INTEGRALI GENERALIZZATI DOPPI E TRIPLI. FUNZIONI DEFINITE DA INTEGRALI

INTEGRALI

GENERALIZZATI DOPPI E TRIPLI.

FUNZIONI DEFINITE

DA INTEGRALI

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Integrali generalizzati Integrali generalizzati doppi e tripli

doppi e tripli

 Funzioni definite da Funzioni definite da integrali

integrali

INTEGRALI INTEGRALI

GENERALIZZATI GENERALIZZATI

DOPPI E TRIPLI

DOPPI E TRIPLI

Nella definizione di integrale Nella definizione di integrale

multiplo secondo Riemann, abbiamo multiplo secondo Riemann, abbiamo

esplicitamente supposto che la esplicitamente supposto che la

funzione fosse limitata e che il funzione fosse limitata e che il

dominio d’integrazione fosse dominio d’integrazione fosse

limitato.

limitato.

Spesso nelle applicazioni Spesso nelle applicazioni

queste ipotesi non sono verificate.

queste ipotesi non sono verificate.

Vediamo come possa essere adattata Vediamo come possa essere adattata

la nostra definizione per soddisfare la nostra definizione per soddisfare

le esigenze, per esempio della fisica le esigenze, per esempio della fisica

Può dunque accadere che il dominio Può dunque accadere che il dominio

d’integrazione non sia limitato, o che d’integrazione non sia limitato, o che

la funzione non lo sia in un intorno la funzione non lo sia in un intorno

di qualche punto. Per esempio, può di qualche punto. Per esempio, può

accadere che

accadere che f(x,y,z)f(x,y,z) tenda a infinito tenda a infinito se il punto

se il punto (x,y,z)(x,y,z)^TT tende a un certo tende a un certo (x(x⁰⁰,y,y⁰⁰,z,z⁰⁰))^TT..

Per presentare con una certa Per presentare con una certa

precisione i concetti, daremo la precisione i concetti, daremo la

seguente definizione seguente definizione

Diremo che un sottoinsieme

Diremo che un sottoinsieme JJ  R^m è localmente misurabile (secondo (secondo

PJ) se la sua intersezione con PJ) se la sua intersezione con

qualsiasi insieme misurabile

qualsiasi insieme misurabile II è è misurabile (ricordiamo che ciò misurabile (ricordiamo che ciò

significa che la frontiera di

significa che la frontiera di J J  I I è è trascurabile)

trascurabile)

Diremo che una successione

Diremo che una successione (A(A_nn)) di di insiemi misurabili

insiemi misurabili invadeinvade JJ, se gli , se gli

insiemi sono crescenti per inclusione insiemi sono crescenti per inclusione

e contenuti in

e contenuti in JJ: : AA_nn  AA_n+1n+1  J J

Inoltre, per ogni

Inoltre, per ogni B B  J J, , BB misurabile, misurabile, deve accadere che la

deve accadere che la m(B\ Am(B\ A_nn)) 0 0, , per per nn  ∞ ∞

Data

Data ff, diremo che la successione , diremo che la successione (A(A_nn) ) è è adattaadatta a a ff se se ff è R-integrabile è R-integrabile

su ogni

su ogni AA_nn. In questo modo si . In questo modo si superano i problemi dovuti all’

superano i problemi dovuti all’

eventuale non limitatezza di eventuale non limitatezza di ff..

Nel caso di integrali multipli, Nel caso di integrali multipli,

prenderemo in considerazione prenderemo in considerazione

funzioni che sono assolutamente funzioni che sono assolutamente integrabili. Per esempio, funzioni integrabili. Per esempio, funzioni

che hanno segno costante su che hanno segno costante su JJ

La sostanziale giustificazione di La sostanziale giustificazione di

questa definizione è fornita dal questa definizione è fornita dal

seguente seguente

Teorema

Se (A(A_nn) e ) (B(B_nn) sono due successioni ) adatte a f≥0 e invadenti J, allora

lim

n _A

fdm 

n

 ^lim

n

fdm

B_n



Dunque il valore dell’integrale

Dunque il valore dell’integrale nonnon

dipende dalla particolare successione dipende dalla particolare successione

usata per calcolarlo. Ciò ci permette usata per calcolarlo. Ciò ci permette

di attribuire un valore certo al limite di attribuire un valore certo al limite

così calcolato. Si noti che una così calcolato. Si noti che una

Funzione R-integrabile è anche Funzione R-integrabile è anche

integrabile in senso generalizzato.

integrabile in senso generalizzato.

Se la funzione non ha segno costante Se la funzione non ha segno costante

allora bisognerà chiedere che sia allora bisognerà chiedere che sia

integrabili in senso generalizzato sia integrabili in senso generalizzato sia

la sua

la sua parte positivaparte positiva, che quella , che quella negativa

negativa. In questo caso la funzione . In questo caso la funzione sarà integrabile in valore assoluto

sarà integrabile in valore assoluto

Accanto al teorema fondamentale Accanto al teorema fondamentale citato, servono alcuni criteri utili citato, servono alcuni criteri utili

per stabilire che alcune funzioni per stabilire che alcune funzioni

sono senz’altro integrabili.

sono senz’altro integrabili.

Precisamente, se m è la dimensione Precisamente, se m è la dimensione

dello spazio, e la funzione tende a dello spazio, e la funzione tende a

zero per

zero per |x||x| che tende a infinito più che tende a infinito più rapidamente di

rapidamente di |x||x|^-a-a, con , con a>ma>m, , allora certamente l’integrale è allora certamente l’integrale è

convergente convergente

Se m è la dimensione dello spazio, Se m è la dimensione dello spazio,

ff tende a infinito per tende a infinito per xxxx⁰⁰ e vi tende e vi tende meno rapidamente di

meno rapidamente di |x-x|x-x⁰⁰||^{-b -b} , con , con b < m

b < m, allora , allora ff è integrabile in senso è integrabile in senso generalizzato su

generalizzato su JJ

Applichiamo queste considerazioni Applichiamo queste considerazioni

al calcolo di un integrale al calcolo di un integrale

generalizzato fondamentale generalizzato fondamentale

Si voglia calcolare Si voglia calcolare

e

dx







La funzione

La funzione exp(-xexp(-x²²) ) tende a zerotende a zero Per Per xx∞ ∞ più rapidamente, per più rapidamente, per

esempio, di

esempio, di 1/x1/x²² e quindi esiste e quindi esiste certamente l’integrale detto.

certamente l’integrale detto.

Cerchiamo di calcolarne il valore Cerchiamo di calcolarne il valore

Consideriamo la funzione Consideriamo la funzione

exp(-

exp(- xx^{2 2} -- yy²²) ) che è integrabile in che è integrabile in

senso generalizzato su tutto il piano senso generalizzato su tutto il piano RR²². Considereremo due famiglie . Considereremo due famiglie

invadenti e adatte alla funzione:

invadenti e adatte alla funzione:

AA_nn = [-n,n] = [-n,n] [-n,n] [-n,n] e e BB_nn = {(,): =  ≤ n} ≤ n}

AA_nn BB_nn

Poiché le due successioni ,come Poiché le due successioni ,come

si riconosce immediatamente, sono si riconosce immediatamente, sono

invadenti

invadenti RR²² e adatte alla funzione e adatte alla funzione allora

allora

^n

lim _An ^{e( x2y2)}dxdy 

limn _B_n ^{e(x2y2)dxdy}

Ma Ma

e

dxdy



_{ e}

_{dx }

n

n

 ^e

^dy

n

n



CioèCioè

e

dxdy



_ ^e

^dx

n n





  

 

2

Mentre Mentre

e^(x

2y²)dxdy

B_n



_

_

_

0

n

 _

Se indichiamo con

Se indichiamo con II l’integrale l’integrale cercato

cercato

I  e

dx





 _{ lim}

^e

^dx

n n



troviamo troviamo

II²² = π = π e quindi

e quindi I = √πI = √π

A partire da questo integrale A partire da questo integrale

fondamentale e, agendo con una fondamentale e, agendo con una

certa spregiudicatezza, si possono certa spregiudicatezza, si possono

ottenere alcuni risultati interessanti ottenere alcuni risultati interessanti

exp(-xy

exp(-xy²²) sen x) sen x è integrabile su

è integrabile su ]0,+∞[]0,+∞[]0,+∞[]0,+∞[

Da Da I = √πI = √π si deduce si deduce

e^{ xy2}dy 



0





Moltiplicando per

Moltiplicando per sen x sen x e e integrando su x da

integrando su x da 00 a a +∞+∞, si trova, si trova

dx e^{ xy2} senxdy   2

senx x

0



0



0

 ^dx

Scambiando l’ordine d’integrazione Scambiando l’ordine d’integrazione

Si trova Si trova

dy e^xy2 senxdx  1

1  y⁴ dy

0

 _ 

2 2

0



0

 _

  2

senx x

0



 ^dx

Dunque Dunque

sen x x

0



 _{dx } ^

2

Qui è anche contenuto il problema Qui è anche contenuto il problema

di calcolare l’integrale di

di calcolare l’integrale di 1/(1+y1/(1+y⁴⁴)) da da 00 a a + ∞+ ∞

Ponendo infine

Ponendo infine xx²² al posto di al posto di x x nell’nell’

integrale così calcolato, si trova integrale così calcolato, si trova

sen x

dx   8

0





Si consideri il seguente problema:

Si consideri il seguente problema:

Si decida se è finito il volume della Si decida se è finito il volume della

regione solida compresa tra il regione solida compresa tra il

cerchio

cerchio xx²² + y + y²² ≤ 1 ≤ 1 sul piano sul piano x yx y e la superficie

e la superficie z = 1/√[xz = 1/√[x²² + y + y²²]]

Una successione invadente, adatta Una successione invadente, adatta

alla funzione che tende a infinito alla funzione che tende a infinito per per (x,y)(x,y)^TT che tende a che tende a (0,0)(0,0)^TT è è

CC_nn = {(x,y) = {(x,y)^TT:1/n ≤ √[x:1/n ≤ √[x²² + y + y²²] ≤1}] ≤1}

L’integrale esiste finito poiché L’integrale esiste finito poiché f f

tende a infinito come

tende a infinito come 1/|x|1/|x| e e 1 < 21 < 2.. Si vuole calcolare

Si vuole calcolare

1

x²  y² dxdy  2 ^d 

1 / n

1

C_{n 2(1  1}

n)

Ovviamente il limite per

Ovviamente il limite per n n  ∞ ∞ è è 2π2π..

FUNZIONI FUNZIONI

DEFINITE DA DEFINITE DA

INTEGRALI

INTEGRALI

È spesso utile considerare integrali È spesso utile considerare integrali

dipendenti da un parametro e dipendenti da un parametro e

riconoscere le proprietà dell’

riconoscere le proprietà dell’

integrale rispetto al parametro integrale rispetto al parametro

detto; in particolare la dipendenza detto; in particolare la dipendenza

continua dalo la derivabilità rispetto continua dalo la derivabilità rispetto

al parametro.

al parametro.

Diremo allora, se questo è il caso, Diremo allora, se questo è il caso,

che l’integrale è una funzione che l’integrale è una funzione

del parametro stesso del parametro stesso

Considereremo due situazioni in Considereremo due situazioni in

particolare particolare

Teorema

Sia f: [a,b] f:  [c,d]  R continua. R

Allora g(y) =∫f(x,y)dx, è continua

a b

Infatti, per le ipotesi fatte,

Infatti, per le ipotesi fatte, g(y)g(y) esiste per ogni

esiste per ogni yy in in [c,d][c,d] e e

|g(y)-g(y

|g(y)-g(y⁰⁰)| ≤ ∫|f(x,y) - f(x, y)| ≤ ∫|f(x,y) - f(x, y⁰⁰)| dx)| dx

a b

L’uniforme continuità di

L’uniforme continuità di f(x,y)f(x,y) sul sul rettangolo, assicura che: dato

rettangolo, assicura che: dato  >0 >0 esiste

esiste  >0 >0 tale che se tale che se |y-y| < |y-y| < , , allora

allora |f(x,y) - f(x, y|f(x,y) - f(x, y⁰⁰)| < )| < /(b-a)/(b-a) . . Perciò

Perciò |g(y)-g(y|g(y)-g(y⁰⁰)|≤ )|≤ 

Vale inoltre Vale inoltre

Teorema

Se f: [a,b] f:  [c,d]  R e f R _y sono

Continue sul rettangolo, allora g(y) =∫f(x,y)dx, è derivabile e si ha ^b

a

g’(y) =∫ f_y(x,y)dx

a b

Infatti si può considerare la funzione Infatti si può considerare la funzione

continua continua

h(y) =∫ f_y(x,y)dx

a b

e integrarla tra

e integrarla tra cc e e yy. Scambiando . Scambiando poi l’ordine d’integrazione, si trova poi l’ordine d’integrazione, si trova

( f₂(x,t)dx)dt  ( f2(x,t)dt)dx =

c y

a b

a b

c y

 [f (x, y)  f (x,c)]

a

b dx g(y)  g(c)

CioèCioè

h(t)dt  g(y)  g(c)

c y



E quindi E quindi

g’(y) = h(y) = ∫ f_y(x,y)dx

a b

Se Se

F(y,  ^,  )  f (x,y)dx







con con a≤ a≤  ≤ ≤  ≤b ≤b, , F(y, F(y, , , )) è è

funzione continua e derivabile con funzione continua e derivabile con

continuità e quindi differenziabile continuità e quindi differenziabile

delle sue variabili;

delle sue variabili; FF_yy(y, (y, , , )) è dato è dato dalla formula precedente;

dalla formula precedente;

FF_(y, (y, , , ) = -f() = -f(,y),y);;

FF_(y, (y, , , ) = f() = f(,y),y).. F(y, F(y, (x), (x), (x)(x))) è è continua o derivabile se lo sono

continua o derivabile se lo sono (x)(x),,

(x)(x)..

Fra le possibili utilizzazioni delle Fra le possibili utilizzazioni delle

formule, ne segnaliamo una: ancora formule, ne segnaliamo una: ancora

Dopo avere calcolato Dopo avere calcolato

si calcoli si calcoli

dx

x

 y

0





dx

(x²  y²)²

0





Il primo integrale vale

Il primo integrale vale π/(2y)π/(2y)

Derivando sotto il segno e dividendo Derivando sotto il segno e dividendo per per -2y-2y, si trova che il secondo , si trova che il secondo

integrale vale

integrale vale π/(4yπ/(4y³³))

Altro esempio: si voglia calcolare Altro esempio: si voglia calcolare

e

sen xy x

0



 ^dx

e^{ x} cos xy

0





1  y²

Derivando sotto il segno d’integrale Derivando sotto il segno d’integrale

rispetto a

rispetto a yy, si trova, si trova

integrando rispetto a y i due integrando rispetto a y i due

membri membri

e

sen xy x

0



 dx = arctg y

Se facciamo la sostituzione

Se facciamo la sostituzione x = z/yx = z/y

e

sen z z

0



 dz = arctg y

E prendendo il limite per

E prendendo il limite per yy  ∞ ∞

sen z z

0



 ^{dz = π/2}