INSIEMI NUMERICI E PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI
In questa breve nota approfondiremo la nozione di insieme numerico e le principali proprietà delle operazioni che possiamo fare con i numeri.
Insieme dei numeri naturali
L’insieme dei numeri naturali, come del resto dice il nome, rappresenta l’insieme dei numeri usati quotidianamente, ovvero i numeri più “naturali” da definire. I numeri naturali rappresentano di fatto la concezione astratta di quantità, infatti per esempio la dicitura “tre alberi” e la dicitura “tre lasagne”, per quanto rappresentino concetti totalmente diversi, posseggono un elemento chiaramente in comune, ovvero la quantità: in entrambi i casi stiamo parlando di tre oggetti.
L’insieme dei numeri naturali si indica con la lettera ℕ. Un esempio di numeri naturali è dato dalla seguente collezione di oggetti:
{1,2,5,8 … }
E così via. Notare come una collezione di oggetti si indichi con le parentesi graffe. Notare inoltre che, nell’insieme di numeri naturali, ancora non è definito il concetto di numero negativo, che quindi viene affrontato con l’insieme successivo, ovvero con l’insieme dei numeri relativi.
Adesso che abbiamo definito un insieme numerico, viene ovviamente la voglia di definire le prime operazioni. La prima operazione che definiamo è l’addizione, che tutti noi conosciamo fin da quando siamo piccoli (e notate la meraviglia della matematica: sono concetti quasi primitivi, che conosciamo, anche se non sappiamo bene come mai li conosciamo). Un esempio di addizione è la seguente:
4 + 3 = 7
Come vediamo, prendo due numeri appartenenti all’insieme dei numeri naturali e li sommo, per ottenere un terzo numero, sempre appartenente all’insieme dei numeri naturali. Possiamo prendere qualunque coppia di numeri, il numero risultato apparterrà sempre all’insieme dei numeri naturali. In matematichese possiamo scrivere:
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, 𝑐 ∈ ℕ
Che si legge: “per qualunque a e b appartenenti a ℕ, 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 con c appartenente a ℕ. Il fatto che il numero ottenuto da una somma appartenga sempre all’insieme definisce una proprietà fondamentale dell’addizione: l’addizione è una operazione interna all’insieme dei numeri naturali.
E fin qui siamo tutti bravi. Adesso però vogliamo alzare il tiro, e definire una nuova operazione, ovvero la sottrazione. Anche questa la conosciamo sin da bambini, ed un esempio è la seguente:
4 − 2 = 2
E, come direbbe De Sica, mecojoni. Fin qui ci siamo. Abbiamo preso due numeri, in questo caso 4 e 2 e li abbiamo sottratti. Il risultato è un numero che di nuovo appartiene ai numeri reali. Ma questa cosa è sempre vera? La risposta è no. La sottrazione non è una operazione interna all’insieme, ci sono situazioni in cui “usciamo” dall’insieme. Facciamo un esempio:
8 − 10 = ? ?
E qui occhio al vezzo. Sembra proprio che l’insieme dei numeri naturali non sia sufficiente. Bisogna trovare un altro insieme che ci permetta di fare sempre le sottrazioni. Eccolo qua.
Insieme dei numeri relativi (o numeri interi)
I numeri relativi (o numeri interi) rappresentano una ovvia “espansione” dei numeri naturali, infatti sono i numeri naturali però presi anche con il segno. I numeri relativi sono utili in quanto permettono di descrivere concetti più astratti, come per esempio il concetto di temperatura (ci sono -10 gradi, per esempio).
L’insieme dei numeri relativi si indica con la lettera ℤ. Un esempio di numeri relativi è dato dalla seguente collezione di oggetti:
{−1,0,1, −4, −8, … }
Risulta chiaramente una naturale espansione dei numeri naturali, dove per l’appunto aggiungiamo dei numeri “sotto lo zero”, e per riconoscerli ci mettiamo un meno davanti. Quindi una sequenza di numeri relativi è per esempio {−3, −2, −1,0,1,2,3}.
Riprendiamo la nostra cara sottrazione, ma questa volta lavoriamo in ℤ. Ebbene, proviamo a fare la sottrazione di prima:
8 − 10 = −2
Ma questa cosa è meravigliosa! La sottrazione di prima risulta definita nell’insieme dei numeri relativi. Quindi possiamo finalmente dire che la sottrazione è una operazione interna all’insieme dei numeri relativi.
Ooh. Ci siamo. Però ora voglio definire delle nuove operazioni, in particolare la moltiplicazione, che mi consente di rendere molto più compatte delle scritture che altrimenti sarebbero lunghissime. Immaginiamo di voler calcolare:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
Accidenti, piuttosto lunga da scrivere questa roba. Soprattutto perché aggiungiamo sempre il solito numero, in questo caso 5. Per quante volte lo aggiungiamo? Basta contarli: in questo caso abbiamo aggiunto dieci 5. Ci viene in aiuto la moltiplicazione, che ci consente di scrivere in maniera molto più compatta tale espressione:
5 × 10 = 50
Eh beh, molto più comodo. Da tenere presente che la moltiplicazione possiamo anche indicarla con un puntino, ovvero le due scritture:
3 × 4 3 ∙ 4
Sono totalmente equivalenti.
Notate questa bellissima cosa: poiché l’addizione è interna ai numeri naturali, anche la moltiplicazione è interna ai numeri naturali! (del resto è semplicemente una addizione molto lunga).
Scriviamo una moltiplicazione generica (in questo caso le lettere rappresentano dei numeri naturali): 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐
Ovvero noi conosciamo a, conosciamo b e troviamo come risultato c. Ma se noi conoscessimo per esempio solo b e c, come potremmo trovare a? Niente panico signori, esiste una operazione che ci permette di fare questo, e si chiama divisione. La divisione di fatto è l’operazione inversa della moltiplicazione, infatti:
𝑎 = 𝑐 𝑏
Vedete? Conoscendo solo c e b possiamo risalire ad a. Facciamo un esempio: 5 ∙ 4 = 20 →20
4 = 5
Cioè possiamo tornare indietro. Abbiamo appena definito una nuova operazione, ovvero la divisione. Come per tutte le altre operazioni vediamo se è interna a qualche insieme. Dall’esempio di prima, dividendo due numeri naturali abbiamo ottenuto un numero naturale. Facciamo un’altra prova:
20 3 =?
Ahia, questa volta siamo del gatto. Infatti, non esiste nessun numero che moltiplicato per 3 mi dia 20. La faccenda si complica, sembra che ci sia bisogno di un nuovo insieme.
Ah, una nota fondamentale: non è possibile dividere per zero. Vedremo successivamente perché. Diciamo che è una di quelle cose che fanno esplodere l’Universo. Quindi non fatelo mai. Insieme dei numeri razionali
Sembra arrivato il momento di definire un insieme in cui la divisione sia una operazione interna. Ebbene, questo insieme esiste e si chiama insieme dei numeri razionali, e si indica con la lettera ℚ (dalla parola Quoziente). Qui dentro ci infiliamo tutte le divisioni che non forniscono un risultato esatto, assieme a tutti gli altri numeri. Quindi l’insieme dei numeri razionali contiene per esempio questi numeri:
{2 3, 4 5, 10 8 , 3, − 5 6, … }
Qui dentro per l’appunto l’operazione di divisione è sempre definita, e per l’appunto la divisione è interna ai numeri razionali.
Ok, facciamo un breve recap fino a qua. Abbiamo definito quattro operazioni per ora, ovvero:
1) Addizione; 2) Sottrazione; 3) Moltiplicazione; 4) Divisione.
Vogliamo però ora definire delle altre operazioni leggermente più complesse, che permettono una scrittura molto più compatta della moltiplicazione. Immaginiamo di voler fare la seguente operazione:
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
Siamo tutti d’accordo che è una scrittura non molto compatta e piuttosto scomoda. Possiamo semplificarla notevolmente con la nozione di potenza. Possiamo contare il numero di “due” che stiamo moltiplicando e scrivere:
211= 2048
Infatti abbiamo moltiplicato undici 2 fra loro, quindi la nozione di potenza ci permette di semplificare notevolmente questa scrittura. In pratica:
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑒 𝑙𝑜 𝑚𝑜𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐ℎ𝑖𝑎𝑚𝑜 Per esempio: - 63= 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216; - (−1)4= (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 1; - (1 3) 3 =1 3⋅ 1 3⋅ 1 3= 1 27
Vedremo poi meglio le proprietà delle potenze. Tenete presente che possiamo elevare per qualunque numero (quindi anche numeri frazionari, ma vedremo meglio più avanti).
Come ben sappiamo, una volta trovata una operazione dobbiamo riuscire a tornare indietro, ovvero creare l’operazione inversa. Se abbiamo creato l’elevamento a potenza, dobbiamo creare una operazione inversa, che in questo caso si chiama radice. Immaginiamo di scrivere un elevamento a potenza:
𝑎𝑏 = 𝑐
Se conosciamo soltanto c e b possiamo trovare a, con la seguente operazione: √𝑐
𝑏
= 𝑎 Facciamo subito un esempio numerico. Sappiamo che:
42 = 16 Ne consegue che:
√16
2
= 4
Il 2 scritto in alto a sinistra è l’indice della radice. Se l’indice della radice è 2 di solito non si scrive nemmeno e si lascia solo il segno di radice.
Piccola nota storica. La radice, come operazione matematica, esiste da un tempo veramente immemorabile, ed ha una serie enorme di applicazioni pratiche. Un esempio è dato dalla lunghezza della diagonale di un quadrato. Immaginiamo di costruire un quadrato di lato 1, allora la diagonale sarà lunga esattamente √2; se il lato è lungo 3, allora la diagonale sarà lunga 3√2 e così via. In generale se un lato è lungo a, allora la diagonale del quadrato sarà lunga 𝑎√2. In altre parole il lato e la diagonale di un quadrato sono due grandezze incommensurabili: in altre parole non esiste un segmento, per quanto piccolo che sia, che riesce a dividere contemporaneamente sia la diagonale che il lato: queste due lunghezze non hanno un sottomultiplo in comune. E questa cosa è incredibile.
Ed ora, signore e signori, allacciate le cinture. Una domanda che ci si può porre è la seguente: ma che diavolo di numero è √2? Come lo posso scrivere? Beh, usando un PC posso calcolarla, e il risultato è il seguente:
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379 … Con le prime 64 cifre dopo la virgola. Attenzione: abbiamo fatto una approssimazione. Il numero continua, e continua all’infinito. E guardate, non si ripete mai lo stesso blocco di cifre. Sembra una serie casuale di numeri, ma non lo è. È solo un numero infinito che non possiamo scrivere completamente.
Fra le altre cose non possiamo scrive nessuna radice come un rapporto. In altre parole NON ESISTONO due numeri a e b tali che:
𝑎 𝑏= √2
Non c’è verso, per quanto ci possiamo sforzare. Non possiamo trovare un numero frazionario che sia uguale alla radice di due. Panico e orrore allora! Vuol dire che le radici non appartengono all’insieme dei numeri razionali, ovvero all’insieme ℚ. Dobbiamo per forza crearne un altro, di insieme.
Insieme dei numeri reali
L’insieme dei numeri reali rappresenta per ora l’insieme più vasto di numeri che utilizzeremo. L’insieme dei numeri reali racchiude al suo interno tutti i numeri finora studiati, e in più ci troviamo anche tutte le radici (che sono dei numeri irrazionali) che abbiamo visto non appartengono all’insieme ℚ.
Tale insieme ha al suo interno anche dei particolarissimi numeri, chiamati numeri trascendenti: questi numeri non possono essere scritti nemmeno come radici, e infatti hanno lettere dedicate a loro. Un esempio estremamente famoso è il pi greco (𝝅), che è dato dal rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo raggio. Di fatto il pi greco non è uguale a nessun numero irrazionale, ovvero non esiste nessuna radice che possa rappresentarlo.
In definitiva possiamo rappresentare gli insiemi numerici che abbiamo introdotto con il disegno qui accanto. Come possiamo vedere, gli insiemi sono uno dentro l’altro, stando a indicare che, per esempio, tutti i numeri naturali sono numeri reali, ma non è vero il viceversa, ovvero ci possono essere numeri reali che non sono naturali. L’insieme più esterno, ovvero quello dei numeri complessi, è un insieme ancora più grande ma di cui noi non tratteremo perché esula dal nostro contesto.
Proprietà delle operazioni fondamentali Nome della
proprietà Formula Esempio Note
Commutatività
dell’addizione 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 4 + 5 = 5 + 4 = 9 L’ordine degli addendi non conta. Associatività
dell’addizione (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) Possiamo effettuare le addizioni nell’ordine che vogliamo.
Elemento neutro
dell’addizione (0) 𝑎 + 0 = 𝑎 3 + 0 = 3 Lo zero è l’elemento neutro per l’addizione. Commutatività della
moltiplicazione 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎 5 ⋅ 3 = 3 ⋅ 5 L’ordine dei membri non conta. Associatività della
moltiplicazione (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐) (4 ⋅ 2) ⋅ 3 = 4 ⋅ (2 ⋅ 3) Possiamo effettuare le moltiplicazioni nell’ordine che vogliamo. Elemento neutro della moltiplicazione (1) 𝑎 ⋅ 1 = 𝑎 5 ⋅ 1 = 5 L’unità è l’elemento neutro della moltiplicazione. Elemento assorbente della moltiplicazione (0)
𝑎 ⋅ 0 = 0 5 ⋅ 0 = 0 Moltiplicando per zero qualunque numero si ottiene zero.
Proprietà distributiva della moltiplicazione 𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐 3 ⋅ (4 + 2) = 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 2 Possiamo “sciogliere” una parentesi moltiplicando ogni addendo nella parentesi per il numero fuori la parentesi. Prodotto di due potenze con la stessa base 𝑎𝑚⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 53⋅ 54= 57 In un prodotto si sommano semplicemente gli esponenti (se abbiamo la stessa base!) Quoziente di potenze con la stessa base 𝑎𝑚: 𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 53: 54= 5−1 In una divisione si sottraggono gli esponenti (se abbiamo la stessa base!)
Potenza di potenza (𝑎𝑛)𝑚= 𝑎𝑛⋅𝑚 (53)2 = 56 In una potenza di
potenza si moltiplicano gli esponenti. Prodotto di potenze con lo stesso esponente 𝑎𝑚⋅ 𝑏𝑚 32⋅ 42= (3 ⋅ 4)2 In un prodotto con lo stesso esponente si moltiplicano le basi e si lascia lo stesso esponente. Quoziente di potenze con lo stesso esponente
𝑎𝑚: 𝑏𝑚= (𝑎: 𝑏)𝑚 32: 42= (3: 4)2 In una divisione con lo
stesso esponente si dividono le basi e si lascia lo stesso esponente. Addizione fra frazioni con lo stesso denominatore 𝑎 𝑏+ 𝑐 𝑏= 𝑎 + 𝑐 𝑏 1 5+ 3 5= 4 5 Basta sommare i numeratori. Sottrazione fra frazioni con lo stesso denominatore 𝑎 𝑏− 𝑐 𝑏= 𝑎 − 𝑐 𝑏 1 5− 3 5= − 2 5 Basta sottrarre i numeratori. Moltiplicazione fra frazioni 𝑎 𝑏⋅ 𝑐 𝑑= 𝑎 ⋅ 𝑐 𝑏 ⋅ 𝑑 2 3⋅ 1 5= 2 ⋅ 1 3 ⋅ 5= 2 15 In un prodotto fra frazioni si moltiplicano assieme i numeri sopra e sotto la riga di frazione. Divisione fra
frazioni 𝑎𝑏:𝑑𝑐 =𝑎𝑏⋅𝑑𝑐 23:54=23⋅45=158 Una divisione tra frazioni si può trasformare in una moltiplicazione invertendo il secondo fattore. Potenza di una frazione (𝑎𝑏) 𝑛 =𝑎 𝑛 𝑏𝑛 ( 2 3) 2 =2 2 32= 4 9 Possiamo distribuire la potenza ai singoli numeri nella frazione. Potenza negativa di un numero 𝑎−𝑛= 1 𝑎𝑛 5−2= 1 52= 1 25
Può essere trasformata in una frazione con al denominatore il numero elevato alla potenza positiva. Potenza frazionaria e radici 𝑎 𝑚 𝑛 = √𝑎𝑛 𝑚 523= √53 2= √253 Il numeratore della frazione è l’esponente, mentre il denominatore è l’indice della radice.
