• Servono per “localizzare” la distribuzione, per individuare il valore intorno al quale la

(1)

∆ ∆

Unità 4

Gli indici di posizione

(2)

∆

Indici statistici di posizione

• Servono per “localizzare” la distribuzione, per individuare il valore intorno al quale la

distribuzione si “accentra”.

• Questi indici, cercano di individuare un valore che possa essere assunto come rappresentativo dell’intera

distribuzione e quindi la sintetizza.

STATISTICA - Università di Salerno 2

(3)

∆

Media aritmetica: serie di dati

N.B.: il carattere X deve essere quantitativo

STATISTICA - Università di Salerno

( )

∑

=

+ +

=

N

i

N

N x

x x

N x x

1

2 1

1

1 K

3

(4)

∆

Esempio

Produzione energia elettrica regioni del Sud

(Fonte Annuario Statistico Italiano 2000 – ISTAT)

Regioni Energia

Abruzzo 3.599

Molise 1.201

Campania 4.924

Puglia 22.874

Basilicata 1.440

Calabria 6.938

Sicilia 24.040

Sardegna 11.396

Totale 76.412

5 , 8 9551

412 .

76 1

1

=

∑

= N

i

xi

x N

4

(5)

∆

Media aritmetica: distribuzione semplice

1 k

i i i

x n

∑

=

1 2 k

N = + +n n L +n

X n_i

x₁ n₁ x₂ n₂

… …

x_k n_k N

x_i · n_i x₁· n₁ x₂· n₂

… x_k · n_k

∑

=

^k

i

i i

n N x

x

1

5

(6)

∆

Esempio: Lombardia

Componenti Lombardia

1 591.927

2 743.032

3 747.740

4 665.163

5 233.871

6 o più 100.054

Totale 3.081.787

x _i · n _i

591.927 1.486.064 2.243.220 2.660.652 1.169.355 800.432 8.951.650

1 k

i i i

x n

∑

=

N.B.:

Valore centrale ultima classe 8

905 ,

787 2 .

081 .

3 650 .

951 .

8 1

1

=

= ∑

= k

i

i i

L

x n

x N

6

(7)

∆

Esempio: Calabria

Componenti Calabria

1 105.823

2 132.552

3 111.192

4 129.278

5 79.952

6 o più 63.516

Totale 622.313

1 k

i i i

x n

∑

=

x _i · n _i

105.823 265.104 333.576 517.112 399.760 508.128 2.129.503

Valore centrale ultima classe 8

422 ,

313 3 .

622 503 .

129 .

2 1

1

=

= ∑

= k

i

i i

C

x n

x N

7

(8)

∆

Confronto mediante diagramma a Barre

x

C

x

L

8

(9)

∆

Media aritmetica: formula alternativa

1 k

i i i

x f

∑

= i

i

f n

= N ⁱ ⁼^{1, 2,} ^L ^k

X f_i

x₁ f₁ x₂ f₂

… …

x_k f_k 1

x_i · f_i x₁· f₁ x₂· f₂

… x_k · f_k

∑

=

^k

i

i i

f x x

1

9

(10)

∆

Media aritmetica: distribuzioni per classi

(

1

)

/ 2

i i i

c = x + x ₋

1 k

i i i

c n

∑

=

X n_i

x₀ -| x₁ n₁ x₁ -| x₂ n₂

… …

x_k-1 -| x_k n_k N

c_i · n_i c₁· n₁ c₂· n₂

… c_k · n_k c_i

c₁ c₂

… c_k

∑

=

≅

^k

i

i i

n N c

x

1

10

(11)

∆

Esempio

Altezza Frequenze

140-|150 12

150-|160 513

160-|170 1.198

170-|180 789

180-|190 232

190-|200 15

Totale 2.759

c_i 145 155 165 175 185 195

c_i*n_i

1.740 79.515 197.670 138.075 42.920 2.925 462.845

76 , 759 167

. 2

845 .

462 1

1

=

≅ ∑

= k

i

i i

n N c

x

11

(12)

∆

Proprietà media aritmetica (1)

• La media aritmetica è sempre compresa tra il valore più piccolo e il valore più grande delle modalità del carattere.

( ) ^X ^x ^max ( ) ^X

min ≤ ≤

12

(13)

∆

Proprietà media aritmetica (2)

• La media aritmetica è quel valore che, sostituito alle osservazioni, lascia invariato l’ammontare totale del carattere.

∑ ∑

= =

N

=

i

N

i

x

1 1

13

(14)

∆

Esempio

Abruzzo 3.599

Molise 1.201

Campania 4.924

Puglia 22.874

Basilicata 1.440

Calabria 6.938

Sicilia 24.040

Sardegna 11.396

Totale 76.412

9.552 9.552 9.552 9.552 9.552 9.552 9.552 9.552 76.412

∑ ∑

= =

N

=

i

N

i

x

1 1

14

(15)

∆

Scarti dalla media

• Gli scarti dalla media sono definiti come

•

La somma degli scarti dalla media è sempre nulla

N i

x

_i

− , = 1 , 2 , K

( ) ∑ ( )

∑

=

−

=

−

^k

i

i i

N

i

x x x n

x

1 1

0 ,

0

15

(16)

∆

Esempio: Scarti dalla media

Regioni Energia Scarti

Abruzzo 3.599 9.552 -5.953

Molise 1.201 9.552 -8.351

Campania 4.924 9.552 -4.628

Puglia 22.874 9.552 13.323

Basilicata 1.440 9.552 -8.112

Calabria 6.938 9.552 -2.614

Sicilia 24.040 9.552 14.489

Sardegna 11.396 9.552 1.845

Totale 76.412 76.412 0

N i

x x

_i

, K 2 , 1

,

=

−

( ) ⁰

1

− =

∑

_i^N₌

x

i

x

16

(17)

∆

Esempio: Scarti dalla media

(18)

∆

Esempio: Scarti dalla media

(19)

∆

Proprietà associativa

La media di una variabile osservata in più gruppi è ottenuta come media delle medie dei singoli gruppi (tenendo conto delle numerosità di gruppo).

( ) ( ) ( )

h

h h

x x

x

N N

N

P P

, ,

,

, ,

,

, ,

,

2 1

K

→ K _{( )} _{( )} _{( )}

( ) ( ) ( )^h

h h

N N

N

N x N

x N

x x

+ +

+

+ +

= +

L L

2 1

2 2

1 1

19

(20)

∆

Esempio: componenti nucleo fam.

( ) ( )

992 ,

313 2 .

622 787

. 081 .

3

313 .

622 422

, 3 787

. 081 .

3 905 ,

2 =

+

⋅ +

= ⋅

+

= ^C _C^C + ^L _L ^L

CL N N

N x

N x x

422 ,

= 3 x

C

905 ,

= 2 x

L

= ? x

CL

( )^L

= 3 . 081 . 787 N

( )^C

= 622 . 313 N

20

(21)

∆

La media aritmetica ponderata

• In generale, se X è un carattere quantitativo e si intende attribuire diversa importanza (diverso peso) alle diverse modalità del carattere:

• Si noti, dalle formule precedenti, che le frequenze non sono altro che pesi. Tuttavia, non sempre i pesi sono da ricondursi a

frequenze

∑

=

=_k

i

i k

i

i i

p p x x

1 1

21

(22)

∆

Esempio: voto medio

• Uno studente deve sostenere durante la sua

carriera un certo numero di esami, ciascuno dei quali ha peso relativo diverso, misurato dai CFU

• Es:

– Statistica (10 CFU)

– Istituzioni di Diritto Pubblico (10 CFU) – Lingua e linguistica Inglese I (5 CFU) – ….

• Per un totale di 180 CFU per la laurea triennale

(23)

∆

Esempio: voto medio

₍₂₎

• Alla fine della sua carriera, il voto medio sarà dato da

180

1

1 1

∑

=

⋅

=

⋅

=

esami num

i

i i

esami num

i

i esami

num

i

Voto CFU

CFU

CFU Voto

medio voto

23

(24)

∆

Il problema degli outliers

• In alcuni set di dati possono essere presenti valori eccezionali (eccezionalmente grandi o

eccezionalmente piccoli).

• Ciò è dovuto a diverse ragioni:

– errori di battitura o di misura

– alcune unità statistiche sono molto eterogenee – popolazioni diverse vengono mischiate

• La percentuale di outliers presenti in data-set reali può raggiungere percentuali tra il 5-20% dei dati

(25)

∆

Esempio

Paese GNI ($ correnti)

Nicaragua 420

Honduras 850

Guatemala 1690

El Salvador 1990

Panama 3260

Costa Rica 3960

x = 2028 , 33

25

GNI=Gross

National Income

(26)

∆

Esempio

Nicaragua 420

Honduras 850

Guatemala 1690

El Salvador 1990

Panama 32600

Costa Rica 3960

x = 6918 , 33

26

(27)

∆

Esempio

Nicaragua 420

Honduras 850

Guatemala 1690

El Salvador 1990

Panama 3260

Costa Rica 3960

Mexico 5080

Canada 21050

United States 34260

x = 8062 , 22

27

(28)

∆

Media ed outliers

• In presenza di outliers la media non è più

rappresentativa della distribuzione statistica.

x x

28

(29)

∆

Indici robusti: Mediana

• E’ quel valore che suddivide la distribuzione in due parti di uguale numerosità.

• Cioè la mediana è tale che la metà delle

osservazioni ha un valore inferiore alla mediana e la restante metà un valore superiore.

Me

50% 50%

29

(30)

∆

Mediana: serie di dati

xN

x x

X → ₁, ₂,K,

( )

( ) ( )

( )

1 / 2

/ 2 / 2 1

se è dispari / 2 se è pari

N

N N

x N

Me x x N

+

= 

 +

( ) ( )^x ^x( )^N x

ordinata

X → ₁ , ₂ ,K,

30

(31)

∆

Esempio: N dispari

(N+1)/2=(7+1)/2=4 N=7

Molise 1.201

Campania 4.924

Puglia 22.874

Basilicata 1.440

Calabria 6.938

Sicilia 24.040

Sardegna 11.396

Rango 1 2 3 4 5 6 7 Regioni Energia

Molise 1.201

Basilicata 1.440

Campania 4.924

Calabria 6.938

Sardegna 11.396

Puglia 22.874

Sicilia 24.040

( )₄

= 6 . 938

= x Me

31

(32)

∆

Esempio: N pari

N/2=4 N=8

Regioni Energia Rango

Abruzzo 3.599 1

Molise 1.201 2

Campania 4.924 3

Puglia 22.874 4

Basilicata 1.440 5

Calabria 6.938 6

Sicilia 24.040 7

Sardegna 11.396 8

Molise 1.201

Basilicata 1.440

Abruzzo 3.599

Campania 4.924

Calabria 6.938

Sardegna 11.396

Puglia 22.874

Sicilia 24.040

( ) ( )

(

⁴

⁺

⁵

) ^/ ² ⁼ ⁵ ^. ⁹³¹

= x x Me

32

(33)

∆

Esempio

Nicaragua 420

Honduras 850

Guatemala 1690

El Salvador 1990

Panama 3260

Costa Rica 3960

1840 Me =

33 ,

= 2028 x

33

(34)

∆

Esempio

Nicaragua 420

Honduras 850

Guatemala 1690

El Salvador 1990

Costa Rica 3960

Panama 32600 Me =1840

33 ,

= 6918 x

34

(35)

∆

Esempio

Nicaragua 420

Honduras 850

Guatemala 1690

El Salvador 1990

Panama 3260

Costa Rica 3960

Mexico 5080

Canada 21050

United States 34260 Me = 3260

22 ,

= 8062 x

35

(36)

∆

Mediana: distribuzione di frequenza

La mediana corrisponde alla modalità associata

alla prima frequenza relativa cumulata maggiore o uguale di 0.5

X F_i

x₁ F₁ x₂ F₂

… …

x_k F_k

36

(37)

∆

Esempio

La mediana corrisponde alla modalità associata alla prima frequenza relativa cumulata maggiore di 0.5

Mediana

Lombardia Componenti FA

1 591.927

2 743.032

3 747.740

4 665.163

5 233.871

6 o più 100.054 Totale 3.081.787

FRC 0,19 0,43 0,67 0,89 0,97 1,00

37

(38)

∆

Mediana: distribuzioni in classi

• Si individua la classe mediana: è la classe cui

corrisponde la prima frequenza relativa cumulata maggiore o uguale di 0.5.

• Ipotizzando che le osservazioni siano distribuite uniformemente all’interno della classe mediana, la mediana si approssima come

( )

¹

1 1

1

0.5 _i

i i i

i i

Me x x x F

F F

− − −

−

≅ + − −

−

38

(39)

∆

Distribuzione età del Piemonte 1991

Classe mediana

Età FR FRC

0-|1 0,008 0,008

1-|4 0,030 0,038

4-|9 0,041 0,079

9-|14 0,051 0,130

14-|24 0,142 0,272

24-|44 0,287 0,558

44-|64 0,270 0,829

64- 0,171 1,000

( ) ( )

³⁹^,⁹⁴

272 ,

0 558 ,

0

272 ,

0 5

, 24 0

44 5 24

, 0

1 1 1

1 =

−

− − +

− =

− − +

≅

−

− −

−

i i

i

i F F

x F x

x Me

39

(40)

∆

Mediana: proprietà

• La mediana è un indice statistico resistente o robusto, nel senso che è rappresentativo della

posizione della distribuzione anche in presenza di valori eccezionali.

• Ciò è dovuto al fatto che la mediana tiene solo conto dell’ordinamento delle osservazioni.

(41)

∆

Quartili

• Con la mediana il gruppo dei dati viene suddiviso in 2 parti uguali: tra il minimo e la Mediana si trova il 50% delle osservazioni e tra la Mediana ed il

massimo si trova il rimanente 50%.

• Con i quartili il gruppo dei dati viene suddiviso in 4 parti di uguale numerosità.

Q2=Me

25% 25%

Q1 Q3

25% 25%

41

(42)

∆

Quartili: calcolo

• I dati vengono ordinati in senso crescente

• In generale Q

₁

=x

[0.25(N+1)]

mentre Q

₃

=x

[0.75(N+1)]

, dove la posizione 0.25(N+1) va arrotondata

all’intero più vicino

• In casi particolari, quando la posizione si trova

esattamente a metà tra altre due, i quartili derivano dalla media dei valori nella due posizioni (come accade per la mediana quando N è pari)

(43)

∆

Quartili: distribuzione per classi

• Si individua la classe contenente i quartili.

• Si utilizza lo stesso approccio della mediana

avendo però come riferimento 0.25 (0.75) per il primo (terzo) quartile.

( )

1 1 1

1 1

25 . 0

−

− −

− − +

≅

i i

i i i

i F F

x F x

x Q

( )

1 1 1

1 3

75 . 0

−

− −

− − +

≅

i i

i i i

i F F

x F x

x Q

43

(44)

∆

Mediana: un commento

• Problema: dove collocare un deposito (di merci, carburante, ecc.) lungo un’autostrada con punti vendita ai chilometri x

₁

, x

₂

, x

₃

, … , x

_N

con costo unitario di trasporto c, in modo da minimizzare i costi di rifornimento dei fornitori.

• La quantità da minimizzare è

1 = min!

∑_i^N₌ c x_i − x

•

Si può dimostrare che il minimo si ha per

x=Me.

44

(45)

∆

Altri indici di posizione robusti

• Si considera la media aritmetica del 50% dei valori centrali.

( )

3/ 4

/ 4

MidMean 2

N

i i N

N ₌ x

=

∑

•

Un altro indice è basato su una media ponderata dei quartili

1 2 2 3

4

Q + Q + Q

45

(46)

∆

Moda

• La moda è quella modalità cui corrisponde la frequenza (assoluta o relativa) massima.

•

La moda può essere calcolata sia per variabili che per mutabili.

46

(47)

∆

Esempio 1: variabile quantitativa

Lombardia Componenti FA

1 591.927

2 743.032

3 747.740

4 665.163

5 233.871

6 o più 100.054 Totale 3.081.787

Moda

47

(48)

∆

Esempio 2: mutabile

Provenienza Frequenze

Classico 821

Scientifico 637

Tecnico 1090

Altri 211

Totale 2759

Moda

48

(49)

∆

Un commento sulla moda

• Una distribuzione può possedere più valori modali distinti.

• Ciò di solito indica la presenza di più sotto- popolazioni che presentano posizioni

differenziate per ragioni strutturali e che, per errore o necessità, si stanno analizzando

congiuntamente.

(50)

∆

Moda: distribuzioni per classi

• Per classi di modalità non di uguale ampiezza la classe modale è quella cui corrisponde la massima densità di frequenza.

1 i i

i i

h n

x x ₋

= −

•

Per distribuzioni in classi di modalità si individua la classe modale, come quella classe cui

corrisponde la massima frequenza.

50

(51)

∆

• Servono per “localizzare” la distribuzione, per individuare il valore intorno al quale la

Unità 4

Gli indici di posizione

Indici statistici di posizione

• Servono per “localizzare” la distribuzione, per individuare il valore intorno al quale la

distribuzione si “accentra”.

• Questi indici, cercano di individuare un valore che possa essere assunto come rappresentativo dell’intera

distribuzione e quindi la sintetizza.

Media aritmetica: serie di dati

N.B.: il carattere X deve essere quantitativo

( )

∑

Esempio

∑

Media aritmetica: distribuzione semplice

∑

∑

=

n N x

x

1

Esempio: Lombardia

∑

905 ,

787 2 .

081 .

3

650 .

951 .

8 1

=

=

= ∑

x n

x N

Esempio: Calabria

∑

422 ,

313 3 .

622

503 .

129 .

2 1

=

=

= ∑

x n

x N

Confronto mediante diagramma a Barre

x

x

Media aritmetica: formula alternativa

∑

∑

=

f x x

Media aritmetica: distribuzioni per classi

(

)

∑

∑

≅

n N c

x

1

Esempio

76 , 759 167

. 2

845 .

462 1

=

=

≅ ∑

n N c

x

Proprietà media aritmetica (1)

• La media aritmetica è sempre compresa tra il valore più piccolo e il valore più grande delle modalità del carattere.

( ) X x max ( ) X

min ≤ ≤

Proprietà media aritmetica (2)

( ) ^X ^x ^max ( ) ^X

( ) ⁰