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Momento angolare

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Academic year: 2021

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(1)

Momento angolare

Obiettivo di questo capitolo `e quello di ricavare gli autovalori e gli autostati del momento angolare utilizzando un approccio algebrico a partire dalle relazioni di commutazione

hLx, Lyi = i~Lz,h

Ly, Lzi = i~Lx, Lz, Lx= i~Ly, (1.1)

cio`e, pi`u sinteticamente

hLi, Lji = i~ εijkLk, (1.2)

dove `e sottintesa una somma sull’indice k (l’unico ripetuto a destra, mentre i e j sono fissati gi`a a sinistra), e dove si `e introdotto il tensore di Ricci, completamente antisimmetrico

εi jk=

















1 se (i, j, k)= (x, y, z) o permutazioni cicliche ;

−1 se (i, j, k)= (x, z, y) o permutazioni cicliche ; 0 altrimenti.

1.1 Momento angolare orbitale

Le relazioni di commutazione riportate qui sopra discendono dal fatto che il momento angolare `e un vettore1 che fa da generatore delle rotazioni spaziali. Prenderemo quest’algebra come punto di partenza a partire dalla prossima sezione, prima per`o, in questa sezione, mostriamo che questa `e proprio l’algebra “giusta” se si considera il momento angolare orbitale. Come vedremo, quello orbitale non `e l’unico caso di momento angolare che si possa considerare, in quanto `e perfettamente possibile utilizzare la stessa algebra per descrivere il momento angolare intrinseco (odi spin).

Il momento angolare orbitale `e definito tramite i vettori posizione e quantit`a di moto

L= r × p, cio`e Lx= ypz− zpy, Ly= zpx− xpz, Lz= xpy− ypx. (1.3) L costituisce un vettore di operatori che soddisfa l’algebra (1.2). Questo si pu`o dimostrare a partire dalle propriet`a di commutazione delle componenti dei vettori posizione e quantit`a di moto.

1in effetti, nella descrizione quantistica, unoperatore vettoriale.

1

(2)

dimostrazione

Il punto di partenza della dimostrazione sono i commutatori fondamentali:

 x, y = y , z = [z , x] = 0 hpx, pyi = hpy, pzi = pz, px= 0

hx, pyi = x , pz= y , px= y , pz= z , px=h

z, pyi = 0

 x, px=h

y, pyi = z , pz= i~ . (1.4)

Scriviamo per esteso il commutatore tra due componenti di L:

hLx, Ly

i = h

ypz− zpy, zpx− xpzi =

= ypz, zpx −h zpy, zpx

i−ypz, xpz+h

zpy, xpzi . (1.5)

Questi commutatori si valutano utilizzando la relazione

[ab , cd]= ac [b , d] + a [b , c] d + c [a , d] b + [a , c] db .

Si vede immediatamente che solo il primo e l’ultimo termine dell’eq. (1.5) danno un contributo e che, in particolare, si ha

hLx, Lyi = ypx pz, z + xpyz, pz= i~(xpy− ypx) ≡ i~Lz. Le altre due relazioni si dimostrano in maniera analoga.

Dunque, le osservabili corrispondenti a componenti diverse del momento angolare sono mutuamente incompatibili2, in quanto la relazione di indeterminazione implica che le deviazioni standard di misure eseguite su due delle componenti debbano soddisfare

σLxσLy ≥ ~ 2 |hLzi|.

1.2 Il modulo quadro del momento angolare

Consideriamo il modulo quadro del vettore momento angolare, dato dalla quantit`a L2= L2x+ L2y+ L2z. Questa osservabile `e compatibile con ciascuna delle tre componenti di L in quanto commuta separatamente con ognuna di esse:

hL2, Lxi = hL2, Lyi = hL2, Lzi = 0 . (1.6)

dimostrazione

hL2, Lz

i = h

L2x, Lzi + hL2y, Lzi =

= LxLx, Lz+ Lx, Lz Lx+ Ly

hLy, Lzi + hLy, Lz

iLy=

= i~(−LxLy− LyLx)+ i~(LyLx+ LxLy)= 0 . (1.7)

Analogamente si dimostrano le altre due relazioni.

Dunque si possono cercareautostati simultaneiper L2e una delle componenti, ad esempio Lz.

Siano ~2λ e ~µ gli autovalori3di questi due operatori relativi all’autostato (comune) |λ, µi. In altri termini, supponiamo che esista un ket |λ, µi t.c.

L2 |λ, µi = ~2λ |λ, µi , Lz |λ, µi = ~µ |λ, µi . (1.8)

A partire da questa definizione, dovremo trovare quali sono i possibili valori per λ e µ, e quale sia la forma dell’autostato corrispondente.

2a meno che il valor medio della terza componente non sia nullo

3I fattori ~ sono inseriti in modo che µ e λ siano adimensionali.

(3)

1.3 Operatori di salita e discesa

Avendo scelto di diagonalizzare L2e Lz, conviene usare le altre due componenti di L per costruire due nuovi operatori, detti disalita e discesa, dati da:

L±= Lx± iLy t.c. (L+)= L. (1.9)

Questa coppia di operatori soddisfa

hL2, L±i = 0 , Lz, L±= ±~L±. (1.10)

dimostrazione

La prima `e evidente: L±sono combinazioni lieari di Lxe Ly, i quali commutano con L2, pertanto anche L±lo fanno.

Per la seconda:

hLz, Lx± iLyi = Lz, Lx ± ih

Lz, Lyi = i~Ly± i(−i~Lx)= ±~(Lx± iLy) ≡ ±~L±. (1.11)

Pur non sapendo ancora cosa siano λ, µ, |λ, µi,possiamo ottenere altri autostati di L2e Lzapplicando L±a |λ, µi.

Consideriamo infatti i due stati (non normalizzati) L+|λ, µi e L|λ, µi. Si pu`o dimostrare che per essi valgono le relazioni

L2(L± |λ, µi) = ~2λ (L± |λ, µi) , (1.12)

Lz(L±|λ, µi) = ~(µ ± 1) (L±|λ, µi) . (1.13)

Dunque, L±|λ, µi sono due autostati di L2con lo stesso autovalore ~2λ che corrispondeva a |λ, µi e sono autostati di Lzcon autovalori ottenuti da ~µ aggiungendo o sottraendo ~. Quest’ultimo fatto `e all’origine del nome operatori di salita e discesa.

dimostrazione

Per dimostrare la prima delle due relazioni occorre utilizzare il fatto che L±commutano con L2: L2L±= L±L2.

Utilizzando questa relazione, si ha, infatti

L2(L±|λ, µi) = L±L2 |λ, µi = L±~2λ |λ, µi = ~2λ (L±|λ, µi) . Per dimostrare la seconda relazione, usiamo invece

LzL±= L±Lz± ~L±= L±(Lz± ~) , che permette di scrivere:

Lz(L±|λ, µi) = L±(Lz± ~) |λ, µi = L±(~µ ± ~) |λ, µi = ~(µ ± 1) L±|λ, µi . (1.14)

Come conseguenza di tutto questo, abbiamo che, fissato un autostato comune a L2e Lz, |λ, µi, l’azione di L+oppure di L

porta ad altri autostati con lo stesso autovalore di L2, e autovalori di Lzmodificati:

• |λ, µi `e autostato di Lzcon autovalore ~µ

• L± |λ, µi `e autostato di Lzcon autovalore ~(µ ± 1) ;

• (L±)2 |λ, µi `e autostato di Lzcon autovalore ~(µ ± 2);

• (L±)3 |λ, µi `e autostato di Lzcon autovalore ~(µ ± 3);

• ...

Tuttavia, questa sequenza non pu`o continuare indefinitamente, ne’ verso l’alto ne’ verso il basso, in quanto l’autovalore di Lzelevato al quadrato deve essere sempre minore di quello di L2. Ci`o accade perch´e L2 = L2x+ L2y+ L2z e inoltre perch´e L2x e L2ysono operatori positivi, perci`oD

L2E

≥D L2zE

. Prendendo il valor medio sugli autostati elencati sopra, si ha λ ≥ µ2, λ ≥ (µ ± 1)2, λ ≥ (µ ± 2)2, . . .

(4)

Devono pertanto esistere due autostati, che chiamiamo |λ, µmaxi e |λ, µmini tali che a partire da essi non si possa salire o scendere, rispettivamente:

L+ |λ, µmaxi= 0 l’autovalore di Lznon pu`o aumentare oltre ~µmax

L |λ, µmini= 0 l’autovalore di Lznon pu`o diminuire oltre ~µmin

Nelle due sezioni successive dimostreremo che gli autovalori massimo e minimo, µmaxe µmin, sono legati a λ. Per ottenere queste relazioni, per`o, ci occorrono due espressioni che leghino L2a Lze L±.

Relazioni operatoriali tra L2, Lze L±

Vale:

L2= L2x+ L2y+ L2z = (L++ L)2

4 −(L+− L)2

4 + L2z =1 2



L+L+ LL+

+ L2z. Inoltre vale il commutatore [L+, L]= 2~Lz.

dimostrazione

[L+, L]=h

Lx+ iLy, Lx− iLyi = −i hLx, Lyi + i hLy, Lxi = −i(i~Lz)+ i(−i~Lz)= 2~Lz.

Grazie a questa relazione di commutazione possiamo scrivere

L+L= LL++ 2~ Lz, ma anche LL+= L+L− 2~ Lz. Usando queste relazioni nell’espressione per L2, si ottengono

L2= LL++ ~Lz+ L2z (1.15)

L2= L+L+− ~Lz+ L2z (1.16)

1.3.1 Autovalore massimo della terza componente del momento angolare

Per l’autoket |λ, µmaxi vale

L2 |λ, µmaxi= ~2λ |λ, µmaxi, Lz |λ, µmaxi= ~µmax|λ, µmaxi . Usando la (1.15) si ha, pertanto

~2λ |λ, µmaxi= L2 |λ, µmaxi= (LL++ ~Lz+ L2z) |λ, µmaxi= (0 + ~2µmax+ ~2µ2max) |λ, µmaxi, da cui

λ = µ2max+ µmax= µmaxmax+ 1) .

1.3.2 Autovalore minimo della terza componente del momento angolare

Per l’autoket |λ, µmini vale

L2 |λ, µmini= ~2λ |λ, µmini, Lz |λ, mmini= ~µmin|λ, µmini. Usando la (1.16) si ha, pertanto

~2λ |λ, µmini= L2 |λ, µmini= (L+L− ~Lz+ L2z) |λ, µmini= (0 − ~2µmin+ ~2µ2min) |λ, µmini, da cui

λ = µ2min−µmin= µminmin− 1) .

(5)

1.3.3 Autovalori del momento angolare

Confrontando le due espressioni ottenute per λ, si ha

µmaxmax+ 1) = µminmin− 1) ⇒ due possibilit`a :

min= µmax+ 1 impossibile in quanto µmin< µmax

µmin= −µmax

Di conseguenza, posto µmax= l, abbiamo che µmin= −l e dunque

• ~2λ = ~2l(l+ 1) ;

• µ, che `e indicato pi`u comunemente con la lettera m, varia tra µmin≡ mmin= −l e µmax≡ mmax= l;

• gli autostati si possono etichettare tramite m ed l: |λ, µi= |l, mi.

Ma poich´e ~µmax e ~µminsono gli autovalori corrispondenti agli autostati |l, µmax= li e |l, µmin= −li, e questi stati sono il primo e l’ultimo gradino di una scala che si pu`o scendere (salire) a passi di ±~ applicando L(o L+, rispettivamente), occorre che si possa passare da −~l a +~l tramite un numero intero di salti. Ci`o comporta che l deve essere un numero intero, oppure un semintero4, cosicch´e i possibili valori per l sono

l= 0,1 2, 1,3

2, 2,5 2, 3, . . .

Fissato l, gli autovalori di L2ed Lzsono, rispettivamente ~2λ = ~2l(l+ 1) e ~µ = ~m con m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l.

Il numero totale di autostati con lo stesso autovalore di L2(ma distinti dall’autovalore di Lz) `e 2l+ 1.

Note

1. l`e dettonumero quantico di momento angolare, mentrem`e dettonumero quantico magnetico;

2. si noti che gli autovalori sono stati ottenuti prendendo come ipotesi di partenza solo le relazioni di commutazione;

3. troveremo pi`u avanti che il momento angolare orbitale ammette solo autovalori interi (l = 0, 1, 2, 3, . . .); vi- ceversa, il momento angolare intrinseco (spin) pu`o assumere tutti i possibili valori, sia quelli semi-dispari (corrispondenti aifermioni) che quelli naturali (corrispondenti aibosoni);

4. in particolare, l’elettrone ha un momento angolare di spin corrispondente ad l=12.

1.4 Autostati e normalizzazione

Preso l’autostato |l, mi, sappiamo che L±|l, mi ∝ |l, m ± 1i. Vogliamo trovare la costante di proporzionalit`a assumendo che

|l, mi siano normalizzati. Per farlo, useremo le relazioni (1.15) e (1.16).

Le costanti di proporzionalit`a, infatti, sono legate alle norme degli stati L±|l, mi dalle relazioni

|l, m ± 1i = 1

||L±|l, mi ||L±|l, mi , dove ||L±|l, mi || = p

(hl, m| L) (L±|l, mi) . Usando le (1.15) e (1.16), si ha

||L+|l, mi ||2 = hl, m| LL+|l, mi = hl, m| L2− ~Lz− L2z|l, mi = ~2l(l+ 1) − ~2m − ~2m2 = ~2l(l+ 1) − ~2m(m+ 1)

||L|l, mi ||2 = hl, m| L+L|l, mi = hl, m| L2+ ~Lz− L2z|l, mi = ~2l(l+ 1) + ~2m − ~2m2 = ~2l(l+ 1) − ~2m(m − 1) Pertanto, l’azione degli operatori di salita e discesa `e data da

L+|l, mi = ~p

l(l+ 1) − m(m + 1) |l, m + 1i (1.17)

L|l, mi = ~p

l(l+ 1) − m(m + −1) |l, m − 1i (1.18)

Si noti che prendendo l’autovalore mmax= l nella prima di queste relazioni, oppure mmin= −l nella seconda, l’azione di L+ e quella di L, rispettivamente, forniscono zero.

4pi`u correttamente, “semi-dispari”.

(6)

1.5 Il caso dello spin

12

Tutte le propriet`a e le relazioni trovate in precedenza si applicano anche al caso del momento angolare di spin (tipicamente denotato tramite S, invece che L, con autovalori s ed ms, invece che m ed l). In particolare per s=12, si hanno due possibili stati

s=12, ms= +12 L’autostato `e

1 2,12E

≡ |↑i, t.c.

S2 1 2,1

2 +

= 3 4~2

1 2,1

2 +

, Sz

1 2,1

2 +

=~ 2 1 2,1

2 +

.

s=12, ms= −12 L’autostato `e

1 2, −12E

≡ |↓i, t.c.

S2 1 2, −1

2 +

=3 4~2

1 2, −1

2 +

, Sz

1 2,1

2 +

= −~ 2 1 2, −1

2 +

.

Inoltre, posti S±= Sx± iSy, si ha S+

1 2, −1

2 +

= ~ 1 2,1

2 +

, S+

1 2,1

2 +

= 0 , S

1 2, −1

2 +

= 0 , S

1 2,1

2 +

= ~ 1 2, −1

2 +

. (1.19)

Associando i due ket ai due vettori della base canonica, si ottiene una rappresentazione matriciale bidimensionale:

1 2,1

2 +

= |↑i −→ 1 0

,

1 2, −1

2 +

= |↓i −→ 0 1



In questa rappresentazione, lostato generico`e rappresentato da un vettore ∈C2,

|ψi = α |↑i + β |↓i −→ α β

, hψ| = αh↑|+ βh↓| −→ (α, β) ,

mentre ilgenerico operatore`e rappresentato da una matrice 2 × 2:

Oˆ −→

h↑| ˆO |↑i h↑| ˆO |↓i h↓| ˆO |↑i h↓| ˆO |↓i

.

In particolare, si ottiene immediatamente che S2e Szsono matrici diagonali (visto che la base che stiamo usando `e proprio quella dei loro autostati):

S2 −→

3 4~2 0

0 34~2

!

=3 4~2

1 0

0 1



≡ 3

4~21 , Sz −→

~

2 0

0 −~2

!

=~ 2

1 0 0 −1



≡~ 2σz. Inoltre

S+ −→

0 ~

0 0

, S −→

0 0

~ 0

, da cui usando Sx= S++ S/2 e Sy= −i(S+− S)/2, si ottiene

Sx −→ ~

2

0 1

1 0



≡ ~

x, Sy −→ ~ 2

0 −i

i 0



≡~ 2σy.

Nelle relazioni appena scritte si sono introdotte quattro matrici (le tre matrici di Pauli e l’identit`a) che formano una base per l’insieme delle matrici 2 × 2:

σx=0 1

1 0

, σy=0 −i

i 0

, σz=1 0 0 −1

, 1 =

1 0

0 1

.

Esercizio: commutatori

Mostrare tramite la rappresentazione matriciale la relazioneh

Sx, Syi = i~Sz. soluzione

Si ha

SxSy=~2 4

0 1 1 0

 0 −i

i 0

=~2 4

i 0 0 −i

, SySx= ~2 4

0 −i

i 0

 0 1 1 0

=~2 4

−i 0

0 i

,

(7)

pertanto,

SxSy− SySx= ~2 4

2i 0 0 −2i

= i~~ 2

1 0 0 −1



≡ i~Sz.

Esercizio: austati di Sx

Ricavare autostati e autovalori dell’osservabile Sx= ~2σx. soluzione

Lavoriamo su σx:

det {σx−λ1} = 0 ⇒ det

−λ 1

1 −λ

= ⇒ λ2− 1= 0 ⇒ λ = ±1 .

Dunque gli autovalori di Sxsono ±~2. Scriviamo gli autostati nella forma

|x, ±i = αpm |↑i+ β± |↓i.

Sostituendo nell’equazione agli autovalori e utilizzando la condizione di normalizzazione |α+|2+ |β+|2 = |α|2+ |β|2= 1, si ricavano

α+= β+= 1

2, α= −β= 1

√ 2 ovvero

|x, +i = 1

2(|↑i+ |↓i) , |x, −i = 1

2(|↑i − |↓i) .

1.5.1 Spin in un campo magnetico

Se si considera una particella carica, al suo momento angolare `e associato un momento di dipolo magnetico. In particolare, per lo spin

µ = g q

2mS, (1.20)

dove

g `e il fattore di Land´e; per l’elettrone g ' 2.

q `e la carica della particella;

m `e la massa della particella.

Classicamente, i momenti di dipolo magnetico tendono a stare allineati col campo magnetico. L’energia di un dipolo in un campo esterno `e pari a −µ · B.

Dunque, nella descrizione quantistica, la dinamica di una particella carica con spin, posta in un campo magnetico, `e generata dall’Hamiltoniano H= −µ · B.

Se B= (0, 0, B), si ha (prendendo q = −e per l’elettrone) H= ge

2m

~

zB= ~ωc

2 σz,

dove ωc= geB2m `e la frequenza di ciclotrone. Pertanto gli autostati dell’Hamiltoniano sono esattamente quelli di σz:

• |↑i, con autovalore E= 2c,

• |↓i, con autovalore E= −2c.

In assenza di campo magnetico, questi due stati di spin sarebbero degeneri con energia nulla.

(8)

1.6 Momento angolare orbitale - rappresentazione della posizione

Nel caso del momento angolare orbitale, l’operatore L si ottiene dal prodotto vettoriale della posizione per la quantit`a di moto, L= r × p.

Nella rappresentazione della posizione, in cui i ket di stato diventano delle funzioni d’onda, si pu`o ottenere un’espres- sione esplicita per l’operatore differenziale che rappresenta L, utilizzando il fatto che l’operatore p `e rappresentato da p= −i~∇. Il momento angolare ha una forma particolarmente semplice se si usano le coordinate sferiche r, θ, ϕ, invece di quelle cartesiane x, y, z.

In particolare, il gradiente si scrive

∇= ˆur

∂r + ˆuθ1 r

∂θ +ˆuϕ 1 rsin θ

∂ϕ, dove i versori sferici si scrivono tramite quelli cartesiani come

ˆur= sin θ cos ϕ ˆux+ sin θ sin ϕ ˆuy+ cos θ ˆuz (1.21)

ˆuθ= cos θ cos ϕ ˆux+ cos θ sin ϕ ˆuy− sin θ ˆuz (1.22)

ˆuϕ= − sin ϕ ˆux+ cos ˆuy (1.23)

Nel prodotto vettoriale tra r e p, la componente radiale di p non contribuisce, pertanto L = −i~ ˆuϕ

∂θ − ˆuθ 1 sin θ

∂ϕ

!

(1.24)

= i~

"

− sin ϕ ˆux+ cos ˆuy

 ∂

∂θ−

cos θ cos ϕ ˆux+ cos θ sin ϕ ˆuy− sin θ ˆuz

 1 sin θ

∂ϕ

#

da cui `e immediato ottenere le tre componenti cartesiane di L espresse in coordinate sferiche:

Lx= i~ sin ϕ ∂

∂θ + cos ϕ tan θ

∂ϕ

!

, Ly= −i~ cos ϕ ∂

∂θ + sin ϕ tan θ

∂ϕ

!

, Lz= −i~ ∂

∂ϕ. (1.25)

Nota

Il fatto che la componente z di L abbia un’espressione estremamente semplice in coordinate sferiche `e dovuto alla scelta dell’asse z come asse polare.

A partire da Lxe Ly, si ottengono facilmente le rappresentazioni degli operatori di salita e discesa come operatori differen- ziali:

L±= ±~e±iϕ

∂θ ± i tan θ

∂ϕ

!

. (1.26)

In particolare, applicando in sequenza L+ed Lsi ottiene L+L= −~22

∂θ2 + 1 tan θ

∂θ + 1 tan2θ

2

∂ϕ2 + i ∂

∂ϕ

! ,

da cui, ricordando che L2 = L+L+ L2z − ~Lz, si ottiene l’operatore differenziale relativo al modulo quadro del momento angolare come

L2= −~2

"

1 sin θ

∂θ sin θ ∂

∂θ

!

+ 1

sin2θ

2

∂θ2

#

. (1.27)

1.6.1 Autofunzioni del momento angolare

Sappiamo gi`a che esistono degli autostati comuni di L2e Lz, con autovalori l ed m, rispettivamente. Nella rappresentazione della posizione, essi sono dati da funzioni d’onda (scritte in coordinate sferiche) dipendenti dalle variabili angolari θ e ϕ, dette armoniche sferiche:

armoniche sferiche

Ylm(θ, ϕ)= hθ, ϕ| l, mi , t.c. L2Ylm= ~2l(l+ 1) Ylm, LzYlm= ~mYlm. (1.28)

L’equazione agli autovalori per Lzha soluzione immediata una volta che si usi l’espressione differenziale per Lz

LzYlm(θ, ϕ)= −i~ ∂

∂ϕYlm(θ, ϕ)= ~m Ylm(θ, ϕ) , ⇒ Ylm(θ, ϕ)= flm(θ) eimϕ,

(9)

dove la dipendenza da θ della funzione flmnon pu`o essere stabilita dall’equazione relativa ad Lz, ma solo da quella relativa ad L2.

La richiesta “naturale” che Ylm(θ, ϕ)= Ylm(θ, ϕ+ 2π) implica che m possa assumere solo valori interi, m = 0, ±1, ±2, ±3, . . ..

Questa indicazione che i valori seminteri per m (e quindi per l) non siano ammissibili viene, in effetti, confermata quando si cerchi di risolvere l’equazione agli autovalori per L2, che ammette soluzioni solo per l intero.

Tuttavia, noi non seguiremo questa via per ottenere le armoniche sferiche; piuttosto partiremo dall’armonica con m= −l e poi otterremo le altre tramite applicazioni successive di L+.

1.6.2 Armonica con numero magnetico minimo

Cerchiamo l’espressione per l’armonica sferica con m = −l, Ylm(θ, ϕ) = fl−l(θ) e−ilϕ. Sappiamo che per essa devono valere le relazioni

LzYl−l= −~l Yl−l, ovvero − i ∂

∂ϕYl−l= −lYl−l, LYl−l= 0 , ovvero ∂

∂θ − i tan θ

∂ϕ

!

Yl−l= 0 . Da quest’ultima si ricava un’equazione per f (θ):

tan θd f(θ)

dθ =l f(θ) .

Questa equazione si semplifica ponendo z= sin θ, da cuid = dz d = cos θd. Sostituendo si ottiene d f

dz = l f

z ⇒ f(z)= Nzl ⇒ f(θ)= N(sin θ)l ⇒ Yl−l(θ, ϕ)= N(sin θ)le−ilϕ. (1.29) La costante N, che assumiamo reale e positiva, si determina dalla condizione di normalizzazione:

1=Z 0

dϕZ π 0

sin θ dθ |Yl−l|2= N2Z 0

dϕZ π 0

sin θ dθ(sin θ)2l= 2πN2Z 1

−1

dw(1 − w2)l= 2πN222l+1 (l!)2 (2l+ 1)!. Dunque, in totale:

Yl−l(θ, ϕ)= 1 2ll!

r(2l+ 1)!

4π (sin θ)le−ilϕ. (1.30)

1.6.3 Altre armoniche sferiche

Le armoniche sferiche con numero quantico magnetico maggiore si ricavano dall’applicazione di L+: Ylm+1(θ, ϕ)= 1

~

l(l+ 1) − m(m + 1)L+Ylm(θ, ϕ) (1.31)

dove

L+= e~ ∂

∂θ + i tan θ

∂ϕ

! .

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La seconda legge di Keplero si può ricavare dalla legge di conservazione del momento angolare.. Si tratta della seconda legge

[r]

All’ istante iniziale l’ asta, ferma nella posizione orizzontale di figura, e’ urtata nel suo estremo B da un corpo puntiforme di massa m = 0,1 Kg avente velocita’ v=6 m/s

1) Durante il moto la quantità di moto totale non si conserva, perché il sistema è soggetto alla forza esterna esercitata dall’operatore. Si conserva invece il momento angolare