Matteo Moda Geometria e algebra lineare Funzioni lineari
Funzioni lineari
NOTA: le prime tre definizioni sono solo di ripasso! Per maggiori informazioni consultare un libro di Analisi Matematica 1.
Una Funzione è un ‘applicazione da un insieme A a un insieme B tale che ad ogni
Una funzione si dice iniettiva se ogni suo insieme di livello contiene al più un elemento
Una funzione si dice suriettiva se ogni suo insieme di livello è non vuoto
Data una funzione T definita in uno spazio vettoriale V in un campo K e con insieme delle immagini lo spazio V’ definito in K. Se la funzione definita è lineare, allora T(0)=0
Data una funzione T definita in uno spazio vettoriale V in un campo K e con insieme delle immagini lo spazio V’ definito in K. Il nucleo di T, indicato con N(T) è l’insieme:
Una funzione lineare T si dice iniettiva se N(T)={0}
Data una funzione T definita in uno spazio vettoriale V in un campo K e con insieme delle immagini lo spazio V’ definito in K. Allora N(T) è un sottospazio di V(K) e Im(T) (immagine di T) è un
sottospazio di V’(K)
Sia T: Vn(K) -> Vm(K) una funzione lineare, sia {v1,…,vn} una base di Vn(K). I vettori {T(v1),…,T(vn)}
sono un insieme generatore di Im(T)
Teorema di interpolazione: Dati due spazi vettoriali V(K) e V’(K) e una base {v1,…vn} appartenente a V. Allora per w1,w2,…wn appartenente a V’ esiste un’unica funzione lineare T: V-> V’ tale che T(v1)=w1, T(v2)=w2,…,T(vn)=wn.
Dati due spazi vettoriali V(K) e V’(K) finitamente generati. Sia la funzione T: V(K)->V’(K) un isomorfismo. Allora l’immagine di una base di V(K) è una base di V’(K).
Teorema della nullità più rango: Data la funzione lineare T: Vn(K)->Vm(K). Vale l’uguaglianza:
Teorema: Date due funzioni lineari T1: V(K)->V’(K) e T2: V’(K)->V’’(K). Allora la funzione composta è lineare
Dati due spazi vettoriali Vn(K) e Vm(K) e le rispettive basi (u1,u2,un) e (v1,v2,vn). Data la matrice . La funzione T: Vn(K) -> Vm(K) che associa al vettore v di coordinate( x1, x2,xn) rispetto alla base (u1,u2,un), il vettore di coordinate Ax rispetto alla base (v1,v2,vn) è lineare.
Data T: Vn(K) -> Vm(K) lineare, siano B= (u1,u2,un) e C= (v1,v2,vn) le basi fissate di Vn(K) e Vm(K).
Consideriamo TB : Vn(K)->Kn e TC : Vm(K)->Km gli isomorfismi ottenuti associando ad ogni vettore del rispettivo dominio le sue coordinate rispetto alla base fissata. Questi ultimi determinano la MATRICE ASSOCIATA a T rispetto alle basi B e C ( , cioè:
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Consideriamo una funzione lineare T e la sua matrice associata A= . Dato un vettore
Le funzioni lineari T: Vn(K) -> Vm(K) formano nel campo K uno spazio vettoriale L(Vn, Vm), rispetto alle operazioni di somma di funzioni e di prodotto scalare per una funzione
Teorema: Lo spazio L(Vn, Vm) è isomorfo allo spazio delle matrici Mm,n(K) grazie alla funzione che associa a T: Vn(K) -> Vm(K) la matrice associata a T rispetto alle basi fissate.
Data la matrice A= . I vettori che hanno come coordinate le colonne di A, rispetto alla base C(v1,…,vn) sono generatori dello spazio Im(T).
Da quest’ultima definizione ricaviamo come:
Il rango di A= è la dimensione di Im(T)
Le coordinate dei vettori N(T) soddisfano la seguente condizione: Ax=0 Inoltre da quest’ultime considerazioni possiamo riformulare il teorema di Rouché - Capelli:
Data la matrice , il sistema lineare Ax=b ammette soluzione se e solo se il vettore b appartiene all’immagine della funzione lineare T: Kn->Km definita dalla matrice A
Teorema:
Date le funzioni lineari T: Vn(K) -> Vm(K) e S: Vm(K) -> Vr(K) e le matrici associate A= , B= rispetto alle basi B,C,D. La matrice è allora associata alla composizione
La matrice associata all’identità è la matrice identica In.
Se T è un endomorfismo invertibile di Vn(K) e , la matrice associata alla funzione inversa è la matrice inversa A-1
Matrice di transizione: Date due Basi B(v1,…) e B’(v’1,….) di Vn(K). Si dice Matrice di transizione da B a B’ la matrice invertibile P, di ordine n, avente come colonne le coordinate dei vettori vi della base B rispetto alla base B’:
La matrice P è la matrice associata all’identità rispetto alle basi B e B’: P= . P è invertibile, quindi P-1=
ESEMPIO
La matrice di transizione dalla base canonica alla base((1,2)(3,1)) è:
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Teorema: Se il vettore ha coordinate x1,x2,xn rispetto alla base B e coordinate x’1,x’2,x’n
rispetto alla base B’ si ha x’=Px, dove P è la matrice di transizione da B a B’
Teorema: Dato T un endomorfismo di Vn(K). Siano B=(v1,….) e B’=(v’1,…) due basi di Vn(K) e P la matrice di transizione da B a B’. Allora MB’(T)=PMB(T)P-1
Matrici simili: Date due matrici A e B. Si dice che A è simile a B se esiste una matrice di transizione P invertibile tale che: A=PBP-.1
Date matrici di ordine n su un campo K. La relazione di similitudine fra matrici è una relazione di equivalenza, che suddivide Mn(K) in classi disgiunte
Matrici simili hanno lo stesso determinante ->è dimostrato per il teorema di Binet
Se esiste una base rispetto all’endomorfismo T, l’endomorfismo si dice diagonalizzabile
