La legge normale e il teorema del limite centrale

La legge normale e

il teorema del limite centrale

.

Mentre la legge dei grandi numeri stabilisce la convergenza del valor medio x

di un certo campione di variabili casuali (x ₁ ,x _2, x _3……. x _n ) verso il valore atteso E(x) e della deviazione standard σ

verso il valore atteso della deviazione standard σ della popolazione, nulla dice sulle leggi di distribuzione di probabilità di tali variabili casuali.

Il teorema del limite centrale risponde a questo problema e stabilisce le

condizioni per le quali una variabile casuale tende alla distribuzione

normale di Gauss

Campione e popolazione

Sperimentalmente si studia il comportamento di un fenomeno non deterministico raccogliendo un campione di variabili aleatorie (x ₁ ,x _2, x _3……. x _n ) e si calcola la

media X

= ( x _i )/n

Ebbene se il numero n delle osservazioni è sufficientemente grande il comportamento probabilistico della media campionaria (qualunque sia la legge di probabilità delle variabili x ₁ ,x _2, x _3……. x _n ) è dello stesso tipo segue la legge normale di Gauss

con valor medio   X _medio e varianza _σ

 σ

_medie = _σ

² /n

Questo straordinario risultato va sotto il nome di Teorema

del limite centrale e giustifica il perché la distribuzione

normale di Gauss abbia un ruolo prevalente nella statistica

inferenziale

L’enunciato del teorema è il seguente:

Sia X una variabile casuale somma di variabili casuali x _i X=  a _i x _i

indipendenti ed equidistribuite

( ovvero le variabili casuali seguono la stessa legge di probabilità e si indichi con E(x) il valore atteso e Var(x) la varianza

della variabile aleatoria x

(anche se non noti)

Si dimostra che

La variabile X ha una funzione di distribuzione di probabilità che tende a quella normale al crescere di n, con valore

E(X)=  a

E(x

) e

Var (X)=  a

Var(x

) .

Ora la media è una combinazione lineare di x

indipendenti e equidistribuiti con tutti gli E(x

) = E(x) e Var(x

) = Var(x) e con gli a

=1/n.

Applicando il teorema risulta che

 = E(X

) = n(1/n)E(x) = E(x) e

σ

= Var (X

) = n(1/n

) Var(x) = Var (x)/n

Inoltre il teorema centrale assicura che la distribuzione di probabilità della variabile X

è, per n sufficientemente

grandi, la distribuzione di Gauss con parametri

 e σ sopra determinati.

Vedremo che la miglior approssimazione

di  è X

e di  è 

/n

Esiste una dimostrazione rigorosa, dovuta a Laplace, che la distribuzione degli scarti delle misure affette da errori casuali e indipendenti è la funzione normale di Gauss

La legge di Gauss degli errori come limite di una binomiale (7.13 Carnelli)

Si suppone, nel modello di Laplace che gli errori casuali

di misura possano essere schematizzati come il concorso

contemporaneo di un numero n molto grande di disturbi,

molto piccoli e indipendenti tra loro, di ampiezza

costante ℇ, ognuno dei quali tenda a spostare la misura x

dal valore vero X con uguale probabilità in difetto o in

eccesso .

Modello di prove ripetute

e la pro ^{(n- )}

La probabilità che si presenti un determinato valore di x è data dalla probabilità che si presentino n disturbi

positivi e (n- n) disturbi negativi ovvero dalla

B _n,p ( n ^{) = ( n} _n ⁾ p ⁿ q ^{(n- n ) con p = q}

La variabile x è legata a n da una relazione lineare

Si dimostra che la forma analitica della densità di probabilità

per un certo risultato x è la gaussiana