Breve introduzione al Rango e al Teorema di Rouché-Capelli.
Autovalori e autovettori
Esame di Matematica Generlae (CdL S.B.D.) a.a. 2020-21
Prof.ssa Giovanna Bimonte
1
Dipendenza e Indipendenza lineare
Siano x1, ..., xn, n vettori (m×1), essi sono linearmente indipendenti se per c1, ..., cn∈
R, la loro combinazione lineare è il vettore nullo 0 c1x1+ ... + cnxn= 0
se c1 = c2 = ... = cn= 0. Equivalentemente, definendo il vettore colonna c = (c1, ..., cn) e
la matrice X(m×n) data da (x1, ..., xn), le colonne di X sono linearmente indipendenti se
Xc = 0 implica che c sia uguale al vettore nullo (c = 0). Le colonne di X sono invece linearmente dipendenti se Xc = 0 vale con almeno un ci 6= 0. In quel caso è possibile
scrivere una delle colonne di X in funzione delle rimanenti
xi = d1x1+ ... + di−1xi−1+ di+1xi+1+ ... + dnxn
con di = −cj/ci.
2
Il rango
Definizione 1 Una matrice A di tipo m × n ha rango p se:
1. Esiste almeno un minore di ordine p con determinante non nullo. 2. Tutti i minori di ordine p + 1 (se esistono) hanno determinante nullo.
Espresso a parole, il rango di una matrice è l’ordine massimo di un minore di A avente determinante non nullo. Denoteremo il rango di A con il simbolo: r(A). Per convenzione, il rango della matrice nulla è posto uguale a zero. Tutte le altre matrici hanno rango maggiore o uguale a 1. Osserviamo che, se esiste un minore di ordine h con determinante non nullo, allora r(A) ≥ h. Segue immediatamente dalla definizione che: Se A ha m righe e n colonne si ha sempre 0 ≤ ρ(A) ≤ min {m; n} (il minimo tra m e n). Questo semplicemente perchè non ci sono minori di ordine superiore a tale numero. Se ρ(A) = min {m; n} diremo che A ha rango massimo. Se A è quadrata, di ordine n, allora ρ(A) = n (massimo) se e solo se detA 6= 0.
Definizione 2 Il rango di una matrice A di tipo m × n è il numero di righe non nulle presenti nella corrispondente forma a scala.
Definizione 3 Il rango di una matrice A di tipo m × n è il numero massimo di righe e di colonne linearmente indipendenti.
Proposizione 1 Date due matrici A e B, si ha sempre • ρ(A) = ρ(AT),
• ρ(A) ≤ min{m, n},
• se ρ(A) = min{m, n}, la matrice A si dice a rango pieno, • ρ(AB) = min{ρ(A), ρ(B)}
• ρ(AAT) = ρ(ATA) = r(A)
2.1
Teorema degli orlati
Definizione 4 (Minori orlati di un minore dato.)
Dato un minore M di ordine n di una matrice A, diremo che il minore M1 di ordine n+1 è un orlato di M se esso contiene M; se cioè si ottiene da M aggiungendo elementi di un’altra riga e un’altra colonna di A.
Enunciamo ora il teorema degli orlati. Teorema 1 Teorema degli orlati.
Sia A una matrice m × n e M un suo minore di ordine p con determinante non nullo. Se tutti i minori orlati di M hanno determinante nullo allora il rango di A è esattamente p (l’ordine di M).
2.2
Proprietà del Rango
Consideriamo un sistema lineare di m equazioni nelle n incognite x1; ...; xn, che possiamo
scrivere in forma matriciale
Ax = b dove A è la matrice dei coefficienti (di tipo m × n),
x = x1 x2 ... xn
è il vettore colonna delle incognite e b è il vettore colonna dei termini noti. Il sistema è descritto da due matrici: la matrice dei coefficienti, A, e la matrice completa, ˆA, ottenuta aggiungendo ad A la colonna dei termini noti. Chiaramente ˆA è di tipo m × (n + 1).
Per il sistema
Am×nxn×1= bm×1
valgono le seguenti proprietà:
Proprietà 1 Sia A la matrice dei coefficienti e sia Abla corrispondente matrice com-pleta del sistema lineare Ax = b. Allora:
(a) rango di A ≤ rango diAb;
(b) rango di A ≤ numero di righe di A; (c) rango di A ≤ numero di colonne di A.
Proprietà 2 Un sistema di equazioni lineari con matrice dei coefficienti A e matrice completa Abè possibile (=compatibile, ovvero ammette soluzioni) se e solo se
rango di A = rango di Ab.
Proprietà 3 Un sistema di equazoni lineari o non ammette soluzione, o ammette una sola soluzione, o ammette un numero infinito di soluzioni. Quindi, se un sistema ammette più di una soluzione, ne ammette infinite.
Proprietà 4 Se un sistema ha esattamente una soluzione, allora la matrice dei coef-ficienti A ha un numero di righe almeno pari al numero di colonne. In altre parole, un sistema con un’unica soluzione deve avere un numero di equazioni almeno pari a quello delle incognite.
Proprietà 5 Se un sistema di equazioni lineari ha più incognite che equazioni, esso non ammette soluzioni o ammette infinite soluzioni.
Proprietà 6 Un sistema di equazioni lineari omogeneo (Ax = 0) che contiene più incog-nite che equazioni deve avere un numero infinito di soluzioni.
Proprietà 7Un sistema di equazioni lineari con matrice dei coefficienti A è possibile per ogni scelta di b = (b1, ..., bm) se e solo se
rango di A = numero di righe di A.
Proprietà 8 Ogni sistema di equazioni lineari avente A come matrice dei coefficienti ammetterà al più una soluzione per qualsiasi scelta dei termini b1, ..., bm se e solo se
rango di A = numero di colonne di A.
Proprietà 9Una matrice dei coefficienti A è non singolare, ossia il corrispondente sistema lineare ha una ed una sola soluzione per qualsiasi scelta dei termini b1, ..., bm se e solo se
rango di A = numero di colonne di A= numero di righe di A. Proprietà 10 Si consideri il sistema di equazioni lineari Ax = b.
(i) Ax = 0 ammette un numero infinito di soluzioni; (ii) per ogni b, Ax = b ha nessuna o infinite soluzioni;
(iii) se il rango di A è uguale al numero di equazioni, Ax = b ha un numero infinito di soluzioni per qualsiasi vettore dei terimini noti b.
(b) Se il numero di equazioni è maggiore del numero delle incognite, allora: (i) Ax = 0 ammette una o infinite soluzioni;
(ii) per ogni b, Ax = b ha nessuna, una o infinite soluzioni;
(iii) se il rango di A è uguale al numero di incognite, Ax = b ha nessuna o una soluzione per qualsiasi vettore dei terimini noti b.
(c) Se il numero di equazioni è uguale al numero delle incognite, allora: (i) Ax = 0 ammette una o infinite soluzioni;
(ii) per ogni b, Ax = b ha nessuna, una o infinite soluzioni;
(iii) se il rango di A è uguale al numero di incognite e al numero di equazioni, AX = b ha esattamente una soluzione per ogni vettore dei terimini noti b La nozione di rango ci permette di dimostrare un risultato, di tipo essenzialmente teorico, sulla compatibilità o meno di un dato sistema lineare. Il teorema di Rouché-Capelli permette di stabilire la compatibilità conoscendo solamente il rango di A e di ˆA. Precisamente:
Teorema 2 (Teorema di Rouché-Capelli)
Sia SL un sistema lineare di m equazioni in n incognite con matrice dei coefficienti A e matrice completa ˆA. Allora:
a) SL é compatibile se e solo se r(A) = ρ( ˆA).
Supponiamo ora che SL sia compatibile, e poniamo r(A) = ρ( ˆA) = r. Allora: b) Il sistema ammette una e una sola soluzione se e solo se r = n.
c) Il sistema ammette ∞n−r soluzioni (cioè infinite soluzioni dipendenti da n − ρ
parametri indipendenti) se e solo se ρ < n.
Il teorema seguente dice che, in taluni casi,è possibile scartare un certo numero di equazioni, senza alterare l’insieme delle soluzioni del sistema.
Teorema 3 Sia SL un sistema lineare compatibile, con matrice dei coefficienti A e ma-trice completa ˆA (quindi r(A) = r( ˆA) = p per ipotesi). Sia B un minore di A avente ordine p e determinante non nullo. Allora il sistema SL è equivalente al sistema ri-dotto SR che si ottiene considerando solo le p equazioni corrispondenti al minore B, cioè Sol(S ) = Sol(SR).
Possiamo scartare le equazioni che non corrispondono al minore B fissato, poiché queste sono conseguenza delle equazioni del sistema ridotto. Il sistema ridotto è quindi formato dalle equazioni significative di SL. Se il rango è inferione al numero di righe, possiamo scartare molte equazioni; se il rango è massimo, nessuna: sono tutte significative.
3
Autovalori e Autovettori
Consideriamo una matrice quadrata A di ordine n a coefficienti reali. Essa rappresenta una trasformazione di Rn, quella che a ogni vettore colonna v associa il vettore colonna
v0 = Av. Con la parola trasformazione in questo contesto non intendiamo una legge biunivoca, ma solo funzione del piano in sé stesso, quindi legge univoca.
Ci chiediamo se per ogni matrice quadrata, letta come trasformazione di Rn in sé,
ci sono delle direzioni privilegiate, cioè tali che trasformando un vettore avente una di queste direzioni si abbia ancora un vettore con la stessa direzione o il vettore nullo e, in caso affermativo, quante sono e come determinarle.
Il problema, pertanto, diventa: Assegnata una matrice quadrata A di ordine n, esistono uno scalare λ e un vettore v non nullo, tali che risulti Av = λv?
Sia A una matrice quadrata di dimensione (n × n). Si definisca la matrice:
A − λIn= a11− λ a12 ... a1n a21 a22− λ ... a2n ... ... ... ... an1 an2 ... ann− λ
dove con aij con i, j = 1, ..., n, indichiamo l’elemento della matrice A di posto i, indice di
riga, j, indice di colonna.
Definiamo il polinomio in λ definito da
pA(λ) = det(A − λIn) = |A − λIn|
detto polinomio caratteristico di A. Le radici di pA(λ), ovvero le soluzioni dell’equazione
|(A − λIn)| = 0 (1)
vengono dette autovalori della matrice A.
Teorema 4 L’equazione vettoriale Av = λv ha soluzione non nulla se e solo se det(A − λIn) = 0
Il numero di autovalori ammessi da una matrice quadrata di ordine n è pari ad n. Dallo sviluppo del determinante di (A−λIn)è immediato verificare che il polinomio pA(λ)risulta
potranno risultare coincidenti. In tal caso si dirà che l’autovalore in questione ricorre con molteplicità maggiore di 1.
Se λ è un autovalore di A, ogni vettore v 6= 0 di dimensione (n × 1) che soddisfi la relazione
Av = λv ⇐⇒ (A − λIn)v = 0 (2)
viene detto autovettore o vettore caratteristico di A associato all’autovalore λ.
Si noti che l’equazione (??) è sempre banalmente verificata dal vettore v = 0. Gli autovet-tori, dunque, si trovano cercando le soluzioni v del sistema omogeneo (A − λIn)v = 0
che, avendo matrice dei coefficienti A − λIn singolare non avrà rango massimo e il sistema
avrà sicuramente infinite soluzioni.
Perchè la (??) sia verificata per v 6= 0 è necessario che la matrice (A − λIn) sia
singolare. Una matrice è singolare (non invertibile) se e solo se il suo determinante è uguale a zero. Dunque la matrice (A − λIn) sarà singolare se e solo se
|A − λIn| = 0
il che è sempre vericato se λ è un autovalore di A.
Ad ogni autovalore λ è associato un autovettore v ed ogni sua trasformazione lineare del tipo v? = kv per ogni k ∈ R \ 0.
Geometricamente gi autovettori rappresentano quelle particolari “direzioni”nello spazio Rn, in cui si applica la traformazione lineare rappresentata da A, che si trasformano in sé stesse; sono, quindi, le direzioni invarianti rispetto alla trasformazione A e gli autovalori forniscono le rispettive costanti di “scalamento”lungo queste direzioni.
L’insieme degli autovalori di una matrice A sarà indicato con Λ(A), l’insieme degli autovettori di A sarà indicato con {vi(A)}. In generale, essedno gli autovettori delle
rappresentazioni di direzioni invarianti rispetto alla trasformazione rappresentata da A, essi sono definiti a meno di una costante.
Proprietà di autovalori e autovettori
1. Se A(n×n) è una matrice reale e simmetrica, allora anche i suoi autovettori ed
au-tovalori saranno reali. Inoltre, gli autovettori della matrice associati ad auau-tovalori distinti saranno a due a due ortogonali :
v0ivj = 0
dove con vi indica l’autovettore associato all’autovalore λi.
2. Se gli n autovalori sono tutti distinti, allora i corrispondenti autovettori sono lin-earmente indipendenti.
3. Gli autovalori di A e della sua trasposta AT sono uguali. Inoltre, se λ è un autovalore
di A, λ + r sarà un autovalore di A + rIn, per un generico scalare r.
4. Se A è una matrice non singolare e λ è un autovalore di A, λ−1 sarà un autovalore
di A−1.
5. Il determinante di una matrice quadrata è uguale al prodotto degli autovalori: |A| =
n
Y
i=1
λi
Da questa proprietà segue che, se A à singolare allora uno degli autovalori sarà uguale a zero. Se, invece, A è non singolare tutti gli autovalori saranno diversi da zero. Inoltre, se gli autovalori di A (n × n) e B (n × n) sono a due a due uguali, allora sarà anche |A| = |B|.
