lez1

(1)

1 Esercitazione del 03/11/2010

Indichiamo con D il disco unitario in C, ovvero l’insieme {z ∈ C : |z| < 1} e con Da il disco di raggio a > 0, ovvero {z ∈ C : |z| < a}. Ricordiamo alcuni

risultati classici della teoria di una variabile complessa. Thm 1.1 (Liouville) Per ogni r > 0, Hol(C, Dr) = Dr.

Cor 1.2 Sia f ∈ Hol(C, C). Se f(C) ha complementare a parte interna non

vuota, allora f `e costante.

Dim: Sia z0 nella parte interna del complementare di f(C); si consideri la

funzione

g(z) = 1

f (z)− z0

Essa `e olomorfa e vale

|g(z)| ≤ _dist(z1

0, f (C))

< +_∞

dunque, per Liouville, f `e costante. !

Thm 1.3 (Casorati-Weierstrass) Sia U ⊆ C un aperto e sia z0∈ U un suo

punto. Se f ∈ Hol(U \ {z0}, C) ha una singolarit`a essenziale in z0, allora per

ogni V intorno di z0 in U l’immagine f(V \ {z0}) `e densa in C.

Prp 1.4 (Schwarz) Sia f ∈ Hol(D, D) con f(0) = 0. Allora

|f(z)| ≤ |z| ∀ z ∈ D

e |f!_{(0)| ≤ 1. Se inoltre esiste z ∈ D per cui vale l’uguaglianza |f(z)| = |z| o se} |f!_{(0)| = 1, allora f(z) = az con a ∈ S}1_.

Il lemma di Schwarz `e il primo passo verso la classificazione degli automor-fismi del disco, infatti porta in maniera naturale alla seguente proposizione. Prp 1.5 Se f ∈ Aut(D) `e tale che f(0) = 0, allora f(z) = az con a ∈ §1_.

Dim: Ovviamente, f(z) = az `e un automorfismo del disco e fissa l’origine. D’altra parte, se f ∈ Aut(D), anche f−1_{∈ Aut(D) e se f(0) = 0, anche f}−1_{(0) =}

0, quindi, per il lemma di Schwarz, si ha

|f(z)| ≤ |z| |z| = |f−1(f(z))| ≤ |f(z)|

da cui |f(z)| = |z| per ogni z e dunque, sempre per il lemma di Schwarz,

f (z) = az.!

Con la notazione Autp(X) si indica il sottogruppo di Aut(X) fatto da quegli

elementi che fissano p. Il risultato precedente pu`o allora essere riformulato dicendo che

Aut0(D) = {f(z) = az : a ∈ §1}

Rem 1.1 Se J `e un sottogruppo di Aut(X) che sia transitivo su X e che

(2)

Thm 1.6 Si ha Aut(D) =!z'→ az + b bz + a | a, b ∈ C, |a| 2 − |b|2_{= 1} " =!z_{'→ e}iφ z− w wz_{− 1} | w ∈ D, 0 ≤ φ < 2π "

Dim: Usando la proposizione precedente, è facile vedere che entrambi questi gruppi contengono Aut0(D). Inoltre, la transitività è ovvia. L’unica verifica

da fare (facile, ma noiosa) `e che entrambi questi gruppi siano effettivamente composti da automorfismi del disco. _!

Generalizziamo ora il lemma di Schwarz nel caso di una generica mappa dal disco in s`e.

Prp 1.7 (Schwar-Pick) Sia f ∈ Hol(D, D), allora

|f(z) − f(w)| |f(w)f(z) − 1|≤

|z − w|

wz_{− 1|} ∀ z, w ∈ D Se esistono z, w per cui vale l’uguaglianza, allora f ∈ Aut(D).

Dim: Sia

gw(z) = z− w wz_{− 1}

Allora h = gf (w)◦ f ◦ gwsta in Hol(D, D) e fissa l’origine e dunque, per Schwarz,

si ha |h(ξ)| ≤ |ξ|, da cui |f(z) − f(w)| |f(w)f(z) − 1| ≤ |g −1 w (z)| Notiamo che g−1 w = gw e dunque |f(z) − f(w)| |f(w)f(z) − 1| ≤ |z − w| |wz − 1|

Il caso di uguaglianza segue sempre dal lemma di Schwarz. !

Questi risultati possono essere trasportati dal disco al sempipiano H = {z ∈ C : Im(z) > 0} tramite il biolomorfismo

z'→ i1 + z_{1 − z} e il suo inverso z'→ z_{z + i}− i Quindi, ad esempio Aut(H) =!z_'→αz + β γz + δ : # α β γ δ $ ∈ SL(2, R) "

(3)

e, per ogni f ∈ Hol(H, H), vale

|f(z) − f(w)| |f(z) − f(w)| ≤

|z − w| |z − w|

Esercizio Dimostrare che per f ∈ Hol(D, D) si ha

|f!_(z)|

1 − |f(z)|2 ≤

1

1 − |z|2 ∀ z ∈ D

Esercizio Sia f ∈ Hol(D, D) con f(0) = 0. Sia n ≥ 1 e ζ = e2iπ/n_{. Allora}

|f(ζz) + f(ζ2z) + . . . + f (ζnz)_{| ≤ n|z|}n _{∀ z ∈ D}

e se vale l’uguaglianza per un valore di z, si ha f(z) = azn_.

1.1 Teorema della mappa di Riemann

Da quanto detto, `e evidente che, dal punto di vista dell’analisi complessa, il disco e il piano complesso sono abbastanza dissimili. Infatti, pur essendo omeomorfi, non sono biolomorfi (facile corollario di Liouville); d’altra parte, il disco e il semipiano superiore sono invece biolomorfi.

Thm 1.8 (Riemann) Sia G ! C un dominio semplicemente connesso, allora

G `e biolomorfo a D.

Dim: In G, ogni unità di O(G) ha una radice quadrata, in quanto G è sempli-cemente connesso; supponiamo 0 ∈ G e sia a ∈ C \ G. Allora w(z) = z − a è olomorfa su G e non nulla, quindi esiste v(z) ∈ O(G) tale che v2_{(z) = z − a.}

Notiamo che v : G → C `e iniettiva, in quanto lo `e il suo quadrato, ed inoltre

v(G)∩ (−v(G)) = ∅. Quindi esiste un disco B = B(c, r) tale che v(G) ⊂ C \ B.

Poniamo g(z) = 1 2r # 1 z− c− 1 v(0)− c $

Allora la funzione f(z) = g ◦ v(z) manda G in D, `e iniettiva e f(0) = 0. Definiamo dunque la famiglia

F = {f ∈ Hol(G, D) | f iniett., f(0) = 0, f!(0) > 0}

Per quanto appena detto, F non `e vuota. Sia B = sup{f!_{(0) | f ∈ F}. Allora}

esiste {gn} ⊂ F tale che gn!(0) → B. Poich´e gli elementi di F sono limitati

da una stessa costante, per il teorema di Montel F `e una famiglia normale e dunque esiste gnk che converge ad f sui compatti di G. Ovviamente |f(z)| ≤ 1,

f (0) = 0 e f!(0) = B. Inoltre, per il teorema di Hurwitz, il limite di funzioni

iniettive `e iniettivo o costante ed f, non essendo costante, `e dunque iniettiva. Per cui f ∈ F.

Ora, mostriamo che f `e anche surgettiva. Supponiamo quindi che f(z) .= w0

per ogni z ∈ G. Allora

F (z) =

%

f (z)_{− w}0

(4)

`e ben definita e G(z) = |F!(0)| F!₍₀₎ F (z)_{− F (0)} 1 − F (0)F (z) sta in F, ma G!(0) = |F!(0)| 1 − |F (0)|2 = 1 + |w0| 2&_|w0| B > B

che `e assurdo. Quindi f `e surgettiva.

f `e iniettiva e surgettiva tra G e_{D e dunque `e un biolomorfismo. !}

1.2 Teorema di Picard

Lo scopo di questa sezione è, per l’appunto, di dimostrare il Grande Teorema di Picard, che afferma che tutti i valori eccetto al più uno vengono assunti infinite volte nell’intorno di una singolarità isolata.

A tale scopo, analizziamo nel dettaglio il comportamento delle mappe olo-morfe limitate.

Prp 1.9 (Landau - Bloch) Sia f ∈ Hol(D, C) con f(0) = 0, f!_{(0) = 1 e} |f(z)| ≤ M per ogni z ∈ D. Allora esiste B = B(M) tale che f(D) contiene un disco di raggio B attorno all’orgine.

Dim: Osserviamo che, se |f(z)| ≥ a > 0 per ogni z ∈ bDr, allora per ogni w0 ∈ Da si ha che f(z) − w0 e f(z) hanno lo stesso numero di zeri in Dr per

il teorema di Rouch´e. In particolare, questo significa che f(z) assume almeno una volta ogni valore appartenente a Da, mentre z varia in Dr.

Ora, f(z) = z + a2z2+ . . . e |f(z)| ≤ M, quindi in particolare |an| ≤ M. Se |z| = r < 1, si ha |f(z)| = |z + (f(z) − z)| ≥ |z| − max |z|=r|f(z) − z| ≥ r − M(r 2_{+ . . . + r}n_{+ . . .)} = r − M r2 1 − r ≥ 1 6M > 0 non appena r = 1/4M. Quindi f(D) contiene D1/6M. !

Thm 1.10 (Schottky) Sia f : Dr→ C olomorfa su Dr e tale che f(z) .= 0, 1 per ogni z. Allora per ogni t ∈ (0, 1) si ha

|f(z)| ≤ Ω(a0, t) ∀ z ∈ Dtr con a0= f(0). Dim: Sia H(z) = log '( log f(z) 2iπ − ( log f(z) 2iπ − 1 )

Tale funzione `e olomofa per |z| ≤ r e non assume i valori log(√n±√n + 1) + 2imπ

per n > 0, m interi. Quindi esiste una costante C tale che H(z) non copre una palla di raggio C.

(5)

Sia poi

H1=

H(z)_{− H(ξ)} H!_(ξ)

con ξ ∈ Dr e H!(ξ) .= 0. Tale funzione `e olomorfa in |z − ξ| < r − |ξ|, quindi H1

riempie un disco di raggio B(r −|ξ|) per la proposizione precedente e H riempie un disco di raggio B(r − |ξ|)H!_{(ξ) ≤ C.} Dunque H!(ξ) ≤ C B(r− |ξ|) per |ξ| < r. Allora |H(ξ)| ≤ |H(0)| +C_B * ₁ r_{− s}ds =|H(0)| + C B log r r_{− |ξ|} quindi se |z| ≤ tR, |H(z)| ≤ |H(0)| + C Blog 1 1−t.

Sostituendo l’espressione di H, si ricava una stima in termini di f:

|f(z)| = | exp1₂πi (exp 2H(z) + exp(_{−2H(z))) ≤ exp π(exp 2|H(z)|)}

quindi

|f(z)| ≤ exp_{(1 − t)}A k

+ dove A = π exp 2|H(0)| dipende solo da f(0) = a0 e k = 2C/B. !

Non `e difficile estendere questo risultato, provando che, se |f(0)| < a0, allora

esiste una costante Ω∗_(a

0, t) tale che

|f(z)| < Ω∗(a0, t)

per ogni z ∈ Dtr.

Thm 1.11 (Grande Picard) Se 0 `e una singolarit`a essenziale per la funzione

f (z), allora in ogni intorno della forma_{{0 < |z| < t} la funzione f assume ogni} valore finito infinite volte, eccettuato al pi`u uno.

Dim: Supponiamo che f non assuma i valori 0 e 1 se non un numero finito di volte. Definiamo

fn(z) = f(2nz)

Queste funzioni, sull’anello G = {1/2 < |z| < 2}, per n abbastanza grande sono olomorfe e non assumono i valori 0 e 1. Sia z0 un punto di tale anello e sia r

abbastanza piccolo di modo che B(z0, r) e B(z0, 2r) siano entrambe contenute in

G; supponiamo che esista una sottosuccessione tale che_|fnk(z0)| < β per ogni k.

Allora |fnk(z)| < Ω∗(β, 1/2) per z ∈ B(z0, r), applicando il teorema di Schottky

su B(z0, 2r) e dunque la sottosuccessione fnk `e limitata, quindi equicontinua,

quindi convergente in B(z0, r).

Se invece fn(z0) → ∞, allora le funzioni gn = 1/fn rispettano le stesse

ipotesi e gn(z0) → 0, quindi esiste gnk convergente assolutamente sui compatti,

(6)

tutte le gnk devono avere almeno una radice in B(z0, r) che `e assurdo. Dunque

gnk→ 0 e fnk→ ∞ uniformemente sui compatti di B(z0, r).

Dunque la famiglia fn `e localmente normale in G, ma dunque `e normale e

questo `e assurdo. Se infatti fnk → F , allora f `e limitata in un intorno di 0 e

dunque `e estendibile ad una funzione olomorfa in 0; se invece fnk → ∞, allora

g = 1/f `e olomorfa in 0 e vale 0, ma allora f avrebbe al pi`u un polo 1/g in 0.