Integrali Indefiniti Integrali

Integrali

Integrali Indefiniti

L’operazione di integrale indefinito è l’operazione inversa rispetto alla derivata, infatti consiste, partendo da una funzione f(x), di trovare l’insieme delle funzioni F(x) tali che F’(x)=f(x).

Al contrario dell’operazione di derivazione, per cui abbiamo delle regole che ci permettono di calcolare la derivata di qualsiasi funzione scritta in modo elementare ottenendo un’altra funzione scritta in modo elementare, non tutti gli integrali sono esprimibili in modo elementare.

Integrali Indefiniti Noti

Possiamo ricavarli leggendo al contrario la tabella delle derivate note:

� 𝑥 ^𝐴 𝑑𝑥 = 𝑥 ^𝐴+1

𝐴 + 1 + 𝐶 𝐴 ≠ 1

� 1

𝑥 + 𝑎 𝑑𝑥 = ln (𝑥 + 𝑎) + 𝐶

� 𝑒 ^𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 ^𝑥 + 𝐶

� cos (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶

� 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = − cos(𝑥) + 𝐶

� 1

𝑐𝑜𝑠 ² (𝑥) 𝑑𝑥 = tan (𝑥) + 𝐶

� 1

𝑠𝑒𝑛 ² (𝑥) 𝑑𝑥 = 1 tan(𝑥) + 𝐶

� 1

√1 − 𝑥 ² 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 𝐶

� − 1

√1 − 𝑥 ² 𝑑𝑥 = arccos(𝑥) + 𝐶

� 1

1 + 𝑥 ² 𝑑𝑥 = arctan(𝑥) + 𝐶

Metodi di calcolo di un integrale Indefinito

Non esiste un metodo unico che funzioni sempre per il calcolo di un integrale indefinito, tuttavia tutti i metodi si basano sul “semplificare” la funzione da integrare fino ad ottenere la scomposizione dell’integrale originario in più integrali indefiniti noti (cioè di quelli presenti nella tabella).

Esponiamo di seguito vari metodi:

Integrazione per Parti

La formula dell’integrazione per parti permette di ridurre il problema del calcolo di un integrale al calcolo di un altro integrale.

La funzione da integrare può sempre essere vista come del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ∗ ℎ(𝑥) Dove g’(x) è una funzione di cui sappiamo calcolare la primitiva g(x) Infatti può essere anche banalmente

� ℎ(𝑥)𝑑𝑥 = � ℎ(𝑥) ∗ 1 𝑑𝑥 = � ℎ(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥

Quindi con g(x)=1

La formula dell’integrazione per parti è:

𝐹(𝑥) = � 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = � ℎ(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) − � ℎ ^′ (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Tale formula si può dimostrare partendo dalla formula della derivata del prodotto.

L’integrazione per parti è utile specialmente in questi due casi:

1) Integrazione di funzioni non presenti nella tabella degli integrali Indefiniti, come ln(x), arcsen(h), arccos(x), arctan(x) o funzioni ottenute dal prodotto di una delle funzioni sopra elencate per un’altra funziona qualsiasi

2) Integrazione di funzioni complesse in seno, coseno e tangente, o integrazione di funzioni ottenute dal prodotto di seno, coseno e tangente per altre funzioni

Esempio 1

� ln(𝑥) = � 1 ∗ ln(𝑥) 𝑑𝑥 ℎ(𝑥) = ln(𝑥) 𝑔 ^′ (𝑥) = 1 ==> 𝑔(𝑥) = 𝑥

� ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ∗ ln(𝑥) − � 1

𝑥 𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 (𝑥) − � 𝑑𝑥 = 𝑥(ln(𝑥) − 1) + 𝐶 Esempio 2

� 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 𝑃𝑜𝑛𝑖𝑎𝑚𝑜 ℎ(𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑔 ^′ (𝑥) = sen(x) f(x)=-cos(x)

� 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − � cos(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶

Alcune volte l’integrazione per parti non ci consente di ottenere direttamente un risultato, ma ci consente

comunque di calcolarlo in questo modo:

Esempio 3

� 𝑒 ^𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 ^𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − � 𝑒 ^𝑥 cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒 ^𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑒 ^𝑥 cos(𝑥) − � 𝑒 ^𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 Siamo tornati all’espressione iniziale, quindi sembra di “aver girato in tondo”, senza arrivare a nulla. In realtà abbiamo già il risultato in mano, infatti se interpretiamo il tutto come un’equazione la cui incognita è l’integrale abbiamo che

2 � 𝑒 ^𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 ^𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑒 ^𝑥 cos (𝑥)

� 𝑒 ^𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 ^𝑥

2 (𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos(𝑥))

Infine mediante l’integrazione per parti si può calcolare qualsiasi integrale nella forma:

� 𝑒 ^𝑥 𝑃(𝑥)𝑑𝑥

Applicando la formula n volte se P(x) è un polinomio di grado n (tuttavia c’è un sistema più rapido per calcolare questi integrali) [in questo caso bisogna porre g’(x) uguale al polinomio ogni volta, così che ad ogni passaggio P(x) scende di un grado].

Integrazione per sostituzione

La formula di integrazione per sostituzione è la seguente:

� 𝑔�𝑓(𝑥)� ∗ 𝑓 ^′ (𝑥)𝑑𝑥 = � 𝑔(𝑦)𝑑𝑦| _{𝑦=𝑓(𝑥)}

Per esempio se si pone

𝑓(𝑥) = 𝑡

(per farlo è necessario che f(x) sia invertibile) bisogna poi ricavare un’espressione per x in funzione di t 𝑥 = 𝑓 ⁻¹ (𝑡)

E per dx

𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑡 �𝑓 ⁻¹ (𝑡)�𝑑𝑡 Dove

𝑑

𝑑𝑡 �𝑓 ⁻¹ (𝑡)�

Indica la derivata rispetto a t di f^-1(t).

Di seguito indichiamo le sostituzioni consigliate caso per caso:

Integrali del tipo∫ 𝑹�𝒙,√𝒂𝒙 + 𝒃�𝒅𝒙 Si fa la sostituzione

𝑡 ² = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑥 = 𝑡 ² − 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 2𝑡

𝑎 𝑑𝑡 Integrali del tipo∫ 𝑹 �𝒙,�

�

𝒑 𝒒

� 𝒅𝒙

Si fa la sostituzione

𝑡 ^𝑞 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑥 = 𝑏 − 𝑑𝑡 ^𝑞 𝑐𝑡 ^𝑞 − 𝑎 𝑑𝑥 = −𝑑𝑞𝑡 ^𝑞−1 (𝑐𝑡 ^𝑞 − 𝑎) − 𝑐𝑞𝑡 ^𝑞−1 (𝑏 − 𝑑𝑡 ^𝑞 )

(𝑐𝑡 ^𝑞 − 𝑎) ² 𝑑𝑡 = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)𝑞𝑡 ^𝑞−1 (𝑐𝑡 ^𝑞 − 𝑎) ² 𝑑𝑡

Integrali del tipo∫ 𝑹 �𝒙,�

�

, … , �

�

� 𝒅𝒙 Si fa la sostituzione

𝑡 ^𝑞 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥 + 𝑑 Dove

𝑞 = 𝑚. 𝑐. 𝑚. (𝑞 1 , … , 𝑞 𝑛 ) 𝑥 = 𝑏 − 𝑑𝑡 ^𝑞

𝑐𝑡 ^𝑞 − 𝑎 𝑑𝑥 = −𝑑𝑞𝑡 ^𝑞−1 (𝑐𝑡 ^𝑞 − 𝑎) − 𝑐𝑞𝑡 ^𝑞−1 (𝑏 − 𝑑𝑡 ^𝑞 )

(𝑐𝑡 ^𝑞 − 𝑎) ² 𝑑𝑡 = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)𝑞𝑡 ^𝑞−1 (𝑐𝑡 ^𝑞 − 𝑎) ² 𝑑𝑡 Integrali del tipo∫ 𝑹 �𝒙,�𝒂𝒙

+ 𝒃𝒙 + 𝒄� 𝒅𝒙 a>0

Si fa la sostituzione

�𝑎𝑥 ² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = √𝑎𝑥 + 𝑡 𝑎𝑥 ² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑥 ² + 2√𝑎𝑥𝑡 + 𝑡 ²

𝑥 = 𝑡 ² − 𝑐

𝑏 − 2√𝑎𝑡

𝑑𝑥 = −2√𝑎𝑡 ² + 2𝑏𝑡 − 2𝑐√𝑎 (𝑏 − 2√𝑎𝑡) ² 𝑑𝑡 Integrali del tipo∫ 𝑹 �𝒙,�−𝒂𝒙

+ 𝒃𝒙 + 𝒄� 𝒅𝒙 a>0

Si trovano le radici 𝛼, 𝛽 dell’equazione

−𝑎𝑥 ² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Si fa la sostituzione

𝑡 ² = 𝑥 − 𝛼 𝛽 − 𝑥

�−𝑎𝑥 ² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝛽 − 𝑥)𝑡

𝑥 = 𝛽𝑡 ² + 𝛼 1 + 𝑡 ² 𝑑𝑥 = 2(𝛽 − 𝛼)𝑡

(1 + 𝑡 ² ) ² 𝑑𝑡 Integrali del tipo∫ 𝑹(𝒙

(𝒂𝒙

+ 𝒃)

)𝒅𝒙

Questi integrali possono essere ricondotti a integrali di funzioni razionali se una di questa quantità è intera:

𝑞, 𝑚 + 1 𝑝 , 𝑞 +

𝑚 + 1 𝑝 Si fa la sostituzione

𝑡 = 𝑥 ^𝑝 𝑥 = √𝑡

𝑑𝑥 = 1

𝑝𝑡 ^{𝑝−1 𝑝} 𝑑𝑡

Integrali del tipo∫ 𝑹(𝒔𝒆𝒏(𝒙),𝒄𝒐𝒔(𝒙))𝒅𝒙

Sono molte le sostituzioni possibili, le più usate sono:

𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) oppure

𝑡 = cos (𝑥) Oppure

𝑡 = tan (𝑥) Oppure

cos(𝑥) = 1 − 𝑡 ²

1 + 𝑡 ² 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 2𝑡

1 + 𝑡 ² 𝑑𝑥 = 2

1 + 𝑡 ² 𝑑𝑡

Metodo di Hermite

Siccome in molti casi abbiamo ricondotto il problema del calcolo di un integrale al calcolo di un integrale di una funzione del tipo

𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)

In questo caso se il grado di P(x) è maggiore o uguale a quello di Q(x) si fa la divisione fra polinomi otenendo

� 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 = � 𝑇(𝑥)𝑑𝑥 + � 𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 Dove T(x) è il polinomio quoziente e R(x) il resto

Il primo integrale è facile da calcolare perché appartiene alla tabella. Per il secondo possiamo usare questo teorema

TEOREMA Dati due polinomi P(x) e Q(x) con

deg�𝑃(𝑥)� < deg�𝑄(𝑥)�

Q(x) si può sempre scrivere come prodotto di polinomi di primo e di secondo grado:

𝑄(𝑥) = 𝑎 ∗ ��(𝑥 − 𝑏 _𝑖 ) ^𝑚

� ∗ �(�𝑥 − 𝑐 𝑗 � ² + 𝑑 _𝑗 ² ) ^𝑛

Il rapporto del primo fratto il secondo si può sempre scrivere così:

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) = � 𝐴 𝑖

𝑥 − 𝑏 𝑖 + � 𝐵 𝑖 𝑥 + 𝐶 𝑖

(𝑥 − 𝑐 𝑖 ) ² + 𝑑 𝑗 2 + 𝑑 𝑑𝑥 �

𝑅(𝑥) 𝑇(𝑥)�

Dove

𝑇(𝑥) = ��(𝑥 − 𝑏 _𝑖 ) ^𝑚

⁻¹ � ∗ �(�𝑥 − 𝑐 𝑗 � ² + 𝑑 _𝑗 ² ) ^𝑛

⁻¹

E R(x) è tale che:

deg�𝑅(𝑥)� = deg�𝑇(𝑥)� − 1 Questi integrali li sappiamo calcolare, infatti:

� 𝐴

𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝐴𝑙𝑛(𝑥 + 𝑏)

� 𝐵𝑥 + 𝐶

(𝑥 − 𝑐) ² + 𝑑 ² 𝑑𝑥 = 𝐵

2 � 2(𝑥 − 𝑐)

(𝑥 − 𝑐) ² + 𝑑 ² 𝑑𝑥 + � 𝐶 − 𝐵𝑐 (𝑥 − 𝑐) ² + 𝑑 ² 𝑑𝑥

� 2(𝑥 − 𝑐)

(𝑥 − 𝑐) ² + 𝑑 ² 𝑑𝑥 = ln ( (𝑥 − 𝑐) ² + 𝑑 ² )

� 𝐶 − 𝐵𝑐

(𝑥 − 𝑐) ² + 𝑑 ² 𝑑𝑥 = � 𝐶 − 𝐵𝑐

𝑑 � arctan � 𝑥 − 𝑐

𝑑 �

Ed infine

� 𝑑 𝑑𝑥 �

𝑅(𝑥) 𝑇(𝑥)� 𝑑𝑥 =

𝑅(𝑥) 𝑇(𝑥)

Per calcolare la decomposizione (che grazie al teorema sappiamo esistere sempre) si procede così:

1) Si fattorizza Q(x) come indicato in alto 2) Si scrive per esplicito la somma

� 𝐴 𝑖

𝑥 − 𝑏 𝑖 + � 𝐵 𝑖 𝑥 + 𝐶 𝑖

(𝑥 − 𝑐 𝑖 ) ² + 𝑑 𝑗 2 + 𝑑 𝑑𝑥 �

𝑅(𝑥) 𝑇(𝑥)�

3) Si trova T(x) e si indica R(x) con un polinomio generico del grado indicato dal teorema 4) Si mette tutto a denominatore comune

5) Si otterrà così un’espressione del tipo 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) =

∑ 𝐴 𝑖 𝑃 𝑖 (𝑥) + ∑�𝐵 𝑗 𝑥 + 𝐶 𝑗 �𝑃 𝑗 (𝑥) + ⋯ 𝑄(𝑥)

6) A questo punto si raggruppano i termini mettendo in evidenza le potenze di x ottenendo qualcosa del tipo:

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) =

∑ 𝑥 ^𝑚 ∗ 𝑓(𝐴 _𝑖 , 𝐵 _𝑖 , … ) 𝑄(𝑥)

7) Ora si uguagliano uno ad uno i coefficienti ottenendo un sistema (m+1)x(m+1), risolvendolo si troveranno le incognite

𝐴 _𝑖 , 𝐵 _𝑖 , …

Tabella Integrali

� ln(x) dx = x(ln(x) − 1) + C

� ln ² (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥(ln ² (𝑥) − ln(𝑥) + 2) + 𝐶

� ln (𝑥) 𝑥 𝑑𝑥 =

ln ² (𝑥) 2 + 𝐶

� 𝑙𝑛 ² (𝑥)

𝑥 ² 𝑑𝑥 = − 1

𝑥 (𝑙𝑛 ² (𝑥) + 2 ln(𝑥) + 2) + 𝐶

� ln ³ (𝑥) 𝑥 𝑑𝑥 =

ln ⁴ (𝑥) 4 + 𝐶

� 𝑙𝑛 ³ (𝑥)

𝑥 ² 𝑑𝑥 = − 1

𝑥 (ln ³ (𝑥) + 3𝑙𝑛 ² (𝑥) + 6 ln(𝑥) + 6) + 𝐶

� 𝑙𝑛 ³ (𝑥)

𝑥 ³ 𝑑𝑥 = − 1

𝑥 ² � ln ³ (𝑥) 2 +

3

4 𝑙𝑛 ² (𝑥) + 3

4 ln (𝑥) + 3 8� + 𝐶

� 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 ² � ln(𝑥) 2 −

1 4� + 𝐶

� 𝑥 ² 𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 ³ � ln(𝑥) 3 −

1 9� + 𝐶

� 𝑥𝑙𝑛 ² (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 ² � ln ² (𝑥) 2 −

ln (𝑥) 2 +

1 4� + 𝐶

� 𝑥 ² 𝑙𝑛 ² (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 ³ � ln ² (𝑥) 3 −

2

9 ln (𝑥) +

2

27� + 𝐶