Appunti di Geometria - 2
Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it
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Cambi di base e applicazioni lineari
Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K, con base assegnata {e1, . . . , en} (ad esempio Rn con la base standard); fissiamo due basi
di V , B = {v1, . . . , vn} e C = {w1, . . . , wn} e denotiamo con B e C le matrici
che hanno per colonne le coordinate di tali vettori rispetto alla base standard, ovvero, se v1= b11e1+ . . . + b1nen, · · · , vn= bn1e1+ . . . + bnnen w1= c11e1+ . . . + c1nen, · · · , wn= cn1e1+ . . . + cnnen poniamo B = b11 · · · b1n .. . ... bn1 · · · bnn C = c11 · · · c1n .. . ... cn1 · · · cnn
Sia T : V → V una applicazione lineare e sia A la matrice associata a T rispetto alla base {e1, . . . , en} sia in partenza che in arrivo; ovvero, se
T (e1) = a11e1+ . . . + a1nen, · · · , T (en) = an1e1+ . . . + annen dunque A = a11 · · · a1n .. . ... an1 · · · ann
Allora la matrice associata a T tra la base B in partenza e la base C in arrivo `e C−1AB.
Esempio Consideriamo R4con la base canonica {e
1, e2, e3, e4} e siano B = 1 0 1 0 , 0 2 0 2 , 1 1 0 0 , 0 0 2 1 C = 0 1 1 1 , 1 0 1 1 , 1 1 0 1 , 1 1 1 0
Sia inoltre T : R4→ R4 data nella base canonica dalla matrice A = 1 2 0 1 2 0 −1 0 −3 1 −2 0 0 1 1 −1
Vogliamo la matrice associata a T tra la base B e la base C. Innanzitutto, scriviamo le matrici di cambio di base
B = 1 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 0 2 0 1 C = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
(tanto per ricordarlo, si verifica che quelle fornite sono due basi - anche se non `
e necessario farlo, se non esplicitamente richiesto dall’esercizio - calcolando i determinanti e vedendo che non sono nulli). Scriviamo anche le loro inverse (ricordiamo che le matrici B e C portano le coordinate rispetto alla base B o C nelle coordinate rispetto alla base canonica, le inverse operano la trasformazione opposta). B−1= 2 −2 −1 2 1/2 −1/2 −1/2 1 −1 2 1 −2 −1 1 1 −1 C−1= −2/3 1/3 1/3 1/3 1/3 −2/3 1/3 1/3 1/3 1/3 −2/3 1/3 1/3 1/3 1/3 −2/3 = 1 3 −2 1 1 1 1 −2 1 1 1 1 −2 1 1 1 1 −2
Allora la matrice associata a T dalla base B alla base C sar`a
C−1AB = 1 3 −2 1 1 1 1 −2 1 1 1 1 −2 1 1 1 1 −2 1 2 0 1 2 0 −1 0 −3 1 −2 0 0 1 1 −1 1 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 0 2 0 1 = 1 3 −5 −10 −5 −7 −5 8 −2 2 13 2 10 8 −5 8 1 −7
Se invece l’esercizio avesse richiesto la matrice associata a T partendo dalla base C verso la base B, avremmo dovuto calcolare il prodotto B−1AC.
Esempio Siano dati R2 e R3 con le rispettive basi canoniche e sia T : R3→ R2
l’applicazione che, in tali basi, `e descritta dalla matrice A =
1 1 1 1 2 4
Dati i due insiemi B = 1 1 0 , 0 1 1 2 0 1 C = 1 1 , 1 −1
vogliamo verificare che sono basi rispettivamente di R3e R2e scrivere la matrice associata a T tra di esse.
Scrivendo le due matrici
B = 1 0 2 1 1 0 0 1 1 C = 1 1 1 −1
vediamo che entrambe hanno determinante non nullo e le loro inverse sono
B−1=1 3 1 2 −2 −1 1 2 1 −1 1 C −1=1 2 1 1 1 −1
Ora, poich´e sono coinvolti due diversi spazi vettoriali, non c’`e possibile ambiguit`a su quale sia la base di partenza e quale sia la base di arrivo: T porta un vettore di R3
in un vettore di R2, quindi B sar`a la base di partenza e C sar`a la base di
arrivo; tra queste due basi, la matrice sar`a C−1AB, ovvero
1 2 1 1 1 −1 1 1 1 1 2 4 1 0 2 1 1 0 0 1 1 = 1 2 5 8 9 −1 −4 −3
Esercizio 1 Date la base di R3
B = 1 1 1 , 1 2 4 , 1 3 9
e l’applicazione T : R3→ R3associata alla matrice
A = 1 0 −1/2 1/3 0 1/2 0 −1 1/3
rispetto alla base canonica, calcolare la matrice associata a T rispetto alla base B (sia come base di partenza che come base di arrivo).
Esercizio 2 Consideriamo R3
e R4 con le rispettive basi canoniche e
l’appli-cazione T : R3→ R4 associata, in tali basi canoniche, alla matrice
A = 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1
Siano poi dati gli insiemi
B = 0 1 1 , 1 0 1 , 1 1 0
C = 1 0 0 1 , 0 1 1 0 , 1 0 0 −1 , 0 1 −1 0
Si verfichi che essi sono basi di R3 e R4 rispettivamente e si scriva la matrice associata a T rispetto a queste due basi.
Esercizio 3 Sia R2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di
grado minore o uguale a 2. Consideriamo l’applicazione T (p(x)) = d
2
dx2((x
2+ x + 1)p(x))
ovvero l’applicazione che moltiplica un polinomio dato per x2+ x + 1 e poi ne
fa la derivata seconda. Ad esempio T (x2− x) = d 2 dx2((x 2+ x + 1)(x2 − x)) = d 2 dx2(x 4 − x) = 12x2
Verficare che T `e una applicazione lineare e scriverla prima rispetto alla base {1, x, x2} in partenza e in arrivo, poi rispetto alla base {1, 1 + 2x, 2 + 5x + 5x2}
in partenza e in arrivo.
Richiami Due matrici quadrate di lato n, M e N , si dicono simili se esiste una matrice quadrata invertibile A tale che
N = A−1M A Se due matrici sono simili, allora
1. hanno lo stesso determinante (quindi sono entrambe invertibili o entrambe non invertibili)
2. hanno lo stesso rango (quindi hanno la stessa dimensione dell’immagine e la stessa dimensione del nucleo)
3. hanno gli stessi autovalori
4. le dimensioni degli autospazi associati sono le stesse 5. hanno lo stesso polinomio minimo
6. sono entrambe diagonalizzabili, oppure nessuna delle due lo `e
Pi`u precisamente, due matrici sono simili SE E SOLO SE hanno la stessa forma canonica di Jordan. Esempio Le matrici 1 1 0 1 2 1 −1 1
non sono simili, in quanto la prima ha determinante 1, la seconda ha determi-nante 3.
Esempio Le matrici 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 0 0 0 0 1 2 1 1 2 1 1 −1 1 2 1 1 2 1 1 −1
non sono simili. Entrambe hanno determinante nullo, quindi bisogna cercare qualche altra caratteristica per cui differiscono. Osserviamo che la prima ha rango 3, infatti 1 1 2 1 2 1 2 1 2
ha determinante −3; del resto, la seconda ha rango 2, infatti le prime due colonne sono indipendenti, ma
1 1 1 1 = 1 3 1 2 1 2 +1 3 2 1 2 1 1 −1 1 −1 = 2 1 2 1 − 1 2 1 2
Quindi, avendo rango diverso, le due matrici non sono simili. Esempio Le matrici 1 1 5 4 1 1 2 1
non sono simili. Entrambe hanno determinante −1, per`o la prima ha polinomio caratteristico t2− 5t − 1 mentre quello della seconda `e t2− 2t − 1, quindi non
possono essere simili.
Esercizio 4 Dire se le matrici 1 2 3 1 0 1 1 1 2 1 0 1 0 1 0 1 1 0 sono simili.
Esercizio 5 Dire se le matrici 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 1 4 0 0 0 4 sono simili
Esercizio 6 Dire se le matrici 1 0 1 1 4 3 1 2 2 1 1 0 2 2 0 3 3 0 sono simili.
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Dualit`
a
Richiami Dato uno spazio vettoriale V su un campo K, con dim V = n, si dice spazio duale di V , e si indica con V0, l’insieme
V0= {L : V → K lineare}
Si verifica facilmente che tale insieme `e uno spazio vettoriale, definendo somma e prodotto per scalari in modo ovvio.
Sia ora B = {v1, . . . , vn} una base di V ; definiamo le applicazioni lineari
L1, . . . , Ln da V in K, ponendo
Li(vj) =
1 i = j 0 i 6= j
L’insieme B0= {L1, . . . , Ln} si dice base duale rispetto a B ed `e una base di V0;
infatti, se
λ1L1+ . . . + λnLn= 0
si dovr`a avere che
(λ1L1+ . . . + λnLn)(vi) = 0 i = 1, . . . , n
ma
(λ1L1+ . . . + λnLn)(vi) = λ1L1(vi) + . . . + λnLn(vi) = λi
e dunque si dovr`a avere che λi= 0 per i = 1, . . . , n. Questo prova l’indipendenza
lineare. Del resto, dato N ∈ V0, `e facile verificare, verificandolo sulla base B, che
N = N (v1)L1+ . . . + N (vn)Ln
e quindi B0 genera tutto V0.
Esempio Sia V = R3[x]. Verifichiamo che le applicazioni
Li(p(x)) = ai i = 0, 1, 2, 3
con p(x) = a3x3+ a2x2+ a1x + a0, sono elementi di V0.
Basta verificare che tali applicazioni sono lineari; osserviamo che, dati p(x) = a3x3+ a2x2+ a1x + a0 q(x) = b3x3+ b2x2+ b1x + b0
se poniamo r(x) = p(x) + q(x) avremo che
r(x) = (a3+ b3)x3+ (a2+ b2)x2+ (a1+ b1)x + (a0+ b0)
e dunque
Li(p(x) + q(x)) = Li(r(x)) = (ai+ bi) = Li(p(x)) + Li(q(x))
Analogamente si verifica che
Li(λp(x)) = λLi(p(x))
Esempio Sia V come sopra. Verifichiamo che {L0, L1, L2, L3} `e una base di
V0.
Volendo sfruttare la teoria esposta nei richiami, possiamo accorgerci che Li(1) = ( 1 i = 0 0 i 6= 0 Li(x) = ( 1 i = 1 0 i 6= 1 Li(x2) = ( 1 i = 2 0 i 6= 2 Li(x3) = ( 1 i = 3 0 i 6= 3
e dunque {L0, L1, L2, L3} `e la base duale rispetto a {1, x, x2, x3}, che `e una base
di V .
Esempio Sia V come sopra. Consideriamo, per k ∈ R, l’applicazione Mk(p(x)) = p(k)
Verifichiamo che `e un elemento di V0. Come prima, basta vedere che `e lineare; ed infatti, dati p(x) e q(x), si ha che
Mk(p(x) + q(x)) = p(k) + q(k) = Mk(p(x)) + Mk(q(x))
e, dato λ ∈ R, si ha
Mk(λp(x)) = λp(k) = λMk(p(x))
Esempio Siano V , Mk per k ∈ R come sopra. Verificare che
B = {Ma, Mb, Mc, Md}
`
e una base di V0 se a, b, c, d ∈ R sono tutti distinti. Poich´e gi`a sappiamo che {L0, L1, L2, L3} `e una base di V0, ci basta calcolare le coordinate dei quattro
vettori di B e controllare il determinante della matrice che le ha come colonne. Osserviamo che
Ma= Ma(1)·L0+Ma(x)·L1+Ma(x2)·L2+Ma(x3)·L3= L0+aL1+a2L2+a3L3
quindi le sue coordinate sono (1, a, a2, a3). Dunque, vogliamo calcolare
det 1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3
sottraendo l’ultima colonna dalle altre, si ottiene
det 0 0 0 1 a − d b − d c − d d a2− d2 b2− d2 c2− d2 d2 a3− d3 b3− d3 c3− d3 d3
e sviluppando rispetto alla prima riga si trova (−1) · det a − d b − d c − d a2− d2 b2− d2 c2− d2 a3− d3 b3− d3 c3− d3
Ora, notiamo che a2− d2 = (a − d)(a + d) e a3− d3 = (a − d)(a2+ ad + d2),
quindi possiamo raccogliere un fattore (a − d) dalla prima colonna, uno (b − d) dalla seconda e uno (c − d) dalla terza, ottenendo
(−1)(a − d)(b − d)(c − d) det 1 1 1 a + d b + d c + d a2+ d(a + d) b2+ d(b + d) c2+ d(c + d)
ora, possiamo sottrarre d volte la seconda riga dalla terza e poi d volte la prima riga dalla seconda, ottenendo
(−1)(a − d)(b − d)(c − d) det 1 1 1 a b c a2 b2 c2
Ripetendo il ragionamento dall’inizio su questa seconda matrice (che per`o `e pi`u piccola) otteniamo
(−1)(a − d)(b − d)(c − d)(a − c)(b − c) det1 1 a b
ovvero
(a − d)(b − d)(c − d)(a − c)(b − c)(a − b)
Quindi non `e nullo, se i quattro numeri sono tutti diversi tra loro, dunque B `e una base di V0. Nota La matrice 1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3
si dice matrice di Vandermonde, pu`o essere n × n per ogni n (ovviamente coin-volgendo n diversi numeri reali al posto di a, b, c, d) ed ha sempre determinante non nullo (e pari al prodotto di tutte le possibili differenze, scegliendo con cura i segni) se tutti i numeri sono distinti. Ad esempio, per n = 6, tale matrice `e
1 1 1 1 1 1 a b c d e f a2 b2 c2 d2 e2 f2 a3 b3 c3 d3 e3 f3 a4 b4 c4 d4 e4 f4 a5 b5 c5 d5 e5 f5 e il suo determinante `e (f − a) · (f − b) · (f − c) · (f − d) · (f − e) · (e − a) · (e − b) · (e − c) (e − d) · (d − a) · (d − b) · (d − c) · (c − a) · (c − b) · (b − a)
Esercizio 7 Sia V = R3[x]; dire se le seguenti applicazioni sono elementi di V0
(sia p(x) = a3x3+ a2x2+ a1x + a0un generico elemento di V ).
i. L(p(x)) = p(1) + p(2) ii. L(p(x)) = p0(0) iii. L(p(x)) = a2 1 iv. L(p(x)) = p0(1) + p00(2) v. L(p(x)) = (x2+ 3)p(1) vi. L(p(x)) = e−a0+ e−a1
vii. L(p(x)) =R1
0 p(x)dx
viii. L(p(x)) = sin(p(1))
Esercizio 8 Sia V come sopra; consideriamo, per ogni k ∈ R, l’applicazione Nk(p(x)) = Z k 0 p(x)dx Quindi, ad esempio, se p(x) = x2+ 3x, Nk(p(x)) = Z k 0 x2+ 3xdx = x 3 3 + 3x2 2 k 0 =k 3 3 + 3k2 2
Dimostrare che Nk ∈ V0 per ogni k ∈ R e che {Na, Nb, Nc, Nd} `e una base di
V0 se a, b, c, d ∈ R sono tutti diversi.
Esercizio 9 Sia V = R2[x] e sia Mk(p(x)) = p(k), per k ∈ R. Trovare la base
B di V che genera come base duale di V0 la seguente
{M0, M1, M−1}
3
Applicazione trasposta
Richiami Sia V uno spazio vettoriale su K di dimensione n, sia B = {v1, . . . , vn}
una base di V e sia B0= {L1, . . . , Ln} la sua base duale (base di V0).
Consideri-amo una applicazione lineare T : V → V , associata, nella base B, ad una matrice A. L’applicazione trasposta di T `e l’unica applicazione lineare Tt: V0→ V0 tale
che
(Tt(L))(v) = L(T (v))
per ogni L ∈ V0 e per ogni v ∈ V . Vogliamo calcolare la sua matrice associata
nella base B0.
Osserviamo che L1(w) non `e altro che la prima componente di w rispetto
alla base B, quindi L1(T (v)) `e la prima componente di T (v) (dell’immagine di v
tramite T ) nella base B, quindi se noi ora al posto di un generico v mettiamo v1,
otterremmo che L1(T (v1)) `e la prima componente dell’immagine di v1, ovvero
sia a11, il primo elemento della prima colonna di A (infatti, le colonne di A sono
D’altra parte, per definizione
L1(T (v1)) = (Tt(L1))(v1)
Ora, per ogni M ∈ V0, le sue coordinate nella base B0 sono i suoi valori sugli elementi della base B, ovvero (M (v1), . . . , M (vn)). Quindi (Tt(L1))(v1) `e la
prima coordinata rispetto alla base B0 dell’immagine di L1 tramite Tt, ovvero
`
e il primo elemento della prima colonna della matrice associata a Tt nella base
B0. Dunque, tale elemento `e a 11.
Ora, il secondo elemento della prima colonna della matrice associata a Tt sar`a (Tt(L1))(v2) che, per definizione, `e uguale a L1(T (v2)) ovvero al primo
elemento della seconda riga di A. Pi`u in generale, l’elemento sulla i-esima riga e j-esima colonna della matrice di Ttsar`a (Tt(L
j))(vi) ovvero Lj(T (vi)), ovvero
l’elemento sulla j-esima riga e i-esima colonna della matrice A. Quindi, la matrice associata a Ttnella base B0 `e proprio At, la trasposta di A, ovvero la
trasposta della matrice associata a T nella base B.
In generale, se ho due spazi vettoriali di dimensione finita sul campo K, V e W , data una applicazione lineare T : V → W , posso definire Tt: W0→ V0 di
modo che
(Tt(L))(v) = L(T (v)) per ogni v ∈ V e L ∈ W0.
ATTENZIONE: La trasposta ‘si gira’, ovvero, se T va da V a W , la sua trasposta Tt va da W0 a V0.
Fissando una base B di V e una base C di W , otterremo una matrice A che descrive T rispetto a queste due basi; allora, costruendo le basi duali B0 e C0 (basi rispettivamente di V0 e W0), avremmo che la matrice associata a Ttdalla base C0 alla base B0 sar`a proprio At, la trasposta di A.
Esempio Consideriamo R3
e R2
con le rispettive basi canoniche; sia T : R3→
R2 la proiezione sulle prime due componenti (ovvero T (a1, a2, a3) = (a1, a2)).
Date le basi B = 1 1 0 , 1 0 1 , 0 1 1 C = 1 1 , 2 1
determinare la matrice associata a Tt
: (R2)0→ (R3)0 rispetto alle basi duali C0
e B0.
Dalla teoria, sappiamo che tale matrice `e la trasposta della matrice associata a T rispetto alle basi B e C; quest’ultima `e facilmente calcolabile, in quanto, rispetto alle due basi canoniche, T `e rappresentata dalla matrice
A =1 0 0 0 1 0 Inoltre, dette B = 1 1 0 1 0 1 0 1 1 C = 1 2 1 1
si ha che la matrice associata a T tra le due basi B e C `e C−1AB =−1 2 1 −1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 = 1 −1 2 0 1 −1
Dunqe, la matrice associata a Tt tra la base C0 e la base B0 `e
At= 1 0 −1 1 2 −1
Esempio Sia V = R4 con la base canonica {e1, e2, e3, e4}; consideriamo il suo
duale V0 con la base duale della base canonica, {L1, L2, L3, L4}. Per definizione
di base duale, Li a1 a2 a3 a4 = ai i = 1, 2, 3, 4 Siano ora M1= L1+ 2L2 M2= L3 + 3L4 M3= L1+ 3L3 M4= L2 + 2L4
Verificare che B0 = {M1, M2, M3, M4} `e una base di V0 e determinare la base
B = {v1, v2, v3, v4} di V che ha B0 come base duale.
Le coordinate degli Mi rispetto alla base duale della base canonica sono le
colonne della seguente matrice 1 0 1 0 2 0 0 1 0 1 3 0 0 3 0 2
il cui determinante `e −5, dunque gli Mi formano una base.
Ora, sia T0: V0→ V0 l’applicazione lineare sul duale definita da
T0(Li) = Mi
Rispetto alla base duale della base canonica, T0 `e associata alla matrice
A0= 1 0 1 0 2 0 0 1 0 1 3 0 0 3 0 2
Noi vogliamo trovare dei vettori {v1, v2, v3, v4} tali che
Mi(vj) =
(
1 i = j 0 i 6= j Ovvero sia tali che
(T0(Li))(vj) =
(
1 i = j 0 i 6= j
Se riusciamo a trovare T : V → V tale che Tt= T0, avremo che
(T0(Li)(vj) = (Tt(Li))(vj) = Li(T (vj))
Ma allora, se vogliamo che
(T0(Li))(vj) =
(
1 i = j 0 i 6= j
si dovr`a per forza avere che T (vj) = ej. Quindi, i vettori cercati saranno
T−1(e1), T−1(e2), T−1(e3), T−1(e4).
Per trovare una tale T , basta considerare l’applicazione che, rispetto alla base canonica, `e associata alla matrice A0t (che chiameremo A):
A = 1 2 0 0 0 0 1 3 1 0 3 0 0 1 0 2
questa `e la matrice della applicazione T cercata rispetto alla base canonica. Dunque i vettori voluti sono le immagini della base canonica tramite A−1, ovvero sono le colonne di A−1, che `e
1 5 9 −2 −3 1 4 −2 2 1 −4 2 3 −1 −18 9 6 2
Dunque, i vettori cercati sono
v1= 9/5 4/5 −4/5 −18/5 v2= −2/5 −2/5 2/5 9/5 v3= −3/5 2/5 3/5 6/5 v4= 1/5 1/5 −1/5 2/5
Ricapitolando, dati gli elementi del duale M1, M2, M3, M4, detta A0 la
matrice che ha come colonne le loro coordinate rispetto alla base duale della base canonica, devo calcolare la matrice (A0t)−1; le colonne di quest’ultima saranno le coordinate, rispetto alla base canonica, di quattro vettori v1, v2, v3, v4 che
hanno gli Mi come base duale.
Esercizio 10 Sia T : R3→ R4 definita da T a1 a2 a3 = 2a1+ 2a2 a1− 4a3 2a2+ a3+ a4 a1− a4 Dato l’insieme B = 1 2 3 , 1 1 1 , 1 0 0
verificare che `e una base di R3 e scrivere la trasposta di T rispetto alla base B0
di (R3)0
e alla base duale di quella canonica in (R4)0.
Esercizio 11 Consideriamo R3
con la base canonica e il suo duale (R3)0 con la
base canonica duale. Verificare che le seguenti applicazioni
M1 a1 a2 a3 = a1+ 3a3 M2 a1 a2 a3 = a1+ 2a2 M3 a1 a2 a3 = a2+ a3
sono elementi del duale e che formano una base. Determinare i vettori {v1, v2, v3}
