Momento angolare di una particella

Momento di una forza

Se `e la forza che cambia il moto, cos’`e che cambia la rotazione?

• Momento, ~τ , di una forza, ~F : `e un vettore definito come ~τ = ~r × ~F .

• Il momento di una forza dipende dall’origine e dal punto ove la forza

`e applicata! (tipicamente, l’origine `e scelta su di un asse di rotazione)

• φ `e l’angolo fra la forza ~F e il vettore ~r fra l’origine e il punto di applicazione della forza

• τ = rF sin φ = dF dove d = r sin φ

`e il braccio del momento o della leva

Momento di una forza (2)

• Il momento della forza ci d`a la

”tendenza” di una forza a far ruotare un corpo (attorno ad un certo asse).

• Solo la componente della forza ortogonale a ~r produce momento, ovvero tende a far ruotare un corpo

• La componente lungo ~r della forza non produce momento, ovvero non tende a far ruotare un corpo

• Il momento `e positivo se la rotazione indotta `e antioraria Unit`a SI del momento: N·m.

Attenzione: bench´e il momento sia una forza moltiplicata per una distanza, `e molto diverso da lavoro ed energia! Il momento non si indica mai in Joule.

Momento angolare di una particella

Se il momento `e l’analogo rotazionale della forza, qual `e l’analogo rotazionale della quantit`a di moto? consideriamo il caso di un punto materiale

Momento angolare: `e un vettore, di solito indicato con ~l (o ~L, vedi figura), definito come

~l = ~r × ~p

dove ~p = m~v `e la quantit`a di moto di una particella.

• E’ noto anche come momento della quantit`a di moto

• Il suo valore dipende dalla scelta dell’origine

• E’ nullo se ~r k ~p, ha modulo l = rp sin φ, dove φ `e l’angolo fra ~r e ~p.

Equazioni del moto in forma angolare

Dalla II legge di Newton, scelta un’origine, troviamo:

d~l

dt = d(~r × ~p)

dt = d~r

dt × ~p + ~r × d~p

dt = 1

m~p × ~p + ~r × ~F = ~τ Quindi, d~l

dt = ~τ , analogo rotazionale della II Legge di Newton.

• Non `e una nuova legge fondamentale della dinamica! E’ la II legge di Newton, specializzata al caso del moto rotatorio

• ~l e ~τ sono calcolati rispetto agli stessi assi e alla stessa origine fissa;

tuttavia la legge vale qualunque siano gli assi e l’origine scelta

• Se ~τ = 0, ~l `e costante (analogo rotazionale della I legge di Newton)

Quanto sopra `e valido per sistemi di riferimento inerziali

Verifica della II legge in forma angolare

Consideriamo il moto di un proietto come in figura:

 v_x(t) = v₀

v_y(t) = −gt ;  x(t) = v₀t

y(t) = h₀ − ¹₂gt² ; Calcoliamo ora il momento angolare:

~l = ~r × ~p = m~r × ~v = m(xv_y − yv_x)ˆk = −mv₀



h₀ + 1 2gt²

 ˆk e il momento della forza di gravit`a:

~

τ = ~r × ~F_g = m~r × ~g = −mgxˆk = −m(v₀gt)ˆk da cui si verifica immediatamente che d~l

dt = ~τ

II legge in forma angolare e moto circolare uniforme

Nel moto circolare uniforme, la forza centripeta ~F_c ha momento nullo (calcolato rispetto al punto C, centro di rotazione):

~τ = ~r × ~F_c = 0, da cui d~l

dt = 0.

Il vettore ~l (pure calcolato rispetto al punto C) `e quindi costante, con modulo l = mvR = mωR², direzione ortogonale al piano, verso secondo la regola della mano destra: ~l = mR²~ω ≡ I~ω.

... e rispetto ad un punto generico sull’asse?

II legge in forma angolare e moto circolare (2)

Rispetto ad un punto generico sull’asse, da ~v = ~ω ×~r con ~r = ~r_⊥ + ~r_k, si trova

~l = ~r × ~p = ~r × (m~ω × ~r) = m~ωr² − m~r(~ω · ~r) ovvero

~l = m~ωr_⊥² − mωr_k~r_⊥ ≡ ~l_a + ~l_⊥

dove ~l_a = m~ωr_⊥² = mR²~ω `e parallelo all’asse e costante; ~l<sub>⊥</sub> = −mωr<sub>k</sub>~r<sub>⊥</sub> `e ortogonale all’asse e ruota nel piano xy

Calcoliamo d~l_⊥

dt = −mωr_kd~r_⊥

dt = −mωr_k~ω × ~r_⊥, da cui d~l_⊥

dt = ~ω × ~l_⊥.

Il momento della forza centripeta `e ~τ = ~r × ~F_c = ~r_k × (−mω²~r_⊥) = (−mωr_k)~ω × ~r_⊥. Si verifica immediatamente che d~l_⊥

dt = ~τ , momento della forza centripeta.

Momento angolare di un sistema di particelle

Il momento angolare di un sistema di particelle, che indichiamo con ~L,

`e la somma vettoriale dei momenti angolari di ogni particella:

L = ~l~ ₁ + ~l₂ + . . . + ~l_n =

n

X

i=1

~l_i Differenziando rispetto al tempo:

d~L dt =

n

X

i=1

d~l_i dt =

n

X

i=1

~τ_i =

n

X

i=1

~τ_i^(ext) = ~τ^(ext)

dove ~τ^(ext) `e la somma vettoriale dei momenti delle sole forze esterne.

Analogamente al caso della quantit`a di moto, la somma dei momenti delle forze interne `e nulla: per ogni coppia i, j di particelle, vale

~τ_ij^(int) + ~τ_ji^(int) = 0, perch´e ~F_ij^(int) e ~F_ji^(int) sono uguali in modulo, giacciono sulla stessa retta, ma con verso opposto.

Momento angolare di un corpo rigido

Per un corpo rigido, il momento angolare totale diventa un integrale.

Per un disco sottile, il momento angolare ~L (rispetto al centro di rotazione) vale

L =~ X

i

~r_i × m_i~v_i = X

i

m_ir_⊥i² ~ω ≡ I~ω

dove I `e il momento d’inerzia del disco attorno all’asse di rotazione. In generale possiamo scrivere, per la proiezione L<sub>a</sub> del momento angolare lungo l’asse di rotazione, L<sub>a</sub> = Iω . Questo `e l’analogo rotazionale della relazione ~p = m~v fra quantit`a di moto e velocit`a.

La relazione fra momento e accelerazione angolare:

dL_a

dt = Iα = X

τ_ext,a

valida per asse di rotazione fisso, `e l’analogo rotazionale di m~a = ~F .

Momento risultante

Il momento totale (o risultante) agente su di un corpo `e la somma vettoriale ~τ = P

i ~r_i × ~F_i dei momenti (delle sole forze esterne). Notare che se P

i F~_i = 0, il momento totale `e indipendente dall’origine scelta.

Si parla di coppia di forze per due forze parallele e opposte applicate a distanza d l’una dall’altra. Una coppia ha momento τ = F d, diretto ortogonalmente al piano identificato delle due forze (e indipendente dalla scelta dell’origine). Una coppia di forze provoca una rotazione di un corpo ma non provoca alcuno spostamento del suo centro di massa.

Equilibrio di un corpo rigido

• Nell’esempio accanto, la forza ~F₁ tender`a a causare una rotazione antioraria del corpo, la forza ~F₂ a causare una rotazione oraria.

• τ = |~τ₁ + ~τ₂| = (d₁F₁ − d₂F₂); il vettore ~τ `e ortogonale al piano.

Le condizioni di equilibrio statico per un corpo rigido sono quindi X

i

F~_i = 0 ; X

i

~τ_i = 0

Conservazione del momento angolare

Il momento angolare di un corpo, o di un sistema di particelle, `e conservato se la risultante dei momenti delle forze esterne `e nulla:

L = costante =⇒ ~~ L_f = ~L_i

durante un processo in cui non agiscano momenti esterni.

Ci`o rimane vero anche se la massa si ridistribuisce e il momento d’inerzia cambia durante il processo. Se l’asse di rotazione rimane fisso, vale la relazione:

L = I_fω_f = I_iω_i

dove I_i,f sono i momenti d’inerzia iniziale e finale, ω_i,f le velocit`a angolari iniziale e finale. Se I_f > I_I, allora ω_f < ω_i e viceversa.

Conservazione del momento angolare II

La conservazione del momento angolare `e una legge fondamentale che dispiega i suoi effetti dalle stelle di neutroni alle particelle subnucleari...

...e anche sui gatti, che sanno come girarsi in volo e atterrare sulle zampe senza violare la legge di conservazione del momento angolare.

La cosa `e ovviamente possibile perch´e il gatto non `e un corpo rigido!

Lavoro nel moto rotazionale

Qual `e il lavoro (W ) fatto da una forza su di un corpo che sta ruotando?

dW = ~F · d~s = (F sin φ)(rdθ) = τ_adθ La componente radiale della forza, F cos φ, non fa lavoro perch´e ortogonale allo spostamento

Teorema dell’energia cinetica, versione ”rotazionale”:

W =

Z θ_f θ_i

τ_adθ =

Z ω_f ω_i

Iωdω = ∆K_R , K_R = 1

2Iω² In presenza di traslazioni e rotazioni: W = ∆K + ∆K_R .

Potenza nel moto rotazionale

Il lavoro fatto per unit`a di tempo `e detto potenza:

P = dW

dt = τ_adθ

dt = τ_aω.

Questo `e l’analogo per il moto rotatorio di P = ~F · ~v. Pi`u in generale si pu`o scrivere P = ~τ · ~ω