(a) Si calcoli P(Cn), per ogni n ∈ N

Moto browniano

Esercizio 1. Sia {B_t}_t≥0 un moto browniano reale. Definiamo gli eventi D := {B_t}_t∈[0,1] è crescente ,

Cn := B_i/2n− B_(i−1)/2n ≥ 0 , per ogni 1 ≤ i ≤ 2ⁿ , n ∈ N . (a) Si calcoli P(C_n), per ogni n ∈ N.

(b) Si mostri che vale l’inclusione D ⊆ C_n, per ogni n ∈ N.

(c) Si deduca che P(D) = 0. Quindi, q.c., il moto browniano non è crescente sull’inter- vallo [0, 1].

(d) (*) Si dimostri che, q.c., il moto browniano non è crescente in nessun sotto-intervallo di [0, ∞).

Esercizio 2. Sia {B_t}_t≥0 un moto browniano reale tale che t 7→ B_t(ω) è continua per ogni (e non solo per q.o.) ω ∈ Ω.

(a) Si mostri cheR₁

0 Btdt è una variabile aleatoria normale e se ne calcolino media e varianza.

[Sugg. Ricordarsi le somme di Riemann e il Teorema di Fubini]

(b) (*) Si mostri che inf_t∈[0,1]Bt non è una variabile normale.

Esercizio 3. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale. Si dimostrino le seguenti proprietà.

(a) Per ogni α > 0 esiste 0 < C_α< ∞ tale che E(|B_t|^α) = C_αt^α/2, per ogni t ≥ 0.

(b) Per ogni scelta di istanti 0 < t₁ < . . . < t_k < ∞ e di intervalli aperti non vuoti I1, . . . , I_k⊆ R, si ha P(Bt1 ∈ I₁, . . . , Btk ∈ I_k) > 0.

(c) (*) Per ogni ε > 0 esiste C > 0 tale che P(sup_t∈[0,1]Bt> C) ≤ ε.

Esercizio 4. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale. Data una partizione π = {0 = t₀ < t₁ < . . . < t_k = t} dell’intervallo [0, t], indichiamone il passo con |π| = max1≤i≤k(ti− t_i−1). Introducendo la variazione quadratica Sπ =Pk

i=1(Bti− B_ti−1)² di B relativa a π, sappiamo che per |π| → 0 si ha S_π → t in L². Più precisamente, abbiamo visto che esiste una costante 0 < c < ∞ universale tale che

E(S_π− t)²

= cPk

i=1(t_i− t_i−1)².

Sia {π⁽ⁿ⁾}_n∈N una successione di partizioni π⁽ⁿ⁾= {0 = t⁽ⁿ⁾₀ < t⁽ⁿ⁾₁ < . . . < t⁽ⁿ⁾_k

n = t}, tale che non solo |π⁽ⁿ⁾| → 0 per n → ∞, ma anche P

n∈N|π⁽ⁿ⁾| < ∞.

(a) Si mostri che, per ogni ε > 0,P

n∈NP(|S_π(n)− t| > ε) < ∞.

[Sugg. Applicare un’opportuna disuguaglianza.]

(b) Si deduca che S_π(n) → t q.c. per n → ∞.

†Ultima modifica: 22 maggio 2015.

Esercizio 5. Siano B = {B_t}_t∈[0,∞) e β = {β_t}_t∈[0,∞) due moti browniani reali indipen- denti, definiti su uno spazio di probabilità completo (Ω, F , P) (in particolare, le variabili aleatorie B_t e β_s sono indipendenti, per ogni s, t ≥ 0). Consideriamo il processo reale X = {X_t}_t∈[0,∞) definito da

X_t := B2 3t− β1

3t. (a) Si mostri che X è un processo gaussiano.

(b) Si mostri che X è un moto browniano reale.

Definiamo ora il processo reale Y = {Y_t}_t∈[0,∞) ponendo Y_t := β²

3t+ B¹

3t.

(c) Si mostri che, per ogni t ∈ [0, ∞), le variabili aleatorie X_te Y_t sono scorrelate, cioè Cov(X_t, Y_t) = 0. Esse sono indipendenti?

(d) Si mostri che, per ogni 0 < s < t < ∞, le variabili aleatorie X_s e Y_t non sono indipendenti.

[Sugg.: si considerino separatamente i due casi s < ^t₂ e ^t₂ ≤ s < t.]

(e) Si mostri che, per ogni (a, b) ∈ R² con a²+ b² = 1, il processo Z = {Zt}_t∈[0,∞) definito da Z_t:= aX_t+ bY_t è un moto browniano reale.

Esercizio 6. Sia {B_t}_t∈[0,∞)un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità (Ω, F , P). Per n ∈ N e s, t > 0 fissati, introduciamo i seguenti eventi:

A := u 7→ B_u è derivabile in u = 0

=



∃ lim

u↓0

B_u

u ∈ (−∞, +∞)

 , C_n,s := |B_s| ≤ ns , D_n,t := |B_u| ≤ nu , ∀u ∈ [0, t] .

Per questo esercizio non è possibile utilizzare né la legge del logaritmo iterato, né la non differenziabilità delle traiettorie del moto browniano.

(a) Si mostri che, per ogni n ∈ N fissato, si ha P(Cn,s) → 0 per s ↓ 0 .

Facoltativo: si mostri che in effetti P(Cn,s)/(2n√

s) → 1/√

2π per s ↓ 0 (con n fissato).

(b) Si spieghi perché per ogni s ≤ t vale l’inclusione di eventi D_n,t⊆ C_n,s. (c) Si deduca che P(D_n,t) = 0, per ogni n ∈ N e t > 0 .

(d) Si spieghi perché vale l’inclusione di eventi A ⊆ S

n,k∈N D_{n, 1/k}. (e) Si mostri che P(A) = 0 .

Esercizio 7. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale e definiamo le variabili τ_a := inf{t ≥ 0 : B_t= a} , S_t := sup

0≤u≤t

B_u. Ricordiamo il principio di riflessione: P(S_t≥ a) = P(τ_a≤ t) = P(|B_t| ≥ a).

(a) Si ricavi la densità della variabile S_t.

[Si consideri innanzitutto la funzione di ripartizione di St.]

(b) Si mostri che vale la relazione P(τ_a≤ t) = P(|B₁| ≥ ^√a

t), per ogni a, t > 0.

(c) Si deduca che per ogni a ∈ R si ha P(τa< ∞) = 1.

(d) Si determini la densità della variabile τ_a. Quanto vale E(τ_a)?

(e) (*) Si mostri in dettaglio come dal punto (c) segue che, q.c., lim sup

t→∞

Bt = +∞ , lim inf

t→∞ Bt = −∞ .

Esercizio 8. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità (Ω, F , P). Introduciamo l’insieme degli zeri Z = Z(ω) ⊆ [0, ∞) del moto browniano, ponendo

Z(ω) := s ∈ [0, ∞) : B_s(ω) = 0 . (a) Si mostri che, per ogni t > 0 fissato, q.c. t 6∈ Z.

(b) Si deduca che q.c. Z ∩ (Q ∩ (0, ∞)) = ∅.

(c) Si mostri che q.c. Z è un insieme chiuso.

[Sugg.: Non serve fare nessun calcolo!]

(d) (*) Si mostri che q.c. Z ha misura di Lebesgue nulla.

[Sugg.: la misura di Lebesgue di un insieme C ⊆ [0, ∞) vale m(C) =R∞

0 1C(s) ds. Quindi m(Z) è una variabile aleatoria e si vuole mostrare che m(Z) = 0 q.c..]

(e) (*) Si mostri che q.c. 0 è un punto di accumulazione di Z, cioè esiste una successione di punti in Z che converge a 0.

[Sugg.: Si ricordino le proprietà delle traiettorie del moto browniano.]

Esercizio 9 (*). Indichiamo con C lo spazio C([0, 1], R) delle funzioni f : [0, 1] → R continue. Sia d(f, g) := kf − gk∞= sup_x∈[0,1]|f (x) − g(x)| la distanza uniforme e sia τ la topologia che d induce su C. Sia dunque B la corrispondente σ-algebra di Borel:

B = σ(τ ) = σ(A ⊆ C : A è aperto)

Un sottoinsieme D ⊆ C si dice cilindrico se D = {f ∈ C : f (t₁) ∈ B1, . . . , f (t_k) ∈ B_k} per un’opportuna scelta di k ∈ N, t1, . . . , t_k ∈ [0, 1] e G₁, . . . , G_k∈ B(R). Sia dunque

F = σ(D ⊆ C : D è cilindrico) .

Scopo dell’esercizio è mostrare che le due σ-algebre B e F coincidono.

(a) Per t ∈ [0, 1] definiamo la proiezione π_t: C → R ponendo πt(f ) := f (t). Si mostri che la funzione π_t: C → R è continua, dunque B-misurabile, ∀t ∈ [0, 1].

(b) Si deduca che ogni insieme cilindrico D appartiene a B, dunque F ⊆ B.

[Sugg.: Si osservi che D = π⁻¹_t1 (G1) ∩ . . . ∩ π⁻¹_t

k(Gk)]

(c) Si mostri che d(f, g) = sup_{x∈[0,1]∩Q}|f (x) − g(x)| (dove il sup è ristretto a Q) per ogni f, g ∈ C.

(d) Poniamo d_f(g) := d(f, g). Si mostri che, per ogni f ∈ C fissata, la funzione d_f : C → R è F-misurabile.

[Sugg.: Si esprima df come limite di funzioni che dipendono da πt₁, . . . , πt_n.]

(e) Detta B(f, ε) = {g ∈ C : d(f, g) < ε} la palla aperta di centro f e raggio ε, si mostri che B(f, ε) ∈ F per ogni f ∈ C e ε > 0.

(f) Ricordiamo che lo spazio metrico (C, d) è separabile (ad esempio i polinomi con coefficienti razionali sono un sottoinsieme numerabile e denso) e dunque ogni aperto è unione numerabile di palle aperte. Si concluda che τ ⊆ F e dunque B ⊆ F .

Soluzione 1. (a) Si noti che C_n = T2ⁿ

i=1{B_i/2n − B_(i−1)/2n ≥ 0}. Per definizione di moto browniano, gli incrementi B_i/2n − B_(i−1)/2n hanno legge N (0, 1/2ⁿ), da cui segue che P(B_i/2n − B_(i−1)/2n ≥ 0) = ¹₂, e sono indipendenti, per cui P(C_n) = Q2ⁿ

i=1P(B_i/2ⁿ− B_(i−1)/2n ≥ 0) = (¹₂)²ⁿ.

(b) Se ω ∈ D, cioè la funzione t 7→ B_t(ω) è crescente su [0, 1], si ha ovviamente Bt(ω) − Bs(ω) ≥ 0 per ogni 0 ≤ s ≤ t ≤ 1, da cui ω ∈ Cn per ogni n ∈ N. Da ciò segue l’inclusione D ⊆ C_n, per ogni n ∈ N.

(c) Per i punti precedenti, si ha che P(D) ≤ P(C_n) = (¹₂)²ⁿ per ogni n ∈ N. Dato che (¹₂)²ⁿ → 0 per n → ∞, segue che P(D) = 0.

(d) Dobbiamo mostrare che P(G) = 0, dove abbiamo posto G := ∃[a, b] ⊆ [0, ∞) t.c. {B_t}_t∈[a,b] è crescente

= [

0≤a<b<∞

D_[a,b], D_[a,b] := {B_t}_t∈[a,b] è crescente .

Con un argomento identico ai punti precedenti si mostra che P(D_[a,b]) = 0, per ogni 0 ≤ a < b ≤ 1. Essendo G un’unione di una famiglia più che numerabile di eventi, non è immediato concludere che P(G) = 0. Tuttavia questo problema si risolve facilmente, notando che è possibile riscrivere l’evento G come unione numerabile:

G = [

0≤a⁰<b⁰<∞, a⁰,b⁰∈Q

D_[a⁰_,b⁰_].

Infatti, se una traiettoria è crescente in un sottointervallo [a, b] di [0, ∞), basta prendere un sottointervallo [a⁰, b⁰] ⊆ [a, b] con a⁰, b⁰∈ Q e chiaramente la traiettoria è crescente anche su [a⁰, b⁰], per cui D_[a,b]⊆ D_[a⁰_,b⁰_]. Come abbiamo notato sopra, P(D_[a⁰_,b⁰_]) = 0 e dunque P(G) = 0.

Soluzione 2. (a) Grazie alla continuità di t 7→ B_t(ω), possiamo ottenere l’integrale come limite (o equivalentemente lim sup) di somme di Riemann:

I(ω) = Z 1

0

Bt(ω) dt = lim sup

N →∞

IN := lim

N →∞

1 N

N −1

X

i=0

Bⁱ

N(ω) .

Si noti che il membro destro di questa relazione è una variabile aleatoria, in quanto lim sup di variabili aleatorie. Essendo I_N = _N¹ PN −1

i=0 Bi N

una variabile aleatoria normale, per ogni N ∈ N, anche il limite q.c. (e dunque in legge) è una variabile aleatoria normale:R1

0 Btdt ∼ N (µ, σ²), e inoltre µ e σ² sono date dai limiti rispetti- vamente di media e varianza delle variabili _N¹ PN −1

i=0 Bⁱ

N

. Questo fornisce un modo per calcolare µ e σ² (esercizio!).

Vediamo un modo alternativo per il calcolo di µ e σ²: applicando il teorema di Fubini^†, si ottiene

µ = E

 Z 1 0

Bt(ω) dt



= Z 1

0

E(Bt(ω)) dt = Z 1

0

0 dt = 0 .

†A questo proposito, occorre essere certi che Bt(ω) sia congiuntamente misurabile in (t, ω), cioè che la funzione (t, ω) 7→ Bt(ω) da [0, 1] × Ω in R sia misurabile. Questo segue dal fatto che le traiettorie di B sono continue, come verrà mostrato nel seguito del corso.

(Si noti che possiamo applicare il Teorema di Fubini perché la funzione |Bt(ω)| è integrabile: infatti E(|Bt(ω)|) =√

t E(|N (0, 1)|) = c√

t e dunqueR1

0 E(|Bt(ω)|) dt ≤R1 0 c√

t dt < ∞.)

In alternativa, si poteva dedurre che µ = 0 notando che la variabile R1

0 B_tdt è simmetrica, cioè ha la stessa legge di −R1

0 Btdt, perché sappiamo che {−B_t}_t è un moto browniano.

Per calcolare la varianza σ², si osservi che possiamo scrivere σ² =

 Z 1 0

B_t(ω)

2

= Z ₁

0

Z ₁

0

B_t(ω) B_s(ω) dt ds . Applicando ancora il Teorema di Fubini si ottiene

σ² = Z 1

0

Z 1 0

E(B_t(ω)B_s(ω)) dt ds = Z 1

0

Z 1 0

min{s, t} dt ds ,

e dato che l’integrando è simmetrico in (s, t), possiamo restringere il dominio a {(s, t) : s ≤ t}, ottenendo

σ² = 2 Z 1

0

dt

 Z t 0

min{s, t} ds



= 2 Z 1

0

dt

 Z t 0

s ds



= 2 Z 1

0

dt t² 2



= 1 3. In definitiva, R1

0 B_tdt ∼ N (0,¹₃).

(b) Dato che B₀ = 0 q.c., si ha che Z := inf_t∈[0,1]B_t ≤ 0 q.c., cioè P(Z ≤ 0) = 1.

L’unico caso di legge normale con questa proprietà è costituito dalla delta di Dirac in µ ≤ 0 (perché?), quindi si dovrebbe avere Z ∼ N (µ, 0), cioè Z = µ q.c.. Ma questo è impossibile, perché, qualunque sia µ, si ha che P(Z < µ − 1) ≥ P(B₁ < µ − 1) > 0, essendo B₁ ∼ N (0, 1).

Soluzione 3. (a) Per la proprietà di scaling del moto browniano, B_t/√

t ∼ B1 ∼ N (0, 1), dove ∼ indica l’uguaglianza in legge. Di conseguenza, posto

Cα := E(|B1|^α) = 1

√2π Z

R

|x|^αe^−x2/2dx < ∞ , possiamo scrivere

E(|B_t|^α) = t^α/2 E

   

B_t

√t    

α

= t^α/2 E(|B₁|^α) = C_αt^α/2.

Chiaramente C_α > 0, mentre la proprietà Cα< ∞ segue dal fatto ben noto che le variabili normali hanno momenti finiti di ogni ordine (oppure si mostra con una semplice stima nell’integrale).

(b) La densità f_t1,...,tk(x₁, . . . , x_k) del vettore (B_t1, . . . , B_tk) è stata calcolata a lezione.

In particolare, sappiamo che f_t1,...,tk(x1, . . . , x_k) > 0 per ogni x1, . . . , x_k ∈ R. Dato che l’insieme I₁× . . . × I_k ha parte interna non vuota, e dunque misura di Lebesgue positiva, si conclude che

P(Bt1 ∈ I₁, . . . , Btk ∈ I_k) = Z

I1×...×I_k

ft1,...,tk(x1, . . . , xk) dx1 · · · dx_k > 0 .

(c) Introduciamo l’evento C_n := {sup_t∈[0,1]B_t > n} per n ∈ N. Chiaramente la successione di eventi {C_n}_n∈N è decrescente, cioè C_n+1 ⊆ C_n, e il loro limite è

C∞ := \

n∈N

Cn =

 sup

t∈[0,1]

Bt= +∞

 .

Sappiamo che q.c. la funzione t 7→ B_t è continua, quindi sup_t∈[0,1]B_t < +∞ q.c., cioè P(C_∞) = 0. D’altro canto, per la continuità dall’alto della probabilità si ha che P(C_n) → P(C∞) per n → ∞, e la conclusione segue.

Soluzione 4. (a) Per la disuguaglianza di Chebychev, usando la relazione richiamata nel testo dell’esercizio si ha

P(|S_π(n)− t| > ε) ≤ E[(S_π(n)− t)²]

ε² = c

ε²

kn

X

i=1

(t⁽ⁿ⁾_i − t⁽ⁿ⁾_i−1)²

≤ c ε² |π⁽ⁿ⁾|

kn

X

i=1

(t⁽ⁿ⁾_i − t⁽ⁿ⁾_i−1) = c t ε² |π⁽ⁿ⁾| , e dato cheP

n∈N|π⁽ⁿ⁾| < ∞ per ipotesi, anche P

n∈NP(|S_π(n)− t| > ε) < ∞.

(b) Definiamo l’evento

Aε := {|S_π(n)− t| > ε per infiniti n} = lim sup

n→∞

{|S_π(n)− t| > ε} .

Grazie al punto precedente, per il lemma di Borel-Cantelli si ha P(A_ε) = 0, per ogni ε > 0. Definendo A :=S

k∈NA1 k

, si ha dunque P(A) = 0 e quindi P(A^c) = 1.

D’altro canto, se ω ∈ A^c, per costruzione vale che, per ogni ε > 0, esiste n₀ = n0(ω) tale che |S_π(n)(ω) − t| ≤ ε per n ≥ n₀(ω) (perché?). Quindi S_π(n)(ω) → t per n → ∞ quando ω ∈ A^c, e l’esercizio è concluso.

Soluzione 5. (a) X è un moto browniano perché le sue componenti sono funzioni lineari delle componenti dei due processi gaussiani indipendenti B e β.

Più esplicitamente, dobbiamo mostrare che ogni combinazione lineare delle componenti di X è una variabile aleatoria normale. Per ogni scelta di n ∈ N, t₁, . . . , t_n∈ [0, ∞) e a₁, . . . , a_n∈ R possiamo scrivere

n

X

i=1

a_iX_ti =

n

X

i=1

a_iB²

3ti

!

−

n

X

i=1

a_iβ¹

3ti

! .

Le due variabili che compaiono tra parentesi sono indipendenti, perché i processi B e β sono indipendenti; inoltre ciascuna variabile è normale, perché combinazione lineare delle componenti di un processo gaussiano. Segue chePn

i=1aiXti è normale in quanto differenza di variabili normali indipendenti. Il processo X è dunque gaussiano.

(b) Notiamo che X ha q.c. traiettorie continue, poiché le traiettorie di B e β sono q.c.

continue. Inoltre E(X_t) = E(B²

3t) − E(β¹

3t) = 0 per ogni t ≥ 0, mentre per s < t Cov(X_s, X_t) = Cov(B2

3s, B2

3t) − Cov(B2 3s, β1

3t) − Cov(β1 3s, B2

3t) + Cov(β1 3s, β1

3t)

= min 2 3s,2

3t



− 0 − 0 + min 1 3s,1

3t



= 2 3s +1

3s = s = min{s, t} .

Dato che X è un processo gaussiano per il punto precedente, segue da una nota caratterizzazione (Teorema 2.8 delle dispense) che X è un moto browniano.

(c) Analogamente al punto (a), X_t e Y_t sono congiuntamente normali perché una qualunque loro combinazione lineare è normale: infatti per a, b ∈ R possiamo scrivere aX_t+ bYt = a(B²

3t+ B¹

3t) + b(β²

3t− β1

3t) e le due variabili tra parentesi sono normali indipendenti.

Essendo congiuntamente normali, le variabili aleatorie X_te Y_tsono indipendenti se e solo se sono scorrelate. La verifica che sono effettivamente scorrelate è immediata:

Cov(X_t, Y_t) = Cov(B²

3t, β²

3t) + Cov(B²

3t, B¹

3t) − Cov(β¹

3t, β²

3t) − Cov(β¹

3t, B¹

3t)

= 0 + min 2 3t,1

3t



− min 1 3t,2

3t



− 0 = 1 3t − 1

3t = 0 .

(d) Basta mostrare che X_s e Y_t per 0 < s < t < ∞ non sono scorrelate, cioè Cov(Xs, Yt) 6= 0.

Cov(X_s, Y_t) = Cov(B²

3s, β²

3t) + Cov(B²

3s, B¹

3t) − Cov(β¹

3s, β²

3t) − Cov(β¹

3s, B¹

3t)

= 0 + min 2 3s,1

3t



− min 1 3s,2

3t



− 0 = min 2 3s,1

3t



− min 1 3s,2

3t

 . Dato che per ipotesi s < t si ha a maggior ragione ¹₃s < ²₃t e dunque min₁

3s,²₃t =

1

3s. Distinguiamo ora due casi:

• se s < ₂^t allora min₂

3s,¹₃t = ²₃s e quindi Cov(X_s, Y_t) = ²₃s − ¹₃s = ¹₃s 6= 0;

• se s ≥ ₂^t allora min₂

3s,¹₃t = ¹₃t e quindi Cov(X_s, Y_t) = ¹₃t −¹₃s = ¹₃(t − s) 6=

0.

In ogni caso Cov(X_s, Y_t) 6= 0 per 0 < s < t < ∞, come volevasi dimostrare.

(e) Ragionando come al punto (a) si ha che Z è un processo gaussiano. Le traiettorie di Z sono q.c. continue, perché lo sono le traiettorie di B e β. Si noti che

Z_t= aB2

3t+ bB1

3t− aβ1

3t+ bβ2

3t, (1)

da cui segue che E(Z_t) = 0 per ogni t ≥ 0, perché B e β sono due moti browniani e dunque le loro componenti hanno media nulla. Infine, ricordando che le componenti di B e quelle di β sono indipendenti e dunque scorrelate, dalla relazione (1) otteniamo che, per 0 ≤ s < t,

Cov(Zs, Zt) = a²Cov(B²

3s, B²

3t) + ab Cov(B²

3s, B¹

3t) + ab Cov(B¹

3s, B²

3t) + b²Cov(B¹

3s, B¹

3t) + a²Cov(β1

3s, β1

3t) − ab Cov(β1 3s, β2

3t) − ab Cov(β2 3s, β1

3t) + b²Cov(β2 3s, β2

3t)

= a²2

3s + ab min 2 3s,1

3t

 + ab1

3s + b²1

3s + a²1

3s − ab1

3s − ab min 2 3s,1

3t

 + b²2

3s

= (a²+ b²)s = s = min{s, t} .

Per la già citata caratterizzazione del moto browniano come processo gaussiano (Teorema 2.8 delle dispense) si ha dunque che Z è un moto browniano.

Soluzione 6. (a) Per l’invarianza di scala del moto browniano P(C_n,s) = P |Bs|

√s ≤ n√ s



= P |B₁| ≤ n√ s
.

Quindi, per n fissato, lim_s↓0P (|B₁| ≤ n√

s) = P(B₁ = 0) = 0, per la continuità dall’alto della probabilità. Dato che P (|B₁| ≤ n√

s) = ^√1

2π

Rn√ s

−n√

se^−x2/2e la funzio- ne x 7→ e^−x2/2 è continua in x = 0, per il teorema fondamentale del calcolo si ha che per s ↓ 0

P(Cn,s) 2n√

s = 1

√ 2π

 1

2n√ s

Z n√ s

−n√ s

e^−x2/2dx



−→ 1

√

2πe^−x2/2

x=0 = 1

√ 2π . (b) Se ω ∈ D_n,t, per definizione si ha |B_u(ω)| ≤ nu per ogni u ∈ [0, t]. In particolare,

per s ≤ t si ha |B_s(ω)| ≤ ns, quindi ω ∈ Cn,s. Questo mostra che D_n,t⊆ C_n,s. (c) Per il punto (b) si ha D_n,t ⊆ C_n,s e dunque P(D_n,t) ≤ P(Cn,s), per ogni 0 < s ≤ t.

Quindi P(D_n,t) ≤ lim_s↓0P(C_n,s) = 0, per il punto (a). Dato che chiaramente P(Dn,t) ≥ 0, segue che P(Dn,t) = 0.

(d) Prendiamo ω ∈ Ω tale che la funzione t 7→ B_t(ω) sia derivabile in zero, con derivata prima c, cioè B_t(ω)/t → c per t ↓ 0. Per definizione di limite, esiste t₀ = t₀(ω) tale che |B_t(ω)/t| ≤ 2c per ogni 0 < t ≤ t₀. Scegliendo k ≥ 1/t₀ e n ≥ 2c, si ha dunque che ω ∈ D_n,k, e l’inclusione è verificata.

(e) Usando la subattitività della probabilità e i due punti precedenti si ottiene

P(A) ≤ X

n,k∈N

P(D_{n, 1/k}) = 0 .

Soluzione 7. (a) Per il principio di riflessione P(S_t< a) = P(|B_t| < a) = 2

√2πt Z a

0

e^{−2t1 x2}dx , da cui, derivando rispetto ad a, si ottiene

f_St(x) = 2

√2πte^{−2t1 x2}1_(0,∞)(x) . (b) Per il principio di riflessione e la proprietà di scaling

P(τ_a≤ t) = P(|B_t| ≥ a) = P(|B₁| ≥ ^√a

t) .

(c) Dalla formula ottenuta al punto precedente e dalla continuità dall’alto della proba- bilità si ha

P(τ_a= ∞) = lim

t→∞P(τ_a> t) = lim

t→∞P(|B₁| < ^√a

t) = P(|B₁| = 0) = 0 . (d) Abbiamo visto che

P(τ_a≤ t) = P(|B₁| ≥ ^√a

t) = 1 − P(|B₁| ≤ ^√a

t) = 1 − 2

√ 2π

Z a/√ t 0

e^−x2/2dx , da cui derivando rispetto a t si ottiene

fτa(t) = − 2

√

2πe^−a2/(2t)



−1 2

a t^3/2



1_(0,∞)(t) = a

√

2π t^3/2 e^−a2/(2t)1_(0,∞)(t) . Inoltre

E(τ_a) = Z ∞

0

t f_τa(t) dt = a

√2π Z ∞

0

e^−a2/(2t)

√t dt = +∞ , dove la divergenza dell’integrale è dovuta ai valori grandi di t.

(e) Ponendo A_m := {τ_m < ∞}, sappiamo che P(A_m) = 1 per ogni m ∈ Z e dunque P(A) = 1, dove anche A :=T

m∈ZAm.

Per costruzione, se ω ∈ A si ha che τ_m(ω) < ∞ per ogni m ∈ Z e dunque B_τm(ω)(ω) = m: in particolare, la sottosuccessione {B_τn(ω)(ω)}_n∈N ha limite +∞

mentre {B_τ−n(ω)(ω)}_n∈N ha limite −∞. Questo mostra che, per ogni ω ∈ A, si ha lim sup_t→∞Bt(ω) = +∞ e lim inft→∞Bt(ω) = −∞. Dato che P(A) = 1, segue la tesi.

Soluzione 8. (a) P(t ∈ Z) = P(B_t= 0) = 0 perché Bt∼ N (0, t).

(b) L’evento {Z ∩ (Q ∩ (0, ∞)) 6= ∅} =S

t∈Q∩(0,∞){t ∈ Z} è unione numerabile di eventi con probabilità nulla, dunque ha probabilità nulla.

(c) Sappiamo che per q.o. ω la funzione t 7→ B_t(ω) è continua, quindi l’insieme Z(ω) è chiuso, essendo controimmagine dell’insieme chiuso {0}.

(d) Per il teorema di Fubini, E(m(Z)) =R∞

0 E(1_Z(s)) ds =R∞

0 P(s ∈ Z) ds = 0. Dato che m(Z) ≥ 0, segue che m(Z) = 0 q.c..

(e) Sappiamo che q.c. il moto browniano cambia segno infinite volte in ogni intorno destro dell’origine, grazie alla legge del logaritmo iterato. Per la continuità delle traiettorie, q.c. esiste una successione {t_n}_n∈N = {tn(ω)}_n∈N tale che t_n ↓ 0 e B_tn = 0, cioè t_n∈ Z.

Soluzione 9.