

1 x

y

1

1 −1

−1

(72)

Radice n-esima

Confronto tra radici

_n-esime

f

₁

(x) =

√

2 x

f

2 (x) =

√

4 x

f

₃

(x) =

√

6 x

f

₄

(x) =

√

3 x

f

₅

(x) =

√

5 x

f

₆

(x) =

√

7 x

x

y

1

1 x

y

1

1 −1

−1

(73)

Potenze ad esponente reale

Esponenziali e logaritmi Il valore assoluto

Potenze ad esponente reale

Siano

m ∈ Z \ {0},

n ∈ N \ {0},

x > 0

La

potenza ad esponente razionale

m/n è

(74)

Potenze ad esponente reale

Esponenziali e logaritmi Il valore assoluto

Potenze ad esponente reale

Siano

m ∈ Z \ {0},

n ∈ N \ {0},

x > 0

La

potenza ad esponente razionale

m/n è

x

m

n

:= (

√

n

x)

m

È possibile infine definire la

potenza ad

esponente reale

x

a

quando x > 0 e a ∈ R

(75)

Potenze e polinomi

Esponenziali e logaritmi

Funzione esponenziale Proprietà dell’esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Il valore assoluto

(76)

Potenze e polinomi Esponenziali e logaritmi

Funzione esponenziale

Proprietà dell’esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Il valore assoluto

Funzione esponenziale

La

funzione esponenziale di base

a > 0 è

exp

_a

_{: R →]0, +∞[}

(77)

Funzione esponenziale

La

funzione esponenziale di base

a > 0 è

exp

_a

_{: R →]0, +∞[}

x 7→ a

x

Chiameremo

funzione esponenziale

la

(78)

Funzione esponenziale

La

funzione esponenziale di base

a > 0 è

exp

_a

_{: R →]0, +∞[}

x 7→ a

x

Chiameremo

funzione esponenziale

la

funzione exp

_e

dove “e” è il numero di Neper

x

y

1 x

y

1 a > 1

0 < a < 1

(79)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

y

(80)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

y

(81)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

f

₃

(x) = e

x

y

1

(82)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

f

₃

(x) = e

x

f

₄

(x) = 2

x

y

1

(83)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

f

₃

(x) = e

x

f

₄

(x) = 2

x

f

5 (x) = 1

x

y

1

(84)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

f

₃

(x) = e

x

f

₄

(x) = 2

x

f

5 (x) = 1

x

f

₆

(x) =

1 ₂

x

y

1

(85)

Confronto tra esponenziali

f

₁

(x) = 10

x

f

₂

(x) = 5

x

f

₃

(x) = e

x

f

₄

(x) = 2

x

f

5 (x) = 1

x

f

₆

(x) =

1 ₂

x

f

₇

(x) =

1 ₅

x

y

1

(86)

Potenze e polinomi Esponenziali e logaritmi Funzione esponenziale

Proprietà dell’esponenziale

Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Il valore assoluto

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni x, y reali e a > 0

(87)

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni x, y reali e a > 0

■

a

0 = 1

■

exp

_a

è crescente e biettiva se a > 1:

(88)

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni x, y reali e a > 0

■

a

0 = 1

■

exp

_a

è crescente e biettiva se a > 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

< a

y

■

exp

_a

è decrescente e biettiva se 0 < a < 1:

(89)

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni x, y reali e a > 0

■

a

0 = 1

■

exp

_a

è crescente e biettiva se a > 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

< a

y

■

exp

_a

è decrescente e biettiva se 0 < a < 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

> a

y

(90)

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni x, y reali e a > 0

■

a

0 = 1

■

exp

_a

è crescente e biettiva se a > 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

< a

y

■

exp

_a

è decrescente e biettiva se 0 < a < 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

> a

y

■

a

x

a

y

= a

x+y

(prodotto)

(91)

Proprietà dell’esponenziale

Per ogni x, y reali e a > 0

■

a

0 = 1

■

exp

_a

è crescente e biettiva se a > 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

< a

y

■

exp

_a

è decrescente e biettiva se 0 < a < 1:

x < y

_{⇐⇒ a}

x

> a

y

■

a

x

a

y

= a

x+y

(prodotto)

■

(a

x

)

y

= a

xy

(composizione)

■

a

−x

=

1 a

x

=

1 a

x

(reciproco)

(92)

Potenze e polinomi Esponenziali e logaritmi Funzione esponenziale Proprietà dell’esponenziale