Modellazione e simulazione della dinamica di un micro-UAV ad ala battente.

Le piccole costruzioni possono essere ultimate

dai loro primi architetti; quelle grandi, quelle

vere, lasciano sempre alla posterità di pensare

al coronamento.

Hermann Melville

Moby Dick

A mamma e papà

UNIVERSIT `

A DI PISA

Facolt`

a di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale

Tesi di Laurea

Modellazione e simulazione di un micro-UAV

ad ala battente

Relatori:

Prof. Giovanni Mengali

Ing. Alessandro A. Quarta

Ing. Martina Chiaramonti

Candidati:

Gilda Aliasi

Sommario

Questo lavoro di Tesi si inserisce nel campo della biomimetica, in particolare tratta la dinamica del volo di UAV ad ala battente, ovvero di micro-robot aventi caratteristiche di volo simili a quelle degli insetti.

L’obiettivo del lavoro `e stato quello di sviluppare il modello matematico per tale studio ed implementarlo col software Matlab-Simulink per effettuare le simulazioni necessarie. Il modello sviluppato ha validit`a del tutto generale, bench´e l’attenzione sia stata rivolta principalmente alla dinamica longitudi-nale dell’insetto, lasciando la dinamica latero-direziolongitudi-nale a futuri studi. Dopo una introduzione sulle principali questioni connesse con lo studio dei micro-UAV, effettuata nel Capitolo 2, nel Capitolo 3 si introduce il modello matematico sviluppato, che riguarda gli aspetti morfologici, quelli aerodina-mici e quelli inerenti alla dinamica del volo. Nel Capitolo 4 si schematizza la struttura dei programmi implementati e nel Capitolo 5, dopo aver definito la condizione di equilibrio, si mostrano le azioni aerodinamiche generate in un periodo di battito dell’ala e in varie condizioni operative. Nel Capitolo 6 si riportano le risposte del sistema non lineare per degli ingressi a gradino. Infine, nel Capitolo 7 si ricava il sistema linearizzato, si commentano le fun-zioni di trasferimento ottenute e si analizzano le risposte a segnali a gradino unitario.

Ringraziamenti

Desidero ringraziare il Prof. Giovanni Mengali, l’Ing. Alessandro Quarta e l’Ing. Martina Chiaramonti per avermi dato l’opportunit`a di affrontare questo lavoro di tesi, per la loro disponibilit`a, cortesia e pazienza in ogni occasione, per i loro preziosi consigli e, soprattutto, per la grande umanit`a e fiducia mostrata nei miei confronti.

Non posso non rivolgere un ringraziamento anche ad Alessio che, nonostante le difficolt`a e le incomprensioni che si incontrano nel portare avanti un lavoro in due, `e stata una persona con la quale ho avuto un confronto proficuo e che in queste ultime settimane mi `e stata di grande aiuto.

Il mio pi`u profondo ringraziamento va a mamma e pap`a, senza la loro fiducia e il loro sostegno (non solo materiale) non avrei mai raggiunto questo tra-guardo; vedere nei loro occhi entusiasmo e soddisfazione per quello che stavo facendo `e stata la cosa pi`u bella. Grazie, non basteranno mai le parole per esprimervi la mia gratitudine. Devo a voi quello che oggi sto per diventare e la persona che sono.

E ora il mio “fratellino”: grazie per avermi sempre aiutato a superare i mo-menti difficili, per aver sopportato i miei nervosismi, per aver sempre avuto una parola e un consiglio per me.

Grazie a tutta la mia famiglia per avermi sempre fatto credere che avrei po-tuto farcela, alle persone che non ci sono pi`u e che aspettavano con ansia questo giorno.

Un grazie immenso a Carmine per non aver mai smesso di credere in me, per il sostegno che mi ha dato in questi anni, per il ruolo che ha nella mia vita e

Eva, Ileana e Sefora, con cui ho condiviso questi anni e per la profonda ami-cizia che ormai mi lega a loro.

Infine, un ringraziamento particolare ad Alessandro e Martina per avermi sempre incoraggiato nei momenti pi`u critici di quest’ultimo periodo e per l’aiuto che mi hanno dato.

Indice

Sommario I

Ringraziamenti II

Elenco dei simboli VII

1 Introduzione 1

2 Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV) 3

2.1 Introduzione . . . 3

2.2 Dagli studi iniziali ai primi MAV . . . 3

2.3 Cinematica dell’ala . . . 5

2.4 Meccanismi di generazione delle forze aerodinamiche . . . 6

2.4.1 Vortice di bordo d’attacco (LEX) o delayed stall . . . . 7

2.4.2 Effetto Wagner . . . 9

2.4.3 Cattura della scia (wake capture) . . . 9

2.4.4 Effetto della massa aggiunta . . . 10

2.4.5 Effetto della rotazione dell’ala ed effetto Magnus . . . . 11

2.5 Modelli aerodinamici . . . 11

3 Il modello matematico 14 3.1 Introduzione . . . 14

3.2 Modello della dinamica . . . 14

3.3 Sistemi di riferimento . . . 16

3.4 Geometria dell’insetto . . . 21

3.4.1 Geometria del corpo . . . 21

3.4.2 Geometria dell’ala . . . 21

3.5 Cinematica dell’ala . . . 23

3.6 Modello aerodinamico dell’ala . . . 25

3.6.1 Delayed Stall . . . 26

3.6.2 Rotational Lift . . . 29

3.6.3 Forza aerodinamica totale e momento delle forze aero-dinamiche in TW . . . 29

3.7 Modello aerodinamico del corpo . . . 30

3.8 Equazioni del moto nella terna assi corpo . . . 30

4 Implementazione del modello matematico 34 4.1 Introduzione . . . 34

4.2 Struttura dei programmi Matlab . . . 34

4.2.1 Dati . . . 35

4.2.2 Cinematica dell’ala . . . 36

4.2.3 Aerodinamica . . . 36

4.2.4 Trasformazioni . . . 37

4.2.5 Forze medie e dinamica dell’insetto . . . 37

4.3 Integrazione . . . 38

4.4 Struttura dei programmi Simulink . . . 39

5 Condizione di equilibrio e analisi delle azioni aerodinamiche durante un periodo 40 5.1 Introduzione . . . 40

5.2 Condizione di trim . . . 40

5.3 Forze e momenti aerodinamici in hovering . . . 41

5.4 Forze e momenti aerodinamici in condizioni diverse dall’hovering 47 5.4.1 Aumento della frequenza di battito delle ali (δf) . . . . 47

5.4.2 Variazione del parametro cinematico δv1 . . . 48

5.4.3 Variazione del parametro cinematico δv2 . . . 51

5.4.4 Insetto dotato di una velocit`a di avanzamento secondo l’asse xV . . . 53

6 Risposte del sistema non lineare per ingressi a gradino 57

6.1 Introduzione . . . 57

6.2 Risposta al gradino unitario di frequenza . . . 57

6.3 Risposta ad una variazione unitaria del parametro δv1 . . . 60

6.4 Risposta ad una variazione unitaria del parametro δv2 . . . 64

7 Il modello linearizzato 68 7.1 Introduzione . . . 68

7.2 Rappresentazione in variabili di stato e funzioni di trasferi-mento del sistema linearizzato . . . 68

7.3 Considerazioni preliminari sulle funzioni di trasferimento . . . 71

7.4 Risposte al gradino unitario per il sistema linearizzato . . . 73

7.4.1 Gradino di frequenza δf . . . 73

7.4.2 Gradino unitario di δv1 . . . 74

7.4.3 Gradino unitario di δv2 . . . 76

8 Conclusioni e sviluppi futuri 79

A Dati dell’insetto di riferimento 81

Bibliografia 82

Elenco delle Figure 84

Elenco delle Tabelle 89

Elenco dei Simboli

a Semiasse minore della sezione del corpo parallela al piano (yb, zB)

b Semiasse maggiore della sezione del corpo parallela al piano (yb, zB)

C Baricentro

CD Coefficiente di resistenza

C_F(d) Coefficiente di smorzamento viscoso delle forze

CL Coefficiente di portanza

C_M(d) Coefficiente di smorzamento viscoso dei momenti

Crot Coefficiente di forza rotazionale

c Corda del profilo alare

¯

c Corda media aerodinamica

ˆ

c Corda alare adimensionalizzata

D0_ds Resistenza del profilo alare dovuta al Delayed Stall

F Fulcro

F Risultante delle forze

F(a) Risultante delle forze aerodinamiche

F_rot,N0 Forza del profilo alare dovuta al Rotational Lift

f Frequenza di battito dell’ala

g Accelerazione di gravit`a

I Matrice d’inerzia ¯

¯

I Diadico d’inerzia

L0_ds Portanza del profilo alare dovuta al Delayed Stall

l Semilunghezza del corpo

MC Momento rispetto al baricentro

M(a)_C Momento delle forze aerodinamiche rispetto al baricentro

M(d)_C Momento delle forze di resistenza del corpo rispetto al baricentro

MF(a) Momento rispetto al fulcro delle forze aerodinamiche

M0_F(a) Momento rispetto al fulcro delle forze aerodinamiche del singolo pro-filo alare

m Massa

R Lunghezza dell’ala

r Vettore che unisce il centro di massa col punto di applicazione delle forze aerodinamiche

rF Vettore che unisce il centro di massa al fulcro dell’ala

ˆ

r Apertura alare adimensionalizzata

ˆ

r_kk k-esimo momento adimensionale dell’ala

S Superficie alare totale

Sk k-esimo momento dell’area

TBF Matrice di trasformazione dalla terna TF alla terna TB

TCW Matrice di trasformazione dalla terna TW alla terna TC

TF S Matrice di trasformazione dalla terna TS alla terna TF

TW S Matrice di trasformazione dalla terna TS alla terna TW

UCP Velocit`a del centro di pressione del profilo alare

v1, v2 Parametri cinematici dell’ala

b

x0 Distanza adimensionale dell’asse di rotazione dell’ala dal bordo di attacco

αg Angolo di incidenza geometrico del profilo alare

αu Angolo di incidenza dovuto alla velocit`a dell’insetto

αw Angolo di incidenza effettivo del profilo alare

δf Frequenza di battito delle ali

δv1, δv2 Parametri cinematici dell’ala

θS Angolo di inclinazione del corpo rispetto allo stroke-plane

ρ Densit`a dell’aria

φf Angolo di flappeggio dell’ala

¯

φf Angolo di flappeggio medio dell’ala

ϕg Angolo complementare dell’angolo di incidenza geometrica

Ω Velocit`a angolare del sistema TB rispetto al sistema inerziale

ΩSF Velocit`a angolare della terna TS rispetto alla terna TF

ΩW B Velocit`a angolare della terna TW rispetto alla terna TB

ΩW I Velocit`a angolare della terna TW rispetto alla terna inerziale

TC Sistema di riferimento del profilo alare

TF Sistema di riferimento fulcro

TI Sistema di riferimento inerziale

TS Sistema di riferimento Stroke-plane

TV Sistema di riferimento assi verticali locali

TW Sistema di riferimento alare

(P, Q, R) Componenti della velocit`a angolare dell’insetto in TB

(U, V, W ) Componenti della velocit`a dell’insetto in TB

(VN, VE, VD) Componenti della velocit`a angolare dell’insetto in TV

(XN, XE, H) Componenti del vettore posizione dell’insetto in TV

1

Introduzione

Lo studio di micro-UAV `e diventato un campo di notevole interesse per la comunit`a scientifica almeno a partire dal 1997, quando il DARPA (Defen-se Advanced Re(Defen-search Projects Agency) 1 _{avvi`o uno studio pilota per la}

progettazione di velivoli non convenzionali, il cui unico requisito era che le dimensioni fossero inferiori a 150 mm [1]_{. Lo scopo di questo progetto era}

quello di riuscire a progettare e costruire un velivolo particolarmente adatto per essere impiegato in ambienti ostili, come ad esempio la sorveglianza di territori nemici, l’analisi di ambienti tossici, l’esplorazione di spazi chiusi, come gallerie, abitazioni o strutture parzialmente distrutte. Questi requisiti richiedono, quindi, una elevata capacit`a di manovra in spazi ristretti e la capacit`a di volo a punto fisso (hovering): pertanto, non `e possibile pensare a dei micro-UAV ad ala fissa. Poich´e l’ala rotante presenta non pochi problemi, alla fine ci si `e rivolti alla pi`u antica forma di volo, ovvero l’ala battente e in particolare a quella degli insetti, che si avvicinano di pi`u ai requisiti imposti. Lo sviluppo di micro-UAV sarebbe stato impossibile senza i grandi passi avanti delle microtecnologie, che hanno permesso la realizzazione di robot di dimensioni piccolissime.

Inoltre, negli ultimi anni si `e pensato di ampliare l’applicazione dei micro-UAV fino ad arrivare al volo in formazione di interi sciami. Questo presenta dei vantaggi rispetto al volo di un velivolo pi`u grande; infatti, la perdita di un velivolo comporta la perdita dell’intero carico pagante, mentre la perdita

1 – Introduzione

di uno o alcuni elementi di uno sciame comporta un danno per una frazione sola dell’intero carico. Inoltre, si hanno anche dei benefici economici dovuti alla produzione su larga scala di pezzi tutti uguali.

La progettazione di un micro-UAV ad ala battente ha comportato un gran numero di studi volti alla caratterizzazione morfologica degli insetti, alla loro aerodinamica e alla loro dinamica del volo.

2

Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV)

2.1

Introduzione

In questo Capitolo si ripercorre l’evoluzione degli studi nel campo del volo degli insetti, soprattutto per quel che concerne gli aspetti aerodinamici del problema. La ricerca in questo ambito ha preso avvio dalle osservazioni su morfologia e cinematica degli insetti, necessarie per poter poi interpretare i fenomeni fisici che danno luogo alla generazione delle forze aerodinamiche. Si introdurranno, quindi, i diversi modelli matematici sviluppati nel corso di tali ricerche, molte delle quali sono ancora in corso.

2.2

Dagli studi iniziali ai primi MAV

La generazione di forze aerodinamiche, sfruttando il principio dell’ala bat-tente, ha da sempre destato interesse nell’Uomo; infatti, fin da quando questi desider`o di volare, pens`o che lo avrebbe fatto come gli uccelli o gli insetti che poteva osservare in Natura. Basta pensare al mito greco di Icaro o, dopo molti secoli, alle macchine volanti di Leonardo da Vinci. Solo nel XX seco-lo, per`o, l’uomo riusc`ı a realizzare il proprio sogno, ma dovette abbandonare l’idea dell’ala battente.

L’interesse nei confronti del mondo animale, per`o, ha portato a dei primi studi razionali sul volo degli insetti condotti a partire dagli anni ’50 dallo zoologo danese Weis-Fogh presso l’Universit`a di Cambridge[2]_{. In questi}

2 – Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV)

dell’ala, si riporta una prima trattazione dell’aerodinamica dell’insetto in ho-vering.

La pietra miliare circa il volo degli insetti fu deposta da Ellington [3] negli anni ’80, infatti questi ampli`o la raccolta di dati di Weis-Fogh (migliorando l’accuratezza delle misure) e, avvalendosi di una camera di volo, riusc`ı a fil-mare con buona risoluzione gli insetti. Questo permise di studiare meglio il movimento delle ali e la dinamica dell’insetto. Inoltre Ellington svilupp`o un modello completo sulla generazione delle forze aerodinamiche, basato princi-palmente sull’analogia con la teoria delle eliche, che era una teoria gi`a molto consolidata.

A partire dagli anni ’90 anche il mondo aeronautico incominci`o ad interessar-si al volo degli insetti, soprattutto con lo scopo di progettare dei micro aerei senza pilota (Micro Air Vehicles, MAV). Da questo interesse sono scaturiti un gran numero di progetti, diffusi in tutto il mondo, volti principalmente al-l’analisi aerodinamica del problema. La tendenza attuale `e quella di preferire studi su modelli in scala (come il progetto Robofly condotto da Dickinson [4] presso il California Institute of Technology) o di CFD (Computational Fluid Dynamics) [5] _{per analizzare la natura fisica delle forze generate dall’ala,}

validare i risultati sperimentali e cercarne una espressione in forma chiusa. Inoltre, attualmente, sono stati costruiti diversi MAV, che quindi possono fornire degli importanti riscontri agli studi teorici.

Parallelamente agli studi aerodinamici sono stati sviluppati anche dei simu-latori di volo, principalmente presso la University of California di Berkeley sotto l’acronimo di MFI (Micromechanical Flying Insect )[6]_{, attraverso i}

qua-li studiare le leggi di controllo per taqua-li MAV ad ala battente.

Un lavoro di grande rilevanza `e stato, infine, quello di Taylor [7], che ha realizzato una caratterizzazione completa della dinamica del volo degli in-setti studiando in galleria aerodinamica la locusta del deserto, riuscendo in tal modo a valutare le derivate aerodinamiche necessarie per un modello linearizzato.

2 – Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV)

2.3

Cinematica dell’ala

Una prima classificazione degli insetti pu`o essere basata sul numero delle ali: si distingue fra quelli che ne hanno due e quelli che ne hanno quattro. Nel pre-sente lavoro si analizza la prima categoria. Le ali degli insetti, analogamente a quelle degli uccelli, sono caratterizzate da un movimento scomponibile in tre componenti: sweeping (movimento avanti-dietro), heaving (movimento su-gi`u) e pitching (variazione dell’angolo di incidenza) [8]_{. Pertanto, la}

tra-iettoria percorsa da un punto qualunque dell’ala ha una forma “a otto” come si vede in Fig. 2.1. Il movimento di heaving viene generalmente trascurato,

Figura 2.1: Rappresentazione della cinematica delle ali

quindi si pu`o ipotizzare che il battito dell’ala rimanga sempre in un piano denominato stroke-plane. Questo piano `e generalmente inclinato rispetto al corpo dell’insetto di un angolo θS rispetto all’asse longitudinale. In natura

si osservano vari orientamenti tipici dello stroke-plane: orizzontale (colibr`ı e Drosophila), inclinato (pipistrello) o verticale (farfalla) [3]_.

Il movimento di traslazione dell’ala viene scomposto in due fasi denominate downstroke (movimento dal dorso verso il ventre) e upstroke (movimento dal ventre verso il dorso), come evidenziato nella Fig. 2.1 (b). Al termine di ciascuna semibattuta l’ala effettua una rotazione che porta la parte anteriore a costituire sempre il bordo di attacco, come si vede nella Fig. 2.2.

2 – Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV)

Figura 2.2: Semibattute delle ali durante un ciclo

2.4

Meccanismi di generazione delle forze

ae-rodinamiche

Il flusso pu`o essere considerato incomprimibile, a basso numero di Reynolds e quindi laminare ed inoltre, data la cinematica delle ali, `e non stazionario. Gli effetti non stazionari sono significativi; infatti, un approccio che trascuri questi fenomeni non `e sufficiente a giustificare l’intensit`a delle forze aerodina-miche prodotte, principalmente per il fatto che, in condizioni stazionarie, un profilo ad alta incidenza sarebbe portato allo stallo. I fenomeni aerodinamici che fino ad ora sono stati riconosciuti e modellizzati sono i seguenti [8] [9]_:

• vortice di bordo d’attacco (LEX) o delayed stall

• effetto Wagner

• cattura della scia (wake capture)

• effetto della massa aggiunta

2 – Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV)

2.4.1

Vortice di bordo d’attacco (LEX) o delayed stall

`

E esperienza comune come un profilo aerodinamico ad alta incidenza e in condizioni stazionarie sia soggetto allo stallo, ovvero il flusso non `e sufficien-temente energetico da sopportare il gradiente di pressioni avverso e quindi si separa nei pressi della zona anteriore del profilo, senza pi`u essere in grado di riattaccarsi. Invece negli insetti si osservano comunemente degli angoli di incidenza generalmente superiori a 45◦. La natura di questo fenomeno `e stata chiarita nel 1996 quando Ellington e i suoi collaboratori dimostrarono l’esistenza del vortice di bordo d’attacco[10]_{. I successivi studi sperimentali e}

di CFD hanno permesso di visualizzare tale vortice, come si vede nelle Figure 2.3 e 2.4.

Figura 2.3: Visualizzazione sperimentale del vortice di bordo d’attacco e del vortice di partenza

2 – Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV)

Il vortice di bordo d’attacco introduce un campo di velocit`a molto intenso e questo aumenta l’aspirazione sul dorso dell’ala, contribuendo significativa-mente alla portanza generata.

Sperimentalmente si osserva che il LEX (Leading Edge Vortex ) pu`o essere di forma cilindrica o conica, aumentando di diametro dalla radice dell’ala verso l’estremit`a. Inoltre si osserva che tale vortice `e stabile e questo fenomeno ha trovato due possibili spiegazioni: per elevati numeri di Reynolds si osserva l’esistenza di un considerevole flusso assiale lungo l’ala che tende a trasporta-re il LEX verso l’esttrasporta-remit`a (analogamente a quanto accade per le ali a delta), mentre a bassi valori di Re questo flusso assiale non `e stato rilevato. In questo caso si `e pensato che il vortice di bordo d’attacco sia meno intenso che nel primo caso a causa della velocit`a indotta. Infatti, se si considera un insetto in hovering, i vortici rilasciati alla fine di ciascuna semibattuta avranno degli effetti non trascurabili sul flusso che investe l’ala; in particolare questi deter-minano una componente di velocit`a verso il basso e quindi una riduzione di incidenza. Pertanto, come si vede in Fig. 2.5, l’angolo di incidenza effettivo pu`o essere anche molto inferiore rispetto a quello geometrico. Inoltre nel caso di insetti che volano a basso Re come la Drosophila, la breve corsa dell’ala pu`o contribuire a inibire l’eccessivo accrescimento del LEX e quindi impedire il breakdown del vortice stesso. Per quanto detto precedentemente, questo fenomeno viene spesso chiamato delayed stall.

2 – Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV)

2.4.2

Effetto Wagner

Questo `e uno dei maggiori risultati conseguiti dall’aerodinamica non sta-zionaria, attribuito a Wagner [3] <sub>(1925), il quale analizz`o la variazione di</sub>

circuitazione di un profilo in condizioni non stazionarie. In particolare Wag-ner dimostr`o che, se si mette in moto un profilo da fermo o se si modifica rapidamente la sua incidenza, la circuitazione (e quindi la portanza del pro-filo) non va istantaneamente al valore di regime, ma raggiunge questo valore con un certo ritardo, come mostra la Fig. 2.6.

Figura 2.6: Rapporto tra il valore della portanza previsto da Wagner e quello quasi stazionario, in funzione della distanza adimensionale λ

Questo fenomeno `e dovuto alla vicinanza del vortice di partenza, infatti la velocit`a indotta da questo causa una diminuzione dell’angolo di incidenza. Nella Fig. 2.6 si vede come l’effetto tenda ad attenuarsi quando la distanza percorsa dall’ala aumenta. Pertanto questo `e un effetto per sua natura non stazionario. Se per`o le variazioni di incidenza geometrica del profilo sono lente, allora `e lecita l’ipotesi di flusso quasi stazionario. Nel caso del volo di un insetto si pu`o affermare che le variazioni sono cos`ı lente che il flusso si adegua istantaneamente ad esse e quindi l’effetto Wagner risulta trascurabile.

2.4.3

Cattura della scia (wake capture)

Nel 1999 Dickinson e i suoi collaboratori, durante le prove in vasca del proget-to Robofly, osservarono che, se alla fine di ciascuna semibattuta l’ala anticipa la rotazione (ovvero l’ala effettua la rotazione prima di invertire il proprio

2 – Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV)

visibile. Questo fenomeno `e stato denominato wake capture. Infatti, se si considera l’insetto in hovering o a bassa velocit`a, questo continua a volare molto vicino ai vortici rilasciati ad ogni inversione del moto delle ali e questo `

e tanto pi`u evidente quanto pi`u la corsa `e piccola. Come si vede nella Fig. 2.7, quando il moto dell’ala si inverte, i vortici di bordo d’attacco e d’uscita creano un campo di velocit`a che spinge il flusso verso l’ala e ne aumenta le capacit`a portanti. In questo modo l’ala `e in grado di recuperare una parte dell’energia cinetica che viene rilasciata nel flusso sotto forma di vortici.

Figura 2.7: Schema del fenomeno del wake capture

Se, invece, la rotazione dell’ala viene ritardata rispetto alla fine della corsa o coincide con essa, allora il wake capture pu`o avere degli effetti opposti o nulli, come evidenziato da Dickinson.

2.4.4

Effetto della massa aggiunta

Quando l’ala viene accelerata o decelerata, durante il suo movimento trascina con s´e un certo volume di fluido circostante l’ala stessa. Pertanto, l’inerzia dell’ala al movimento `e data dalla massa propria (che per`o `e generalmente molto piccola, infatti Ellington la valuta come generalmente inferiore all’1% della massa totale) e dalla massa di fluido accelerato con essa. Una stima di questo effetto per`o non `e facile, perch´e il flusso `e accelerato anche dai feno-meni non stazionari coinvolti col moto dell’ala e i vortici prodotti. Inoltre, nelle prove sperimentali, in cui si misurano le forze generate su dei modelli di ala immersi in un liquido (generalmente olio), gli effetti della massa aggiun-ta possono essere falsati proprio dalla diversa natura del fluido impiegato. Infatti, dalle misure condotte sul Robofly, Dickinson concluse che gli effetti

2 – Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV)

mostrato che il picco di portanza che Dickinson attribuisce al wake capture sarebbe in realt`a dovuto alla massa aggiunta. Dato che la questione `e ancora oggetto di ricerca, non si pu`o affermare con certezza la validit`a dell’una o dell’altra teoria.

2.4.5

Effetto della rotazione dell’ala ed effetto Magnus

Dato che l’ala, oltre ad un movimento traslatorio, possiede anche un mo-vimento rotatorio, diventano significativi anche i fenomeni aerodinamici as-sociati alla continua variazione di incidenza geometrica. In particolare, la rotazione dell’ala ha portato a pensare che questa fosse soggetta all’effet-to Magnus, cio`e l’effetto portante che ad esempio manifesta un cilindro in rotazione. Successivamente, per`o, si `e osservato che `e improprio definirlo in questo modo, in quanto l’effetto Magnus vero e proprio `e indipendente dall’asse di rotazione, che invece `e importante per l’ala degli insetti. L’e-spressione adottata per rappresentare questo effetto `e infatti funzione della distanza dell’asse di rotazione dell’ala dal bordo di attacco x_b0, pertanto la

circuitazione corrispondente `e:

Γr = πωc2(0.75 −bx0) (2.1)

dove ω `e la velocit`a angolare di rotazione dell’ala. Come si vede dall’e-spressione adottata, un valore piccolo di _bx0 sarebbe preferibile, in quanto

consentirebbe di massimizzare questo effetto. In realt`a, per la maggior parte degli insetti, il suo valore `e generalmente pari a un quarto della corda.

2.5

Modelli aerodinamici

Con il presente paragrafo si intende dare dei cenni su come il problema ae-rodinamico sia stato affrontato nel corso degli anni; maggiori informazioni possono essere trovate su [3] [8] [9].

La prima metodologia adottata per rappresentare l’aerodinamica dell’ala bat-tente si `e servita dell’analogia con la teoria delle eliche. Infatti venne sfruttata la cosiddetta teoria dell’actuator disk, basata su considerazioni attinenti alla quantit`a di moto del fluido accelerato verso il basso dalle ali. Inizialmente fu

2 – Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV)

considerando solo una parte del disco, analogamente a quanto segue dalla particolare cinematica dell’ala, come viene rappresentato in Fig. 2.8. Questo

Figura 2.8: Schema dell’actuator disk e di quello corretto

approccio per`o non teneva conto dei fenomeni non stazionari di cui si `e par-lato nel paragrafo precedente ed `e stato quindi necessario ipotizzare che la frequenza di battito delle ali fosse cos`ı elevata da generare delle forze che apparissero come stazionarie. Pertanto, i risultati ottenibili sono dei risultati medi, frutto dell’ipotesi di aerodinamica dell’ala quasi stazionaria.

I difetti della teoria quasi stazionaria sono stati corretti con metodi semi-empirici. A tal riguardo, gli esperimenti sul Robofly (Fig. 2.9) furono estre-mamente importanti, in quanto permisero di ottenere delle espressioni formali per rappresentare le forze aerodinamiche nel corso di una battuta completa, evitando la necessit`a di risolvere dei complessi problemi aerodinamici. Tutta-via queste espressioni non permettono di individuare i diversi contributi alle forze e dipendono dalla capacit`a di estrapolazione dai dati numerici raccolti sperimentalmente.

Sono stati sviluppati anche degli approcci non stazionari, ma questi si rive-lano eccessivamente complicati, soprattutto perch´e non pongono in evidenza le principali dipendenze delle forze dalle caratteristiche geometriche e cine-matiche delle ali. Inoltre tali espressioni non sono facilmente gestibili in un

2 – Dinamica dei Micro Air Vehicle (MAV)

Figura 2.9: Apparato sperimentale del Robofly

la CFD, che permette di visualizzare tutto il campo aerodinamico e quindi anche tutti i vortici prodotti. Uno dei principali inconvenienti connessi con lo studio di CFD `e che il problema non stazionario richiede elevati tempi di calcolo.

3

Il modello matematico

3.1

Introduzione

In questo Capitolo viene definito il modello matematico utilizzato per lo stu-dio della dinamica del volo di un insetto. Dopo un breve richiamo delle equazioni della dinamica del corpo rigido, vengono delineati in modo sche-matico i sistemi di riferimento utilizzati nel seguito della trattazione e le relative matrici di trasformazione. Viene poi descritta la geometria dell’in-setto, definendo i parametri necessari alla costruzione del modello, mettendo in evidenza le ipotesi semplificative fatte. Dopo una breve introduzione sui possibili movimenti dell’ala, ne viene modellata la cinematica. Viene poi definito il modello aerodinamico, che in questo capitolo viene trattato pret-tamente con lo scopo di cercare un’espressione delle forze aerodinamiche da inserire nelle equazioni del moto. Infine, viene esplicitato il modello completo della dinamica dell’insetto e vengono riassunti tutti gli elementi necessari a permetterne la simulazione.

3.2

Modello della dinamica

La dinamica dell’insetto viene trattata come quella di un corpo rigido sog-getto ad un sistema di forze con risultante F e momento risultante MC [12].

3 – Il modello matematico

Nell’ipotesi di massa m costante, le equazioni cardinali della dinamica sono:

F = m ˙VC + mΩ ∧ VC (3.1)

MC = I · ˙¯¯ Ω + Ω ∧ ( ¯I · Ω)¯ (3.2)

dove VC `e la velocit`a del centro di massa C del corpo, Ω `e la velocit`a

an-golare di un sistema di riferimento solidale con il corpo e con origine in C rispetto ad una terna inerziale e ¯I `¯e il diadico di inerzia.

Le forze sono date dalla somma dei contributi aerodinamici e di quelli gravi-tazionali, mentre i momenti sono dati solo da quelli aerodinamici, essendo il polo dei momenti coincidente col baricentro:

F = F(a)+ F(g) (3.3) MC = M (a) C (3.4) dove: F(g) = mg (3.5)

con g accelerazione di gravit`a, che si supporr`a indipendente dalla quota di volo 1_.

Le forze e i momenti di natura aerodinamica sono dati dal contributo delle due ali 2_(F(a)R _{e F}(a)L _{) e dal contributo di resistenza del corpo (F}(d)_{). I}

contributi aerodinamici si possono, quindi, cos`ı esprimere:

F(a) = F(a)R+ F(a)L+ F(d) (3.6)

M(a)_C = rR∧ F(a)R_{+ r}L_{∧ F}(a)L_{+ M}(d)

C (3.7)

1<sub>E possibile fare questa ipotesi in quanto la quota `</sub>` _{e al massimo di qualche decina di} metri.

2_{Nel seguito si indicher`a con l’apice R tutto ci`o che `e relativo all’ala destra e con L}

3 – Il modello matematico

dove r(R,L)_{`e il vettore che unisce il centro di massa col punto di applicazione}

delle forze.

3.3

Sistemi di riferimento

Per costruire il modello matematico della dinamica di un insetto `e necessario introdurre una serie di sistemi di riferimento cartesiani ortogonali e le relative matrici di trasformazione. Per comodit`a nella scrittura delle varie grandezze vettoriali in gioco, si utilizzeranno sia sistemi levogiri che destrogiri [13](i sistemi relativi all’ala destra saranno levogiri, quelli relativi all’ala sinistra destrogiri).

3.3.1

Definizione dei sistemi di riferimento

I sistemi di riferimento che verranno utilizzati sono i seguenti:

• Sistema di riferimento assi corpo TB (C; xB, yB, zB).

`

E solidale al corpo ed ha origine nel suo baricentro C. Il piano (xB, zB)

`

e assunto coincidente con il piano longitudinale del corpo, con l’asse xB

avente verso concorde con la direzione della testa dell’insetto e l’asse zB rivolto verso il basso (Fig. 3.1) .

B

X

Y

Z

3 – Il modello matematico

• Sistema di riferimento fulcro T_F(R,L) (F(R,L)_{; x}(R,L) F , y (R,L) F , z (R,L) F ). `

E solidale al corpo, ha origine nel fulcro dell’ala F(R,L) ed ha assi pa-ralleli a quelli della terna TB. Da notare che TFR ha gli assi con verso

coincidente con quelli della terna TB, mentre TFL, essendo una terna

destrogira, ha l’asse yL

F che ha verso opposto a yB (Fig. 3.2).

B X B Y B Z C R F X L F X R F Y L F Y L F Z R F Z R F L F L F r R F r

Figura 3.2: Sistema di riferimento TF

• Sistema di riferimento stroke-plane T_S(R,L)(F(R,L)_{; x}(R,L) S , y

(R,L) S , z

(R,L) S ).

Ha origine nel fulcro dell’ala F(R,L)_{. Il piano (x}(R,L) S , z

(R,L)

S ) coincide

con il piano (x(R,L)_F , z_F(R,L)), `e quindi parallelo al piano (xB, zB) e il

pia-no (x(R,L)_S , y_S(R,L)) coincide con lo stroke-plane 3; l’asse y(R,L)_S coincide con l’asse y_F(R,L). Il verso degli assi `e concorde con quello degli assi della rispettiva terna T_F(R,L) (Fig. 3.3).

3 – Il modello matematico R S

X

X

Z

Z

Y

Y

ϑ

F

Figura 3.3: Sistema di riferimento TS

• Sistema di riferimento alare T_W(R,L) (F(R,L)_{; x}(R,L) W , y

(R,L) W , z

(R,L) W ).

Ha origine nel fulcro dell’ala. L’asse z_W(R,L) coincide con l’asse z_S(R,L) e quindi il piano (x(R,L)_W , y_W(R,L)) coincide con lo stroke-plane; l’asse y(R,L)_W coincide con l’asse dell’ala e punta verso il tip (Fig. 3.4).

R R S W

Z

Z

Y

Y

X

X

3 – Il modello matematico

• Sistema di riferimento del profilo alare T_C(R,L)(c.a.(R,L)_{; x}(R,L) C ,y (R,L) C , z R,L C ). `

E solidale all’ala e ha origine nel centro aerodinamico del profilo ala-re. Il piano (x(R,L)_C , z_C(R,L)) coincide con il piano del profilo alare; l’asse x(R,L)_C ha la direzione della corda e punta verso il bordo d’attacco; l’asse y(R,L)_C punta verso il tip dell’ala e coincide con l’asse y_W(R,L).

R W

X

Z

Z

X

Y

Y

Figura 3.5: Sistema di riferimento TC

3.3.2

Matrici di trasformazione

L’utilizzo di terne levogire per l’ala destra e destrogire per l’ala sinistra per-mette di poter definire la maggior parte delle matrici di trasformazione tra le varie terne in modo identico per le due ali.

Le matrici di trasformazione sono le seguenti:

• TW → TC h T(R,L)CW i =     cos α(R,L)g 0 − sin α(R,L)g 0 1 0 sin α(R,L)g 0 cos α (R,L) g     (3.8)

3 – Il modello matematico

αg(R,L)`e l’angolo compreso tra x(R,L)_W e x(R,L)_C (Fig. 3.5 ).

• TS → TW h T(R,L)W S i =     cos φ(R,L)_f sin φ(R,L)_f 0 − sin φ(R,L)_f cos φ(R,L)_f 0 0 0 1     (3.9)

φ(R,L)_f `e l’angolo che indica istantaneamente la posizione dell’ala sul piano di flappeggio (Fig. 3.4).

• TS → TF h T(R,L)F S i =     cos θ_S(R,L) 0 − sin θ(R,L)_S 0 1 0 sin θ_S(R,L) 0 cos θ_S(R,L)     (3.10)

θ_S(R,L) `e l’angolo compreso tra x(R,L)_S e x(R,L)_F (Fig. 3.3).

• TF → TB

Tenendo conto del fatto che la trasformazione dal riferimento TF a

TB `e una trasformazione che, per l’ala destra `e rappresentata da una

semplice traslazione tra due terne levogire, mentre per l’ala sinistra `e una trasformazione da una terna destrogira a una terna levogira (Fig. 3.2), le matrici di trasformazione nei due casi possono esprimersi nel modo seguente:  TRBF =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     (3.11)  TLBF =    1 0 0 0 −1 0    (3.12)

3 – Il modello matematico

3.4

Geometria dell’insetto

3.4.1

Geometria del corpo

La Fig. 3.6 mostra a grandi linee la geometria di un insetto. Per semplicit`a, si pu`o pensare di assimilare il corpo dell’insetto ad un ellissoide come mostrato in Fig. 3.6 (A). La matrice di inerzia in TB `e quindi esprimibile come:

B

X

Y

Z

Y

X

Y

Z

Figura 3.6: Geometria del corpo dell’insetto

[I]_B = m 5     a2+ b2 0 0 0 l2_{+ a}2 ₀ 0 0 l2_{+ b}2     (3.13)

Il diadico di inerzia ¯I (cfr. § 3.2) espresso in un sistema assi corpo coincide¯ con la matrice di inerzia [12]_.

3.4.2

Geometria dell’ala

I principali parametri geometrici dell’ala sono definiti con riferimento alla Fig. 3.7 [3] _{e sono i seguenti:}

3 – Il modello matematico

c = corda

R = lunghezza ala

S = 2RR

0 c dr = superficie alare delle due ali

¯

c = S/(2R) = corda media alare

ˆ

c = c/¯c = corda normalizzata

ˆ

r = r/R = apertura alare adimensionalizzata

Figura 3.7: Geometria dell’ala

La legge di variazione della corda lungo l’apertura alare pu`o essere descritta con una distribuzione Beta [3]_:

c(ˆr) = ¯c rˆ (p−1) _{(1 − ˆr)}(q−1) B(p, q) (3.14) con: B(p, q) = Z 1 0 ˆ r(p−1) (1 − ˆr)(q−1) dˆr (3.15) p = ˆr1  ˆr1(1 − ˆr1) ˆ r2 2− ˆr12 − 1  (3.16) q = (1 − ˆr1)  ˆr1(1 − ˆr1) ˆ r2 2 − ˆr12 − 1  (3.17) dove ˆrk

k `e il k-esimo momento adimensionale dell’area:

3 – Il modello matematico

con Sk, che `e il k-esimo momento dell’area, dato da:

Sk = 2 Z R 0 c rkdr = SRk Z 1 0 ˆ c ˆrkdˆr (3.19)

I valori di ˆrk sono una caratteristica del tipo di ala. `E stato ricavato

speri-mentalmente che ˆr1 e ˆr2 sono legati dalla seguente relazione [3]:

ˆ

r2 = 0.929 · ˆr10.732 (3.20)

Nella presente trattazione le ali verranno supposte rigide e la loro massa trascurabile rispetto a quella del corpo.

3.5

Cinematica dell’ala

Le forze e le coppie che agiscono sul corpo dell’insetto dipendono dal mo-vimento delle ali. Gli insetti, modulando la cinematica dell’ala, possono operare rapide variazioni di forze e coppie sul corpo e quindi cambiare as-setto e posizione. Pertanto, nella costruzione del modello matematico della dinamica dell’insetto riveste un ruolo fondamentale il modo in cui tale cine-matica viene modellata.

Negli insetti il moto dell’ala `e caratterizzato da tre movimenti: sweeping (in-torno all’asse zW), heaving (intorno all’asse xW) e pitching (intorno all’asse

yw). Senza togliere all’insetto la possibilit`a di compiere qualsiasi

movimen-to, `e possibile trascurare il movimento di heaving e quindi ipotizzare che il movimento dell’ala rimanga confinato nello stroke-plane (cfr. § 2.3). Ci`o permette di descrivere la traiettoria dell’ala usando l’angolo di flappeggio φf

e l’angolo di incidenza geometrica αg. Queste due grandezze possono essere

modellate con un termine periodico pi`u un termine perturbativo che per-mette di rappresentare le variazioni cinematiche che l’insetto `e in grado di imporre al moto dell’ala.

3 – Il modello matematico

Si possono, quindi, assumere le seguenti espressioni [14]_:

φf(v1,t) = π 3 cos  2π T t  + v1· π 15sin 3π Tt  (3.21) ϕg(v2,t) = π 4 sin  2π T t  + v2· π 15sin 3π Tt  (3.22)

dove l’angolo ϕg `e il complementare di αg e quindi:

αg = 90◦− ϕg (3.23)

Si ipotizza che i parametri v1e v2 possano assumere dei valori compresi tra -1

e 1, mentre sono entrambi nulli in hovering. Una rappresentazione grafica dei due angoli durante un battito dell’ala (che comprende la fase di downstroke e quella di upstroke) `e data nelle Figure 3.8 e 3.9 in funzione del rapporto t/T , dove T `e il periodo di battito dell’ala.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 t / T φ [deg] v1=0 v1=-1 v1=1

3 – Il modello matematico 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 t / T α g [deg] v2=0 v2=-1 v2=1

Figura 3.9: Variazione dell’angolo di incidenza durante un battito dell’ala in

funzione del parametro cinematico v2

3.6

Modello aerodinamico dell’ala

Numerosi studi sono stati effettuati per estrapolare un modello atto a de-scrivere l’aerodinamica del volo degli insetti. Sebbene attualmente alcune simulazioni numeriche dell’aerodinamica non stazionaria, basate sulla solu-zione numerica delle equazioni di Navier-Stokes, diano risultati accurati[5][11], la loro implementazione risulta onerosa dal punto di vista computazionale e, pertanto, poco si presta ad essere utilizzata per la simulazione del volo. Fortunatamente, ottimi risultati sono stati ottenuti per via empirica grazie all’apparato sperimentale sviluppato da Dickinson (cfr. § 2.5).

Nella modellazione dell’aerodinamica si terr`a conto solo di due meccanismi fondamentali (Delayed Stall e Rotational Lift (cfr. § 2.4) nella generazione delle forze aerodinamiche e si far`a riferimento al lavoro di Dickinson [15] per quanto riguarda la modellazione di tali meccanismi.

3 – Il modello matematico

3.6.1

Delayed Stall

Indicando con L0 la portanza e con D0 la resistenza relative al singolo profilo alare, le forze dovute al Delayed Stall possono essere cos`ı espresse [16]_:

L0_ds = 1 2 CL(αw) ρ c(r) ¯U 2 CP(r,t) (3.24) D_ds0 = 1 2 CD(αw) ρ c(r) ¯U 2 CP(r,t) (3.25)

Poich´e ai fini della generazione delle forze aerodinamiche quello che conta `

e il componente del vettore velocit`a del centro di pressione UCP nel piano

del profilo alare (UCP)x, z (Fig. 3.10), nelle precedenti formule con ¯UCP si `e

indicata la seguente quantit`a:

¯ UCP = q U2 CP x+ UCP z2 (3.26) W

X

Z

Z

X

α

α

α

(

U

)

L

D

Figura 3.10: Profilo alare: velocit`a del CP, angolo di incidenza effettivo e forze

3 – Il modello matematico

La velocit`a del CP , data dalla somma della velocit`a dovuta al moto del-l’ala e di quella dell’insetto, in termini vettoriali `e esprimibile, nel sistema di riferimento alare TW, come:

[UCP]W = [TW B] {[VC]B+ [Ω ∧ rF]B} + [ΩW I ∧ rCP]W (3.27)

dove VC `e la velocit`a dell’insetto, rF e rCP sono rispettivamente i vettori

che uniscono il baricentro al fulcro dell’ala e il fulcro dell’ala al centro di pres-sione del profilo alare, Ω e ΩW I sono rispettivamente la velocit`a angolare

della terna TBe della terna TW rispetto alla terna inerziale. Quest’ultima, per

la composizione delle velocit`a angolari, pu`o scriversi nel riferimento TW come:

[ΩW I]W = [ΩW B]W + [TW B] [Ω]B (3.28) e [ΩW B]W = h 0, 0, ˙φf iT W (3.29)

nell’ipotesi che lo stroke-plane abbia inclinazione fissa rispetto al corpo e quindi ΩSF = 0.

Nelle (3.24) e (3.25) per CL(αw) e CD(αw) `e possibile utilizzare le seguenti

approssimazioni empiriche [15] _{(Fig. 3.11):}

CL(αw) = 0.225 + 1.58 sin(2.13 αw− 7.2◦) (3.30)

CD(αw) = 1.92 − 1.55 cos(2.04 αw − 9.8◦) (3.31)

dove αw `e l’angolo di incidenza effettiva dell’ala4 (Fig. 3.10) ed `e dato da:

αw = αg+ αu (3.32)

nella fase di downstroke dell’ala, e da:

3 – Il modello matematico

nella fase di upstroke, con αg angolo di incidenza geometrico dell’ala e αu

dato da: αu = arctan  U_{CP z} UCP x  (3.34) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Angolo di attacco [deg] C

L

C

D

Figura 3.11: Coefficienti di portanza e di resistenza

Esprimendo tali forze nel sistema TW, si ottiene:

[F0_ds]_W =    

L0_ds sin αu− sign(UCP x)D0dscos αu

0 −L0

dscos αu− sign(UCP x)Dds0 sin αu

   

(3.35)

L’utilizzo del sgn(UCP x) `e necessario per la corretta espressione delle [F0ds]W

3 – Il modello matematico

3.6.2

Rotational Lift

Il modulo di questa forza, in termini di contributo di un singolo profilo alare, pu`o essere espressa come di seguito [15]_:

F_rot,N0 = 1

2 Crot ρ c

2

(r) ¯UCP(r,t) ω(r,t) (3.36)

Per Crot `e possibile usare la seguente approssimazione empirica:

Crot = 2π

 3 4− ˆx0



(3.37)

dove ˆx0 `e la distanza adimensionalizzata dell’asse longitudinale di rotazione

dell’ala dal bordo d’attacco, che nella maggior parte degli insetti `e pari a circa 1₄.

Con ω `e indicata la velocit`a angolare di rotazione dell’ala che `e pari a:

ω = ˙αw = ˙αg+ ˙αu (3.38)

Poich´e si tratta una forza diretta sempre perpendicolarmente al profilo alare e che agisce in direzione opposta al moto dell’ala, nel sistema TC pu`o esprimersi

come: [F0_rot]_C =     0 0 −F0 rot     (3.39)

3.6.3

Forza aerodinamica totale e momento delle forze

aerodinamiche in T

La forza totale agente sul singolo profilo alare `e data quindi dalla somma dei due contributi: h F0(a)i W = [F 0 ds]W + [TCW] T [F0_rot]_C (3.40)

3 – Il modello matematico h F(a)i W = Z R 0 [F0]_W dr (3.41)

Per quanto riguarda i momenti dovuti alle forze aerodinamiche, considerando il momento rispetto al fulcro dell’ala dovuto al singolo profilo alare, si ha:

h

M0_F(a)i

W = [rCP]W ∧ [F 0

]_W (3.42)

Come per le forze, integrando lungo l’ala si ottiene:

h MF(a) i W = Z R 0 h M0_F(a)i W dr (3.43)

3.7

Modello aerodinamico del corpo

Il contributo di resistenza del corpo alle forze aerodinamiche `e stato sche-matizzato utilizzando un modello proporzionale alla velocit`a e alla velocit`a angolare :

F(d) = −C_F(d) V_C (3.44)

MC(d) = −CM(d) Ω (3.45)

dove C_F(d) e C_M(d) sono i coefficienti di smorzamento viscoso.

La ragione della scelta di un andamento proporzionale alla velocit`a sta nel fatto che tale resistenza `e soprattutto dovuta a fenomeni di tipo viscoso, come osservato da Schenato[16]_{, ma nel presente lavoro, a differenza di quanto fatto}

da Schenato, si `e deciso di inserire anche il termine proporzionale alla velocit`a angolare.

3.8

Equazioni del moto nella terna assi corpo

3 – Il modello matematico

valutate rispetto a TB, si ha:

[Ω]_B = [P, Q, R]T (3.46)

[VC]B = [U, V, W ] T

(3.47)

Le equazioni nel moto (3.1) e (3.2) possono esprimersi nel seguente modo:

mh ˙VC i B + m ˜Ω [VC]B = m [g]B+ h F(a)i B +hF(d)i B (3.48) Ih ˙Ωi B + ˜ΩI [Ω]_B = hMC(a) i B +hMC(d) i B (3.49)

dove I `e la matrice di inerzia (cfr. § 3.4.1) e ˜Ω `e la seguente matrice:

˜ Ω ,     0 −R Q R 0 −P −Q P 0     (3.50)

I contributi aerodinamici delle ali, espressi in assi corpo, possono scriversi come: h F(a)i B =  TRBF   TRF S   TRW S T h F(a)Ri W + (3.51) +_TL_BF _TL_{F S} _TL_{W S}T hF(a)Li W h M(a)_C i B = _TR_BFnhM(a)_F Ri F +rR_F_F ∧hF(a)Ri F o + (3.52) − TLBF nh M(a)_F L i F +r L F  F ∧ h F(a)L i F o dove: h F(a)(R,L)i F = h_T(R,L)_{F S} i h_T(R,L)_{W S} iT hF(a)(R,L)i W (3.53)

3 – Il modello matematico e h M(a)_F (R,L)i F = h_T(R,L)_{F S} i h_{TW S}(R,L)iT hM(a)_F (R,L)i W (3.54)

e r(R,L)_F `e il vettore che unisce il centro di massa al fulcro dell’ala.

Per esprimere l’accelerazione di gravit`a in assi corpo `e necessario conside-rare un’ulteriore matrice di trasformazione [TBV], tra la terna assi verticali

locali 5 _T V e la terna TB: [TBV] =     cΘcΨ cΘsΨ −sΘ −cΦsΨ + sΦsΘcΨ cΦcΨ + sΦsΘsΨ sΦcΘ sΦsΨ + cΦsΘcΨ −sΦcΨ + cΦsΘsΨ cΦcΘ     (3.55)

dove c = cos , s = sin e (Φ, Θ, Ψ ) sono gli angoli di Eulero.

L’accelerazione di gravit`a espressa in assi corpo assume la seguente forma:

[g]_{B = [T}BV] [g]_V = [TBV] [0, 0, g]T = g     − sin Θ sin Φ cos Θ cos Φ cos Θ     (3.56)

Con l’uso della (3.55) sono state introdotte tre ulteriori incognite, pertanto `

e necessaria una relazione tra gli angoli di Eulero e la Ω, che `e la seguente

[12]_:     ˙ Φ ˙ Θ ˙ Ψ    = [TΩ ]−1     P Q R     ; (3.57)

5_{La terna assi verticali locali ha origine nel centro di massa dell’insetto e ha l’asse z} V

disposto secondo la direzione e il verso del vettore gravit`a locale. Gli assi xV e zV giacciono

su un piano parallelo alla superficie terrestre (o tangente nel caso di quota nulla), con l’asse xV diretto verso Nord e l’asse yV diretto verso Est. Poich´e nello studio di problemi di

dinamica del volo si pu`o assumere un modello di terra piana e non rotante, la terna TV

3 – Il modello matematico [TΩ] −1 =    

1 sin Φ tan Θ cos Φ tan Θ

0 cos Φ − sin Φ

0 sin Φ/ cos Θ cos Φ/ cos Θ    

(3.58)

Infine, `e necessario determinare la posizione dell’insetto in funzione del tem-po. Indicate con XN, XE e H rispettivamente la distanza verso Nord, Est

e la quota di volo e con VN, VE e VD le componenti di VC rispetto a TV, si ha:

    ˙ XN ˙ XE ˙ H     =     VN VE −VD     (3.59) dove     VN VE VD    = [TBV ]−1     U V W     (3.60)

Combinando le equazione precedenti, si ottengono 12 equazioni differen-ziali non lineari del primo ordine che descrivono completamente il moto dell’insetto.

4

Implementazione del modello

matematico

4.1

Introduzione

Le equazioni scritte nel precedente Capitolo, sono state implementate e risolte in ambiente Matlab-Simulink, al fine di sviluppare un simulatore di volo in grado di riprodurre la dinamica dell’insetto. Nel presente Capitolo si mostra lo schema generale dei programmi, la loro struttura e i principali problemi connessi con la programmazione.

4.2

Struttura dei programmi Matlab

L’obiettivo fondamentale dei programmi sviluppati `e lo studio della dinamica in ciclo aperto dell’insetto, modellata attraverso le equazioni riportate nel capitolo precedente. I programmi possono essere visti come delle scatole nere che, a fronte di certi ingressi, producono in uscita la risposta del sistema. Dal modello matematico sviluppato e secondo gli studi pi`u diffusi e condivisi dagli svariati gruppi di ricerca, gli ingressi manipolabili (ovvero gli ingressi che costituiscono un comando) per il sistema-insetto sono cinque:

• δf, frequenza di battito delle ali

4 – Implementazione del modello matematico

• δ_v2(R,L), parametri cinematici dell’ala che influenzano αg, per l’ala destra

e per quella sinistra

Pertanto, questi sono i parametri che devono essere definiti dall’esterno. Inol-tre, la dinamica dell’insetto stesso dipende dalle condizioni iniziali nelle quali viene posto e che, come si vedr`a in seguito, corrispondono alla condizione di hovering. Lo schema generale, valido sia per i programmi Matlab che per quelli Simulink, `e quello riportato in Fig. 4.1.

Sistema insetto

δ

δ

δ

δ

δ

Figura 4.1: Schema degli input ed output del programma

Il programma `e stato suddiviso nelle seguenti function:

• dati • cinematica dell’ala • aerodinamica • trasformazioni • dinamica dell’insetto

4.2.1

Dati

Questa function carica nel programma le costanti e i dati dell’insetto di riferi-mento (relativi alle dimensioni dell’ala e alle propriet`a del corpo). I dati sono riferiti alla Apis Mellifera; `e stato scelto questo insetto di riferimento perch´e di esso si conoscono tutti i dati significativi [3] _{e perch´e le sue caratteristiche}

4 – Implementazione del modello matematico

4.2.2

Cinematica dell’ala

Questa function traduce le equazioni riportate in § 3.5, ed `e schematizzabile come si vede in Fig. 4.2.

Cinematica dell’ala

t

T

δ

δ

φ

φ



α

α



Figura 4.2: Schema della function rappresentante la cinematica dell’ala

4.2.3

Aerodinamica

La function aerodinamica `e quella che valuta istante per istante la distri-buzione delle forze e dei momenti aerodinamici (rispetto al fulcro) nel rife-rimento TW in funzione del movimento dell’ala e ne effettua l’integrazione,

traducendo quanto riportato nel paragrafo § 3.6. Lo schema `e quello di Fig. 4.3. Aerodinamica

[ ]

F

G

[ ]

M

G

φ

φ



α

α



G

V

Ω

G

ϑ

4 – Implementazione del modello matematico

4.2.4

Trasformazioni

Dopo aver calcolato le forze e i momenti nel riferimento TW `e necessario

tra-sformarli nel riferimento TB e questo viene fatto dalla function

trasforma-zioni. In particolare in questa function viene valutato il momento aerodina-mico rispetto al baricentro, tenendo quindi conto del momento di trasporto delle forze aerodinamiche dal fulcro dell’ala al baricentro dell’insetto. Lo schema adottato `e quello di Fig. 4.4.

Trasformazioni

[ ]

F

G

[ ]

M

G

[ ]

F

G

[ ]

M

G

r

Figura 4.4: Schema della function rappresentante la trasformazione da TW a TB

4.2.5

Forze medie e dinamica dell’insetto

Infine, le forze e i momenti scritti nel riferimento TB entrano nella function

rappresentante la dinamica dell’insetto, secondo le equazioni di § 3.8. Da questa si ottengono in output le derivate degli stati del sistema, che succes-sivamente vengono integrate.

In realt`a, per`o, la dinamica dell’insetto non viene valutata considerando in ingresso alla corrispondente function le forze istantanee, ma le forze medie, come riportato in Fig. 4.5.

Questo approccio deriva da una serie di osservazioni piuttosto intuitive: dato che le azioni aerodinamiche sull’insetto sono delle funzioni periodiche, questo risponder`a con un moto oscillatorio; cos`ı, ad esempio, dato che la portanza `e una funzione oscillatoria, in condizione di hovering l’insetto ri-sponder`a muovendosi su e gi`u attorno al punto di equilibrio. Pi`u in generale, quindi, tutti gli stati del sistema saranno esprimibili come la somma di un termine medio e di uno perturbativo periodico:

4 – Implementazione del modello matematico Dinamica

⎡ ⎤

⎣ ⎦

F

G

⎡

⎤

⎣

M

G

⎦

[ ]

V

G

[ ]

Ω

G

[

Φ Θ Ψ

, ,

]

[

,

,

]

X

X H

Figura 4.5: Schema della function rappresentante la dinamica dell’insetto valutata rispetto alle forze e ai momenti medi

Se, per`o, si `e interessati al moto di “bassa frequenza” dell’insetto, cio`e si vogliono trascurare queste oscillazioni e, quindi, considerare il moto medio, `

e necessario tener conto soltanto delle azioni aerodinamiche mediate in un periodo. Questo risulta particolarmente utile nel momento in cui si andr`a a ricercare la condizione di hovering ed inoltre permetter`a di utilizzare delle routine presenti in Simulink per linearizzare il sistema.

La necessit`a di dover calcolare le forze medie in un periodo per valutare la dinamica dell’insetto nel periodo stesso, rende, per`o, necessario l’utilizzo di due cicli per la simulazione di una singola battuta. Nel primo si valutano le azioni aerodinamiche istantanee, con gli ingressi [−V→C]B e [

− →

Ω ]B mantenuti

costanti e pari al valore assunto alla fine del periodo precedente. Questo `e lecito ipotizzando che il periodo sia cos`ı breve da poter ritenere la velocit`a e la velocit`a angolare come costanti durante una battuta e lentamente variabili tra una battuta e l’altra. Nel secondo ciclo, invece, viene valutata la risposta dinamica dell’insetto a tali forze e momenti medi durante il periodo.

4.3

Integrazione

Il programma sviluppato in Matlab `e strutturato con un ciclo for all’interno del quale vengono richiamate le Matlab function, per cui ad ogni iterazione si valutano le derivate degli stati del sistema e l’integrazione delle equazioni della dinamica `e effettuata col metodo di Eulero. Dopo uno studio di sensibi-lit`a sul numero di intervalli in cui dividere una battuta si `e deciso di dividerla

4 – Implementazione del modello matematico

in 50 frazioni, numero che garantisce una risposta sufficientemente accura-ta rispetto ai tempi di calcolo. Questo metodo di integrazione presenaccura-ta il vantaggio di non rallentare troppo la soluzione numerica delle equazioni, che con altri criteri risulta troppo dispendiosa, ma d’altra parte non consente di controllare l’errore della valutazione.

4.4

Struttura dei programmi Simulink

Con l’obiettivo ultimo di ottenere un modello linearizzato dell’insetto, `e sta-to necessario implementare anche un programma Simulink. Infatti, quessta-to toolbox di Matlab `e dotato di un tool di linear analysis che `e in grado di effettuare in automatico la linearizzazione del sistema attorno ad una condi-zione di equilibrio definita dall’utente o ricercata dal tool stesso.

Si `e deciso di mantenere concettualmente la stessa impostazione dei pro-grammi Matlab: quindi, per ogni periodo, vengono effettuati due cicli, uno per la valutazione delle forze medie (e dei momenti) e l’altro per la valuta-zione della dinamica dell’insetto, come illustrato precedentemente. Inoltre, in ambiente Simulink ci si `e avvalsi delle function gi`a realizzate in Matlab e pertanto il programma si limita a richiamare una function per il calcolo delle forze medie e una per la dinamica. L’integrazione delle equazioni della dinamica in Simulink `e effettuata, per entrambi i programmi, col criterio di Dormand-Prince a passo fisso (ode5) di ampiezza pari a T/50.

5

Condizione di equilibrio e analisi delle

azioni aerodinamiche durante un

periodo

5.1

Introduzione

Nel presente Capitolo si mostra la ricerca della condizione di trim per l’inset-to, quindi si effettuano una serie di considerazioni utili a validare il modello, analizzando l’andamento delle forze e dei momenti aerodinamici prodotti dalle due ali durante una battuta.

5.2

Condizione di trim

Uno dei principali interessi nei confronti dei MAV ad ala battente risiede nella loro capacit`a di hovering, quindi questa `e senz’altro la condizione che merita maggiormente di essere analizzata e pertanto nel presente lavoro si ricercher`a proprio questa condizione di trim.

L’hovering `e schematizzabile come illustrato in Fig. 5.1 come la condi-zione nella quale la forza aerodinamica media agente sull’insetto nel corso di una battuta ha direzione verticale e intensit`a pari al peso, mentre il momento aerodinamico medio resta nullo. Infatti, osservando la Fig. 5.1 si osserva che durante l’hovering il fulcro dell’ala e il baricentro sono allineati secondo la

5 – Condizione di equilibrio e analisi delle azioni aerodinamiche durante un periodo

Figura 5.1: Schema dell’insetto in hovering. Il vettore in blu rappresenta la forza

aerodinamica media durante un ciclo, in rosso `e visibile il vettore peso

direzione verticale e pertanto, in assenza di momenti aerodinamici, la por-tanza e il peso costituiscono un sistema di vettori equilibrato.

Dai dati disponibili sull’Apis mellifera [3], si ipotizza che in hovering si ab-bia un angolo di assetto di 53◦ e che il piano di flappeggio sia orizzontale; pertanto ne segue che l’angolo θS evidenziato in Fig. 5.1 sia anch’esso pari

a 53◦. Sempre dai dati disponibili, si ipotizza che la massa dell’insetto sia pari a 100 mg e che i parametri cinematici dell’ala (introdotti in § 3.5) siano entrambi nulli, in modo tale che le fasi di downstroke e di upstroke risultino perfettamente simmetriche. A questo punto `e indispensabile “calibrare” la frequenza di battito delle ali, cio`e trovare il valore della frequenza che `e in grado di equilibrare il peso. Questo `e stato fatto per tentativi e si `e trovato un valore della frequenza (f ) in hovering di 175 Hz, che garantisce una por-tanza media di 0.981 mN.

5.3

Forze e momenti aerodinamici in

hove-ring

Durante una battuta, l’andamento delle forze aerodinamiche, nel riferimento verticale locale, `e quello visibile in Fig. 5.2 . Da tale figura si osserva che la componente orizzontale `e di resistenza nella fase di downstroke e di trazione

5 – Condizione di equilibrio e analisi delle azioni aerodinamiche durante un periodo 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 -3 t/T [F] V [N] [F_x]_V [F_y]_V [F_z]_V

Figura 5.2: Andamento della risultante delle forze aerodinamiche nel riferimento

verticale locale TV 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x 10 -3 t/T [F] B [N] [F x]B [F_y]_B [F_z]_B

Figura 5.3: Andamento della risultante delle forze aerodinamiche nel riferimento

5 – Condizione di equilibrio e analisi delle azioni aerodinamiche durante un periodo

nella fase di upstroke, in modo da bilanciarsi e dare globalmente risultante nulla. Invece la componente verticale `e portante in entrambe le fasi e questo genera la forza media in grado di equilibrare il peso dell’insetto. Come si vede nella figura, la componente della forza aerodinamica risultante secondo l’asse y `e nulla. Nel riferimento assi corpo, invece, la risultante delle forze aerodinamiche sulle due ali durante una battuta ha componenti come in Fig. 5.3.

Per quanto riguarda il momento, invece, in condizione di movimento sim-metrico delle due ali rispetto al piano longitudinale, i momenti risultanti secondo x e z nel riferimento TV sono sistematicamente nulli. Invece, come si

vede nella Fig. 5.4, `e presente un momento di beccheggio cabrante durante il downstroke e picchiante durante l’upstroke, dovuto alla componente orizzon-tale delle forze aerodinamiche che `e applicata nel fulcro delle ali (collocato al di sopra del baricentro, come mostrato in Fig. 5.1). Tale momento di beccheggio ha per`o valor medio nullo durante la battuta.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x 10 -5 t/T [M] B [Nm] [M_x]_B [M_y]_B [M_z]_B

Figura 5.4: Andamento della risultante dei momenti aerodinamici nel riferimento

assi verticali locali TV

5 – Condizione di equilibrio e analisi delle azioni aerodinamiche durante un periodo

meccanismi di generazione delle forze, ad esempio quella destra, per compren-dere meglio la natura degli andamenti delle Figure 5.2 e 5.4. Nelle Figure 5.5 e 5.6 si rappresentano i due contributi alle forze aerodinamiche dovuti al delayed stall e al rotational lift secondo il modello introdotto in § 3.6.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.5 0 0.5 1 x 10-3 t/T [F ds ] W R [N] [F_x]_W [F_y]_W [F_z]_W

Figura 5.5: Andamento della forza dovuta al delayed stall sull’ala destra nel corso

di una battuta e nel riferimento TW

Nella Fig. 5.7 si mostra la somma delle due componenti sempre riportata nel riferimento TW. Dalle Figure 5.5, 5.6 e 5.7 si possono fare le

seguen-ti osservazioni: per prima cosa si osserva che i termini dovuseguen-ti al vorseguen-tice di bordo d’attacco sono sostanzialmente maggiori di quelli dovuti alla rotazione dell’ala, inoltre le componenti dovute al LEX sono massime a met`a di cia-scuna semibattuta, quando l’ala passa per la direzione ortogonale al corpo, invece quelle dovute alla rotazione intorno all’asse alare sono pi`u complicate perch´e dipendono dal prodotto UCPα˙w secondo il modello riportato in § 3.6.

Si osserva quindi, in Fig. 5.7, che il termine di rotational lift ha un effetto “perturbativo” sul termine principale.

Sempre per l’ala destra, tali forze, proiettate sul riferimento verticale locale, hanno l’andamento riprodotto in Fig. 5.8. Qui si apprezza anche la presenza

5 – Condizione di equilibrio e analisi delle azioni aerodinamiche durante un periodo 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x 10 -4 t/T [F ds ] W R [N] [F x]W [F_y]_W [F_z]_W

Figura 5.6: Andamento della forza dovuta al rotational lift sull’ala destra nel

corso di una battuta e nel riferimento TW

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.5 0 0.5 1 x 10-3 t/T [F] W R [N] [F x]W [F_y]_W [F_z]_W

Figura 5.7: Andamento della forza aerodinamica sull’ala destra nel corso di una

5 – Condizione di equilibrio e analisi delle azioni aerodinamiche durante un periodo

Infine, in Fig. 5.9, si riportano i momenti prodotti dall’ala destra rispetto al baricentro nel riferimento assi corpo TB.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.5 0 0.5 1 x 10-3 t/T [F] V [N] [F_x]_V [F_y]_V [F_z]_V

Figura 5.8: Andamento delle forze aerodinamiche sull’ala destra nel riferimento inerziale 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.5 0 0.5 1x 10 -5 t/T [M] B R [Nm] [M_x]_BR [M_y]_BR [M_z]_BR

Figura 5.9: Momento aerodinamico prodotto dall’ala destra rispetto al

5 – Condizione di equilibrio e analisi delle azioni aerodinamiche durante un periodo

5.4

Forze e momenti aerodinamici in

condi-zioni diverse dall’hovering

In assenza di risultati direttamente confrontabili con quelli ottenuti nel pre-sente lavoro, `e necessario effettuare una serie di considerazioni utili a verifi-care la bont`a del modello. Queste considerazioni non possono che poggiare sul buon senso e sull’intuizione dei fenomeni fisici. Di seguito si osserva l’andamento delle forze e dei momenti aerodinamici sulle due ali in diverse condizioni operative; si considereranno solo condizioni di volo nel piano lon-gitudinale dell’insetto, quindi gli ingressi al sistema saranno assunti sempre uguali sulle due ali.

5.4.1

Aumento della frequenza di battito delle ali (δ

)

La prima situazione significativa `e quella dell’insetto, inizialmente in hove-ring, che aumenta la frequenza di battito delle ali, ad esempio portandola da 175 Hz a 185 Hz. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 -3 t/T [F] V [N] [F_x]_V [F_y]_V [F_z]_V

Figura 5.10: Andamento delle forze aerodinamiche risultanti sulle due ali nel