EQUAZIONE DI EULERO
Esercizio 1
Il rotore di un ventilatore assiale intubato, ha diametro un medio pari a 200 mm e un’altezza di pala pari a 50 mm. Il ventilatore opera a velocit`a di rotazione di 3000 rpm e aspira dall’ambiente (P = 1 bar) una portata volumetrica di 0.5 m3/s di aria. Assegnata una componente di velocit`a meridiana (assiale)
co-stante attraverso il rotore, una deflessione angolare di 20◦ (sempre nel rotore) e assumendo la trasformazione ideale (no attrito):
a) calcolare il lavoro specifico scambiato nella macchina;
b) calcolare l’incremento di pressione totale attraverso il rotore corrispondente a questo scambio di lavoro e la pressione totale PT 2a valle del rotore. (Considerate
le ridotte velocit`a della corrente essa pu`o essere assunta come incomprimibile con densit`a dell’aria costante e pari a ρ = 1.2 kg/m3);
c) se si posiziona uno statore a valle del rotore allo scopo di deflettere la corrente fino alla direzione puramente assiale (diffusore), si calcoli la pressione statica P3
all’uscita dello statore;
d) se la corrente viene espansa fino alla pressione atmosferica, si calcoli la sezione di scarico del canale che realizza l’espansione (ugello).
Dati: Dm = 0.2 m n = 3000 rpm ρaria= 1.2 kg/m3 h = 0.05 m |β1− β2| = 20◦ Raria= 287 J/kgK P0 = 1 bar V = 0.5 m˙ 3/s CP aria= 1000 J/kgK Soluzione: a)
Nota la velocit`a di rotazione e le dimensioni della macchina `e possibile calcolare la velocit`a periferica al diametro medio:
ω = 2π · n
60 = 314 rad/s U = ω · Dm
2 = 31.4 m/s
Si indichino, rispettivamente, con (1) e (2) le sezioni di ingresso e uscita dal roto-re. La macchina aspira aria dall’ambiente tramite il canale di ingresso (cilindrico e non palettato), di conseguenza la velocit`a in ingresso `e puramente assiale, perci`o:
˙
Il triangolo di velocit`a in ingresso `e completamente definito da ~V1e ~U , da cui: W1 = q U2 1 + V12 = 35.2 m/s W1t = −U = −31.4 m/s
Le componenti tangenziali di velocit`a vengono considerate positive se concordi con il verso della velocit`a periferica U e negative se opposte. L’angolo relativo in ingresso al rotore pu`o essere ora calcolato semplicemente tramite le componenti delle velocit`a relativa:
β1 = atan
W1t
W1z
= −63◦
Il calcolo dell’angolo relativo in uscita al rotore `e altrettanto semplice se si consi-dera che nel rotore di un ventilatore assiale (macchina operatrice) la corrente, nel moto relativo, viene deflessa verso la direzione assiale; dunque:
|β1− β2| = β2− β1 = 20◦ → β2 = β1+ 20 = −43◦
Gli angoli sono misurati rispetto alla direzione meridiana (perci`o variano nel-l’intervallo ±90◦) assumendo il segno della corrispondente componente tangen-ziale di velocit`a.
Avendo assegnato Vz= cost., noti β2e ~U , possiamo definire il triangolo di velocit`a
in uscita al rotore: W2 = V1z cos β2 = 21.8 m/s W2t = W2· sin β2 = −14.9 m/s V2t = U + W2t= 31.4 − 14.9 = 16.5 m/s V2z = V1z = V1 = 15.91 m/s V2 = q V2 2z+ V2t2 = 23 m/s α2 = atan V2t V2z = 46◦
Infine applicando la relazione di Eulero per il lavoro specifico scambiato, ricor-dando che in una macchina assiale U `e costante e che per il ventilatore in oggetto V1 `e puramente assiale, si ha:
w = U2V2t− U1V1t=
= U · V2t= 518.1 J/kg
b)
Per calcolare l’incremento di pressione totale corrispondente al lavoro scambiato e la pressione totale PT 2allo scarico del rotore, `e necessario calcolare la pressione
totale PT 1in ingresso al rotore. Scrivendo il bilancio di energia meccanica tra le
sezioni 0 (ambiente) e 1 (ingresso rotore) e considerando che la trasformazione `e senza scambio di lavoro e senza perdite (no attrito), si deduce che la pressione totale si conserva nel canale di ingresso 0 − 1.
P0 ρ = P1 ρ + V12 2 = PT 1 ρ
In tal modo anche la pressione statica P1in ingresso al rotore pu`o essere calcolata:
P1 = P0 −
V2 1
2 ρ = 99848 P a
Applicando ora il bilancio di energia meccanica tra ingresso 1 e uscita 2 rotore (dove si ha lavoro scambiato), si ottiene:
Nell’ipotesi di trasformazione ideale (lw = 0), si trova che l’incremento di
pres-sione totale `e semplicemente proporzionale al lavoro scambiato, ovvero PT 2 −
PT 1= PT 2− P0 = ρl; la pressione totale all’uscita del rotore `e dunque:
PT 2= P0+ l · ρ = 100621 P a
c)
Lo statore a valle deflette la corrente in modo da renderla puramente assiale all’uscita dello stadio (sezione 3):
V3 = V1z = V1 = 15.9 m/s
Scrivendo il bilancio di energia meccanica tra le sezioni 2 e 3 dove non si ha n´e lavoro scambiato (l = 0), n´e perdite per attrito (lw = 0), si ha:
PT 2 ρ = P2 ρ + V2 2 2 = P3 ρ + V2 3 2 = PT 3 ρ ⇒ P3 = 100470 P a
d)
Espandendo dalla sezione 3 fino a pressione atmosferica (P4 = P0) la corrente
accelera (ugello). L’incremento di energia cinetica pu`o essere ottenuto dal bilan-cio di energia meccanica tra le sezionoi 3 e 4, dove ancora si assume non esservi lavoro scambiato, n´e perdite; perci`o:
PT 3 ρ = P3 ρ + V2 3 2 = P4 ρ + V2 4 2 = PT 4 ρ ⇒ V2 4 2 = PT 3 ρ − P0 ρ
L’area della sezione di uscita dell’ugello pu`o essere calcolata dall’equazione di continuit`a per correnti incomprimibili (per cui si traduce nella conservazione della portata volumetrica): ˙ V = V4· S ⇒ S = 0.0155 m2 d = r 4 · S π = 0.14 m
