• Non ci sono risultati.

Ideali Abeliani di Sottoalgebre di Borel di Algebre di Lie Semplici Complesse

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Ideali Abeliani di Sottoalgebre di Borel di Algebre di Lie Semplici Complesse"

Copied!
86
0
0

Testo completo

(1)

���������� �� ����

������������ �� ���������� ����� �� ������ ���������� �� ����������

���� �� ������ ����������

������ �������� �� ������������ �� �����

�� ������� �� ��� �������� ���������

��������� ���������� ����� ������ ����� ������ �� ����� ��������������� ����� �������� ���� ���� ���������� ���������

(2)
(3)

������

������������ � � ������ �� ������� ���� � ��� ����� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ������ ����� ����������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ������� ����� ��������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ �������� �� ������� �� ����� �� ��� ���������� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������������� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� �� ������� �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������ �������� � ������ �������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ����������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������ ����������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� �� ���� ������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ������� �� ���� An� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ������� �� ���� Cn � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ��������� B3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ������� �� ���� Bn ��� n > 3 � Dn� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ��������� F4 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ������� ��������� �������� ���� �� ��� ������� �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ���� � � ������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������ ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ���� � ������ �������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� �� ���� ����� ������� �� ���� Bn � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����������� �� �������������� �� ���

(4)
(5)

������������

�� �������� �� ����������� ����� ����� ��� ������ �������� �� ��� ������������ �� ����� b �� ���������� �� ��� �������� ��������� g ���� �� ��� ������� �� �� �������� �� ������� ������� ���� ����������� ��� ���������� L ����� ���������� �� �� ������ �� ��� ��������� �� ���� �������� ����� ��� �� ����� ����� ����� �� ���� �� ������ ��� ������ �������� �� ��� �������� ��������������� ������������ Λg� ��� ��������� ������ ���� ����������� �� ���������� ������� ��� L� ���� �� ������������� �� ���� ��������� ����������� ��� ��� ������ �������� � ��������� ��� ���� ������� �� ����� � ����� ������������ ������� � ���� ���������� �� ������� �������� ��� ����� ������ �������� ����� ������������ �������� �� ���������� �� ��� g ������ ������� ���������� ��� ���� ������ ����� ����� ��� �� ������� ����������� �� �� ������� �� ������� n × n ����������� ������������ ��� ��������� ��� ���� � ����������� �n2 4 � + 1� ���������������� ��� ��� ���� ��� � ��� ���� ��� �������� �� ����������� �� ������ �� ����� � ������� �� ���������� � ������������� ���� ��������� ��� �� ������� �� ��� ��������� ��� ����������� �� ����� ������ ������ �� ������� �� ���� ������������ ���� �������� �������� �� ������ ����� ������ � ���� ����� ����� ������ ���� ������ ����� ������ �������� � ����� �� ������ ������� ��� ����� ������ �� �� ��� �������� ����� ������ ��� �������� �������������� ������ � ���� ��������� ��� �������� �������� ������� ����� ���������� ������ �� ������ �� ������ �������� �� ��� ������������ �� �� ����� B �� ���������� �� ��� �������� g � ������ � 2rkg �� �������� ���������� �� �������� ����� ����� �� ���� �� ��������� ������ ��� ����������� �������� � ��� ����������� ��������� �� ��������� ����� �������� ���������� ��� ������ �� ���� ���� ��������� �� ������� �� ������ �� g� ��������� �� ������ ������������ �������������� ����� ����� �� ���� � �������� ����� �� �������������� �� ������� � ���� ��� ��� ���� ��� ������������� �� ������ ��������� �� �������� ���� ������ ���������� � ����������� �� ������� ����� ������ ���� ���� ���������� ��� � �� ��������� ���� ����� �� ��� ����� ��� �� ����� ����� ����������� ��� ��������� ��� ������ �������� ��������� � ������ �������� ������� �� ���� �������� ����� �������� ��� ��������������� �� ������ ����� �������� ��������� ��� ����� ��� ������� �� ����� ���� ��� ������������ ����� ��������� ��� �� ��������� ������������ ������������ � ������� ��� ����������� �� ��������� �������� �� ������� ����� ���� ��� ���� ���� ����� ������ ������������ ����������� �

(6)

����� ���� �������� ���������� ������ ������ ���������� ���������� � ����������� ������ ������������� �� ����� ������ �� ��������� ��� � ����� ������ ��������� �� ��������� � �� ������� � ����� ��� ����� �������� ���������� �� ����� �������� ��� ������ �� ���� ���� �� ��� �� ���������� �� ��������� � ���������� ����� � �������� ��������� ���� ������ ����� ������ ��������� ��� ������� �������� ����������� ������ ��������� ����� ������ �������� �� B� ��� ��� ��� ������������� ��� ��� ������ ������� �� �������� ���������� ������ ��������� ���������� � �������������� ���������� ��� �� ������� ��� ����������������� �� Ab� ��������� ����� ������ �������� �� B� ��� ����� ��� ������� ����� ������������� �� ��������� �������� �� ������ �� �W� ����������� �� ������ ����� ������ ����� ������ �������� �������� �� �������� ���������� ������� ������ ��� ������ ��������� �� Ab ���� �� ��������� ��� �� ������ ������ �������� �� Φ� � �������� ��� ����������� ��������� ����� ������ ��������� ��� �� ������� �� ���� An� Bn� Cn� Dn � ��� �� ������� ����������� G2 �� F4� ���������� ����������� ���������� �� ������ ��� ��� ������ �������� � �� ��������� ��� ���������� ����� ����� ������ ��������� ��� ������� ������� �� ������ ����� ������ �������� �� ������� ���������� ������������� �� ������ ����������� ���������� �� ��������� ���� �� ��� ����� ����� �� �������� ��� �� ����� ����� �� ����� ��� ������ �������� ������ � ������ ����������� ������������ �� �������� ��� �� ��� �������� g ��� ���� �� ��� ���� ��� Z2���������� �� �������� �� ����������� ���� ����������� ������� ����� ������������ ��� ����������� ������ � ������ ������� �� ������� �� ���� � ������ ������������ ������ �� ������ ���� ������������ �� ���������������� �� ���������� ������ ��������� �� ��������� � ����� ��� ��������������� ���������������� ��������� � ������������� �� �������� ��������� �������� � ���� �� ���� �������� ��������� ������������ ����� ������ ����� ������ �������� ������ ��������� ��� �������� �� ��� ���������� ���� ������ ��� ������� ��������� �������� ���� �� �� ������ �� ���� W � �������� � ������� �������� �� ��������� �� ��� ���� � ���������� ����� ������ ��� �� ������� ��������� �������� ��� ��� �� ������ �� ���� W � �� ������������ F ⊂ W ���� ��� w∈F N (w) = Φ+ � ���� ��� ��� �� ����� ���� ������������ ���������� �� ������ ���������� ����� ���� ������������� �� ������������ �� ������ ������� � �������� �� ����������� �������� �� ��������� �� ���� ��� �������� �� ������� ��� ���� � ������� ������������ ����� ������ �� �� ������ �������� ��������� ��� ���� �� ������� ������ ������ �������� �� ��� �� ������������� ������ �� �������� �� ������ ��� ����� �������� �� ���������� ��������� ��������� ������ ����� �� ���� ��� ��������� �� ������� ����������� �� �� ������� ��������� �������� ��� ��� � ������ �� ���� ��������� �� ������� �� ������ �� ���� An � Bn � ��������� ��� �� ���� ��� � ������ �������� �� �� ��� ����������� ���� �������� �� ������� ���������� �� �� ���� ����� ��� ���� ������������ ����������� �� ���� G2�

(7)

��� ��� ���� ������ ��������������� � ����������� � ��� ���������� ���� ��������� ����� ����� ��� ��������� ����� ���������� �������� ���������� ���� ������ ����� ������ ����� ������ ��������� ���������� ����� �� ������� ����������� �� ���������� ������� ����������� ������ ��� ���� ��� ��������������� ���������� �� ����������� ��� �������� ���� ����� ���� ��� ������ �������� �� ������ ��������� ��� �������� ���� � ���� ��� ��� ��� �������� � ���� � ���� � ��� ��� ��� ��� �������� �� ������� ������������ ����������� ����� ���������������� �� ����������

(8)
(9)

�������� �

������ �� ������� ����

�� ������ ����� �������� ����������� ������������ ������ ����� ���������� � ��������� �������� ����������� � ������ �� ������� ���� ��� ��� ����������� ����� ������������� �� ������ ����� ������� ��� ������������ ���������� �� ��������

��� ����� ����������

��� Φ �� ������� �� ������ �� ��� ������ �������� V � ��� Δ = {α1, . . . , αr} ��������� ����� ��� ������ ��������� �� ���� ������ α ∈ Φ ���� ��������� ���������� α∨ ������� ���� 2α (α, α) �� �� ���� ��������� ������������ �������� ��� ωα� ��� ������� ����������� ��� θ�� ������ ��� ����� ��� Φ ������� �� ������ ��� ������� �������� ��� ������� ����� � ��� ρ�� ��������� ����� ������ ��������� �� �� Φ �� ������� ���� ������ �� �������� ��������� ������ ��� �� ������� � ������ ����� ����� �� ���� ADE�� ����� ����� ���� ������ �������� �� �� ������� �� ������ ���������� ������ �� ������ ���� ������������ �� ��������� Δl� Δs ���������������� Φl � Φs� ��� �������� ��������� ����� ������ �������� ������ � ��������� ����� ������ �������� ����� ���������������� ����� ������ ������ � ����� ������ ������ � θs ���� �� ������ ����� ��� ����� ��� Φ� ��� ������� ���������� ��� �� ������� ������� ��� �� ������� ������������ ��� ������� �� ������ ��������� ���� ������� �� ��� �������� � ��� ���� ������ �� ����� ���� ���� ���������� �� ������� �� ��� � ���� � �� ���� ������ ������� �� ����� ��� �� ��� �������� ����������� �������� ����� ����������� ���������� �� ����������� ������������� �� ������ �� h∗ ������������ �� ���� ���� ��� ||ρ + θ||2− ||ρ|| = 1 ����� ������� ���� ����������� � ��������� �� ������� �� ������������� ��� ����������� �� ������� ��� ��� ������� ��� �������� �� ���� ��������������� �� ����� ����� ����� ������������ ��� ����������� ����������� ������� • ���������������� � ����� ����������� �� ����������� � �������� ������� ��� ||ρ + θ||2− ||ρ|| = 1 �� � ���� �� ���� �������������

(10)

||θ||2+ � α∈Δ+ ni||αi||2= 2(ρ, θ) + (θ, θ) = 1 ����� • ���������������� � ����� ����������� ������������ ��� �� ������ �� ������� ���� �� h∨� ������� ���� �� �������� (ρ, θ) + 1� ������ ��������� � �������� ������� ��� 2(ρ, θ) + (θ, θ) = 1⇐⇒ 2(ρ, θ) (θ, θ)+ 1 = 1 (θ, θ) �� ��� ��������� �� ������� ����������������� ����������� 1 (θ, θ) = (ρ, θ ∨) + 1 = h����� ������������ ��������� ����� ���������� �������� S = {sα1, . . . , sαn} ��������� ���� ��� ���� ��������� ���������� ��� �� ������ �� ���� W �������� � Φ � ������� ���� �� ������ �������� �� S� ���� ������ � �� ������� ����� �������� ������ ��������� �������� ��� ���������� ����������� �� ������� �� ������ Φ� ��� ���� ��������� ������������ ���������� �� ��� ������ ��� � ����� ��� ������ ��� ���������� � ��� ����������� ���������� ��� ����� ������� ��� C �� ������ �� ���� ������������� ������ �� �������� �� ����� �������� ������������ ����� ��� H+ α,0� ���������� ������� ��� ���� ������� ������ �� ������� ������ ������� ��� �������� �� W �� h∗� �� �� ������� �� ������ Φ �� ��� ���� ��������� �� ����� ������� ������ ����� �������� ���� �� ���������� ���� � � ��� ������ ���������� ������ �� ���� ����� ��� ������� �� ������ ��� ���������� ����������� �� ��������� �� ��� ������ ��������� �� ��� ������ �� ����� ��� �� ��������������� �������� � ��� �� ������������� ��� ��������� ��� ������� ��� �������� �� ���������� ���� ���������� ���������� ���� �� ���������� sϕ, k �������� ������������� ���� Hϕ,k = � v∈ V |(v, ϕ) = k 2 � ������� �� ����������� ��� �� ���������� ���� sϕ, k������ ���� �� ������������ ����� ���������� sϕ, 0 ��� �� ����������� ��� �� ������� kk2α∨� ���������� ��� ������� �� ���� ����� ���������� ��� ��� �������� ��������������� ��������� �������� �� ������ �� ���� ���� �W ���� �� ������ �������� �� {s1, . . . , sr} � ����� ���������� ���� sθ, 1� ������� ��� �� ������ �� ���� �������� � �� ����������� �� �W� ������� �� ���������� ���� ��� ���� sαi, 0 ��� ���� ����� ��� �� ���������� �������� ��� �������� W � �� ��� �������� ��� �� ������ �W � ���������� ���� �������� ����������� ��� ������ �� ���� �� Φ��� �� ������ ����� ����������� �������������� �� �������� ����� ��������� ���� ���� ��� � ������ �� ���� ��� ������� �� ������ ��� ����� ��������� �� ������� ������������ ��� �������� �� �W ������ �� ����� �� ����������� ��������� ����� �� ������ �������� ��� �� ����� ���������

(11)

���� ����� ����������� � ���������� ���� �������� �������� ������������ Ao���� �� ��������� ���������� ����� ��������� ��� ���� Hαi, 0 ��� αi ∈ Δ � �� Hθ, 1� ������� �� ����������� ���� ��� �������� �� ��� ������ ��������� � ������� �� Ao ������� �� ���� ���� � ����� ��� ���� ω α/2||α||2nα� ���� nα � �� ���������� �� α ����� ��������� �� θ� �� ���������� ���� Ao �� �������� ������ �� ������� ������������ ��� �������� ����� ���������� ����������� �� �W� ���������� ������ �� ��������� ��������� ��� ���� wAo �� w∈ �W� ������������ �� �� ����� �� ����� kAo := {v ∈ V |0 ≤ (v, α) ≤ k ∀α ∈ Φ+}� �������� ��������� �������� Ao �� �� ������� k� � ���������� ��� ���� ��� ���� H α, 0 ��� α �������� � ��� ���� Hθ, k� ���� ��� ��������� ������ ������������ ������������ ����������� �� �W� • �������� ��� ��� ���������� �������� ����� ������ �������� ��� ������� �� ������ �������� ������������ ��� �� sϕ ∈ W ������ si · sϕ · s−1i = ssi(ϕ)� ������� ������ ����� �� ����������� t(v) ��� si ��������� �� ����������� t(si(v))�� ��� ��������� �������������� ��� si· sϕ, k· s−1i = si· t(kϕ∨)· s−1i · si· sϕ· s−1i = t(ksi(ϕ)∨)· ssi(ϕ)= ssi(ϕ), k �� ��� ��������� �� ����������� ��� �� ����������� t(ϕ∨) ��� ϕ ∈ Φ ���� ����� �������� �� �W� • �������� ��� ��� ����������� �� ������ ����� ��������� ���� �������� �� ����������� ����� �������� �� �W� ������������ �� ����������� t(kα∨) � ���������� ���� ������ t(kα∨)· sϕ, h· t(−kα∨)��� ������� ������� w� t(kα∨)· sϕ, h· t(−kα∨)(w) = t(kα∨)· sϕ, h(w− kα∨) = = t(kα∨)(w− kα∨− (w − kα∨, ϕ)ϕ∨+ hϕ∨) = w− (w, ϕ)ϕ∨+�h + (kα∨)�ϕ∨ ������ ��������� ��� t(kα∨)· sϕ, h· t(−kα∨) = sϕ, h+k(α∨, ϕ) • �������� ��� ��� ���������� ���� ���������� � ��������� ���������� �� ����� ��� ���� �������� �� �W �� ����� �������� ���� �������� �� �� �������� �� W ��� ��� ������������ ��������� ���� �� �w = wt������ � wsα, kw�−1= swα, l ��� �� ��������� l ∈ Z� �� ��������������� ������ ���������� ����� ����� ����������� ������ ��� �� ���� �������� �� ������ ρ

(12)

����� ������ ��� �������� ������ ������� �� ������ ρ ������� ������ ������� ���� ������ �������� �� Ao �������������� ���������� ��� �� Ao ������ �� ����� ���� ������ �������� λ � ��������� λ = �ibiωi� ��������� θ ���� θ = �jcjαj � ���������� ��� λ ���������� ���� ����� ������� �� Ao ������ ��� 1 2 > (λ, θ) = (λ, θ ∨)1 2||θ|| 2= � � i bici � 1 2h∨ �� ��� ��������� ��� � bi ������ ������ ����� ������ � � � ������ λ = ρ� ������� ����� ������ ��������������� �� �� ��� �� ���������� sθ, 1 ������ �� ρ �������� ����� ���� �� ����������� �� θ� ������� sθ, 1(ρ) = ρ− 2(ρ, θ)− 1 (θ, θ) θ = ρ + θ ������ ��� �������� ���������� �� ������ �� ���� ���� ��� �� �� ������ �� ������ ����� ������ ��� �������� ��� ������ �� ������� �������� � ����� ������ �� ���� ��� h ��������� ������ �� ���������� �������� g � ������������ �� ������ ���������� V = h∗⊕ < δ >R ⊕ < Γ >R� ���������� �� �������� ��������� �� h∗ �� �� �������� ������� ��� �������� �� ����� V ��������� ��� δ � Γ ����� �������� � ���������� � h∗ ������� (δ, Γ) = 1� ������������ ������ ��������� � Δ = Δ∪ {α0} ���� ������� ����� α0= δ− θ� ��������� ����������� �� �������� ������� ������ ������ �� V � �� ���������� si �������� ���� ������ �� �Δ���� si(v) = v− 2(v, αi) (αi, αi) αi ���������� ��� ������� �� ���� ����� ���������� ��� �� ������ �� ���� ���� �W ��������� � Φ � �� ������ ����� �������������� ���������� �� h+⊕ < δ > R ⊕ < Γ >R �������� ����� si ������ �������� �� ��� ���������� ���� ���� �������� ��� ����� �� ��������� ������� �� ��������� �� �W ������������� �������������� �� ����������� E = {x ∈ V | (x, δ) = 1}� ������ ������� ��� sδ−αi(v + Γ) = v + Γ− 2(v + Γ, δ− αi) (δ− αi, δ− αi) (δ− αi) = = v + Γ− 2(v + Γ,−αi) (αi, αi) (δ− αi) = v + Γ− 2(v + Γ, αi) (αi, αi) αi+ α∨i + 2(v + Γ, αi) (αi, αi) δ = sα1, 1(v) + Γ + 2(v + Γ, αi) (αi, αi) δ

(13)

���� ����� ����������� � � ������� ��������� ��� π �� ���������� �� E �� h∗� ��������� ��� sα i, 1 ����������� ����������� � sδ−αi� ������ ������� �������� ��� π(sδ−αi) ������ ����������� ���� sαi, 1 �� ��������� ������������� h∗⊕ < δ >R+Γ mod δ� � �������� ��������� ��� ������ �� �������� �� �������� �� ���� �� ��������� �� ��� ���������� ���������� ����� �������� �������������� ������ �� ��� �������� ��� ������ �W � ��� ������ �W� ���� ������������� ����� ��� ���������� ����� �� ����� ��� ��������� �� ����������� ��� ���������� ������ ���� �� �������� ������������ ��������� ������ � ���������� �� ����� ������ ������������� ��� ������������� ��� ������� ����������� ����� ������ ������ ����� ���������� ��� ������������ ���� �� ����� ���������� ������ ����������� ����������� �� W � �� �W� ���������� ���� ��� ϕ ∈ Φ ��� ������� �������� W⊥ϕ ⊂ W ���� �� ����������� �������� ����� ���������� sαi ���� ��� (αi, ϕ) = 0� �� ����������� ������� ��� W⊥ϕ � �� ����������� ����� �� �W ���������� ���� ��� ϕ ∈ Φ ��� ������� �� (θ, ϕ) = 0 ����������� ��� �W⊥ϕ ⊂ �W �� ����������� �������� �� W⊥ϕ � �� sθ, 1� ���������� ������� �W⊥ϕ= W⊥ϕ� �� ���������� ��������� ��� ����� �������� ������ �� ��������� ������� ����� �������� �� �W �� ������� ��� ���� ����������� ���������� ��� ���������� �� �� �������� �� �W�� ��� w ∈ �W� ������ �������� �� ��� ��������� �(w) ���� �� ������ �� ������������ ���� Hα, k ��� �������� �� ������ Ao � wAo� �� ����������� �� ������ ���� ���� ���� ��� �������� ��� ������ �� ���� ��������� ���� ��������� � ���� �� ������ �� ���������� �������� �� ��� ��������� ������� �������� �� w� ���������� ���� ���� ��� ������ A � A� ��� �������� �� ������ �� A �� A�� ��������� k � ��� ����������� �� ������ {A0, . . . , Ak} ���� ��� �� �� ����� ��� A0 = A�� Ak= A�� �� ��� ���� i �� ������ Ai �� Ai+1 ����� ���������� �� ��� �������� ��� ������ i � j ���� ��� Ai = Aj� �� ��������� �� w ��� ������ ������ �������� ���� �� ������ ��������� �� ��� �������� �� ������ ��� ����� �� Ao � ������ �� wAo ������� �� ����������� ��� �� s1· . . . sk � ��� ��������� ������� ��� w ∈ �W� ������ �� ������ A, s1A, . . . , s1· . . . skA ���� ����� �������� ���� �� ������������ ����������� �� �W ����� ������� � ���� � ��� � ��� ���������� ��� �������� ��� ������ �� ���� �� ��������� �� �� �������� w ��������� �� �� ������� �� ������ Φ ��� ������ ����� �������� ���� ����������� ������������ N (w) ={α ∈ Φ+| w−1(α)∈ Φ}

(14)

���������� ���� ���������� ��������� N(w) ����� ������� ������� �� ���������� �� w� ��� ������� �� ���������� ������� � ������������ ��� �������� �� ��������� ���� ��� �� ��� �� ����� ���������� ��������� ��� ����� �� ���� �� �������� �������� ��� ������� �� ���������� �� �������� �� �� ������ �� ����� ������� ������ ����� w � w� ��������� �� �� ������ �� ���� W � ����� N(w) �� N(w) � ���������� ������� �� ����������� ������ ������ ��� w = w� ⇐⇒ N(w) = N(w�) �������������� �������������� � ������������ ��������� ��� ��� ��������� ����� ���� ������ �� w ��� �� N(w) = N(w�) ������ w = w� ������� ������������ ��� ������ N (w) = N (w�) ������ ��������������� �(w) = �(w�)� ���������� ��� ������������ • ���� ����� �� �(w) = �(w�) = 1 ������ N(w) = N(w�) = {α} ��� ��� ������� ������ �������� α� ������ ������ ��� w = sα = w� ������ �� ���� �� ������ ����� ����� • ����� ���������� ���������� ��� �(w) = �(w�) = n + 1 � ��� N(w) = N(w�)� �� N (w)�� ���� ������ ��� ������ ��������� ����������� α� ������ ������� ��� ���� � ������� N(w) = N(w�) ��� �(s αw) = �(sαw�) = n� ������� ��� ��� {α} ∪ sαN (sαw�) = N (w�) = N (w) ={α} ∪ sαN (sαw) �� ��� ����� N(sαw) = N (sαw�)� ������ ��� ������� ��������� �������� ���������� sαw = sαw� � ������ �������� �� ���� ������������� � ������ � � �������� ��� sα� ��� ������� �� �������� ����� ����� ����� ������� ��� ����������� ��������� ����� ������ �� N(w) � ����� ������ ��� w ∈ W �� �������� ������ ��������� ������� si1 · · · sik� ������ N (w) =i1, si1αi2, . . . , si1· · · sik−1αik} �������������� ������������� ��� ��������� ����� ��������� �� w� �� w = e ������� ��� N(w) = ∅� ������� ��� �� si � ��� ���������� �������� ���� ��� �(siw) = �(w) + 1 ������ ���� ��� N (siw) = si(N (w))∪ {αi} ��������� �������������� �� ����� ���������� ������� ��� �� w ∈ W ������ ������� ������ �� �������� ������������ ρ− wρ = � ψ∈N(w) ψ �����

(15)

���� ������ ����� ����������������� � ��� ���������� �� ���������� ����� ��������� ��� �� si � �� ���������� �������� ��������� ���� ������ αi ������ si(ρ) = ρ− αi� ������������ ��� ��������� ������� �� w �� �������� �� ������������ ��� ���� ���������� �������� �� �� ������ ������ �� ��������� ������� ���� �������� �� ������� ���������� �� ��������� ��� ����������� ������ ��� ����� � ���� ��� ������� �� ���������� ���������� �� ������ ������ ��� ��� �������� �� W � ������� ������ ����� w � w� �������� �� �� ������ �� ������� W � ��������� ��� �≺� �������� �� ������ �������� �� W ������� ��� w≺ w⇐⇒ N(w) ⊂ N(w�) ��������������

��� ������ ����� �����������������

� �������� ��� ��������� ���� �� ������ �W ������ ���� ���� ����� ��������������� ��� �������� ��������� ����� ������ ��� ϕ ∈ Φ+ � ��� v ∈ h� ������ v + ϕ = s ϕ, 1(v) �� � ���� �� ||v + ϕ||2 =||v||2+ 1 �������������� �� ���������� v +ϕ = sϕ, 1(v)� ����������� � ���� ��� −2(v,ϕ)||ϕ||2 +||ϕ||12 = 1 � ���������������� ��� 2(v, ϕ) + ||ϕ||2 = 1� �� ������������ ����������� ����������� ||v + ϕ||2 �� ������� �������������� �� ����� ������ �� ���������� ���� ����������� ���� �������� ����������� �� ρ ��� �������� �� �W� ��� ���������� ρ������� ����� ��� ������ ��� ���������� �� ����� �� ������������ ���������� �� ��� ����� ���� �� ������ ������ ������������� ����� ������ ��� ϕ ��� ������ �������� � ��� λ ∈ h∗ �� ���� ������ ������������ ���� ����� ������� �� ��������� A� ���������� ������� ��� λ + ϕ = sϕ, 1(λ)� ������ �� ������ A � sϕ, 1A ���� ���������� �������������� ���������� ������������ ���� ���� ��� �W ������ �� ���� ���������� ����� ������� �������� �� �������� w ∈ �W ���� ��� wA = Ao� ����� ���� �������������� ������ ��� wλ ���� ������ �������� � ���� ������ ���������� ������ �������� � Δ � �� ���� �� ��������� ������ � ���������� ��� wλ+wϕ � �� ��������� ��������� �� Ao�������� ������ �������� ����� ������� �� ����������� � ���� �� ��������� ��� ������������ �������� �� � W� ��� λ ∈ Ao � �� ���� ������� ������������ ������ � ���� �� �������� ��� �� �������� �� �W� � �������� ��� sϕ, k(λ) = λ + ϕ ������� ��� λ + ϕ ���������� �� ��� ������ ��������� �� Ao ��� ��� ��������� ������ φ ���� ��������������� ����������

(16)

����� �� ��������� ��� �� ������������� ���� � ������� ���������� ��� ρ � ������� ���� ������ �������� �� Ao � ������ �������� ������������� ��������� ����� ������� �� ����������� ��� λ = ρ� ������������� sϕ, k(ρ) = ρ + ϕ � ��������� �� � ���� �� 2(ρ, ϕ) + k (ϕ, ϕ) =−1 ��� ��������� ϕ =�iaiαi ������� � i ai= k (ϕ, ϕ)− 1 ≤ kh ∨− 1 ���������� ��� ��� ����� k = 0 �� ��� �����iai=−1 � ������� ���� ��� ��� ai ��� ����� ����� ����� �� ������ ������ �� �� ��� ai = 0 ��� ���� i ������ ��� ��� �� ������ ���� j � �� ����� ���������� �� ���� ����� ���������� ��������� �� ��� ���� �������� ��� sα(ρ) = ρ− α� ��������� ������ �� ���� �� ������ ����� k = 1 �� ��� �����iai = h∨−1 � ������ ϕ = θ� �������������� ������ �� ���� sϕ, k= sθ, 1� k > 2 �� ��� �����iai > h∨− 1 ��� � ������� �� ϕ � ��� ������� �������� ��� ������ ������������ ��� �������� ������������ ��� ������������ ��� �������� ������������ �� ����� ��������������� �� ��� ��������� ��� λ �� ���� ������ �������� �� ��� ������ A� ������ λ � ������� ���� ������ �������� �� A ��� ������ ��� ����� ��� λ � ��������� ��������� ���� �������� �� Ao� ���� ����� ����� ������ ������������������ � ����� �� � ����� ����� ��� ����������� ���� � ������� ρ� ���� ����������� �� ��� ������� �������������� ��� ���� ������ �� �� ����� ���� ������ ��������� ������������ �� ����� ��������������� �� ��� ��������� �� A �� A� ���� ������ ��������� ��� ���� ������ �������� λ � λ� � ��� ����������� �� ���� H ϕ, k� ������ λ = λ�±ϕ � ������� ��� λ� ��� ��������� ��� ��������� H− ϕ, k � Hϕ, k+ � ����������� �� ������� ����������� ������ ����� ��� ��������� ���������� ����� ������ ����� ������ �� �� ��������� H ������ 2Ao �� ��� ���������� ��������� ������ H � ����� ���� Hϕ, 1 ��� ϕ ∈ Φ+�

(17)

���� ������� ����� ��������������� � �������������� �������� ������������ Ao ��� ������ ����� ���� �������������� ����� ���� ����� �� ����� Sα,1 ={x ∈ V |, 0 ≤ (x, α) ≤ 12} ��� α ∈ Φ � ������ �������� ������ 2Ao ���� �������������� ����� �������� �� ����� Sα,2 ={x ∈ V |0 ≤ (x, α) ≤ 12} ��� α ∈ Φ� ������� �� ����������� ���� ������ α� ������� ���� ��������� ����� ����� ������� �� Sα, 2 � Hα, 1� ��� ���������� ��� ����������� Hϕ, k ����� �� ��� ���������� �������� 2Ao� ������ ���� ����� �������� �� ��� �� ����� ������� �� Sϕ, 2� �� ��� ����� k = 1� �� ������� �������� ������ �� ��������� �� ������ ����������� ��������� ����� ������ ��� �w∈ �W ���� ��� �wAo ⊂ C � ��� s i ��� ���������� ��������� ������ �(siw) > �(� w)� � �������������� ���������� ��� l = �(siw)� ≤ �( �w)� ������ ������� ��� �������� �� ������ �� siwA� o � Ao �� ��������� ����������� l� ���� �������� ���� �� ����� ��������� �� C ���� ��� Ao � �� C � �� ����� ��������� �� s iC� ������� A0 = siwA� o� ���������� ��� �� �������� �� A0 �� Ao����� �� ���� Hαi, 0��� �� ������ Ak� Ak+1� ���������� �� �������� �� A0 �� Ak+1 ������� si ��������� ��� �������� �� ��������� k �� �wAo �� Ak+1� ���� ��� siAk = Ak+1 � ��� siA0 =wA� o� ������� ������ ��� �������� �� ������ �� �������� l− k − 1 �� Ak+1 �� Ao �� ��� �������� �� k ������ �� �wAo �� Ak+1� ��� ������� ������ ��� �( �w)≤ l − k − 1 + k = l − 1 �� ��� ����������� �� ������ ��������

��� ������� ����� ���������������

���������� ������������ �� ���������� � ����������� ���������� �� �� ������ �� �������� ��� Δ ⊂ Φ �� ������� �������� � ��� I �� ��� ������������� ���������� ����� �� ����������� ���������� �� W ��������� ����������� �� ������ I ⊂ Δ � �� ����������� WI =< sα| α ∈ I > �� ��������� ��� ���� ������ �� ����������� ���������� � �� �������� ������������ ������������ ����� ������ ������ ��� WI ={g ∈ W | l(s αig) > l(g)∀αi ∈ I}� ������ ��� ���� w ∈ W �������� �� ����� u ∈ WI �� �� ����� v ∈ W I ���� ���� • w = vu • l(w) = l(u) + l(v) ���������� u ���� ������ � �� ��������� ������ �� WIw� �� ����������� �� �������������� �� ��������� ������ u � ����� � ���� �� ��������� g ∈ W w ���� ����� ������ ������� ���� g = vu ��� �� ��������� v ���� ��� l(g) = l(u) + l(v)� ���������� ����� ������� �������� u �� ��������� �������� ��������� ����� ���������� ������������ ���� ����� ������� ����� �������������� ��� �� ����� WIw�

(18)

������� ��� ��� ������ ��� ��������� ��� � ������ �� WI �� W � ��������� ��� ������� ������ ��������������� �� ����������� ������������ ������� �� W �� ����������� �� ��� ���� � �� ���������� �� W ��� �������� �� ������ ������� ������� ���� ������ ������ �� ����� � ����� �������� �������� ��� � ������� ����� �������������� ������� �������������� �� ����� ������������� �� W � �� �� ����� �������� ��������� ������� ������������ �� ��������� ������� �� W \ WI�� ����������� ������ ����� �������� ��� ����� ��� ������� ������ ��������������� ��� �������� ������������ ������������ �� � ������� ������ ��������������� ������� ������ �������������� ���� � w �������������� ��� ������ �� WI \ W ���� ��� l(sw) > l(w) ��� ���� s �������� ��������� �� ��� ������ �� I� �������� ����� ��������� ��� ������� ������ ��������������� � ��������� ���� ���� ������ ���� �������� ����� ������ ��� �w �� ������� ������ �������������� ��� W/W� ��� ��������� ������� � w = si1. . . sik� ������ ���� �������� �wm ��� ��������� ������� �������� ����m������ ������ si1. . . sim � ������ �� ������� ����� �������������� ��� W/W�� �������������� ����������� l( �wm) ≤ l( �w)− m + k� �������� ��� �������������� � ��� ��� ���� ���������� �������� ˜s ∈ W� ������ l(˜s�w) = l(w) + 1� ���������� ��� ��� ��� ������ ��� �wm� ������ ����������� ˜s ���� ��� l(˜s�wm)≤ l( �wm)� �� ������ l(˜sw)� ≤ l(˜s�wm) + m− k ≤ l( �wm) + m− k ≤ l( �w) �� ��� � �������� ���������� �� ��� ��� ����� ��� ��� ������� ��������� ��� ��������� ��� ����� ������� �� �� WI ���� ������������ �� ������������ ������ ��������� ��� ����� ������ �� WI� ����� ��� ��������� �� ������ ����� �������� ����� ��� ������ ��� ��������� �� ������ ����� ������ ���������

(19)

�������� �

������ �������� �� ������� �� �����

�� ���������� ��������� �� ������ �������� � �� ���� ��� �������������� �������� ����� ������ �������� ��������� �� ��� ������������ �� ����� ������ �� ���������� �� ��� �������� ���� ������ ��������� �������������� ��� ���� ������������� ��������� �� ����������� ������� �� ������ �� ���� ���������� ��� �� ������� ����������� �� ������������ ���� ���� ����� � ��� ��� � ������� ����� ����� ���������� ��� �������� ��� � ����� ��� ��������� �� ����������� ����������� ��������� �� �����

��� ���������� � ������

��� g ���������� �� ��� �������� ��������� �� ��� ������� ������ ���������� ������ h� ��� Φ �� ������� �� ������ ��������� ���� �������������� �� g ������� �������� �� h � ��� Δ �� ������� �������� ��� Φ� ����������� ��� B �� ������������ �� ����� �� g ��������� � Φ+� ����������� ������� ��� Ab � ��� Abo ��������������� ��������� ����� ������ �������� � ����� ������ �������� ��� ����� �� B� ������ AbM ���� ��������� ����� ������ �������� ���������� ����� ������ ��������� ��������� �� ������ ������ ����� ��� �� ��������� �� �� ������ �������� �� B� �� I � �� ������ �� B ������ �� ���������� [B, I] ⊂ I ������� ��� I � ������� ��� �������� h � ���������������� ������ �� �������������� �� ��������� I =�αgα ��� ��������� α ∈ h∗� �� ��������� ����������� ���� �������� ������ �������� �� ��������� ������������������ �� ��������� ��� ��� �������� ������������ ����� ������ ��������� � I� ������� ��� ���������� �� ��� �� ������ ���� Ψ(I)� �� ��������� �� ������ �� ������ � �������������� ��� ��� ������ ������������ [B, I] ⊂ I ��� � ������� �� ������ �� ������� �� ���� �������� ����� ���������� � Φ++ Ψ (I)�∩ Φ+⊂ Ψ(I) ������ �� ��������� �� ���������� � ����������� � ���������� ��� [I, I] = 0 �� ��� (Ψ (I) + Ψ (I))∩ Φ+ = ������� ��� ��� �� Ψ � �� ������� �� ������ �������� ������������� �� ���������� � Φ++ Ψ�∩ Φ+⊂ Ψ ����� ��

Riferimenti

Documenti correlati

Elementi di Algebra e

Questo chiaramente implica la tesi perch` e un’algebra senza ideali abeliani ` e semisemplice (ogni algebra risolubile ha un’ideale abeliano non banale!). Allora la forma di Killing

In realt` a non ` e davvero necessario richiedere che il campo sia algebricamente chiuso, tutto quello che dir` o a parte un paio di lemmi varr` a anche per campi non

Se poi, invece dell’invarianza di una funzione, conside- riamo l’invarianza di un’equazione g(x) = 0, la condizione infinitesima d’invarianza (16) diviene Xg(x) = 0, ˆ quando g(x)

Il governo etiopico, nonostante abbia aderito alla Dichiarazione di Alma Ata secondo la quale si riconosce il valore delle medicine tradizionali e la loro integrazione nei

Di Unità Operative Complesse (U.O.C.) Num.. di Strutture semplici

Il conferimento di incarico di responsabile di dipartimento (Dipartimento di Attività Integrata – DAI) avviene mediante nomina fiduciaria del Direttore Generale concordata con

Nel periodo transitorio, fino al 31.12.2022, il numero complessivo di strutture complesse è contenuto nei limiti definiti dalla DGR 1259 del 24/11/2017 pari a 17 unità. Il numero