RISOLUZIONE DI UNA EQUAZIONE LETTERALE FRATTA Prof. Luca Macchi
Discutiamo e risolviamo, al variare del parametro 𝑎 ∈ ℝ, l’equazione 𝑥 𝑥 − 𝑎 + 2 𝑥 + 2𝑎𝑥 + 𝑎 = 1 𝑥 − 𝑎 1) Portiamo tutti i termini a primo membro
In genere (ma non è obbligatorio) suggerisco sempre di portare tutto a primo membro: 𝑥 𝑥 − 𝑎 + 2 𝑥 + 2𝑎𝑥 + 𝑎 − 1 𝑥 − 𝑎= 0.
In tal modo, possiamo trattare il primo membro come un’espressione algebrica. 2) Scomponiamo tutti i denominatori
Scomponiamo i polinomi al denominatore 𝑥 (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)+ 2 (𝑥 + 𝑎) − 1 𝑥 − 𝑎= 0. 3) Calcoliamo le CE
Le condizioni di esistenza (che ci serviranno in fondo per determinare l’accettabilità della soluzione) si ricavano imponendo che i denominatori non si annullino:
𝑥 + 𝑎 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −𝑎 𝑥 − 𝑎 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 𝑎
4) Semplifichiamo l’espressione algebrica a primo membro Il mcm dei denominatori è (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) . Per cui,
𝑥 (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)+ 2 (𝑥 + 𝑎) − 1 𝑥 − 𝑎= 0 → 𝑥(𝑥 + 𝑎) + 2(𝑥 − 𝑎) − (𝑥 − 𝑎) (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) = 0.
Grazie alle CE, possiamo applicare il secondo principio di equivalenza in modo da elidere il denominatore. Otteniamo l’equazione parametrica intera
𝑥(𝑥 + 𝑎) + 2(𝑥 − 𝑎) − (𝑥 − 𝑎) = 0 → 𝑥 + 𝑎𝑥 + 2𝑥 − 2𝑎 − 𝑥 + 2𝑎𝑥 − 𝑎 = 0 → (2 − 𝑎)𝑥 = 𝑎(𝑎 + 2) (Ho raccolto le 𝑥 a primo membro e portato tutto ciò che non ha 𝑥 a secondo membro in modo da far comparire la forma canonica di un’equazione di primo grado 𝐴𝑥 = 𝐵)
5) Discutiamo l’equazione
(2 − 𝑎)𝑥 = 𝑎(𝑎 + 2)
1° caso:
2 − 𝑎 ≠ 0 → 𝑎 ≠ 2. In questo caso l’equazione è determinata con soluzione 𝑥 = ( )
Confronto con la CE 𝑥 ≠ −𝑎 𝑥 =𝑎(𝑎 + 2) 2 − 𝑎 𝑥 ≠ −𝑎 ⟹ 𝑎(𝑎 + 2) 2 − 𝑎 ≠ −𝑎 → 𝑎(𝑎 + 2) 2 − 𝑎 + 𝑎 ≠ 0 ⟶ 𝑎 + 2𝑎 + 𝑎(2 − 𝑎) 2 − 𝑎 ≠ 0 ⟶ 𝑎 + 2𝑎 + 2𝑎 − 𝑎 2 − 𝑎 ≠ 0
Elidendo il denominatore, rimane 4𝑎 ≠ 0 → 𝑎 ≠ 0. Se 𝑎 ≠ 0 la soluzione è accettabile. Per 𝑎 = 0 la soluzione non è accettabile (cioè l’equazione è impossibile).
Confronto con la CE 𝑥 ≠ 𝑎 𝑥 =𝑎(𝑎 + 2) 2 − 𝑎 𝑥 ≠ 𝑎 ⟹ 𝑎(𝑎 + 2) 2 − 𝑎 ≠ 𝑎 → 𝑎(𝑎 + 2) 2 − 𝑎 − 𝑎 ≠ 0 ⟶ 𝑎 + 2𝑎 − 𝑎(2 − 𝑎) 2 − 𝑎 ≠ 0 ⟶ 𝑎 + 2𝑎 − 2𝑎 + 𝑎 2 − 𝑎 ≠ 0
Elidendo il denominatore, rimane 2𝑎 ≠ 0 → 𝑎 ≠ 0. Ritroviamo lo stesso risultato di prima.
2° caso
𝑎 = 2. Basta sostituire nell’equazione per ottenere 0𝑥 = 8, che è un’equazione impossibile. 6) Scriviamo con ordine tutto il risultato della discussione.
Se 𝑎 ≠ 0 ∧ 𝑎 ≠ 2 l’equazione è determinata con soluzione 𝑥 = ( ) Se 𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 2 l’equazione è impossibile.
