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LE SUCCESSIONI
• Si consideri la seguente sequenza di numeri: • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…
• detti di Fibonacci. Essa rappresenta il numero di coppie di conigli presenti nei primi 12 mesi in un allevamento!
• Si consideri la sequenza ottenuta dividendo ogni elemento per il precedente:
• • ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,...
• I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea:
... , 8 13 , 5 8 , 3 5 , 2 3 2, , 1 ... 61803 . 1 2 5 1
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LE SUCCESSIONI
• Le successioni sono particolari funzioni aventi come dominio l’insieme N dei numeri naturali e come N
codominio un sottoinsieme B proprio dell’insieme dei B
numeri reali.
• Le successioni vengono indicate : • Ovvero come :
• Il grafico di una successione
si trova nel primo o nel quarto quadrante.
n
a n
Successioni numeriche:
rappresentazione grafica
Anche le successioni possono essere rappresentate sul piano cartesiano, sull'asse delle ascisse vengono riportati i valori di n, su quella delle ordinate invece gli an. Il grafico è quindi costituito da una serie di punti isolati;
in figura è riportato l'esempio della successione naturale dei numeri dispari
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LE SUCCESSIONI
Esempio 1.
•Si consideri la successione:
al crescere di n la frazione, che assume valori positivi, si avvicina sempre di più al numero 0.
Esempio 2
•Si consideri la successione:
Al crescere di n la potenza assume valori sempre più grandi Esempio 3
•Si consideri la successione :
Al variare di n i valori sono alternativamente +1 e –1. n a n n 1 n n
a
n
10
n na
n
(
1
)
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LE SUCCESSIONI
Successioni numeriche:
limitatezza
Successioni numeriche:
monotonia
Successioni numeriche:
monotonia
Teorema sulle successioni monotòne
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LE SUCCESSIONI: realtà e modelli
• Si consideri un investimento che alla fine di ogni unità di tempo (scelta) garantisce un premio costante pari ad una percentuale fissa (i= tasso di interesse) della somma
inizialmente investita (C0 ). Il capitale dopo n periodi è
espresso da:
• Se invece il premio è calcolato sul capitale disponibile all’inizio di ogni unità di tempo allora il capitale dopo n periodi è dato dal termine n-esimo della successione:
n
C
C
0(
1
n
i
)
n n nC
C
i
a
n
0(
1
)
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LE SUCCESSIONI
• Proprietà dei limiti: • A) • B) • C) • D) n n n n n n
nlim a b lima limb
n n n n n nnlim a b lima limb
n n n n n n n b a b a lim lim lim
n bn n n n b n n a a lim lim lim12
LE SUCCESSIONI
• Si consideri la successione il cui termine generico è rappresentato da un polinomio di grado h in n:h
• Esempio 4:
• Raccogliendo la potenza di grado più elevato in n si ha:
• In generale si ha: h h h n
n
n
a
n
0
1 1
...
1
5
2
2
a
n
n
n
n ) 1 5 2 ( 2 2 n n n nlim n n a lim
(
2
0
0
)
n n a limsign
(
0)
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LE SUCCESSIONI
• Un successione nella quale il termine generico è dato dal rapporto di due polinomi assume l’espressione:
• A) h>k • B) h=k • C) h<k k k k h h h n n n n n a n ... ... 1 1 0 1 1 0 1 2 2 4 n n n a n n 1 2 2 2 n n n a n n 1 2 4 2 n n n a n n
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LE SUCCESSIONI
• In tutti e tre i casi si raccoglie sia a numeratore sia a denominatore la potenza di grado più elevato:
• Nel caso A) si ha
• Il numeratore diverge a e quindi la successione diverge a • mentre il denominatore converge a –1 quindi la
successione diverge a 2 4 2 2 2 4 4 1 1 1 ) 2 1 ( ) 1 1 1 ( ) 2 1 ( n n n n n n n n n
n a
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LE SUCCESSIONI
• Nel secondo caso procedendo nello stesso modo si ottiene:
• Per cui
e quindi la successione è convergente a - 1.
2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 ) 1 1 1 ( ) 2 1 ( n n n n n n n n 2 2 1 1 1 2 1 n n n nlim 1 1 1
na
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LE SUCCESSIONI
• Nel caso C) si ha:
• Il numeratore tende ad un numero finito mentre il
denominatore tende all’infinito (per la precisione a ), quindi si ottiene: • =0 • La successione è convergente. ) 1 1 1 ( 2 1 ) 1 1 1 ( ) 2 1 ( 4 3 2 2 4 3 4 2 2 n n n n n n n n n nlim 1 2 4 2 n n n n a
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LE SUCCESSIONI
• Concludendo: • A) se h>k la successione è divergente a • B) se h=k la successione è convergente a • C) se h<k la successione è convergente a 0. 0 0 ) ( 0 0 sign18
LE SUCCESSIONI
• Per quanto riguarda la successione il cui termine generico ha la forma:
• si presenta una situazione difficile solo se la la base della potenza tende ad 1 e l’esponente tende all’ , perché si genera la forma indeterminata
p p n p n k k k h h h n n n n n a n ... 1 1 0 1 1 0 1 1 0 ... ...
1
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LE SUCCESSIONI
• Si consideri la successione :
• Essa da luogo alla forma indeterminata
• ma si può dimostrare che tale successione è convergente al numero di Eulero e=2,718… che è la base dei logaritmi e
neperiani (non naturali!) lnx.ln
n n n a n 1 1 1
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LE SUCCESSIONI
• Si consideri ora la successione:
• Dove le due successioni e sono
divergenti. Il calcolo del limite della successione porta alla forma indeterminata . In questo caso si opera così:
• n b n n a c n 1 1 n a n n bn 1 n a n b n a n n a n b n a n a a 1 1 1 1
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LE SUCCESSIONI
• Calcolando il limite si ottiene:
n b n a 1 1 nlim n a n b n a n a 1 1 nlim n a n b n
e
lim22
LE SUCCESSIONI
• Esempio 5.
• Si consideri la successione
• Il calcolo del limite porta a:
n n n n a n 2 2 3 2 1 1
e
e
e
n n n n
2 1 3 2 2 2 lim nlim an23
LE SUCCESSIONI
• La successione geometrica:
• Se la successione è oscillante e non esiste. • Se la successione è convergente e • Se q=1 la successione è costante e • Se la successione è divergente e 1 an aqn n 1 q n n a lim 1 1 q lim 0 n n a 1 q sign(a) n n a lim a a n n lim
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