Indicatori di Posizioni e di Variabili

Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE

PROFESSIONI SANITARIE DELLA RIABILITAZIONE

Consentono il passaggio da una pluralità di informazioni

ad un’unica misura numerica;

Sintetizzano l’intera distribuzione in un singolo valore,

consentendo così confronti nel tempo, nello spazio o tra

circostanze differenti;

In alcuni casi, consentono di verificare se le conseguenze

di una determinata azione abbiano prodotto il risultato

desiderato, in quale direzione e con quale intensità.

µ =19.4+14.0+16.8+...+17.7₂₀ =305.9₂₀ =15.3 mmHG

Esempio: Pressione

Oculare

Osservazione 1 19.4 Osservazione 2 14.0 Osservazione 3 16.8 Osservazione 4 14.5 Osservazione 5 12.0 Osservazione 6 12.0 Osservazione 7 13.7 ... ... Osservazione 19 19.7 Osservazione 20 17.7 Se i dati sono organizzati in forma di serie,

x1,x2, ...,xnessa si ottiene sommando tutti i valori

osservati e dividendo per il numero di osservazioni:

µ =

P

n

i=1

x

i

n

La

Media artimetica

, di seguito indicata con µ, è quel valore che,

sostituito a tutte le osservazioni, lascia invariata la loro somma.

Esempio: Età

Età Frequenza 20 4 21 3 22 3 23 3 24 3 25 4 Totale 20 Se i dati sono organizzati in forma di distribuzione

di frequenza, (x1,n1), (x2,n2), ..., (xk,nk)essa si

ottiene moltiplicando ciascun valore per la corrispondente frequenza, sommando tutti questi prodotti e dividendo quindi per la somma delle frequenze:

µ =

P

k j=1

x

j

× n

j

P

k j=1

n

j

La

Media artimetica

, di seguito indicata con µ, è quel valore che,

sostituito a tutte le osservazioni, lascia invariata la loro somma.

µ =(20×4)+(21×3)+...+(25×4)=450=22.5 anni

Esempio: Età

Età Frequenza 20 4 21 3 22 3 23 3 24 3 25 4 Totale 20 Se i dati sono organizzati in forma di distribuzione

di frequenza, (x1,n1), (x2,n2), ..., (xk,nk)essa si

ottiene moltiplicando ciascun valore per la corrispondente frequenza, sommando tutti questi prodotti e dividendo quindi per la somma delle frequenze:

µ =

P

k j=1

x

j

× n

j

P

k j=1

n

j

La

Media artimetica

, di seguito indicata con µ, è quel valore che,

sostituito a tutte le osservazioni, lascia invariata la loro somma.

Proprietà della Media aritmetica

La media aritmetica è sempre compresa tra il minimo e il

massimo della distribuzione osservata;

La media aritmetica è espressa nella stessa unità di

misura dei dati originali;

La somma algebrica degli scarti di ciascuna osservazione

dalla media aritmetica è nulla;

La media aritmetica è una sintesi di tutti i valori ed è quindi

influenzata da outliers; è cioè un indicatore poco robusto;

La media aritmetica può essere calcolata solo per variabili

quantitative.

N.B.Nel caso in cui n è pari e quindi esistono due posizioni mediane, se si è in pre-senza di variabili quantitative la mediana è ottenuta come semi-somma dei due valori corrispondenti; se la variabile è qualitativa ordinale allora si dice che la distribuzione

Calcolo della mediana

1 Si ordina la distribuzione in modo non decrescente; 2 _{Si determina la posizione mediana}

Se il numero di osservazioni n è dispari allora PosMe= n+1₂

Se il numero di osservazioni n è pari allora PosMe=

˘n 2,

n 2+1

¯ 3 _{Si osserva il valore che occupa la posizione mediana}

LaMediana, di seguito indicata con Me, è il valore assunto dall’unità statistica che occupa la posizione centrale della distribuzione ordinata in modo non decrescente; quel valore cioè che lascia alla sua sinistra il 50% delle osservazioni più piccole e alla sua destra il 50% delle osservazioni più grandi

Un esempio: n dispari

Valore Posizione 19 1 22 2 25 3 26 4 27 5

P

Me

=

n+1₂

=

5+1₂

=

3

Un esempio: n dispari

Valore Posizione 19 1 22 2 25 3 26 4 27 5

P

Me

=

n+1₂

=

5+1₂

=

3

Me = 25

Un esempio: n dispari

Valore Posizione 19 1 22 2 25 3 26 4 27 5

Un esempio: n pari

Valore Posizione 19 1 22 2 25 3 26 4 27 5

P

Me

=

n+1₂

=

5+1₂

=

3

Me = 25

Un esempio: n dispari

Valore Posizione 19 1 22 2 25 3 26 4 27 5

P

Me

=



_n 2

=

3,

n 2

+

1 = 4

Un esempio: n pari

Valore Posizione 19 1 22 2 25 3 26 4 27 5 41 6

P

Me

=

n+1₂

=

5+1₂

=

3

Me = 25

Un esempio: n dispari

Valore Posizione 19 1 22 2 25 3 26 4 27 5

P

Me

=



_n 2

=

3,

n 2

+

1 = 4

Me =

25+26₂

=

25.5

Un esempio: n pari

Valore Posizione 19 1 22 2 25 3 26 4 27 5

P

Me

=

n+1₂

=

5+1₂

=

3

Me = 25

Un esempio: n dispari

Valore Posizione 19 1 22 2 25 3 26 4 27 5

Assenza di dolore 0

Dolore Insostenibile 100 LaVASè una rappresentazione grafica della gravità del dolore che un paziente crede di avvertire. È costituita da una linea orizzontale di 100 millimetri con barre verticali alle due estremità che rappresentano l’assenza di dolore (0 mm) ed un dolore insostenibile (100 mm). Il paziente indica il punto che ritiene identifichi il suo stato algico. La distanza di questo dal punto di assenza di dolore, misurata in millimetri corrisponde al punteggio dolorifico

Assenza di dolore 0

Dolore Insostenibile 100 LaVASè una rappresentazione grafica della gravità del dolore che un paziente crede di avvertire. È costituita da una linea orizzontale di 100 millimetri con barre verticali alle due estremità che rappresentano l’assenza di dolore (0 mm) ed un dolore insostenibile (100 mm). Il paziente indica il punto che ritiene identifichi il suo stato algico. La distanza di questo dal punto di assenza di dolore, misurata in millimetri corrisponde al punteggio dolorifico

Assenza di dolore 0

Dolore Insostenibile 100

22

LaVASè una rappresentazione grafica della gravità del dolore che un paziente crede di avvertire. È costituita da una linea orizzontale di 100 millimetri con barre verticali alle due estremità che rappresentano l’assenza di dolore (0 mm) ed un dolore insostenibile (100 mm). Il paziente indica il punto che ritiene identifichi il suo stato algico. La distanza di questo dal punto di assenza di dolore, misurata in millimetri corrisponde al punteggio dolorifico

Prima Dopo Diff. 61 32 29 26 29 -3 56 56 0 30 35 -5 63 28 35 68 10 58 56 21 35 31 37 -6 10 49 -39 44 30 14 69 14 55 50 46 4 51 51 0 78 34 44 50 54 -4 76 18 58 47 34 13 52 31 21 37 18 19

Diff. Pos. -39 1 -6 2 -5 3 -4 4 -3 5 0 6 0 7 4 8 13 9 14 10 19 11 21 12 29 13 35 14 35 15 44 16 55 17 58 18 58 19 Ordinamento

Prima Dopo Diff.

61 32 29 26 29 -3 56 56 0 30 35 -5 63 28 35 68 10 58 56 21 35 31 37 -6 10 49 -39 44 30 14 69 14 55 50 46 4 51 51 0 78 34 44 50 54 -4 76 18 58 47 34 13 52 31 21 37 18 19

n = 19

P

Me

=

n+1₂

=

10

Diff. Pos. -39 1 -6 2 -5 3 -4 4 -3 5 0 6 0 7 4 8 13 9 14 10 19 11 21 12 29 13 35 14 35 15 44 16 55 17 58 18 58 19 Ordinamento

Prima Dopo Diff.

61 32 29 26 29 -3 56 56 0 30 35 -5 63 28 35 68 10 58 56 21 35 31 37 -6 10 49 -39 44 30 14 69 14 55 50 46 4 51 51 0 78 34 44 50 54 -4 76 18 58 47 34 13 52 31 21 37 18 19

n = 19

P

Me

=

n+1₂

=

10

Me = 14

Diff. Pos. -39 1 -6 2 -5 3 -4 4 -3 5 0 6 0 7 4 8 13 9 14 10 19 11 21 12 29 13 35 14 35 15 44 16 55 17 58 18 58 19 Ordinamento

Prima Dopo Diff.

61 32 29 26 29 -3 56 56 0 30 35 -5 63 28 35 68 10 58 56 21 35 31 37 -6 10 49 -39 44 30 14 69 14 55 50 46 4 51 51 0 78 34 44 50 54 -4 76 18 58 47 34 13 52 31 21 37 18 19

Proprietà della Mediana

La mediana è sempre compresa tra il minimo e il massimo

della distribuzione osservata;

La mediana è espressa nella stessa unità di misura dei

dati originali;

La mediana può essere calcolata sia per variabili

quantitative che per variabili qualitative ordinali

(Attenzione

però al caso in cui n è pari!)

La mediana non risente della presenza di eventuali outliers

perché si disinteressa di ciò che accade nelle code della

distribuzione dei dati;

I quartili sono indicatori di posizione che, al pari della mediana, si calcolano rilevando il valore assunto dalle unità statistiche che occupano posizioni cruciali nella serie ordinata (in senso non decrescente) dei dati

Il primo quartile (di seguito indicato con Q1) è quel valore che

lascia alla sua sinistra il 25 % delle osservazioni più piccole e alla sua destra il 75 % delle osservazioni più grandi

Il secondo quartile è quel valore che lascia alla sua sinistra il 50 % delle osservazioni più piccole e alla sua destra il 50 % delle osservazioni più grandi. Esso quindi coincide con la Mediana Il terzo quartile (di seguito indicato con Q3è quel valore che lascia

alla sua sinistra il 75 % delle osservazioni più piccole e alla sua destra il 25 % delle osservazioni più grandi

La variabilità di un fenomeno è la sua attitudine ad assumere differenti modalità.

Un indice di variabilità è una misura di tale attitudine, e dovrebbe possedere le seguenti caratteristiche:

1 _{Deve essere non negativo}

2 _{Deve essere nullo se e solo se tutte le unità presentano la} stessa modalità del carattere;

3 _{Deve aumentare all’aumentare della diversità tra le unità.} La variabilità può essere calcolata rispetto ad un centro (misure di dispersione) o valutando le differenze tra tutte le possibili coppie di unità osservate (misure di diseguaglianza)

X

µ

LaVarianza(di seguito indicata con σ2_{) è una delle misure di}

dispersione più utilizzate in statistica. Utilizza la Media aritmetica come valore di riferimento e si basa sulle distanze di ciascuna osservazione dal centro assunto come riferimento.

X

µ

X

µ

LaVarianza(di seguito indicata con σ2_{) è una delle misure di}

dispersione più utilizzate in statistica. Utilizza la Media aritmetica come valore di riferimento e si basa sulle distanze di ciascuna osservazione dal centro assunto come riferimento.

Indici Sintetici di Variabilità: Varianza

Razionale della Varianza

n X i=1 (xi− µ) i=1 Pn i=1(xi− µ)2 n = σ

2_{Media di scarti al quadrato}

LaVarianza(di seguito indicata con σ2_{) è una delle misure di}

dispersione più utilizzate in statistica. Utilizza la Media aritmetica come valore di riferimento e si basa sulle distanze di ciascuna osservazione dal centro assunto come riferimento.

Indici Sintetici di Variabilità: Varianza

Razionale della Varianza

n

X

i=1

(xi− µ) Il risultato è sempre uguale a 0

i=1

Pn

i=1(xi− µ)2

n = σ

2_{Media di scarti al quadrato}

LaVarianza(di seguito indicata con σ2_{) è una delle misure di}

dispersione più utilizzate in statistica. Utilizza la Media aritmetica come valore di riferimento e si basa sulle distanze di ciascuna osservazione dal centro assunto come riferimento.

Indici Sintetici di Variabilità: Varianza

Razionale della Varianza

n

X

i=1

(xi− µ) Il risultato è sempre uguale a 0 n

X

i=1

(xi− µ)2

LaVarianza(di seguito indicata con σ2_{) è una delle misure di}

dispersione più utilizzate in statistica. Utilizza la Media aritmetica come valore di riferimento e si basa sulle distanze di ciascuna osservazione dal centro assunto come riferimento.

Indici Sintetici di Variabilità: Varianza

Razionale della Varianza

n

X

i=1

(xi− µ) Il risultato è sempre uguale a 0 n

X

i=1

(xi− µ)2Dipende dal numero di osservazioni

LaVarianza(di seguito indicata con σ2_{) è una delle misure di}

dispersione più utilizzate in statistica. Utilizza la Media aritmetica come valore di riferimento e si basa sulle distanze di ciascuna osservazione dal centro assunto come riferimento.

Razionale della Varianza

n

X

i=1

(xi− µ) Il risultato è sempre uguale a 0 n

X

i=1

(xi− µ)2Dipende dal numero di osservazioni

Pn

i=1(xi− µ)2

n = σ

2_{Media di scarti al quadrato}

LaVarianza(di seguito indicata con σ2_{) è una delle misure di}

dispersione più utilizzate in statistica. Utilizza la Media aritmetica come valore di riferimento e si basa sulle distanze di ciascuna osservazione dal centro assunto come riferimento.

Prima Dopo 61 32 26 29 56 56 30 35 63 28 68 10 56 21 31 37 10 49 44 30 69 14 50 46 51 51 78 34 50 54 76 18 47 34 52 31 37 18

µprima= 61 + 26 + ... + 37 19 =50.3 µdopo= 32 + 29 + ... + 56 19 =33.0 Prima Dopo 61 32 26 29 56 56 30 35 63 28 68 10 56 21 31 37 10 49 44 30 69 14 50 46 51 51 78 34 50 54 76 18 47 34 52 31 37 18

σ2 prima= (61 − 50.3)2_{+ (26 − 50.3)}2_{+ ... + (37 − 50.3)}2 19 =298 σ2 dopo= (31 − 33)2_{+ (29 − 33)}2_{+ ... + (56 − 33)}2 19 =173 µprima= 61 + 26 + ... + 37 19 =50.3 µdopo= 32 + 29 + ... + 56 19 =33.0 Prima Dopo 61 32 26 29 56 56 30 35 63 28 68 10 56 21 31 37 10 49 44 30 69 14 50 46 51 51 78 34 50 54 76 18 47 34 52 31 37 18

Conclusioni

Prima del trattamento, il grado di dolore percepito dai pazienti risultain mediamaggiore (il trattamento ha cioè prodotto benefici nel collettivo esaminato). Si è inoltre determinata una riduzione della dispersione che è passata da 298 a 173; ciò indica che a seguito del trattamento, i valori di dolore risultano concentrati in misura maggiore attorno al punteggio medio. Vi è in altre parole un effetto stabilizzante. Cosa si sarebbe potuto concludere se invece la dispersione dei dati fosse aumentata a seguito del trattamento???

σ2 prima= (61 − 50.3)2_{+ (26 − 50.3)}2_{+ ... + (37 − 50.3)}2 19 =298 σ2 dopo= (31 − 33)2_{+ (29 − 33)}2_{+ ... + (56 − 33)}2 19 =173 µprima= 61 + 26 + ... + 37 19 =50.3 µdopo= 32 + 29 + ... + 56 19 =33.0 Prima Dopo 61 32 26 29 56 56 30 35 63 28 68 10 56 21 31 37 10 49 44 30 69 14 50 46 51 51 78 34 50 54 76 18 47 34 52 31 37 18

Dati in forma di serie µ = Pn i=1xi n σ2₌ Pn i=1(xi− µ)2 n

Quando i dati sono espressi sotto forma di distribuzione è necessario tener conto delle frequenze con cui ciascun valore è stato osservato. Ricordando che la Varianza è una media di scarti al quadrato allora...

Dati in forma di serie µ = Pn i=1xi n σ2₌ Pn i=1(xi− µ)2 n

Quando i dati sono espressi sotto forma di distribuzione è necessario tener conto delle frequenze con cui ciascun valore è stato osservato. Ricordando che la Varianza è una media di scarti al quadrato allora...

Dati in forma di distribuzione µ = Pk j=1xj× nj Pk j=1nj

Dati in forma di serie

µ = Pn i=1xi n σ2₌ Pn i=1(xi− µ)2 n

Quando i dati sono espressi sotto forma di distribuzione è necessario tener conto delle frequenze con cui ciascun valore è stato osservato. Ricordando che la Varianza è una media di scarti al quadrato allora...

Dati in forma di distribuzione µ = Pk j=1xj× nj Pk j=1nj

Dati in forma di serie

µ = Pn i=1xi n σ2₌ Pn i=1(xi− µ)2 n

Quando i dati sono espressi sotto forma di distribuzione è necessario tener conto delle frequenze con cui ciascun valore è stato osservato. Ricordando che la Varianza è una media di scarti al quadrato allora...

Dati in forma di distribuzione µ = Pk j=1xj× nj Pk j=1nj σ2= Pk j=1(xj− µ)2× nj Pk j=1nj

Dati in forma di serie

µ = Pn i=1xi n σ2₌ Pn i=1(xi− µ)2 n

Quando i dati sono espressi sotto forma di distribuzione è necessario tener conto delle frequenze con cui ciascun valore è stato osservato. Ricordando che la Varianza è una media di scarti al quadrato allora...

Dati in forma di distribuzione µ = Pk j=1xj× nj Pk j=1nj σ2= Pk j=1(xj− µ)2× nj Pk j=1nj

Dati in forma di serie

µ = Pn i=1xi n σ2₌ Pn i=1(xi− µ)2 n

Quando i dati sono espressi sotto forma di distribuzione è necessario tener conto delle frequenze con cui ciascun valore è stato osservato. Ricordando che la Varianza è una media di scarti al quadrato allora...

σ2₌(26 − 28.6)2× 5 + (27 − 28.6)2× 3 + ... + (30 − 28.6)2× 14 40 =1.83 anni 2 µ =(26 × 5) + (27 × 3) + ... + (30 × 14) 40 =28.6 anni Età Frequenza 26 5 27 3 28 7 29 11 30 14 Totale 40

Distribuzione di frequenza dell’età al primo parto per un collettivo di 40 donne italiane.

Proprietà della Varianza

La varianza non può assumere valori negativi;

E’ nulla

se e solo se

tutte le osservazioni sono uguali tra di

loro (e quindi la media coincide con esse);

Attribuisce lo stesso peso ad osservazioni distanti dalla

media in una direzione piuttosto che nell’altra;

E’ espressa in una unità di misura che è il quadrato di

quella dei dati originali.

Lo s.q.m possiede le stesse caratteristiche della varianza ed ha in più il vantaggio di misurare la variabilità di un fenomeno utilizzando la stessa lingua dei dati

σ =

√

σ

2

₌

r P

n i=1

(x

i

− µ)

2

n

Al fine di riportare la misura di variabilità all’unità di misura originale si estrae la radice quadrata della Varianza ottenendo un indice noto come

Scarto quadratico medio(abbreviato con s.q.m) oDeviazione standard

Utilizzando gli opportuni indici di posizione e di variabilitàconfrontarele due distribuzioni ecommentarei risultati ottenuti.

Durata Prima Dopo

60 6 14

70 4 3

80 4 3

90 6 0

Totale 20 20

Distribuzione di frequenza del tempo (in secondi) impiegato per il completamento di un test di lettura in un colletivo di 20 soggetti dislessici prima e dopo lo svolgimento di una terapia logopedica.