• Supponiamo di avere una successione di eventi {A n } e consideriamo l’evento

• Supponiamo di avere una successione di eventi {A _n } e consideriamo l’evento

A =

∞

\

k=1

∞

[

n=k

A _n (= lim sup A _n ).

Ebbene, ω appartiene ad A se e solo se esiste almeno una sottosuccessione {A _n

(ω)}, con n ₁ (ω) < n ₂ (ω) < · · · , tale che ω appartiene ad ogni A _n

. Corrispondentemente

A ^c =

∞

[

k=1

∞

\

n=k

A ^c _n (= lim inf A ^c _n = (lim sup A _n ) ^c )

Ebbene, ω appartiene ad A ^c se e solo se da un certo indice m(ω) risulta che ω appartiene ad ogni A _n per ogni n ≥ m(ω).

• Osserviamo inoltre che, definendo B _m = S

n≥m A _n , si ha che B ₁ ⊃ B ₂ ⊃ B ₃ ⊃ · · · , e, per ogni k, \

m≥k

B _m ≡ A

e quindi

P(B ^m ) & P(A).

• Data ora una successione di variabili casuali {X _n }a valori in uno spazio di Banach reale e separabile X, con norma k · k, tale che X _n (ω) → X(ω) per quasi ogni ω e denotando con N l’evento di probabilit` a nulla degli ω dove la successione non converge, allora, per ogni ε > 0 considerando la famiglia degli eventi A _n := {kX _n − Xk > ε}, abbiamo che

A ⊂ N e quindi P(A) = 0.

D’altra parte A n ⊂ B n , da cui P(kX ⁿ − Xk > ε) → 0: quindi la successione

tende ad X anche in probabilit` a.

Sia X uno spazio di Banach reale e separabile, con norma k · k. Sia {X _n } una successione di variabili casuali a valori in X, tale che per ogni a > 0 risulti

P(kX n − X _m k > a) → 0 for n, m → ∞, cio` e la successione ` e una successione di Cauchy in probabilit` a.

•(punto 1) Scegliamo in un modo qualunque una successione {a _i } di numeri positivi tale che P

k a _i < ∞. (Per esempio a _i = 2 ⁻ⁱ )

•(punto 2) Costruiamo una sottosuccessione {X _n

} in modo tale che P(kX n

− X _n

k > a _i ) < 2 ⁻ⁱ

•(punto 3) Per il lemma di Borel-Cantelli applicato alla successione

A _i := {kX _n

− X _n

k > a _i } abbiamo che

P(A) = 0, dove A = \

k≥1

[

i≥k

A i

•(punto 4) Quindi per ω 6∈ A abbiamo che ω ∈ A ^c = [

k≥1

\

i≥k

A ^c _i

e quindi esiste un k(ω) ≥ 1 tale che

kX _n

− X _n

k ≤ a _i per ogni i ≥ k(ω)

•(punto 5) La successione {X _n

(ω)} ` e di Cauchy in X. Infatti

kX _n

(ω) − X _n

(ω)k ≤

ν+p−1

X

i=ν

kX _n

(ω) − X _n

(ω)k ≤

ν+p−1

X

i=ν

a _i

e quindi esiste una variabile casuale X a valori in X tale che X n

→ X quasi ovunque, e dunque anche in probabilit` a.

•(punto 6) L’intera successione {X _n } converge in probabilit` a a X. Infatti kX _n (ω) − X(ω)k ≤ kX _n (ω) − X _n

(ω)k + kX _n

(ω) − X(ω)k da cui

P(kX n − Xk > ε) ≤ P(kX n − X _n

k > ^ε ₂ ) + P(kX n

− Xk > ^ε ₂ ).

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