APPLICAZIONI - Analisi della varianza ad un fattore

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APPLICAZIONI

Analisi della varianza ad un fattore

© 2006 McGraw-Hill

Insegnamento:

Metodi ed Applicazioni Statistiche

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale

Facoltà di Ingegneria, Università di Padova

Docenti: Prof. L. Salmaso, Dott. L. Corain

2/59

SOMMARIO

‰

Analisi della varianza ad un fattore: modello ed

assunzioni

‰

Applicazioni dell’Analisi della varianza ad un fattore

e confronti multipli (Esempio 1-4)

‰

Applicazioni dell’Analisi della varianza ad un fattore

con variabile di blocco (Esempio 5-6)

‰

Applicazioni dell’Analisi della varianza ad un fattore

3/59

Supponiamo di avere c diversi livelli per un fattore e di

considerare n repliche sperimentare per ciascun livello.

La risposta osservata per ciascuno dei livelli del fattore è

interpretata come una variabile casuale.

Per l’osservazione ij-esima

della risposta Y, in

corrispondenza del i-esimo livello del fattore e della

j-esima replica si considera il seguente modello

Y

_ij

= µ

+ τ

_i

+ ε

_ij

i

=1, …, c; j=1, …,n

µ

= media generale della variabile risposta

τ

_i

= effetto sulla media dell’i-esimo livello del fattore

ε

_ij

= errore casuale

n

= numero di osservazioni per ogni livello del fattore

Si suppone che gli errori del modello siano variabili casuali

indipendenti e distribuite normalmente con media nulla e

varianza

σ

2

_:

ε

ij

~IIN(0;

σ

2

).

4/59

Questo modello è chiamato

modello di analisi della

varianza ad una via

.

Obiettivo Î verificare ipotesi riguardo gli effetti sulla

media dei livelli del fattore

ESPERIMENTI CON UN FATTORE

Gli effetti dei fattori sono qui definiti come i parametri che

rappresentano le deviazioni dalla media generale, per i

quali deve valere il vincolo Σ

τ

_i

= 0.

Praticamente la media della risposta per l’i-esimo livello è

µ

_i

=

µ

+

τ

_i

i

=1, …, c

L’analisi inferenziale di interesse nel modello di analisi

della varianza ad una via corrisponde alla verifica d’ipotesi

H

0

:

τ

1

=

τ

2

= … =

τ

c

= 0

H

1

:

τ

i

≠ 0 per almeno un livello i

5/59

z

L’analisi della varianza è una procedura inferenziale che

sottopone a verifica l’ipotesi di uguaglianza delle medie

dei trattamenti

z

Se questa ipotesi viene rigettata esiste evidenza che vi

sono delle differenze sistematiche tra le medie dei

trattamenti ma non viene specificato quali specifiche

medie siano differenti

z

Determinare quali specifiche medie differiscono, a

seguito di un rifiuto del test ANOVA, è chiamato

problema dei confronti multipli

z

I metodi dei confronti multipli sono delle procedure

inferenziali che sottopongono a verifica l’ipotesi di

uguaglianza delle coppie di medie di trattamenti:

H

_0ij

: µ

_i

= µ

_j

contro H

_1ij

: µ

_i

≠ µ

_j

,

i,j

= 1,…,c, i ≠ j

6/59

z

Vi sono molti metodi per condurre i confronti multipli e

tra questi i più utilizzati sono

„

i t-test a coppie per le medie (spesso chiamato

metodo Fisher’s LSD, Least Significant Difference)

„

metodo di Tukey

che fa uso della distribuzione della statistica del

“range studentizzato”

CONFRONTO TRA MEDIE DEI TRATTAMENTI

0

2

Y

Y

T

t

MS n

−

=

_∼

( , )

Y

Y

Q

q c f

MS n

−

=

∼

7/59

Una ditta che produce elettrodomestici ha condotto

un esperimento su alcuni prototipi di lavatrice,

misurando il loro livello di rumorosità durante alcune

prove di lavaggio.

z

OBIETTIVO: individuare il prototipo a cui è associata

una minore rumorosità

z

VARIABILE RISPOSTA: rumorosità

z

FATTORE: prototipo di lavatrice (A, B e C)

z

BLOCCO: NO

z

COVARIATE: NO

ESEMPIO 1

z

MODELLO STATISTICO:

Y

_ij

= µ

+ τ

_i

+ ε

_ij

i

=A,B,C; j=1,…,6

z

STATISTICA DESCRITTIVA:

Dotplots of Rumorosità by Prototip

C B A 35 30 25 20 Prototipo Ru m o ro si tà

Boxplots of Rumorosità by Prototip Descriptive Statistics: Rumorosità by Prototipo

Variable Prototip N Mean Median TrMean StDev Rumorosi A 6 30.92 29.85 30.92 3.60 B 6 24.57 23.95 24.57 3.75 C 6 24.27 22.80 24.27 3.75 Variable Prototip SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 Rumorosi A 1.47 27.70 36.90 28.00 34.05 B 1.53 19.40 29.60 21.65 28.48 C 1.53 20.90 30.80 21.50 27.65

9/59

z

TABELLA ANOVA:

Factor Type Levels Values

Prototip fixed 3 A B C

Analysis of Variance for Rumorosi, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Prototip 2 169.27 169.27 84.64 6.18 0.011

Error 15 205.33 205.33 13.69

Total 17 374.61

Main Effects Plot - LS Means for Rumorosità

10/59

ESEMPIO 1

z

CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):

Bonferroni Simultaneous Tests

Response Variable Rumorosi

All Pairwise Comparisons among Levels of Prototip

Prototip = A subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Prototip of Means Difference T-Value P-Value

B -6.350 2.136 -2.973 0.0285

C -6.650 2.136 -3.113 0.0214

Prototip = B subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Prototip of Means Difference T-Value P-Value

C -0.3000 2.136 -0.1404 1.000

11/59

z

CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):

Bonferroni 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Rumorosi

All Pairwise Comparisons among Levels of Prototip

Prototip = A subtracted from:

Prototip Lower Center Upper ---+---+---+---+- B -12.10 -6.350 -0.5959 (---*---)

C -12.40 -6.650 -0.8959 (---*---)

---+---+---+---+- -10.0 -5.0 0.0 5.0

Prototip = B subtracted from:

Prototip Lower Center Upper ---+---+---+---+- C -6.054 -0.3000 5.454 ---+---+---+---+- -10.0 -5.0 0.0 5.0

12/59

ESEMPIO 1

z

ANALISI DEI RESIDUI:

6 4 2 0 -2 -4 -6 6 5 4 3 2 1 0 Residual F re q ue nc y

Histogram of the Residuals (response is Rumorosi) 5 0 -5 2 1 0 -1 -2 N or m al S cor e Residual

Normal Probability Plot of the Residuals (response is Rumorosi) 31 30 29 28 27 26 25 24 5 0 -5 Fitted Value Re si d ua l

Residuals Versus the Fitted Values (response is Rumorosi) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 5 0 -5 Observation Order R es idu al

Residuals Versus the Order of the Data (response is Rumorosi)

13/59

Un’azienda produce angolari di metallo mediante

piegatura a freddo di lamiere. Si vuole valutare

l’effetto della velocità

della pressa che può

funzionare su 5 livelli di velocità di piegatura.

z

OBIETTIVO: studiare l’effetto della velocità

di

piegatura su angolari di metalli

z

VARIABILE RISPOSTA: resistenza (in MPa)

z

FATTORE: velocità di piegatura (A, B, C, D, E)

z

BLOCCO: NO

z

COVARIATE: NO

Dotplots of Resistenza by Velocità

E D C B A 640 630 620 610 600 590 580 570 Velocità R e si st e nz a

Boxplots of Resistenza by Velocità

ESEMPIO 2

z

MODELLO STATISTICO:

Y

_ij

= µ

+ τ

_i

+ ε

_ij

i

=A,B,C,D,E; j=1,…,20

z

STATISTICA DESCRITTIVA:

Descriptive Statistics: Resistenza by Velocità

Variable Velocità N Mean Median TrMean StDev Resisten A 20 604.05 602.50 603.39 11.26 B 20 598.15 596.00 597.50 17.59 C 20 604.45 605.50 605.06 15.47 D 20 606.25 612.50 607.17 14.58 E 20 621.05 621.00 621.06 9.68

Variable Velocità SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 Resisten A 2.52 589.00 631.00 595.75 611.50 B 3.93 574.00 634.00 581.75 611.25 C 3.46 571.00 627.00 594.25 616.75 D 3.26 573.00 623.00 592.75 617.00 E 2.16 602.00 640.00 615.75 628.25

15/59

z

VERIFICA DI IPOTESI SULLE VARIANZE:

30 20 10

95% Confidence Intervals for Sigmas

P-Value : 0.146 Test Statistic: 1.750 Levene's Test P-Value : 0.082 Test Statistic: 8.290 Bartlett's Test Factor Levels E D C B A

Test for Equal Variances for Resistenza

Test for Equal Variances

Response Resistenza Factors Velocità ConfLvl 95.0000

Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Lower Sigma Upper N Factor Levels 7.8984 11.2553 18.7534 20 A 12.3457 17.5927 29.3126 20 B 10.8535 15.4663 25.7698 20 C 10.2300 14.5778 24.2893 20 D 6.7941 9.6816 16.1314 20 E

Bartlett's Test (normal distribution)

Test Statistic: 8.290 P-Value : 0.082

Levene's Test (any continuous distribution) Test Statistic: 1.750 P-Value : 0.146 16/59

ESEMPIO 2

z

TABELLA ANOVA:

Factor Type Levels Values

Velocità fixed 5 A B C D E

Analysis of Variance for Resisten, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Velocità 4 5825.4 5825.4 1456.4 7.42 0.000

Error 95 18651.1 18651.1 196.3

Total 99 24476.6

17/59

z

CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):

Tukey Simultaneous Tests Response Variable Resisten

All Pairwise Comparisons among Levels of Velocità Velocità = A subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted Velocità of Means Difference T-Value P-Value B -5.900 4.431 -1.332 0.6723 C 0.400 4.431 0.090 1.0000 D 2.200 4.431 0.497 0.9875 E 17.000 4.431 3.837 0.0021 Velocità = B subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted Velocità of Means Difference T-Value P-Value C 6.300 4.431 1.422 0.6153 D 8.100 4.431 1.828 0.3637 E 22.900 4.431 5.168 0.0000 Velocità = C subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted Velocità of Means Difference T-Value P-Value D 1.800 4.431 0.4062 0.9942 E 16.600 4.431 3.7464 0.0028 Velocità = D subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted Velocità of Means Difference T-Value P-Value E 14.80 4.431 3.340 0.0103

18/59

ESEMPIO 2

z

CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):

Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Resisten

All Pairwise Comparisons among Levels of Velocità Velocità = A subtracted from:

Velocità Lower Center Upper ---+---+---+---+--- B -18.21 -5.900 6.413 (---*---) C -11.91 0.400 12.713 (---*---) D -10.11 2.200 14.513 (---*---) E 4.69 17.000 29.313 (---*---) ---+---+---+---+--- -15 0 15 30 Velocità = B subtracted from:

Velocità Lower Center Upper ---+---+---+---+--- C -6.013 6.300 18.61 (---*---) D -4.213 8.100 20.41 (---*---) E 10.587 22.900 35.21 (---*---) ---+---+---+---+--- -15 0 15 30 Velocità = C subtracted from:

Velocità Lower Center Upper ---+---+---+---+--- D -10.51 1.800 14.11 (---*---)

E 4.29 16.600 28.91 (---*---) ---+---+---+---+--- -15 0 15 30 Velocità = D subtracted from:

Velocità Lower Center Upper ---+---+---+---+--- E 2.487 14.80 27.11 (---*---) ---+---+---+---+-- -15 0 15 30

19/59 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 20 10 0 Residual F re q ue nc y

Histogram of the Residuals (response is Resisten) 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 3 2 1 0 -1 -2 -3 N o rm al S cor e Residual

Normal Probability Plot of the Residuals (response is Resisten) 620 610 600 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 Fitted Value R es idu al

Residuals Versus the Fitted Values (response is Resisten) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 Observation Order R es idu al

Residuals Versus the Order of the Data (response is Resisten)

z

ANALISI DEI RESIDUI:

20/59

ESEMPIO 3

Si vuole valutare l’influenza del tipo di polvere

metallica per individuare la lega preferibile per un

tipo di ingranaggio (corone coniche).

z

OBIETTIVO: studiare l’effetto del tipo di polvere sulle

proprietà superficiali dei pezzi meccanici

z

VARIABILE RISPOSTA: microdurezza (HV0,1)

z

FATTORE: tipo di polvere metallica (A, B, C, D)

z

BLOCCO: NO

21/59 D C B A 900 800 700 600 500 400 300 Lega M icr od ur ez za

Dotplots of Microdurezza by Lega

D C B A 900 800 700 600 500 400 300 Lega M icr od ur ez za

Boxplots of Microdurezza by Lega

z

MODELLO STATISTICO:

Y

ij

= µ

+ τ

i

+ ε

ij

i

=A,B,C,D; j=1,…,7

z

STATISTICA DESCRITTIVA:

Descriptive Statistics: Microdurezza by Lega

Variable Lega N Mean Median TrMean StDev Microdur A 7 672.4 677.0 672.4 51.9 B 7 839.0 833.0 839.0 33.1 C 7 708.3 712.0 708.3 40.9 D 7 345.7 350.0 345.7 28.8 Variable Lega SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 Microdur A 19.6 610.0 741.0 621.0 720.0 B 12.5 798.0 880.0 798.0 870.0 C 15.5 633.0 757.0 684.0 741.0 D 10.9 306.0 381.0 320.0 378.0 22/59 150 100 50 0

95% Confidence Intervals for Sigmas

P-Value : 0.330 Test Statistic: 1.204 Levene's Test P-Value : 0.522 Test Statistic: 2.249 Bartlett's Test Factor Levels D C B A

Test for Equal Variances for Microdurezza

ESEMPIO 3

z

VERIFICA DI IPOTESI SULLE VARIANZE:

Test for Equal Variances

Response Microdurezza Factors Lega ConfLvl 95.0000

Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Lower Sigma Upper N Factor Levels 29.9538 51.8712 148.401 7 A

19.0942 33.0656 94.599 7 B 23.6213 40.9052 117.028 7 C 16.6457 28.8254 82.468 7 D

Bartlett's Test (normal distribution)

Test Statistic: 2.249 P-Value : 0.522

Levene's Test (any continuous distribution)

Test Statistic: 1.204 P-Value : 0.330

23/59

Factor Type Levels Values

Lega fixed 4 A B C D

Analysis of Variance for Microdur, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Lega 3 923386 923386 307795 195.80 0.000

Error 24 37729 37729 1572

Total 27 961114

z

TABELLA ANOVA:

Main Effects Plot - LS Means for Microdurezza

24/59

Bonferroni Simultaneous Tests

Response Variable Microdur

All Pairwise Comparisons among Levels of Lega

Lega = A subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Lega of Means Difference T-Value P-Value

B 166.6 21.19 7.86 0.0000

C 35.9 21.19 1.69 0.6216

D -326.7 21.19 -15.42 0.0000

Lega = B subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Lega of Means Difference T-Value P-Value

C -130.7 21.19 -6.17 0.0000

D -493.3 21.19 -23.28 0.0000

Lega = C subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Lega of Means Difference T-Value P-Value

D -362.6 21.19 -17.11 0.0000

ESEMPIO 3

25/59 Bonferroni 95.0% Simultaneous Confidence Intervals

Response Variable Microdur

All Pairwise Comparisons among Levels of Lega Lega = A subtracted from:

Lega Lower Center Upper ---+---+---+---+--- B 105.6 166.6 227.5 (--*-) C -25.1 35.9 96.8 (-*--) D -387.6 -326.7 -265.8 (--*-)

---+---+---+---+--- -500 -250 0 250 Lega = B subtracted from:

Lega Lower Center Upper ---+---+---+---+--- C -191.6 -130.7 -69.8 (--*-)

D -554.2 -493.3 -432.4 (-*--)

---+---+---+---+--- -500 -250 0 250 Lega = C subtracted from:

Lega Lower Center Upper ---+---+---+---+--- D -423.5 -362.6 -301.6 (-*--)

---+---+---+---+--- -500 -250 0 250

z

CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):

26/59 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Residual F re q ue nc y

Histogram of the Residuals (response is Microdur) 50 0 -50 2 1 0 -1 -2 N o rm al S cor e Residual

Normal Probability Plot of the Residuals (response is Microdur) 850 750 650 550 450 350 50 0 -50 Fitted Value R es idu al

Residuals Versus the Fitted Values (response is Microdur) 25 20 15 10 5 50 0 -50 Observation Order R es idu al

Residuals Versus the Order of the Data (response is Microdur)

ESEMPIO 3

27/59

Una acciaieria vuole studiare la resistenza allo

snervamento di un certo tipo di barre di acciaio in

funzione del diametro delle barre stesse.

z

OBIETTIVO: studiare l’effetto del diametro sulle

proprietà meccaniche delle barre

z

VARIABILE RISPOSTA: resistenza allo snervamento

z

FATTORE: diametro della barra in mm (12, 14, 16)

z

BLOCCO: NO

z

COVARIATE: NO

28/59 Descriptive Statistics: Snervamento by Diametro

Variable Diametro N Mean Median TrMean StDev Snervame 10 20 512.25 511.00 512.00 10.74 12 20 513.30 512.00 513.06 9.29 14 20 521.05 520.00 521.28 10.47 Variable Diametro SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 Snervame 10 2.40 495.00 534.00 505.25 519.75 12 2.08 500.00 531.00 505.50 520.00 14 2.34 501.00 537.00 516.25 531.75 14 12 10 540 530 520 510 500 490 Diametro Sn e rv a m en to

Dotplots of Snervamento by Diametro

14 12 10 540 530 520 510 500 490 Diametro Sn e rv a m en to

Boxplots of Snervamento by Diametro

ESEMPIO 4

z

MODELLO STATISTICO:

Y

_ij

= µ

+ τ

_i

+ ε

_ij

i

=10,12,14; j=1,…,20

29/59 14 12 10 521 520 519 518 517 516 515 514 513 512 Diametro Sn e rv am e nt o

Main Effects Plot - LS Means for Snervamento

z

TABELLA ANOVA:

Factor Type Levels Values

Diametro fixed 3 10 12 14

Analysis of Variance for Snervame, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Diametro 2 924.0 924.0 462.0 4.45 0.016

Error 57 5912.9 5912.9 103.7

Total 59 6836.9

30/59

ESEMPIO 4

z

CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):

Bonferroni Simultaneous Tests

Response Variable Snervame

All Pairwise Comparisons among Levels of Diametro

Diametro = 10 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Diametro of Means Difference T-Value P-Value

12 1.050 3.221 0.3260 1.0000

14 8.800 3.221 2.7322 0.0251

Diametro = 12 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Diametro of Means Difference T-Value P-Value

14 7.750 3.221 2.406 0.0581

31/59

z

CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):

Bonferroni 90.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Snervame

All Pairwise Comparisons among Levels of Diametro

Diametro = 10 subtracted from:

Diametro Lower Center Upper ---+---+---+--- 12 -5.974 1.050 8.074 (---*---)

14 1.776 8.800 15.824 ---+---+---+--- 0.0 6.0 12.0

Diametro = 12 subtracted from:

Diametro Lower Center Upper ---+---+---+--- 14 0.7258 7.750 14.77 (---*---) ---+---+---+--- 0.0 6.0 12.0

32/59

ESEMPIO 4

z

ANALISI DEI RESIDUI:

20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 10 5 0 Residual F requ enc y Histogram of Residuals 60 50 40 30 20 10 0 30 20 10 0 -10 -20 -30 Observation Number R es idual I Chart of Residuals 5 Mean=3.03E-14 UCL=26.23 LCL=-26.23 521 520 519 518 517 516 515 514 513 512 20 10 0 -10 -20 Fit R es idual Residuals vs. Fits 2 1 0 -1 -2 20 10 0 -10 -20

Normal Plot of Residuals

Normal Score

R

es

idual

33/59

Il modello di analisi della varianza ad un fattore può essere

facilmente adattato al caso della presenza

ƒ

di una variabile di blocco:

Y

_ijk

= µ

+ τ

_i

+ β

_j

+ ε

_ijk

i

=1, …, c; j=1, …,b; k=1, …,n

ƒ

di covariate:

Y

ij

= µ

+ τ

i

+ x

ij

′ β + ε

ij

i

=1, …, c; j=1, …,n

L’analisi inferenziale di interesse corrisponde alle verifiche

d’ipotesi

H

0F

:

τ

1

=…=

τ

c

= 0 contro H

1F

:

τ

i

≠ 0 per almeno un livello i

ƒ

H

0B

: β

1

=…= β

b

=0 contro H

1B

:β

i

≠ 0 per almeno un livello j

ƒ

H

0C

: β = 0 contro H

1C

: β ≠ 0

34/59

ESEMPIO 5

Per studiare le prestazioni di resistenza dei travi di

cemento in relazione alla durata della stagionatura si

utilizzano due distinte metodologie per la conduzione

della prova sperimentale, misurando su alcuni

provini la forza massima di rottura.

z

OBIETTIVO: studiare l’effetto della durata della

stagionatura sulla resistenza dei travi di cemento

z

VARIABILE RISPOSTA: forza massima di rottura

z

FATTORE: giorni di stagionatura (3, 7, 28)

z

BLOCCO: tipo di metodo (A e B)

35/59 Descriptive Statistics: Forza Max by Stagion

Variable Stagion N Mean Median TrMean StDev Forza Ma 3 8 24956 24861 24956 1449 7 8 36627 36694 36627 2093 28 8 38812 38943 38812 1181 Variable Macchina N Mean Median TrMean StDev Forza Ma A 12 32099 34727 32460 6238 B 12 34831 38585 35264 6538 28 7 3 40000 30000 20000 Stagion For za M a x

Boxplots of Forza Max by Stagion

B A 40000 30000 20000 Macchina For za M a x

Boxplots of Forza Max by Macchina

z

MODELLO STATISTICO:

Y

_ijk

= µ

+ τ

_i

+ β

_j

+ ε

_ijk

i

=3,7,28; j=A,B; k=1,…,4

z

STATISTICA DESCRITTIVA:

36/59

Factor Type Levels Values Stagion fixed 3 3 7 28 Macchina fixed 2 A B

Analysis of Variance for Forza Ma, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Stagion 2 887893652 887893652 443946826 856.72 0.000 Macchina 1 44772836 44772836 44772836 86.40 0.000 Error 20 10363813 10363813 518191 Total 23 943030301 Macchina Stagion B A 28 7 3 37000 34000 31000 28000 25000 Fo rz a M ax

Main Effects Plot - LS Means for Forza Max

ESEMPIO 5

37/59

z

CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):

Tukey Simultaneous Tests

Response Variable Forza Ma

All Pairwise Comparisons among Levels of Stagion

Stagion = 3 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Stagion of Means Difference T-Value P-Value

7 11670 359.9 32.42 0.0000

28 13856 359.9 38.50 0.0000

Stagion = 7 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Stagion of Means Difference T-Value P-Value

28 2185 359.9 6.072 0.0000

38/59

ESEMPIO 5

z

CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):

Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Forza Ma

All Pairwise Comparisons among Levels of Stagion Stagion = 3 subtracted from:

Stagion Lower Center Upper ---+---+---+--- 7 10759 11670 12582 (-*-) 28 12945 13856 14767 (--*-) ---+---+---+--- 4000 8000 12000 Stagion = 7 subtracted from:

Stagion Lower Center Upper ---+---+---+--- 28 1274 2185 3097 (-*--)

---+---+---+--- 4000 8000 12000

39/59 1000 0 -1000 5 4 3 2 1 0 Residual F re q ue nc y

Histogram of the Residuals (response is Forza Ma)

1000 0 -1000 2 1 0 -1 -2 N o rm al S cor e Residual

Normal Probability Plot of the Residuals (response is Forza Ma)

40000 35000 30000 25000 1000 0 -1000 Fitted Value R es idu al

Residuals Versus the Fitted Values (response is Forza Ma)

20 15 10 5 1000 0 -1000 Observation Order R es idu al

Residuals Versus the Order of the Data (response is Forza Ma)

z

ANALISI DEI RESIDUI:

40/59

ESEMPIO 5

z

ANALISI DEI RESIDUI (test di normalità):

P-Value: 0.081 A-Squared: 0.646 Anderson-Darling Normality Test N: 24 StDev: 671.268 Average: 0.0000000 1000 0 -1000 .999 .99 .95 .80 .50 .20 .05 .01 .001 P ro b ab ilit y RESI1

Normal Probability Plot

Approximate P-Value: 0.116 D+: 0.096 D-: 0.159 D : 0.159 Kolmogorov-Smirnov Normality Test N: 24 StDev: 671.268 Average: 0.0000000 1000 0 -1000 .999 .99 .95 .80 .50 .20 .05 .01 .001 P ro b ab ilit y RESI1

41/59

Si vuole valutare la variabilità di comportamento

nella deformazione di membrane elastomeriche di

forma circolare, al fine di verificare l’affidabilità del

processo produttivo delle stesse.

z

OBIETTIVO: studiare l’effetto della durata della

stagionatura sulla resistenza dei travi di cemento

z

VARIABILE RISPOSTA: deflessione in mm

z

FATTORE: livello di pressione in mbar (10, 20, 30, 40)

z

BLOCCO: membrana (la prova viene ripetuta sulla

stessa membrana, facendo variare il livello di

pressione)

z

COVARIATE: NO

42/59

ESEMPIO 6

z

DATASET:

Campione Mbar=10 Mbar=20 Mbar=30 Mbar=40

1

2.3

3.6

4.7

6

2

2.6

4.6

5.8

7.4

3

2.7

4.4

6.2

7.8

4

2.7

4.7

5.6

6.8

5

2.1

3.6

4.8

6

6

1.9

3.1

4.6

5.6

7

2.2

4.4

6.8

8

8

1.9

3.7

4.9

6.1

9

2.1

3.6

4.7

5.4

10

2.3

3.9

5

6.4

11

2

3.4

4.5

5.6

12

2.7

4.4

5.8

6.8

13

2.1

3.5

4.7

5.9

14

2.4

4

5.4

6.7

15

2.4

4.1

5.5

6.7

16

2.3

3.6

5.1

6

17

2.3

3.8

5.4

6.7

18

2.9

3.4

4.7

5.9

19

2

3.3

4.5

5.7

20

2.1

3.5

4.5

5.7

43/59 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 Campione De fo rm

Boxplots of Deform by Campione

40 30 20 10 8 7 6 5 4 3 2 Mbar De fo rm

Boxplots of Deform by Mbar

z

MODELLO STATISTICO:

Y

_ij

= µ

+ τ

_i

+ β

_j

+ ε

_ij

i

=10,20,30,40; j=1,…,20

z

STATISTICA DESCRITTIVA:

Descriptive Statistics: Deform by Mbar

Variable Mbar N Mean Median TrMean StDev Deform 10 20 2.3000 2.3000 2.2889 0.2920 20 20 3.830 3.650 3.822 0.462 30 20 5.160 4.950 5.106 0.637 40 20 6.360 6.050 6.322 0.740 Variable Mbar SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 Deform 10 0.0653 1.9000 2.9000 2.1000 2.5500 20 0.103 3.100 4.700 3.500 4.325 30 0.142 4.500 6.800 4.700 5.575 40 0.165 5.400 8.000 5.750 6.775 44/59

ESEMPIO 6

z

TABELLA ANOVA:

Main Effects Plot - LS Means for Microdurezza

Campione Mbar 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 40 30 20 10 6.5 5.5 4.5 3.5 2.5 De fo rm

Main Effects Plot - LS Means for Deform

Factor Type Levels Values Mbar fixed 4 10 20 30 40

Campione fixed 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Analysis of Variance for Deform, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Mbar 3 183.0695 183.0695 61.0232 632.36 0.000 Campione 19 18.2975 18.2975 0.9630 9.98 0.000 Error 57 5.5005 5.5005 0.0965

45/59

Bonferroni Simultaneous Tests

Response Variable Deform

All Pairwise Comparisons among Levels of Mbar

Mbar = 10 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Mbar of Means Difference T-Value P-Value

20 1.530 0.09823 15.57 0.0000

30 2.860 0.09823 29.11 0.0000

40 4.060 0.09823 41.33 0.0000

Mbar = 20 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Mbar of Means Difference T-Value P-Value

30 1.330 0.09823 13.54 0.0000

40 2.530 0.09823 25.75 0.0000

Mbar = 30 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Mbar of Means Difference T-Value P-Value

40 1.200 0.09823 12.22 0.0000

z

CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):

46/59 Bonferroni 95.0% Simultaneous Confidence Intervals

Response Variable Deform

All Pairwise Comparisons among Levels of Mbar Mbar = 10 subtracted from:

Mbar Lower Center Upper -+---+---+---+--- 20 1.261 1.530 1.799 (-*--)

30 2.591 2.860 3.129 (--*-)

40 3.791 4.060 4.329 (--*-) -+---+---+---+--- 1.0 2.0 3.0 4.0 Mbar = 20 subtracted from:

Mbar Lower Center Upper -+---+---+---+--- 30 1.061 1.330 1.599 (-*--)

40 2.261 2.530 2.799 (-*--)

-+---+---+---+--- 1.0 2.0 3.0 4.0 Mbar = 30 subtracted from:

Mbar Lower Center Upper -+---+---+---+--- 40 0.9315 1.200 1.469 (--*--)

-+---+---+---+--- 1.0 2.0 3.0 4.0

ESEMPIO 6

47/59 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 30 20 10 0 Residual F re q ue nc y

Histogram of the Residuals (response is Deform) 1 0 -1 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 N o rm al S cor e Residual

Normal Probability Plot of the Residuals (response is Deform) 7.5 6.5 5.5 4.5 3.5 2.5 1.5 1 0 -1 Fitted Value R es idu al

Residuals Versus the Fitted Values (response is Deform) 80 70 60 50 40 30 20 10 1 0 -1 Observation Order R es idu al

Residuals Versus the Order of the Data (response is Deform)

z

ANALISI DEI RESIDUI:

48/59

ESEMPIO 7

Nello studio di un impianto di laminazione di billette

di acciaio si vuole stabilire se la tipologia del rullo

influenza la velocità di laminazione, tenendo conto

dei parametri di laminazione dell’impianto

z

OBIETTIVO: studiare l’effetto della tipologia del rullo

sulla velocità di laminazione

z

VARIABILE RISPOSTA: velocità di laminazione in m/s

z

FATTORE: tipologia di rullo (H–orizzontale, V–

verticale)

z

BLOCCO: NO

z

COVARIATE: parametri di laminazione (carico

49/59

Descriptive Statistics: speed by type

Variable type N Mean Median TrMean StDev speed H 9 4.29 2.16 4.29 4.75 V 9 5.06 2.78 5.06 5.35 Variable type SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 speed H 1.58 0.19 13.32 0.49 8.37 V 1.78 0.24 15.00 0.63 9.74 V H 15 10 5 0 type sp ee d

Dotplots of speed by type

V H 15 10 5 0 type sp ee d

Boxplots of speed by type

z

MODELLO STATISTICO:

y

_ij

= µ

+ τ

_i

+ β

₁

CA

_ij

+ β

₂

M

_ij

+ β

₃

P

_ij

+ ε

_ij

i

=H,V; j=1,…,9

z

STATISTICA DESCRITTIVA:

ESEMPIO 7

z

STATISTICA DESCRITTIVA

(diagrammi di dispersione):

51/59 V H 5.1 5.0 4.9 4.8 4.7 4.6 4.5 4.4 4.3 type sp eed

Main Effects Plot - LS Means for speed

z

TABELLA ANOVA:

Factor Type Levels Values type fixed 2 H V

Analysis of Variance for speed, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P load 1 213.706 53.091 53.091 6.55 0.024 torque 1 47.746 43.755 43.755 5.40 0.037 power 1 43.660 23.062 23.062 2.85 0.115 type 1 1.446 1.446 1.446 0.18 0.680 Error 13 105.359 105.359 8.105 Total 17 411.917 52/59

ESEMPIO 7

z

STIMA E VERIFICA DI IPOTESI SULLE COVARIATE:

Term Coef SE Coef T P

Constant 4.585 5.258 0.87 0.399

load -0.020158 0.007876 -2.56 0.024

torque 0.15051 0.06477 2.32 0.037

power 0.01747 0.01036 1.69 0.115

53/59 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 0 Residual F re q ue nc y

Histogram of the Residuals (response is speed) 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 2 1 0 -1 -2 N o rm al S cor e Residual

Normal Probability Plot of the Residuals (response is speed) 10 5 0 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 Fitted Value R es idu al

Residuals Versus the Fitted Values (response is speed) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 Observation Order R es idu al

Residuals Versus the Order of the Data (response is speed)

z

ANALISI DEI RESIDUI:

54/59

ESEMPIO 8

In uno studio sui materiali di rivestimento stradale si

vuole studiare la resistenza al derapaggio in

relazione al tipo di rivestimento, tenendo conto della

temperatura del rivestimento.

z

OBIETTIVO: studiare l’effetto del tipo di rivestimento

sulla resistenza al derapaggio

z

VARIABILE RISPOSTA: resistenza al derapaggio

(SRT)

z

FATTORE: tipo di rivestimento (pavimentazione – P,

segnaletica – S)

z

BLOCCO: NO

55/59

Descriptive Statistics: SRT by Rivestimento

Variable Rivestim N Mean Median TrMean StDev SRT P 15 48.600 50.000 48.538 2.530 S 15 46.267 46.000 46.231 0.884 Variable Rivestim SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 SRT P 0.653 45.000 53.000 46.000 50.000 S 0.228 45.000 48.000 46.000 47.000 S P 53 52 51 50 49 48 47 46 45 Rivestimento SR T Boxplots of SRT by Rivestim

z

MODELLO STATISTICO:

Y

_ij

= µ

+ τ

_i

+ β T

_ij

+ ε

_ij

i

=P,S; j=1,…,15

z

STATISTICA DESCRITTIVA:

95% Confidence Intervals for Sigmas

P S 53 52 51 50 49 48 47 46 45

Boxplots of Raw Data

SRT P-Value : 0.035 Test Statistic: 4.936 Levene's Test P-Value : 0.000 Test Statistic: 8.195 F-Test Factor Levels S P

Test for Equal Variances for SRT

ESEMPIO 8

z

VERIFICA DI IPOTESI SULLE VARIANZE:

Test for Equal Variances

Response SRT Factors Rivestimento ConfLvl 95.0000

Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Lower Sigma Upper N Factor Levels 1.77553 2.52982 4.28791 15 P 0.62023 0.88372 1.49785 15 S

F-Test (normal distribution)

Test Statistic: 8.195 P-Value : 0.000

Levene's Test (any continuous distribution)

Test Statistic: 4.936 P-Value : 0.035

57/59 S P 49.5 48.5 47.5 46.5 45.5 Rivestimento SR T

Main Effects Plot - LS Means for SRT

z

TABELLA ANOVA:

Factor Type Levels Values Rivestim fixed 2 P S

Analysis of Variance for SRT, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Temp 1 30.409 78.735 78.735 97.52 0.000 Rivestim 1 89.158 89.158 89.158 110.43 0.000 Error 27 21.799 21.799 0.807

Total 29 141.367

Term Coef SE Coef T P Constant 98.723 5.196 19.00 0.000 Temp -1.8776 0.1901 -9.88 0.000

58/59

ESEMPIO 8

z

CONFRONTI MULTIPLI:

Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable SRT

All Pairwise Comparisons among Levels of Rivestim

Rivestim = P subtracted from:

Rivestim Lower Center Upper -+---+---+---+---- S -4.509 -3.773 -3.036 (----*----)

-+---+---+---+---- -4.5 -3.0 -1.5 0.0

Tukey Simultaneous Tests Response Variable SRT

All Pairwise Comparisons among Levels of Rivestim

Rivestim = P subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted Rivestim of Means Difference T-Value P-Value S -3.773 0.3590 -10.51 0.0000

59/59 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 6 5 4 3 2 1 0 Residual F re q ue nc y

Histogram of the Residuals (response is SRT) 2 1 0 -1 2 1 0 -1 -2 N o rm al S cor e Residual

Normal Probability Plot of the Residuals (response is SRT) 51 50 49 48 47 46 45 2 1 0 -1 Fitted Value R es idu al

Residuals Versus the Fitted Values (response is SRT) 30 25 20 15 10 5 2 1 0 -1 Observation Order R es idu al

Residuals Versus the Order of the Data (response is SRT)