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che, rispetto alla base canonica e

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Academic year: 2021

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(1)

Geometria 2020/21 Prova intermedia

Esercizio. -

Consideriamo la forma bilineare simmetrica b su R

3

che, rispetto alla base canonica e

1

, e

2

, e

3

, ha matrice

k 0 k 0 1 0 k 0 k

 dove k `e un parametro reale.

a) Determinare PER OGNI k una base del radicale di b.

b) Determinare i valori del parametro k per cui b `e semidefinita positiva.

c) Determinare un sottospazio proprio W ⊂ R

3

tale che (W

)

= W .

d) Determinare la segnatura di b per k = 0.

e) Posto k = −1, trovare v / ∈ Rad(b) tale che b(v, v) = 0.

f) Trovare v 6= e

1

tale che b(v, w) = b(e

1

, w) per ogni w ∈ R

3

.

g) Trovare la matrice di b rispetto alla base B

0

data

da B

0

= ((0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)).

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