Ottimizzazione topologica di reti
di tipo Internet Protocol con il
metodo del Local Branching
Politecnico di Torino
Tesi di Laurea
Relatore:
prof. Roberto Tadei
Candidato:
Flavio Cimolin
Un problema di Network Design
Le componenti del problema sono: • Un insieme di nodi
• Una serie di archi fra i nodi
• Delle richieste che devono essere instradate sulla rete Su ogni arco possono essere installati dei link
(cavi in fibra ottica), con un certo costo unitario
ed una determinata capacità. Ogni arco presenta poi dei pesi di instradamento in entrambe le direzioni di percorrenza
Si deve garantire il corretto instradamento di tutti i flussi secondo un protocollo di tipo
Internet Protocol OSPF-ECM
Problema:
Modello in PLMI
Insiemi Insiemi Funzione Obiettivo FunzioneObiettivo IstanzaIstanza
Vincoli Vincoli Variabili Variabili Solver Solver
Xpress IVE ed il linguaggio Mosel
• Xpress IVE è un software di ottimizzazione della Dash Optimization che si basa sul
linguaggio Mosel
• Mosel è un linguaggio di programmazione particolarmente indicato per scrivere modelli di
Programmazione Lineare Variabili e vincoli Albero di ricerca, Statistiche, Grafici di progresso Output
Branch and Bound
•
E’ lo strumento base per risolvere problemi di PLMI
•
E’ un metodo di tipo enumerativo con uno schema ad
albero
•
Ad ogni passo sceglie una variabile frazionaria e genera
due sottoproblemi imponendone l’interezza
•
Sfrutta dei rilassamenti del problema
•
Consente di eliminare interi sottoinsiemi di soluzioni in
base a 3 criteri di fathoming:
1. Inammissibilità della soluzione 2. Soluzione intera determinata 3. Assenza di soluzione migliorante
Euristiche basate su ricerca locale
Si può descrivere l’algoritmo in quattro passi fondamentali:
1. Si parte da una soluzione iniziale di riferimento x
12. Si definisce un vicinato V, cioè un insieme di soluzioni
“vicine” a x
13. Si cerca all’interno del vicinato una soluzione x
2migliore
della precedente
4. Si reitera il procedimento creando un nuovo vicinato di x
2e cercando lì una soluzione ancora migliore
Permettono di determinare in breve tempo soluzioni
molto buone, ma senza poterne garantire l’ottimalità
Meta-Euristiche
A volte conviene accettare
una soluzione peggiorante
per poter uscire da minimi
locali e sondare più soluzioni
ammissibili
Le euristiche classiche hanno il rischio di subire
intrappolamenti
in
minimi
locali,
per
risolvere
l’inconveniente nascono le Meta-Euristiche
Metodi di
Tabu Search, Simulated Annealing, Algoritmi Genetici
IL LOCAL
Il Local Branching
• Presentato per la prima volta da M. Fischetti e
A. Lodi nel Maggio 2002
• E’ in linea di principio un metodo esatto, ma può
essere utilizzato in modo proficuo come una
meta-euristica
• Si basa sulla costruzione di vicinati in cui un certo
numero di variabili vengono fissate, ma non si sa a
priori quali
Soft Variable Fixing:
E’ il Solver stesso a decidere quali variabili fissare e
quali lasciare libere, facendo la scelta ottima
• Il Local Branching si applica bene a
problemi che hanno un elevato numero di
variabili binarie (0/1)
• Necessita di una soluzione iniziale di
riferimento
• A partire da essa, crea un vicinato che
contenga le soluzioni in cui cambino valore
al massimo k variabili binarie
Sia B l’insieme di tutti gli indici delle variabili binarie, e sia S il
supporto binario di , ovvero l’insieme degli indici delle variabili
binarie che hanno valore 1:
Tagli di Local Branching
Si definisce allora Taglio di Local Branching di ampiezza k il
vincolo aggiuntivo:
Scelto k sufficientemente piccolo, l’intorno che ne risulta può
essere esplorato interamente al fine di trovare una soluzione
migliore x
2, e così via…
Schema ad albero
Ne deriva uno schema ad albero molto simile al Branch and
Bound classico
Si parte dalla soluzione iniziale
Si impone un taglio di Local Branching
ed il suo opposto
Si esplora interamente il vicinato che ne deriva, con un “Tactical Branching”
Viene trovata una soluzione migliore
Si reitera il procedimento con la nuova soluzione determinata
Tagli di Local Branching
Il procedimento continua fino a quando nel nodo di sinistra non viene determinata
Allora resta solo più la possibilità di effettuare una ricerca esaustiva su tutte le restanti soluzioni
Inserimento di un tempo limite
• Quando si ha a che fare con problemi complessi (è il nostro caso), anche la ricerca sul ramo di sinistra può risultare troppo dispendiosa da poter essere portata a termine
• Si inserisce allora un tempo limite nella ricerca, oltre il quale fermarsi (nel caso sia già stata determinata una soluzione intera migliore della precedente)
Tempo limite raggiunto
Determinata una nuova soluzione
Si apre un nuovo ramo aggiungendo un taglio di Local Branching relativo alla nuova soluzione determinata
Non si può in questo
caso invertire questo taglio, perché il suo intorno non è stato esplorato interamente
Metodo del Local Branching
• Oltre al tempo limite si possono anche introdurre
delle diversificazioni
• Si abbandona così la struttura di metodo esatto
• Non si arriverà mai all’esplorazione dell’ultimo
nodo di destra
• Il comportamento rispecchia così quello di una
meta-euristica, e può determinare in tempi brevi
soluzioni sempre migliori, ma senza garantirne
l’ottimalità
Applicazione al
Sono le variabili
y
{i,j}, una per ogni arco presente nella
rete, ed indicano se esso deve essere aperto oppure no
Variabili di Local Branching
Il problema in esame presenta effettivamente un cospicuo
numero di variabili binarie, fissate le quali il problema diventa
“semplice”
TAGLIO DI LOCAL BRANCHING
Soluzione Iniziale
E’ necessaria per far partire il metodo
Sono state testate due tipi diversi di soluzioni iniziali
MAGLIA COMPLETA ALBERO RICOPRENTE
di costo minimo
Tutti gli archi
Istanze analizzate
• Per reti con 3, 4 e 5 nodi il Solver risolve il
problema in frazioni di secondo
• Per una rete con 6 nodi e richieste fra tutte le
possibili coppie di nodi il Solver non trova
soluzioni in 24 ore
Nodi di destinazione
• La complessità dell’istanza dipende dal numero di
nodi di destinazione (insieme D
K)
• Sono allora state studiate numerose istanze da 6 e
da 7 nodi, nelle quali non tutti i nodi erano
destinazione di qualche richiesta
• Per ognuna di esse si sono fatti variare i parametri
caratteristici (k, tempo limite, tipo di istanza iniziale)
• Per questi casi si è confrontato il comportamento del
metodo del Local Branching con quello del metodo
esatto (Branch and Bound)
Risultati ottenuti
Se i parametri di tempo limite, dimensione del vicinato e
soluzione iniziale vengono settati con accuratezza, il Local
Branching funziona meglio del Branch and Bound
• La soluzione iniziale “albero ricoprente di costo minimo” funziona meglio di quella “maglia completa”
• Il valore di k migliore è 3 (vicinato di medie dimensioni)
• Il valore di tempo limite più opportuno è di scegliere sempre la prima soluzione determinata (strategia first improvement)
Il metodo risulta però sempre troppo lento per istanze
grandi dato che l’algoritmo non riesce
Esempio di confronto
Istanza da 6 nodi, con 3 nodi di destinazione, k = 3, strategia first improvement, soluzione iniziale albero ricoprente di costo minimo
Sviluppi futuri
Il metodo è molto buono in linea teorica, ma nella
pratica non riesce ad essere efficiente per istanze grandi: la causa è la scarsa interazione fra algoritmo e Solver
