Disequazioni esponenziali e logaritmiche

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

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disequazioni esponenziali e logaritmiche

Indice

1 Esercizi 2

1.1 In forma canonica . . . 2

1.1.1 Esponenziali . . . 2

1.1.2 Logaritmiche . . . 2

1.2 Risolubili tramite sostituzione . . . 2

1.2.1 Esponenziali . . . 2

1.2.2 Logaritmiche . . . 3

1.3 Fratte e di tipo prodotto . . . 3

1.4 Risolubili mediante l’applicazione di formule. . . 3

1.4.1 Formule relative ai logaritmi . . . 3

1.5 Risoluzione di disequazioni di vario tipo . . . 3

A Richiami di teoria/formulari 5 A.1 Esponenziali. . . 5

A.2 Logaritmiche . . . 5

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1 Esercizi

1.1 In forma canonica

1.1.1 Esponenziali √ 2 − 2x> 0 (1) 2 3 2x ≥ 27 8 (2) 1 2 x2−3x < 4 (3) 1 5 x2−3x+2 > 1 25 (4) (5) 2 ≤ −3x (6) 5 √ e3_≤ e 2x ex+1 (7) 4 5 x−3x >5 4 x−1 (8) 2x−5 4 √ 16x ≤ 3 √ 24x−1 ₍₉₎ 1.1.2 Logaritmiche log2 3x ≥ 3 4 (10) log3 2x ≥ −1 (11) (12) log7 3x ≥ 2 (13) log√ 2x ≥ 3 (14) (15)

1.2 Risolubili tramite sostituzione

1.2.1 Esponenziali 22x−3− 2 · 2x−2_{> 0} ₍₁₆₎ 2x+ 2−x≤17 4 (17) 1 2 2x −1 2 x > 2−x (18) e2x− ex+1_{+ e}x_{− e ≥ 0} ₍₁₉₎ 2

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1.2.2 Logaritmiche

log21 2

x − 4 ≥ 0 (20)

2 log24x − log4x > 0 (21)

1.3 Fratte e di tipo prodotto

ex−1x ≥ 0 ₍₂₂₎ e−x(x2− 5x + 4) ≤ 0 (23) ex_{+ 1} ex_{− 1} > 0 (24) 3 √ 2−x_{· 2}x+1 2x+1_{− 2}x ≥ 2 √ 2 (25) log₂x + 3 log_x−2 ≥ 0 (26) 3 − log₃x log1 2x − 1 ≤ 0 (27)

1.4 Risolubili mediante l’applicazione di formule

1.4.1 Formule relative ai logaritmi

log(x − 3) − log(x − 1) < 1 (28) _ln2_x√2_{+ ln x}3_{− 2 ≥ 0} ₍₂₉₎

1.5 Risoluzione di disequazioni di vario tipo

22x− 2 · 2x−1_{+ 2}−2_{≤ 0} ₍₃₀₎ 1 − 5x−1 2(2x+2_{− 2)} ≤ 0 (31) " 4 −1 2 x # (5x− 1) ≥ 0 (32) 1 7 2x−3 − 7 32x_{(1 − 2}x−3₎ > 0 (33)

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Tabella 1: La soluzione delle disequazioni esponenziali nella forma canonica af (x)_{≷ b.}

Disequazione Condizione su b Condizione su a Soluzione

af (x)_{> b} _{b ≤ 0} R b > 0 a > 1 f (x) > log_ab a < 1 f (x) < log_ab af (x)_{< b} _{b ≤ 0} _∅ b > 0 a > 1 f (x) < log_ab a < 1 f (x) > log_ab 2x+ 1 3x− 1 > 0 (35) 2x_{+ 2} 2x_{− 2} − 2x 2x_{+ 2} ≤ −8 (2x_{+ 2)(2}x_{− 2)} (36) p(22x_{· 2}−3x₎3 2−x_{: 2}x ≤ 1 28 (37) (3x− 27) ln(x − 4) ≥ 0 (38) 4

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Tabella 2: La soluzione delle disequazioni logaritmiche nella forma canonica logaf (x) ≷ b.

Disequazione Condizione su a Soluzione

log_af (x) > b a > 1 f (x) > ab a < 1 f (x) < ab log_af (x) < b a > 1 f (x) < ab a < 1 f (x) > ab