Momento angolare
Obiettivo di questo capitolo `e quello di ricavare gli autovalori e gli autostati del momento angolare utilizzando un approccio algebrico a partire dalle relazioni di commutazione
hLx, Lyi = i~Lz,h
Ly, Lzi = i~Lx, Lz, Lx= i~Ly, (1.1)
cio`e, pi`u sinteticamente
hLi, Lji = i~ εijkLk, (1.2)
dove `e sottintesa una somma sull’indice k (l’unico ripetuto a destra, mentre i e j sono fissati gi`a a sinistra), e dove si `e introdotto il tensore di Ricci, completamente antisimmetrico
εi jk=
1 se (i, j, k)= (x, y, z) o permutazioni cicliche ;
−1 se (i, j, k)= (x, z, y) o permutazioni cicliche ; 0 altrimenti.
1.1 Momento angolare orbitale
Le relazioni di commutazione riportate qui sopra discendono dal fatto che il momento angolare `e un vettore1 che fa da generatore delle rotazioni spaziali. Prenderemo quest’algebra come punto di partenza a partire dalla prossima sezione, prima per`o, in questa sezione, mostriamo che questa `e proprio l’algebra “giusta” se si considera il momento angolare orbitale. Come vedremo, quello orbitale non `e l’unico caso di momento angolare che si possa considerare, in quanto `e perfettamente possibile utilizzare la stessa algebra per descrivere il momento angolare intrinseco (odi spin).
Il momento angolare orbitale `e definito tramite i vettori posizione e quantit`a di moto
L= r × p, cio`e Lx= ypz− zpy, Ly= zpx− xpz, Lz= xpy− ypx. (1.3) L costituisce un vettore di operatori che soddisfa l’algebra (1.2). Questo si pu`o dimostrare a partire dalle propriet`a di commutazione delle componenti dei vettori posizione e quantit`a di moto.
1in effetti, nella descrizione quantistica, unoperatore vettoriale.
1
dimostrazione
Il punto di partenza della dimostrazione sono i commutatori fondamentali:
x, y = y , z = [z , x] = 0 hpx, pyi = hpy, pzi = pz, px= 0
hx, pyi = x , pz= y , px= y , pz= z , px=h
z, pyi = 0
x, px=h
y, pyi = z , pz= i~ . (1.4)
Scriviamo per esteso il commutatore tra due componenti di L:
hLx, Ly
i = h
ypz− zpy, zpx− xpzi =
= ypz, zpx −h zpy, zpx
i−ypz, xpz+h
zpy, xpzi . (1.5)
Questi commutatori si valutano utilizzando la relazione
[ab , cd]= ac [b , d] + a [b , c] d + c [a , d] b + [a , c] db .
Si vede immediatamente che solo il primo e l’ultimo termine dell’eq. (1.5) danno un contributo e che, in particolare, si ha
hLx, Lyi = ypx pz, z + xpyz, pz= i~(xpy− ypx) ≡ i~Lz. Le altre due relazioni si dimostrano in maniera analoga.
Dunque, le osservabili corrispondenti a componenti diverse del momento angolare sono mutuamente incompatibili2, in quanto la relazione di indeterminazione implica che le deviazioni standard di misure eseguite su due delle componenti debbano soddisfare
σLxσLy ≥ ~ 2 |hLzi|.
1.2 Il modulo quadro del momento angolare
Consideriamo il modulo quadro del vettore momento angolare, dato dalla quantit`a L2= L2x+ L2y+ L2z. Questa osservabile `e compatibile con ciascuna delle tre componenti di L in quanto commuta separatamente con ognuna di esse:
hL2, Lxi = hL2, Lyi = hL2, Lzi = 0 . (1.6)
dimostrazione
hL2, Lz
i = h
L2x, Lzi + hL2y, Lzi =
= LxLx, Lz+ Lx, Lz Lx+ Ly
hLy, Lzi + hLy, Lz
iLy=
= i~(−LxLy− LyLx)+ i~(LyLx+ LxLy)= 0 . (1.7)
Analogamente si dimostrano le altre due relazioni.
Dunque si possono cercareautostati simultaneiper L2e una delle componenti, ad esempio Lz.
Siano ~2λ e ~µ gli autovalori3di questi due operatori relativi all’autostato (comune) |λ, µi. In altri termini, supponiamo che esista un ket |λ, µi t.c.
L2 |λ, µi = ~2λ |λ, µi , Lz |λ, µi = ~µ |λ, µi . (1.8)
A partire da questa definizione, dovremo trovare quali sono i possibili valori per λ e µ, e quale sia la forma dell’autostato corrispondente.
2a meno che il valor medio della terza componente non sia nullo
3I fattori ~ sono inseriti in modo che µ e λ siano adimensionali.
1.3 Operatori di salita e discesa
Avendo scelto di diagonalizzare L2e Lz, conviene usare le altre due componenti di L per costruire due nuovi operatori, detti disalita e discesa, dati da:
L±= Lx± iLy t.c. (L+)†= L−. (1.9)
Questa coppia di operatori soddisfa
hL2, L±i = 0 , Lz, L±= ±~L±. (1.10)
dimostrazione
La prima `e evidente: L±sono combinazioni lieari di Lxe Ly, i quali commutano con L2, pertanto anche L±lo fanno.
Per la seconda:
hLz, Lx± iLyi = Lz, Lx ± ih
Lz, Lyi = i~Ly± i(−i~Lx)= ±~(Lx± iLy) ≡ ±~L±. (1.11)
Pur non sapendo ancora cosa siano λ, µ, |λ, µi,possiamo ottenere altri autostati di L2e Lzapplicando L±a |λ, µi.
Consideriamo infatti i due stati (non normalizzati) L+|λ, µi e L−|λ, µi. Si pu`o dimostrare che per essi valgono le relazioni
L2(L± |λ, µi) = ~2λ (L± |λ, µi) , (1.12)
Lz(L±|λ, µi) = ~(µ ± 1) (L±|λ, µi) . (1.13)
Dunque, L±|λ, µi sono due autostati di L2con lo stesso autovalore ~2λ che corrispondeva a |λ, µi e sono autostati di Lzcon autovalori ottenuti da ~µ aggiungendo o sottraendo ~. Quest’ultimo fatto `e all’origine del nome operatori di salita e discesa.
dimostrazione
Per dimostrare la prima delle due relazioni occorre utilizzare il fatto che L±commutano con L2: L2L±= L±L2.
Utilizzando questa relazione, si ha, infatti
L2(L±|λ, µi) = L±L2 |λ, µi = L±~2λ |λ, µi = ~2λ (L±|λ, µi) . Per dimostrare la seconda relazione, usiamo invece
LzL±= L±Lz± ~L±= L±(Lz± ~) , che permette di scrivere:
Lz(L±|λ, µi) = L±(Lz± ~) |λ, µi = L±(~µ ± ~) |λ, µi = ~(µ ± 1) L±|λ, µi . (1.14)
Come conseguenza di tutto questo, abbiamo che, fissato un autostato comune a L2e Lz, |λ, µi, l’azione di L+oppure di L−
porta ad altri autostati con lo stesso autovalore di L2, e autovalori di Lzmodificati:
• |λ, µi `e autostato di Lzcon autovalore ~µ
• L± |λ, µi `e autostato di Lzcon autovalore ~(µ ± 1) ;
• (L±)2 |λ, µi `e autostato di Lzcon autovalore ~(µ ± 2);
• (L±)3 |λ, µi `e autostato di Lzcon autovalore ~(µ ± 3);
• ...
Tuttavia, questa sequenza non pu`o continuare indefinitamente, ne’ verso l’alto ne’ verso il basso, in quanto l’autovalore di Lzelevato al quadrato deve essere sempre minore di quello di L2. Ci`o accade perch´e L2 = L2x+ L2y+ L2z e inoltre perch´e L2x e L2ysono operatori positivi, perci`oD
L2E
≥D L2zE
. Prendendo il valor medio sugli autostati elencati sopra, si ha λ ≥ µ2, λ ≥ (µ ± 1)2, λ ≥ (µ ± 2)2, . . .
Devono pertanto esistere due autostati, che chiamiamo |λ, µmaxi e |λ, µmini tali che a partire da essi non si possa salire o scendere, rispettivamente:
L+ |λ, µmaxi= 0 l’autovalore di Lznon pu`o aumentare oltre ~µmax
L− |λ, µmini= 0 l’autovalore di Lznon pu`o diminuire oltre ~µmin
Nelle due sezioni successive dimostreremo che gli autovalori massimo e minimo, µmaxe µmin, sono legati a λ. Per ottenere queste relazioni, per`o, ci occorrono due espressioni che leghino L2a Lze L±.
Relazioni operatoriali tra L2, Lze L±
Vale:
L2= L2x+ L2y+ L2z = (L++ L−)2
4 −(L+− L−)2
4 + L2z =1 2
L+L−+ L−L+
+ L2z. Inoltre vale il commutatore [L+, L−]= 2~Lz.
dimostrazione
[L+, L−]=h
Lx+ iLy, Lx− iLyi = −i hLx, Lyi + i hLy, Lxi = −i(i~Lz)+ i(−i~Lz)= 2~Lz.
Grazie a questa relazione di commutazione possiamo scrivere
L+L−= L−L++ 2~ Lz, ma anche L−L+= L+L−− 2~ Lz. Usando queste relazioni nell’espressione per L2, si ottengono
L2= L−L++ ~Lz+ L2z (1.15)
L2= L+L+− ~Lz+ L2z (1.16)
1.3.1 Autovalore massimo della terza componente del momento angolare
Per l’autoket |λ, µmaxi vale
L2 |λ, µmaxi= ~2λ |λ, µmaxi, Lz |λ, µmaxi= ~µmax|λ, µmaxi . Usando la (1.15) si ha, pertanto
~2λ |λ, µmaxi= L2 |λ, µmaxi= (L−L++ ~Lz+ L2z) |λ, µmaxi= (0 + ~2µmax+ ~2µ2max) |λ, µmaxi, da cui
λ = µ2max+ µmax= µmax(µmax+ 1) .
1.3.2 Autovalore minimo della terza componente del momento angolare
Per l’autoket |λ, µmini vale
L2 |λ, µmini= ~2λ |λ, µmini, Lz |λ, mmini= ~µmin|λ, µmini. Usando la (1.16) si ha, pertanto
~2λ |λ, µmini= L2 |λ, µmini= (L+L−− ~Lz+ L2z) |λ, µmini= (0 − ~2µmin+ ~2µ2min) |λ, µmini, da cui
λ = µ2min−µmin= µmin(µmin− 1) .
1.3.3 Autovalori del momento angolare
Confrontando le due espressioni ottenute per λ, si ha
µmax(µmax+ 1) = µmin(µmin− 1) ⇒ due possibilit`a :
µmin= µmax+ 1 impossibile in quanto µmin< µmax
µmin= −µmax
Di conseguenza, posto µmax= l, abbiamo che µmin= −l e dunque
• ~2λ = ~2l(l+ 1) ;
• µ, che `e indicato pi`u comunemente con la lettera m, varia tra µmin≡ mmin= −l e µmax≡ mmax= l;
• gli autostati si possono etichettare tramite m ed l: |λ, µi= |l, mi.
Ma poich´e ~µmax e ~µminsono gli autovalori corrispondenti agli autostati |l, µmax= li e |l, µmin= −li, e questi stati sono il primo e l’ultimo gradino di una scala che si pu`o scendere (salire) a passi di ±~ applicando L−(o L+, rispettivamente), occorre che si possa passare da −~l a +~l tramite un numero intero di salti. Ci`o comporta che l deve essere un numero intero, oppure un semintero4, cosicch´e i possibili valori per l sono
l= 0,1 2, 1,3
2, 2,5 2, 3, . . .
Fissato l, gli autovalori di L2ed Lzsono, rispettivamente ~2λ = ~2l(l+ 1) e ~µ = ~m con m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l.
Il numero totale di autostati con lo stesso autovalore di L2(ma distinti dall’autovalore di Lz) `e 2l+ 1.
Note
1. l`e dettonumero quantico di momento angolare, mentrem`e dettonumero quantico magnetico;
2. si noti che gli autovalori sono stati ottenuti prendendo come ipotesi di partenza solo le relazioni di commutazione;
3. troveremo pi`u avanti che il momento angolare orbitale ammette solo autovalori interi (l = 0, 1, 2, 3, . . .); vi- ceversa, il momento angolare intrinseco (spin) pu`o assumere tutti i possibili valori, sia quelli semi-dispari (corrispondenti aifermioni) che quelli naturali (corrispondenti aibosoni);
4. in particolare, l’elettrone ha un momento angolare di spin corrispondente ad l=12.
1.4 Autostati e normalizzazione
Preso l’autostato |l, mi, sappiamo che L±|l, mi ∝ |l, m ± 1i. Vogliamo trovare la costante di proporzionalit`a assumendo che
|l, mi siano normalizzati. Per farlo, useremo le relazioni (1.15) e (1.16).
Le costanti di proporzionalit`a, infatti, sono legate alle norme degli stati L±|l, mi dalle relazioni
|l, m ± 1i = 1
||L±|l, mi ||L±|l, mi , dove ||L±|l, mi || = p
(hl, m| L∓) (L±|l, mi) . Usando le (1.15) e (1.16), si ha
||L+|l, mi ||2 = hl, m| L−L+|l, mi = hl, m| L2− ~Lz− L2z|l, mi = ~2l(l+ 1) − ~2m − ~2m2 = ~2l(l+ 1) − ~2m(m+ 1)
||L−|l, mi ||2 = hl, m| L+L−|l, mi = hl, m| L2+ ~Lz− L2z|l, mi = ~2l(l+ 1) + ~2m − ~2m2 = ~2l(l+ 1) − ~2m(m − 1) Pertanto, l’azione degli operatori di salita e discesa `e data da
L+|l, mi = ~p
l(l+ 1) − m(m + 1) |l, m + 1i (1.17)
L−|l, mi = ~p
l(l+ 1) − m(m + −1) |l, m − 1i (1.18)
Si noti che prendendo l’autovalore mmax= l nella prima di queste relazioni, oppure mmin= −l nella seconda, l’azione di L+ e quella di L−, rispettivamente, forniscono zero.
4pi`u correttamente, “semi-dispari”.
1.5 Il caso dello spin
12Tutte le propriet`a e le relazioni trovate in precedenza si applicano anche al caso del momento angolare di spin (tipicamente denotato tramite S, invece che L, con autovalori s ed ms, invece che m ed l). In particolare per s=12, si hanno due possibili stati
s=12, ms= +12 L’autostato `e
1 2,12E
≡ |↑i, t.c.
S2 1 2,1
2 +
= 3 4~2
1 2,1
2 +
, Sz
1 2,1
2 +
=~ 2 1 2,1
2 +
.
s=12, ms= −12 L’autostato `e
1 2, −12E
≡ |↓i, t.c.
S2 1 2, −1
2 +
=3 4~2
1 2, −1
2 +
, Sz
1 2,1
2 +
= −~ 2 1 2, −1
2 +
.
Inoltre, posti S±= Sx± iSy, si ha S+
1 2, −1
2 +
= ~ 1 2,1
2 +
, S+
1 2,1
2 +
= 0 , S−
1 2, −1
2 +
= 0 , S−
1 2,1
2 +
= ~ 1 2, −1
2 +
. (1.19)
Associando i due ket ai due vettori della base canonica, si ottiene una rappresentazione matriciale bidimensionale:
1 2,1
2 +
= |↑i −→ 1 0
,
1 2, −1
2 +
= |↓i −→ 0 1
In questa rappresentazione, lostato generico`e rappresentato da un vettore ∈C2,
|ψi = α |↑i + β |↓i −→ α β
, hψ| = α∗h↑|+ β∗h↓| −→ (α∗, β∗) ,
mentre ilgenerico operatore`e rappresentato da una matrice 2 × 2:
Oˆ −→
h↑| ˆO |↑i h↑| ˆO |↓i h↓| ˆO |↑i h↓| ˆO |↓i
.
In particolare, si ottiene immediatamente che S2e Szsono matrici diagonali (visto che la base che stiamo usando `e proprio quella dei loro autostati):
S2 −→
3 4~2 0
0 34~2
!
=3 4~2
1 0
0 1
≡ 3
4~21 , Sz −→
~
2 0
0 −~2
!
=~ 2
1 0 0 −1
≡~ 2σz. Inoltre
S+ −→
0 ~
0 0
, S− −→
0 0
~ 0
, da cui usando Sx= S++ S−/2 e Sy= −i(S+− S−)/2, si ottiene
Sx −→ ~
2
0 1
1 0
≡ ~
2σx, Sy −→ ~ 2
0 −i
i 0
≡~ 2σy.
Nelle relazioni appena scritte si sono introdotte quattro matrici (le tre matrici di Pauli e l’identit`a) che formano una base per l’insieme delle matrici 2 × 2:
σx=0 1
1 0
, σy=0 −i
i 0
, σz=1 0 0 −1
, 1 =
1 0
0 1
.
Esercizio: commutatori
Mostrare tramite la rappresentazione matriciale la relazioneh
Sx, Syi = i~Sz. soluzione
Si ha
SxSy=~2 4
0 1 1 0
0 −i
i 0
=~2 4
i 0 0 −i
, SySx= ~2 4
0 −i
i 0
0 1 1 0
=~2 4
−i 0
0 i
,
pertanto,
SxSy− SySx= ~2 4
2i 0 0 −2i
= i~~ 2
1 0 0 −1
≡ i~Sz.
Esercizio: austati di Sx
Ricavare autostati e autovalori dell’osservabile Sx= ~2σx. soluzione
Lavoriamo su σx:
det {σx−λ1} = 0 ⇒ det
−λ 1
1 −λ
= ⇒ λ2− 1= 0 ⇒ λ = ±1 .
Dunque gli autovalori di Sxsono ±~2. Scriviamo gli autostati nella forma
|x, ±i = αpm |↑i+ β± |↓i.
Sostituendo nell’equazione agli autovalori e utilizzando la condizione di normalizzazione |α+|2+ |β+|2 = |α−|2+ |β−|2= 1, si ricavano
α+= β+= 1
√
2, α−= −β−= 1
√ 2 ovvero
|x, +i = 1
√
2(|↑i+ |↓i) , |x, −i = 1
√
2(|↑i − |↓i) .
1.5.1 Spin in un campo magnetico
Se si considera una particella carica, al suo momento angolare `e associato un momento di dipolo magnetico. In particolare, per lo spin
µ = g q
2mS, (1.20)
dove
g `e il fattore di Land´e; per l’elettrone g ' 2.
q `e la carica della particella;
m `e la massa della particella.
Classicamente, i momenti di dipolo magnetico tendono a stare allineati col campo magnetico. L’energia di un dipolo in un campo esterno `e pari a −µ · B.
Dunque, nella descrizione quantistica, la dinamica di una particella carica con spin, posta in un campo magnetico, `e generata dall’Hamiltoniano H= −µ · B.
Se B= (0, 0, B), si ha (prendendo q = −e per l’elettrone) H= ge
2m
~
2σzB= ~ωc
2 σz,
dove ωc= geB2m `e la frequenza di ciclotrone. Pertanto gli autostati dell’Hamiltoniano sono esattamente quelli di σz:
• |↑i, con autovalore E↑= ~ω2c,
• |↓i, con autovalore E↓= −~ω2c.
In assenza di campo magnetico, questi due stati di spin sarebbero degeneri con energia nulla.
1.6 Momento angolare orbitale - rappresentazione della posizione
Nel caso del momento angolare orbitale, l’operatore L si ottiene dal prodotto vettoriale della posizione per la quantit`a di moto, L= r × p.
Nella rappresentazione della posizione, in cui i ket di stato diventano delle funzioni d’onda, si pu`o ottenere un’espres- sione esplicita per l’operatore differenziale che rappresenta L, utilizzando il fatto che l’operatore p `e rappresentato da p= −i~∇. Il momento angolare ha una forma particolarmente semplice se si usano le coordinate sferiche r, θ, ϕ, invece di quelle cartesiane x, y, z.
In particolare, il gradiente si scrive
∇= ˆur
∂
∂r + ˆuθ1 r
∂
∂θ +ˆuϕ 1 rsin θ
∂
∂ϕ, dove i versori sferici si scrivono tramite quelli cartesiani come
ˆur= sin θ cos ϕ ˆux+ sin θ sin ϕ ˆuy+ cos θ ˆuz (1.21)
ˆuθ= cos θ cos ϕ ˆux+ cos θ sin ϕ ˆuy− sin θ ˆuz (1.22)
ˆuϕ= − sin ϕ ˆux+ cos ˆuy (1.23)
Nel prodotto vettoriale tra r e p, la componente radiale di p non contribuisce, pertanto L = −i~ ˆuϕ ∂
∂θ − ˆuθ 1 sin θ
∂
∂ϕ
!
(1.24)
= i~
"
− sin ϕ ˆux+ cos ˆuy
∂
∂θ−
cos θ cos ϕ ˆux+ cos θ sin ϕ ˆuy− sin θ ˆuz
1 sin θ
∂
∂ϕ
#
da cui `e immediato ottenere le tre componenti cartesiane di L espresse in coordinate sferiche:
Lx= i~ sin ϕ ∂
∂θ + cos ϕ tan θ
∂
∂ϕ
!
, Ly= −i~ cos ϕ ∂
∂θ + sin ϕ tan θ
∂
∂ϕ
!
, Lz= −i~ ∂
∂ϕ. (1.25)
Nota
Il fatto che la componente z di L abbia un’espressione estremamente semplice in coordinate sferiche `e dovuto alla scelta dell’asse z come asse polare.
A partire da Lxe Ly, si ottengono facilmente le rappresentazioni degli operatori di salita e discesa come operatori differen- ziali:
L±= ±~e±iϕ ∂
∂θ ± i tan θ
∂
∂ϕ
!
. (1.26)
In particolare, applicando in sequenza L+ed L−si ottiene L+L−= −~2 ∂2
∂θ2 + 1 tan θ
∂
∂θ + 1 tan2θ
∂2
∂ϕ2 + i ∂
∂ϕ
! ,
da cui, ricordando che L2 = L+L−+ L2z − ~Lz, si ottiene l’operatore differenziale relativo al modulo quadro del momento angolare come
L2= −~2
"
1 sin θ
∂
∂θ sin θ ∂
∂θ
!
+ 1
sin2θ
∂2
∂θ2
#
. (1.27)
1.6.1 Autofunzioni del momento angolare
Sappiamo gi`a che esistono degli autostati comuni di L2e Lz, con autovalori l ed m, rispettivamente. Nella rappresentazione della posizione, essi sono dati da funzioni d’onda (scritte in coordinate sferiche) dipendenti dalle variabili angolari θ e ϕ, dette armoniche sferiche:
armoniche sferiche
Ylm(θ, ϕ)= hθ, ϕ| l, mi , t.c. L2Ylm= ~2l(l+ 1) Ylm, LzYlm= ~mYlm. (1.28)
L’equazione agli autovalori per Lzha soluzione immediata una volta che si usi l’espressione differenziale per Lz
LzYlm(θ, ϕ)= −i~ ∂
∂ϕYlm(θ, ϕ)= ~m Ylm(θ, ϕ) , ⇒ Ylm(θ, ϕ)= flm(θ) eimϕ,
dove la dipendenza da θ della funzione flmnon pu`o essere stabilita dall’equazione relativa ad Lz, ma solo da quella relativa ad L2.
La richiesta “naturale” che Ylm(θ, ϕ)= Ylm(θ, ϕ+ 2π) implica che m possa assumere solo valori interi, m = 0, ±1, ±2, ±3, . . ..
Questa indicazione che i valori seminteri per m (e quindi per l) non siano ammissibili viene, in effetti, confermata quando si cerchi di risolvere l’equazione agli autovalori per L2, che ammette soluzioni solo per l intero.
Tuttavia, noi non seguiremo questa via per ottenere le armoniche sferiche; piuttosto partiremo dall’armonica con m= −l e poi otterremo le altre tramite applicazioni successive di L+.
1.6.2 Armonica con numero magnetico minimo
Cerchiamo l’espressione per l’armonica sferica con m = −l, Ylm(θ, ϕ) = fl−l(θ) e−ilϕ. Sappiamo che per essa devono valere le relazioni
LzYl−l= −~l Yl−l, ovvero − i ∂
∂ϕYl−l= −lYl−l, L−Yl−l= 0 , ovvero ∂
∂θ − i tan θ
∂
∂ϕ
!
Yl−l= 0 . Da quest’ultima si ricava un’equazione per f (θ):
tan θd f(θ)
dθ =l f(θ) .
Questa equazione si semplifica ponendo z= sin θ, da cuidθd = dzdθ dθd = cos θdθd. Sostituendo si ottiene d f
dz = l f
z ⇒ f(z)= Nzl ⇒ f(θ)= N(sin θ)l ⇒ Yl−l(θ, ϕ)= N(sin θ)le−ilϕ. (1.29) La costante N, che assumiamo reale e positiva, si determina dalla condizione di normalizzazione:
1=Z 2π 0
dϕZ π 0
sin θ dθ |Yl−l|2= N2Z 2π 0
dϕZ π 0
sin θ dθ(sin θ)2l= 2πN2Z 1
−1
dw(1 − w2)l= 2πN222l+1 (l!)2 (2l+ 1)!. Dunque, in totale:
Yl−l(θ, ϕ)= 1 2ll!
r(2l+ 1)!
4π (sin θ)le−ilϕ. (1.30)
1.6.3 Altre armoniche sferiche
Le armoniche sferiche con numero quantico magnetico maggiore si ricavano dall’applicazione di L+: Ylm+1(θ, ϕ)= 1
~
√
l(l+ 1) − m(m + 1)L+Ylm(θ, ϕ) (1.31)
dove
L+= eiϕ~ ∂
∂θ + i tan θ
∂
∂ϕ
! .