1. Dimostrare che la successione a n = 3−2nn+1 è decrescente. Qual è il massimo valore della successione? Esiste un valore minimo?

ESERCIZI DI MATEMATICA

1. Dimostrare che la successione a _n = ³⁻²ⁿ _n+1 è decrescente. Qual è il massimo valore della successione? Esiste un valore minimo?

2. Quale fra le seguenti successioni definite per ricorrenza ha un andamento periodico?

 a ₀ = 1

a _n+1 = n − ^a ₂

 a ₀ = −2

a _n+1 = 2 − a _n

 a ₀ = 2

a n+1 = 1 − _a ¹

n

3. Di una progressione aritmetica è noto che a ₁₀ = 50 e la ragione k = 4.

(a) determina il termine a ₁₅ ;

(b) calcola la somma dei primi cento termini della progressione.

4. Calcola la somma dei numeri pari compresi fra 2234 e 8762.

5. Calcola x in modo che:

(a) 2x + 5; 12x−3; 4x + 9 siano i tre termini consecutivi di una progressione aritmetica;

(b) 3x; 6x + 6; 40x−26 siano i tre termini consecutivi di una progressione geometrica;

(c) scrivi i termini delle progressioni trovate.

6. Sia x _x una progressione aritmetica di ragione d. Dimostrare che aggiungendo a tutti i suoi termini uno stesso numero k, si ottiene ancora una progressione aritmetica.

7. E’ data una progressione geometrica a _n di cui si sa che a ₂ = 6 e a 5 = 162. Calcolare a 6 .

8. Nel cortile del Dini si vuole installare una fontana come quella rappresentata nella figura. La prima vasca, dove c’è lo zampillo, contiene 5 litri d’acqua. La seconda contiene 8 litri in più della prima, la terza 8 litri in più della seconda e così via sino alla

settima.

(a) quanti litri contiene complessivamente la fontana quando le sette vasche sono tutte colme?

(b) supponendo che ciascuna vasca abbia la forma di una semisfera, descrivere in modo ricorsivo la successione che definisce il raggio di ciascuna semisfera in funzione del precedente.

9. Un secondo progetto sulla fontana nel cortile del Dini è simile al primo, con sette vasche di forma semisferica sovrapposte; la prima vasca contiene 5 litri d’acqua e ogni vasca successiva ha una capacità che è 1, 5 volte la capacità della vasca precedente.

(a) quanta acqua contengono le sette vasche quando sono tutte piene?

(b) quale relazione sussiste fra il raggio di ogni vasca e il raggio della vasca precedente? è possibile definire la successione dei raggi delle vasche mediante termine generale?

10. Quanti sono gli anagrammi, anche privi di senso, della parola “MATEMATICA” ? Quanti sono gli anagrammi della parola

“MATEMATICA” che finiscono e iniziano per A?

11. Il Preside di una scuola, avendo terminato i fondi per la didattica, invece di pagare i suoi 12 insegnanti per le attività extracur- riculari, ha deciso di gratificarli distribuendo loro delle caramelle. Purtroppo ha solo 8 caramelle e quindi decide di darne non più di una a testa. In quanti modi diversi può distribuire le caramelle?

12. In quanti modi posso distribuire 10 caramelle a 4 bimbi, in modo che ciascuno ne riceva almeno una?

13. In una gara con 25 concorrenti vengono premiati i primi cinque.

(a) quante sono le possibili assegnazioni dei premi?

(b) quante sono le possibili assegnazioni dei premi se si sa che il concorrente Rossi è sicuramente tra essi?

(c) quante sono le possibili assegnazioni dei premi se si sa che Rossi arriverà secondo?

14. Quante sono le possibili targhe di automobili costruite con due lettere, tre numeri, due lettere, se l’alfabeto è di 26 simboli e se la prima lettera del primo gruppo non deve essere la "Z"?

15. In una gara devono venire premiati i primi tre classificati per ogni categoria di partecipanti. Se le categorie sono tre e i partecipanti sono 10, 15, 18 rispettivamente, quante sono le possibili premiazioni?

16. Quante sono le applicazioni iniettive di un insieme di 6 elementi in un insieme di 8 elementi?

Sul volume 4 di Bergamini Trifone avete moltissimi esercizi di calcolo combinatorio