APPUNTI DI COSTRUZIONI
MURI DI SOSTEGNO IN CEMENTO ARMATO
ING. EMANUELE SPADARO
N.B. In questa dispensa si fa riferimento al modulo E e al manuale tecnico della
collana MODULI DI COSTRUZIONI di C. Farroni e R. Zedda edito da Arnoldo
Mondadori Scuola
MURI DI SOSTEGNO IN CEMENTO ARMATO
I muri in cemento armato sono di norma a mensola o a contrafforti (vedi fig. 1) noi tratteremo solo quelli a mensola che costituiscono la maggior parte dei muri costruiti in c.a.
fig. 1
Calcolo della spinta della terra con il metodo di COULOMB (caso senza presenza d’acqua e di sovraccarico) Il paramento interno in questo tipo di muri è di norma verticale perciò le formule viste nello studio dei muri a gravità massiccia subiscono alcune variazioni e diventano come segue:
1) si calcola: 2 2 A cos cos ) sin( ) sin( 1 cos cos K (1) dove:
KA = coefficiente di spinta attiva;
= angolo di attrito interno della terra (vedi Tabella TER 2 pag. 85 e Tab. materiali
insilabili pag. 14 del manuale tecnico di C. Farroni e R. Zedda);
= angolo d’inclinazione della superficie del terreno, da contenere, rispetto all’orizzontale; = angolo di attrito fra terra e muro (1/2 2/3). Nei muri in c.a. il si pone
uguale a quando si progetta la base (3x vedi fig. 7) della fondazione e quando si fanno le verifiche. Invece rimane quando si progetta lo spessore e le armature del muro.
N.B. nel caso particolare in cui = = 0°00’00” per il calcolo di KAsi utilizza la seguente
formula: ) 2 45 ( tg k 2 A (2) 2) si calcola: S = ½ h2 tKA (3) dove:
t = peso specifico della terra (vedi Tab. Ter 2/3 pag. 85);
La spinta si applica all’altezza h* dalla base del muro. In assenza di sovraccarico h* = 1/3 h, vedi fig. 2 e agli effetti delle verifiche (ribaltamento, schiacciamento e scorrimento) e del progetto della base (3x vedi fig. 7) della fondazione si
può pensare applicata come in figura e inclinata di anziché.
N.B. Il piano di posa delle fondazioni deve essere al di sotto della zona di terreno soggetta a gelo. La distanza tra il piano di campagna e il
piano di posa delle fondazioni è indicata con ht. fig. 2
Calcolo della spinta della terra con il metodo di COULOMB (caso con presenza d’acqua) 1) si calcola KAcome sopra;
2) si calcola:
t* =
t- acqua dove: acqua = 1000 daN/m3;
3) si calcola: S* = ½ h2 t*KA; 4) si calcola: 2 h S 2 acqua acqua ; 5) infine si calcola: S = S* + S acqua. (4)
Calcolo della spinta della terra con il metodo di COULOMB (caso con presenza di sovraccarico) 1) si calcola KAcome sopra;
2) si calcola: t q ' h
dove: h’ = altezza di terra corrispondente al sovraccarico q; 3) si calcola: ) h ' h 2 1 ( K h 2 1 S 2 t A (5)
La spinta si applica all’altezza h* dalla base del muro. In presenza di sovraccarico:
) ' h 3 h ( h h* . (6)
Metodo grafico di PONCELET per il calcolo della spinta della terra
scala 1 : m
fig. 3 si procede nel seguente modo:
1. si disegna il paramento interno del muro e la superficie del terrapieno; 2. si traccia il segmento AC che formi con l’orizzontale;
3. si trova il punto medio O del segmento AC e si traccia il semicerchio che va da A a C;
4. si traccia il segmento BF che formi l’angolo + (o 2· Nei muri in c.a. il si
pone uguale a quando si progetta la base 3x vedi fig. 7 della fondazione e quando si fanno le verifiche. Invece rimane quando si progetta lo spessore e le armature del muro) con AB, paramento interno del muro;
5. si traccia FG perpendicolare ad AC;
6. si punta il compasso in A e con apertura AG si traccia l’arco di cerchio GE; 7. si traccia ED (di lunghezza J) parallelo a BF;
8. si traccia DH (di lunghezza n) perpendicolare ad AC;
9. si misurano J ed n in centimetri del disegno e moltiplicandoli per m (denominatore della scala del disegno) e dividendoli per 100 si ottengono valori reali espressi in metri;
10. applicando la seguente formula si trova la spinta S: S = ½ Jnt.
N.B. se siamo in presenza di sovraccarico sul terrapieno al posto di h si mette htot = h + h’ dove come gia detto
t
q ' h
. Mentre la spinta si applica ad ) ' h 2 h ' h 3 h ( 3 h h*
Metodo numerico di PONCELET per il calcolo della spinta della terra
fig. 4 1) si pone:
AB = h; 2) applicando il teorema dei seni al triangolo ABF si calcola:
) sin( cos AB AF ;
3) applicando il teorema dei seni al triangolo ABC si calcola:
cos ) sin( AB AC ;
4) applicando il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo AGC (un cateto è medio proporzionale fra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa):
AC AF
AE ;
5) per differenza si calcola:
CE = AC –AE; 6) applicando il teorema dei seni al triangolo CDE si calcola:
cos ) cos( CE CD ;
7) applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo HDC si calcola: n = CDsin( - );
8) applicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo HDE si calcola: cos n J ; 9) infine si calcola: S = ½ Jnt. (7)
N.B Nei muri in c.a. il si pone uguale a quando si progetta la base 3x vedi fig. 7 della fondazione e quando si fanno le verifiche. Invece rimane quando si progetta lo spessore e le armature del muro.
N.B. se siamo in presenza di sovraccarico sul terrapieno al posto di h si mette htot = h + h’ dove come gia detto
t
q ' h
. Mentre la spinta si applica ad ) ' h 2 h ' h 3 h ( 3 h h* .
Calcolo della spinta col metodo di Rankine (winkler e Levy) Si usa per:
terreni incoerenti ( = 0 e quindi la spinta S è orizzontale); paramento interno sempre verticale;
il calcolo della spinta S è analogo a quello di Poncelet, con la differenza che
BF (della fig. 3 e 4) forma con AB l’angolo + e non +.
VERIFICHE SUI MURI DI SOSTEGNO
La circolare Ministeriale L.L. P.P. n°30483/88 prevede per i muri di sostegno in cemento armato come per i muri a gravità le seguenti verifiche:
Ribaltamento; schiacciamento;
traslazione sul piano di posa (o verifica allo scorrimento); stabilità globale.
Delle quali le prime tre sono obbligatorie.
La circolare Ministeriale prevede. inoltre, opportune opere di drenaggio e giunti tecnici.
N.B. per le verifiche, come per il progetto della base bo = 3·x del muro, come più volte detto, la spinta S da utilizzare è quella calcolata con le formule (1) o (2), (3), (4), (5) o (7) dove al posto dell’angolo si utilizza l’angolo .
VERIFICA AL RIBALTAMENTO
La norma prevede che affinché sia soddisfatta la verifica al ribaltamento (cioè che sia scongiurato il pericolo che il muro ruoti intorno al punto “O” più a valle del muro), si debba avere:
5 , 1 M M r S dove: = grado di stabilità; Ms = momento stabilizzante; Mr = momento ribaltante. fig. 5 SV = S·sin SH = S·cos
Per il calcolo del momento ribaltante la formula, ricavata dalla precedente figura 5 è la seguente:
Mr= SHh* = S cos·h*.
Per il calcolo del momento stabilizzante la formula, ricavata dalla figura 5 è la seguente: Ms= Pe be + P1 b1 + Pf bf + Pt bt + SV· bS dove: Pe = ½se(h – z)1c be = ze + 2/3se P1 = a(h – z)1c b1 = ze + se+ ½a Pf = boz1c bf = ½bo Pt zi(h – z)1t bt = ze + se+ a + ½zi SV = S·sin bS = bo
t = peso specifico della terra
VERIFICA ALLO SCHIACCIAMENTO
La norma prevede che affinché sia soddisfatta la verifica allo schiacciamento (cioè che sia scongiurato il pericolo che il muro sprofondi), si debba avere:
2 v max , t lim dove: v = grado di stabilità;
lim = tensione ammissibile del terreno; t,max = tensione massima sul terreno.
La procedura operativa per effettuare la verifica si può riassumere nei seguenti punti: 1. si calcola: P = Pe + P1 + Pf + Pt + Ssin
2. si calcola:
P M M
u s r (u è la distanza fra il punto O e il centro di pressione,
che è il punto d’intersezione fra la retta d’azione della risultante P-S e la base del muro.)
2a. se: u bo/3 si ha che il centro di pressione è esterno al nocciolo centrale
d’inerzia, questo è un caso da evitare perché non tutto il terreno sotto il muro reagisce.
si calcola: 100 u 3 P 2 max , t 0 min , t
(alla distanza 3·u dal punto in ci si ha
t,max cioè dal margine della fondazione)
2b. se: u = bo/3 si ha che il centro di pressione è sul nocciolo centrale d’inerzia, questo è un caso accettabile.
si calcola: 100 b P 2 o max , t 0 min , t
2c. se: bo/3 u 2/3bo si ha che il centro di pressione è interno al
nocciolo centrale d’inerzia, questo è il caso migliore. si calcola: ) b e 6 1 ( 100 b P o o max , t ) b e 6 1 ( 100 b P o o min , t dove: e = bo/2 – u N.B. u, e, bo nelle formule 2a 2b 2c vanno messi in cm.
VERIFICA ALLO SCORRIMENTO
La norma prevede che affinché sia soddisfatta la verifica allo scorrimento (cioè che sia scongiurato il pericolo che il muro trasli sul piano di posa), si debba avere:
3 , 1 cos S f P dove: = grado di stabilità;
f = coefficiente di attrito. Per esso si assumono di norma i seguenti valori:
f = 0,70 muratura su muratura f = 0,60 muratura su sabbia
f = 0,50 muratura su terreno compatto asciutto
Se la verifica allo scorrimento non è soddisfatta, si realizzerà un magrone come in figura 6
fig. 6 dove: B = 3/2·(bo– u – 0,05m); sporgenza = B - bo- 0,05m; spessore 0,7sporgenza (e comunque almeno 5cm); P f S f P S 3 , 1 arctg H = spessore + Btg
Stabilita H si avrà una nuova altezza di calcolo per il muro data dalla somma h + H con la quale bisognerà ricalcolare la spinta (S) e ripetere i calcoli fin qui eseguiti.
PROGETTO A RIBALTAMENTO DEI MURI DI SOSTEGNO Il progetto della base (bo = 3·x) del
muro può essere fatto in modo rigoroso considerando il peso del muro, ma risulta laborioso, oppure in modo più semplice e approssimato, ma a vantaggio della stabilità, non prendendo in considerazione il peso del muro e ragionando sulla figura 7 Dalla condizione di verifica al ribaltamento intorno al punto “O” possiamo scrivere:
Ms 1,5·Mr (8) fig. 7
che sostituendo nella (8) danno:
Pt ·bt + SV·bs 3/2·SH ·h* e sostituendo ai vari termini le relazioni ricavate dalla fig. 7:
2x·ht·2·x + S·sin·3·x 3/2· S·cos·h* e ordinando:
8ht·x2 + 6·S·sin·x - 3·S·cos·h* 0
si ricava una disequazione di secondo grado del seguente tipo in cui x è l’incognita: Ax2 + Bx + C 0
risolvendo la quale si ottiene la x per ricavare la base bodel muro. Operativamente si procede come segue:
1. si calcola: A = 8ht; 2. si calcola: B = 6Ssin; 3. si calcola: C = - 3Scosh*; 4. si calcola: A 2 C A 4 B B x 2
si accetta naturalmente il solo risultato positivo e lo si approssima, sempre per eccesso e tenendo conto che da norma la base bo (che è uguale a 3·x) è:
0.4h bo 0,7·h.
Stabilita la base bodel muro, si procede con uno dei due seguenti modi:
1. seguendo le indicazioni della figura 8 si attribuiscono le dimensioni alla sagoma del muro e quindi si effettuano le verifiche previste dalla norma (questo è il modo più usato).
fig. 8 dimensioni consigliate per h 3,00m a 20cm per h 6,00m a 30cm Ze = (1/8 1/10)·h (40 50)cm a + se = (1/10 1/12)·h Z a + se Zi 2·x – a
Se le verifiche sono soddisfatte si passa al progetto delle armature per la parete verticale e per le ali di monte e di valle;
2. con le formule di calcolo del c.a. si calcola lo spessore (a + se) alla base del muro e quindi quello alla testa (a), lo spessore (Z) della fondazione e si effettuano le verifiche previste dalla norma. Se le verifiche sono soddisfatte si passa al progetto delle armature per la parete verticale e per le ali di monte e di valle.
Nel seguito procederemo come descritto nel primo metodo poiché, come detto, è quello più utilizzato.
PROGETTO DELLE ARMATURE PER I MURI DI SOSTEGNO SECONDO IL MODO 1 Per prima cosa calcoleremo la spinta S1 che agisce sulla parete che sarà applicata ad h*1 e sarà inclinata rispetto all’orizzontale dell’angolo (vedi fig. 9)
fig. 9
Per il calcolo di S1 utilizzeremo le formule (1) o (2), (3), (4), (5) o (7). Mentre per il calcolo di
* 1
h si utilizzerà la (6) dove al posto del termine h si sostituirà il termine h1 = h – Z.
PROGETTO PARETE MURO La parete è soggetta a presso flessione dovuta
alla pressione causata dal peso del muro e alla flessione causata dalla spinta S1 del terrapieno. Noi considereremo solo la flessione.
Lo schema statico dovuto all’azione della terra sul muro è rappresentato nella seguente figura 10. dove: qo = h’tKA e qA = (h1 + h’)tKA ed anche: q = (h + h’)K fig. 10
Calcolo del momento flettente nella generica sezione: (2 q q ) cos 6 ) x h ( M o x 2 1 x
Calcolo del taglio nella generica sezione:
(h x) cos 2 q q Tx o x 1
Per la x si assumono generalmente i valori x = 0 (sezione al piede in A) e x = h1/2 in questo modo, per le pareti alte, si riduce la quantità di acciaio nella parte superiore del muro.
Per le pareti basse di norma si progetta l’acciaio solo per il piede del muro (x = 0).
Calcolo delle armature:
Nel progetto dei muri di norma si preferisce utilizzare l’armatura doppia ed avendo, come detto, già fissato la base (b = 100cm perchè lavoriamo sempre su una striscia di muro larga un metro) e l’altezza H = se + a utilizzeremo la seguente procedura che è detta di progetto condizionato:
dove:
H = se + a;
h’ = copriferro = 5cm; n – n = asse neutro; As = area del ferro teso; A’s = area del ferro
compresso fig. 11
1. stabilisco l’Rck del calcestruzzo (pag. 67 del prontuario) e il s.amm dell’acciaio (pag. 68 del
prontuario) calcolo secondo la norma:
c ck 2 cm daN 60 4 R / / max . e cmedia ck 2 cm daN 40 6 R / / . 2. calcolo b M h r x _ con _ h e b in cm ed Mxin daNcm
3. dal prontuario a pag. 72 o 74 in funzione della r calcolata, della c.max, del tipo di acciaio
adottato e del rapporto = A’s/As scelto a priori o che meglio si adatta allas.max si ricava il
4. calcolo: b M t As x con Asin cm 2, b in cm ed M xin daNcm da cui discenderà un opportuno numero di “tondini” (vedi pag. 69 prontuario)
5. calcolo:
A’s = ·As
da cui discenderà un opportuno numero di “tondini” (vedi pag. 69 prontuario) 6. calcolo: b h 9 , 0 Tx max . c
con c.maxin daN/cm2, Txin daN,
_
h e b in cm
se: c.max co non è necessario predisporre un’armatura per il taglio; se: co c.max c1 è necessario predisporre un’armatura per il taglio
co e c1 sono riportati a pag. 67 del prontuario. Normalmente per i muri di sostegno si ha che max co quindi non è necessario predisporre un’armatura particolare per il taglio.
7. calcolo: b h 0015 , 0 As.min _
se: As.min As calcolata al punto 4 utilizzeremo As.min per determinare il numero di “tondini”.
Verifica del cemento armato
8. calcolo la posizione dell’asse neutro:
) ) A A ( n ' h A h A b 2 1 1 ( b ) A A ( n y ' 2 s s ' s _ s ' s s
con n = coefficiente di omogenizzazione (di norma =15) 9. calcolo il momento d’inerzia ideale:
Ii= 1/3 by3 + nAs( _ h - y)2 + nA’ s(y – h’)2 10. calcolo: max . c i x c MI y ed s.amm i _ x s n M I(h y) ed samm i x s n M Iy h . ' ( )' '
11. Bisogna infine tenere ben presente quanto segue:
le barre (tondini) devono avere un diametro compreso fra i 5 e i 30mm per Fe B 38 k; le barre (tondini) devono avere un diametro compreso fra i 5 e i 26mm per Fe B 44 k;
l’interasse fra i tondini non deve essere superiore a 35cm;
la distanza minima fra i tondini (interferro) non deve essere inferiore a 2cm per diametri
fino a 20mm, per diametri superiori l’interferro non può essere inferiore al diametro della barra;
oltre all’armatura principale calcolata, deve essere adottata un’armatura secondaria di
ripartizione disposta ortogonalmente alla prima. L’armatura di ripartizione non deve essere inferiore al 20% della principale. Di norma si utilizzano tondini di diametro 6mm, 8mm o 10mm disposti ad interasse non superiore ai 35cm.
PROGETTO ALA DI MONTE L’ala di monte è quella sormontata da
terra. Essa è soggetta superiormente, al carico ripartito del terreno ed eventualmente dal sovraccarico (se ce) ed in più dal proprio peso, ed inferiormente è sollecitata dalla reazione del terreno. Le due azioni agiscono contemporaneamente, pertanto si avrà su di essa lo schema statico
indicato nella fig. 12 fig. 12
dove:
q = (h1 + h’)t + Zc con q, te c in daN/m, h1, h’ e Z in m
c = 2500daN/m3 = peso specifico del cemento armato e q1 = t,min100100 ed anche: q2 = x100100 con: o min , t max , t i min . t x (Z 5cm) b
nel caso 2b e 2c di pag. 8
u 3 a s Z t e e t x ,max max
. ( ) nel caso 2a di pag. 8
N.B. i valori di t,min e di t,maxsono quelli ricavati nella verifica allo schiacciamento di pag, 8 quindi infine:
q*
1 = q - q1 e q*2 = q – q2 con q*1e q*2 in daN
Si verifica se la mensola (ala) è elastica o tozza:
la mensola si dice elastica se: 1 2
Z Z
i
/
la mensola si dice tozza se: 2 3
Z Z
i
/
SE LA MENSOLA È ELASTICA: Calcolo del momento flettente massimo:
) ( ) , ( * * max 1 2 2 i 2 q q 6 m 05 0 Z
M con Mmaxin daNm e Ziin m
Calcolo del taglio massimo:
) , ( * * max q 2q Z 005m T 1 2 i
con Tmaxin daN e Ziin m
Calcolo delle armature:
Anche nel progetto delle mensole di norma si preferisce utilizzare l’armatura doppia ed avendo, come detto, già fissato la base (b = 100cm perchè lavoriamo sempre su una striscia di muro larga un metro) e l’altezza Z utilizzeremo la seguente procedura che è detta di progetto condizionato:
dove:
h’ = copriferro = 5cm; n – n = asse neutro; As = area del ferro teso; A’s = area del ferro compresso fig. 13 1. calcolo: b M h r max _ con _ h e b in cm ed Mmaxin daNcm
2. dal prontuario a pag. 72 o 74 in funzione della r calcolata, della c.max, del tipo di acciaio
adottato e del rapporto = A’s/As scelto a priori o che meglio si adatta allas.max si ricava il
coefficiente t. 3. calcolo:
b M t
As max con Asin cm2, b in cm ed Mmaxin daNcm da cui discenderà un opportuno numero di “tondini” (vedi pag. 69 prontuario)
4. calcolo:
A’s = ·As
6. calcolo: b h 9 , 0 T _ max max . c
con c.maxin daN/cm2, Tmaxin daN,
_
h e b in cm
se: c.max co non è necessario predisporre un’armatura per il taglio; se: co c.max c1 è necessario predisporre un’armatura per il taglio
co e c1 sono riportati a pag. 67 del prontuario. Normalmente per i muri di sostegno si ha che c.max co quindi non è necessario predisporre un’armatura particolare per il taglio.
6. calcolo: As.min 0,0015h_b
se: As.min As calcolata al punto 3 utilizzeremo As.min per determinare il numero
di “tondini”.
Verifica del cemento armato
7. calcolo la posizione dell’asse neutro:
) ) A A ( n ' h A h A b 2 1 1 ( b ) A A ( n y ' 2 s s ' s _ s ' s s
con n = coefficiente di omogenizzazione (di norma =15) 8. calcolo il momento d’inerzia ideale:
Ii= 1/3 by3 + nAs( h - y)2 + nA’ s(y – h’)2 9. calcolo: max . c i max c I y M ed s.amm i max s I ) y h ( M n ed s.amm i max ' s I ' ) ' h y ( M n 10. Bisogna infine tenere ben presente quanto segue:
le barre (tondini) devono avere un diametro compreso fra i 5 e i 30mm per Fe B 38 k; le barre (tondini) devono avere un diametro compreso fra i 5 e i 26mm per Fe B 44 k; l’interasse fra i tondini non deve essere superiore a 35cm;
la distanza minima fra i tondini (interferro) non deve essere inferiore a 2cm per diametri
fino a 20mm, per diametri superiori l’interferro non può essere inferiore al diametro della barra;
oltre all’armatura principale calcolata, deve essere adottata un’armatura secondaria di
ripartizione disposta ortogonalmente alla prima. L’armatura di ripartizione non deve essere inferiore al 20% della principale. Di norma si utilizzano tondini di diametro 6mm, 8mm o 10mm disposti ad interasse non superiore ai 35cm.
SE LA MENSOLA È TOZZA: Calcolo del taglio massimo:
) , ( * * max q 2q Z 005m T 1 2 i
con Tmaxin daN e Ziin m
1. calcolo: 100 Z Tmax max . c
con c.maxin daN/cm2, T
maxin daN, e Z in cm se: c.max co non è necessario predisporre un’armatura per il taglio; se: co c.max c1 è necessario predisporre un’armatura per il taglio
co e c1 sono riportati a pag. 67 del prontuario. Normalmente per i muri di sostegno si ha che c.max co quindi non è necessario predisporre un’armatura particolare per il taglio.
Calcolo delle armature: 2. calcolo: amm . s max s T A con Asin cm2, T
maxin daN e s.amm in daN/cm2 da cui discenderà un opportuno numero di “tondini” (vedi pag. 69 prontuario)
3. calcolo:
A’s = ·As
da cui discenderà un opportuno numero di “tondini” (vedi pag. 69 prontuario) 4. calcolo: b h 0015 , 0 As.min
se: As.min As calcolata al punto 2 utilizzeremo As.min per determinare il numero
di “tondini”.
Verifica del cemento armato
5. calcolo la posizione dell’asse neutro:
) ) A A ( n ' h A h A b 2 1 1 ( b ) A A ( n y ' 2 s s ' s _ s ' s s
con n = coefficiente di omogenizzazione (di norma =15)
6. calcolo il momento d’inerzia ideale: Ii= 1/3 by3 + nAs(
h - y)2 + nA’
7. calcolo: max . c i max c I y M ed s.amm i _ max s I ) y h ( M n ed s.amm i max ' s I ' ) ' h y ( M n 8. Bisogna infine tenere ben presente quanto segue:
le barre (tondini) devono avere un diametro compreso fra i 5 e i 30mm per Fe B 38 k; le barre (tondini) devono avere un diametro compreso fra i 5 e i 26mm per Fe B 44 k; l’interasse fra i tondini non deve essere superiore a 35cm;
la distanza minima fra i tondini (interferro) non deve essere inferiore a 2cm per diametri
fino a 20mm, per diametri superiori l’interferro non può essere inferiore al diametro della barra;
oltre all’armatura principale calcolata, deve essere adottata un’armatura secondaria di
ripartizione disposta ortogonalmente alla prima. L’armatura di ripartizione non deve essere inferiore al 20% della principale. Di norma si utilizzano tondini di diametro 6mm, 8mm o 10mm disposti ad interasse non superiore ai 35cm.
PROGETTO ALA DI VALLE L’ala di valle non è sormontata da
terra. Essa è soggetta superiormente, al carico ripartito costituito dal peso proprio, ed inferiormente è sollecitata dalla reazione del terreno. Le due azioni agiscono contemporaneamente, pertanto si avrà su di essa lo schema
statico indicato nella fig. 14 fig. 14
dove:
q = Zc con q e c in daN/m e Z in m
c = 2500daN/m3 = peso specifico del cemento armato e q3 = t,max100100 ed anche: q4 = x100100 con: o min , t max , t e max . t x Z b
nel caso 2b e 2c di pag. 8
u 3 Z t,max e max . t x
nel caso 2a di pag. 8
N.B. i valori di t,mine di t,maxsono quelli ricavati nella verifica allo schiacciamento di pag, 8 quindi infine:
q*
i verifica se la mensola (ala) è elastica o tozza:
la mensola si dice elastica se: 1 2
Z Z
i
/
la mensola si dice tozza se: 2 3
Z Z i / SE LA MENSOLA È ELASTICA: Calcolo del momento flettente massimo:
) q q 2 ( 6 Z M * 4 * 3 2 e
max con Mmaxin daNm e Zein m
Calcolo del taglio massimo:
e * 4 * 3 max 2 Z q q
T con Tmaxin daN e Zein m
Calcolo delle armature:
Anche nel progetto delle mensole di norma si preferisce utilizzare l’armatura doppia ed avendo, come detto, già fissato la base (b = 100cm perchè lavoriamo sempre su una striscia di muro larga un metro) e l’altezza Z utilizzeremo la seguente procedura che è detta di progetto condizionato:
dove: h’ = copriferro = 5cm; fig. 15
n – n = asse neutro; As = area del ferro teso; A’s = area del ferro compresso 1. calcolo: b M h r max _ con _ h e b in cm ed Mmaxin daNcm
2. dal prontuario a pag. 72 o 74 in funzione della r calcolata, della c.max, del tipo di acciaio
adottato e del rapporto = A’s/As scelto a priori o che meglio si adatta allas.max si ricava il
coefficiente t. 3. calcolo: b M t As max con Asin cm 2, b in cm ed M maxin daNcm da cui discenderà un opportuno numero di “tondini” (vedi pag. 69 prontuario)
4. calcolo:
A’s = ·As
da cui discenderà un opportuno numero di “tondini” (vedi pag. 69 prontuario) 5. calcolo: b h 9 , 0 T _ max max . c
con c.maxin daN/cm2, Tmaxin daN,
_
h e b in cm
se: c.max co non è necessario predisporre un’armatura per il taglio; se: co c.max c1 è necessario predisporre un’armatura per il taglio
co e c1 sono riportati a pag. 67 del prontuario. Normalmente per i muri di sostegno si ha che max co quindi non è necessario predisporre un’armatura particolare per il taglio.
6. calcolo: As.min 0,0015h_b
se: As.min As calcolata al punto 3 utilizzeremo As.min per determinare il numero
di “tondini”.
Verifica del cemento armato
7. calcolo la posizione dell’asse neutro:
) ) A A ( n ' h A h A b 2 1 1 ( b ) A A ( n y ' 2 s s ' s s ' s s
con n = coefficiente di omogenizzazione (di norma =15) 8. calcolo il momento d’inerzia ideale:
Ii= 1/3 by3 + nAs( h - y)2 + nA’s(y – h’)2 9. calcolo: max . c i max c M I y ed s.amm i _ max s I ) y h ( M n ed s.amm i max ' s n M I(y h')' 10. Bisogna infine tenere ben presente quanto segue:
le barre (tondini) devono avere un diametro compreso fra i 5 e i 30mm per Fe B 38 k; le barre (tondini) devono avere un diametro compreso fra i 5 e i 26mm per Fe B 44 k; l’interasse fra i tondini non deve essere superiore a 35cm;
la distanza minima fra i tondini (interferro) non deve essere inferiore a 2cm per diametri
fino a 20mm, per diametri superiori l’interferro non può essere inferiore al diametro della barra;
oltre all’armatura principale calcolata, deve essere adottata un’armatura secondaria di
ripartizione disposta ortogonalmente alla prima. L’armatura di ripartizione non deve essere inferiore al 20% della principale. Di norma si utilizzano tondini di diametro 6mm, 8mm o 10mm disposti ad interasse non superiore ai 35cm.
SE LA MENSOLA È TOZZA: Calcolo del taglio massimo:
Ze 2 q q T *3 *4 max
con Tmaxin daN e Zein m
1. calcolo: 100 Z Tmax max . c
con c.maxin daN/cm
2, T
maxin daN, e Z in cm
se: c.max co non è necessario predisporre un’armatura per il taglio; se: co c.max c1 è necessario predisporre un’armatura per il taglio
co e c1 sono riportati a pag. 67 del prontuario. Normalmente per i muri di sostegno si ha che c.max co quindi non è necessario predisporre un’armatura particolare per il taglio.
Calcolo delle armature: 2. calcolo: amm . s max s T A con Asin cm2, T
maxin daN e s.amm in daN/cm2 da cui discenderà un opportuno numero di “tondini” (vedi pag. 69 prontuario)
3. calcolo:
A’s = ·As
da cui discenderà un opportuno numero di “tondini” (vedi pag. 69 prontuario) 4. calcolo: b h 0015 , 0 As.min _
se: As.min As calcolata al punto 2 utilizzeremo As.min per determinare il numero
di “tondini”.
Verifica del cemento armato
5. calcolo la posizione dell’asse neutro:
) ) A A ( n ' h A h A b 2 1 1 ( b ) A A ( n y ' 2 s s ' s s ' s s
con n = coefficiente di omogenizzazione (di norma =15) 6. calcolo il momento d’inerzia ideale:
Ii= 1/3 by3 + nAs(
h - y)2 + nA’
7. calcolo: max . c i max c I y M ed s.amm i _ max s I ) y h ( M n ed s.amm i max ' s I ' ) ' h y ( M n 8. Bisogna infine tenere ben presente quanto segue:
le barre (tondini) devono avere un diametro compreso fra i 5 e i 30mm per Fe B 38 k; le barre (tondini) devono avere un diametro compreso fra i 5 e i 26mm per Fe B 44 k; l’interasse fra i tondini non deve essere superiore a 35cm;
la distanza minima fra i tondini (interferro) non deve essere inferiore a 2cm per diametri
fino a 20mm, per diametri superiori l’interferro non può essere inferiore al diametro della barra;
oltre all’armatura principale calcolata, deve essere adottata un’armatura secondaria di
ripartizione disposta ortogonalmente alla prima. L’armatura di ripartizione non deve essere inferiore al 20% della principale. Di norma si utilizzano tondini di diametro 6mm, 8mm o 10mm disposti ad interasse non superiore ai 35cm.
SCHEMA ARMATURE MURO
A titolo di esempio nella figura 16 si riporta lo schema complessivo delle armature di un muro di sostegno. Il numero di tondini e il loro diametro é puramente indicativo.
fig. 16
