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Grandezze fisiche completamente descritte da un

numero:

scalari

Grandezze fisiche completamente descritte da tre

numeri (intensità, direzione e verso):

vettori

Operazioni fra vettori

Somma:

A

+

B

=

C

Sottrazione:

A + (

-

B)

=

D

Tale operazione gode delle proprietà

Associativa:

A

+

B

+

C

= (

A

+

B

)

+

C

=

A

+ (

B

+

C)

=

D

Commutativa:

A

+

B

=

B

+

A

=

C

A B C -B A D

Vettore A=aˆA di ampiezza A=|A| e vettore unità aˆ=A/A a^ A = aA^ A 1 ^ x^ y^ z y x z Az A_z Ay Ax Ar A x y (a) Base vectors

(b) Components of A 1 1 1 2 3 2 3 2 3 | |= A_x2 + A2_y + A_z2 vector A= xˆA_x +yˆA_y +zˆA_z

A B (a) θ_AB A B (b) z y x n^ B A θ AB A ∞ B = n^ AB sin θ AB

(a) Cross product

B A A ∞ B

A B = AB cosθ

ΑΒ ≥ θΑΒ ≥ 90° 90° ≥ θΑΒ ≥ 180 A B = (xˆA_x +yˆA_y +zˆA_z) •••• (xˆB_x +yˆB_y +zˆB_z) = AxBx + AyBy + AzBz Proprietà distributiva: A (B + C)= A B + A C Proprietà commutativa

:

A B = B A A X B A X B = nˆ ABsinθ_AB A X B = z y x z y x B B B A A A z y xˆ ˆ ˆ = = x0 (AyBz-AzBy) + y0 (AzBx-AxBz) + + z0 (AxBy-AyBx)

Tale operazione gode della

Proprietà distributiva: Ax(B + C)= AxB + AxC e non gode delle

Proprietà commutativa: AxB = - BxA

Proprietà associativa: Ax(BxC) diverso (AxB)xC

Prodotto misto

A (BxC)=C (AxB)=B (CxA)=(AxB) C

valore immutato ruotando i vettori o permutando le operazioni: rappresenta il volume (grandezza scalare) del parallelepipedo di lati

A, B, C

manca il parallelepipedo

Doppio prodotto vettore Ax(BxC)=B (A C)–C (A B)

∇ ∇ ∇ ∇

[ ]

V s d lim S 0 V ∆ = ∇ → ∆ nˆ z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ xˆ yˆ zˆ Φ !"# #

[ ]

V s d lim rad g S 0 V ∆ Φ = Φ → ∆ nˆ z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∇ grad xˆ yˆ zˆ #

Α Α Α Α !"# # V s d lim iv d S 0 V ∆ ⋅ = → ∆ nˆ A A = xˆ A_x + yˆ A_y + zˆ A_z z A y A x A_x y _z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ⋅ ∇ A div A $ S dl lim ot r V s d x lim ot r C 0 S S 0 V ∆ ⋅ = ∆ = → ∆ → ∆ lˆ A A nˆ A A

∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∇ y A x A x A z A z A y A A A Ax y z x y z x y z z y x z y x z y x A A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ rot x $ 0 ) x (∇ = ⋅ ∇ A 0 ) ( x ∇ = ∇ # ∇2 2 ∇ % & 2 2 2 2 2 2 2 _{( )} z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ A 2 ∇ z y x A A A z y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _{= ˆ ∇ + ˆ ∇ + ˆ ∇} ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ A A x y z

+q n^ A ⋅ ∇ & ' ( ) ( ( '* ⋅ = ⋅ ∇ S V A s AdV d ) ∇⋅A ( )* Sup. chiusa S Linee di flusso del vettore E ! = ⋅ S s E d ds nˆ ds

"

+ ) , ∇ x A ) - ( ) * C ds n^ ds = n ds ^ dl ) ∇ x A ( # -*

(

∇

)

⋅ = ⋅ C S x A ds A dl

#

+ # . # & # ( • • CAMPO CONSERVATIVO