qualche strategia risolutiva per gli integrali trigonometrici

INTEGRALI TRIGONOMETRICI: QUALCHE STRATEGIA RISOLUTIVA

Marco Monaci

1_{Liceo Scientifico G. Marconi (5F)}

Gli integrali con funzioni trigonometriche possono presentare qualche difficoltà in più rispetto agli inte-grali polinomiali e razionali. Vediamo subito un esem-pio proposto e cerchiamo di risolverlo senza utilizzare sostituzioni e integrazioni per parti.

L’integrale proposto è il seguente: Z _{cos x}

2 − cos2_xdx

Ricordandoci che:

cos2x + sin2x = 1 Possiamo sostituire il cos2_x:

cos2x = 1 − sin2x Ovvero: Z _{cos x} 2 − 1 − sin2x
dx Da cui: _Z cos x 1 + sin2xdx

A questo punto abbiamo fatto, infatti questa è una forma integrale di cui si conosce bene la primitiva:

Z _f0_(x)

1 + f2_(x)dx = arctan f (x)

Imponendo sin x = f (x) notiamo che cos x è proprio la sua derivata, e al denominatore abbiamo proprio la forma 1 + f2_{(x). In definitiva abbiamo che:}

Z _{cos x}

2 − cos2_xdx = arctan sin x

Riportiamo qui sotto uno specchietto contenente degli integrali immediati che possono tornare utili:

Z _f0_(x) f (x)dx = ln |f (x)| + c Z cos [f (x)] · f0(x) = sin f (x) + c Z sin [f (x)] · f0(x)dx = − cos [f (x)] + c Z _f0_(x) p1 − f2_(x)dx = arcsin [f (x)] + c Z _f0_(x) 1 + f2_(x)dx = arctan [f (x)] + c