Elementi di Matematica e Logica (I modulo) Esame - 1 luglio 2010
- Dare adeguate spiegazioni a ogni quesito, senza spiegazioni le risposte non verranno considerate. - Scrivere i primi 3 esercizi su un protocollo e gli altri 3 su un altro protocollo.
- Ricordarsi di mettere nome e cognome su tutti i fogli che si consegnano ( si pu`o tenere il testo).
Es. 1 . [8pt] Sia f : Z × Z → Z definita da f (x, y) = 57x − 99y . a) Provare che f `e un omomorfismo di gruppi additivi.
b) Determinare Ker f .
c) Dire se f `e surgettiva e/o iniettiva.
d) Determinare la controimmagine di 6 (usando l’algoritmo euclideo).
Es. 2 . [3pt] Siano A e P due matrici quadrate di ordine 2 e supponiamo che P sia invertibile. Provare per induzione che (P AP−1)n= P AnP−1 per ogni n ∈ N, n > 0 .
Es. 3 . [4pt] In Z48 poniamo
a ∼ b ⇐⇒ 28(a − b) = 0 a) Verificare che ∼ `e una relazione di equivalenza.
b) Determinare la classe di 6 .
Es. 4 . [3pt] Utilizzando il teorema di Fermat si calcoli il resto della divisione tra 3380 e 7 .
Es. 5 . [7pt] Dire per quali valori di a ∈ R ha soluzione, e quante ne ha, il sistema lineare 3x + 2y + t = 0 x + ay + az + t = −2 ax + y + z + at = 2 e determinarle nel caso a = 0 .
Es. 6 . [5pt] Sia
w = 1 + i 2 − 2i
a) Determinare le tre soluzioni complesse dell’equazione z3 = w b) Dire per quali valori positivi di n ∈ N si ha wn∈ R .
