Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU ... ... ... ... ....
Prova scritta - 09/02/2016 Tempo a disposizione due ore e mezza.
Esercizi 1-2-3 Fisica 2, Esercizio 1-2-4 Elettromagnetismo Problema 1
Su una superficie cilindrica di raggio R = 15 cm e lunghezza 2` = 50 cm `e distribui-ta una carica uniforme σ = 1 · 10−7 C/m2.
Determinare a) la carica totale (2 punti); b) il campo elettrico in forma generale sull’asse del cilindro (asse delle x) e in particolare in xo = 0 e xo = ` (3+2 punti); c) in forma
approssimata in xo = 10` (3 punti);
Problema 2
Il circuito in figura `e a regime con l’interruttore aperto. All’istante t = 0 viene chiuso l’interrutto-re. Supponendo che la resistenza interna del gene-ratore sia trascurabile (come in figura) e che il con-densatore sia inizialmente scarico, calcolare: a) la corrente fornita dal generatore nell’istante iniziale
e a regime ( 4 punti); b) dopo quanto tempo t1 dalla chiusura dell’interruttore la tensione ai
capi del condensatore `e eguale a quella della resistenza R2 (6 punti).
(Dati del problema: R1 = 60 Ω, R2 = 40 Ω, f = 12 V , C = 1 µF )
Problema 3
Una bobina quadrata rigida di lato a = 2 cm, formata da N = 20 spire compatte e percorse da una corren-te I2 = 2 A ed `e posta ad una distanza y da un filo
indefinito percorsa da una corrente I1 = 50 A. I
ver-si delle correnti sono indicati in figura. Determinare a) l’espressione la forza magnetica F che agisce sulla bobina in funzione della distanza y (2 punti); b) Cal-colare il valore per le distanza y1 = 1 cm e y2 = 1 m
(2 punti); c) nell’ultimo caso, y2 = 1 m , dimostrare
che essendo y a l’espressione F (y) = mdB/dy `e
una buona approssimazione , dove m `e il momento magnetico della spira e B il campo del filo (3 punti); d) il lavoro necessario a portare la spira da y2 a y1, impedendo la eventuale
Problema 4
Un circuito risonante serie costituito da una capacit`a C, una induttanza L ed una resistenza R = 7 Ω, ha una frequenza di risonanza di νr = 1.5 M Hz, ed un fattore di merito di Q = 250,
viene alimentato da un generatore di tensione alternata.
a) Determinare il valore di L e C (3 punti); b) se la tensione di rottura di C vale Vr =
800 V , quale `e la massima tensione efficace del generatore che pu`o alimentare il circuito alla frequenza di risonanza? (3 punti); c) Se lasciando tutti gli altri elementi immutati, con il generatore al suo valore massimo calcolato nel punto b), viene diminuita C del 2% quale diviene la corrente efficace nel circuito? (4 punti)
Soluzioni: Problema 1
a)
La carica totale `e pari a :
Q = σ2πR2` = 47 nC b)
Ricordando che il campo elettrico di un anello di carica Q `e sull’asse: Ex=
Q 4πεo
x (x2+ R2)3/2
Un generico elemento infinitesimo del cilindro posto nel punto x ha una carica: dQ = σ2πRdx e dista dal punto generico xo− x, quindi genera un campo:
dEx = σ2πRdx 4πεo xo− x [(xo− x)2+ R2]3/2 Quindi in totale: Ex = σR 2εo Z ` −` xo− x [(xo− x)2+ R2]3/2 dx Facendo una sostituzione di variabile: y2 = (xo− x)2+ R2:
Ex = − σR 2εo Z √ (xo+`)2+R2 √ (xo−`)2+R2 dy y = σR 2εo " 1 y # √ (xo+`)2+R2 √ (xo−`)2+R2 = σR 2εo 1 q (xo− `)2 + R2 −q 1 (xo+ `)2+ R2 per xo = 0: Ex(x = 0) = 0 per x = `: Ex(x = `) = σ 2εo " 1 −√ R 4`2+ R2 # = 4026 V /m c) A grande distanza: Exa(10`) = Q 4πεo(10`)2 = 67.8 V /m non differente da quello esatto:
Exa(10`) = 68.1 V /m
Problema 2 a)
All’istante iniziale, il generatore vede il parallelo di due resistenze, il condensatore si com-porta come una resistenza nulla;
Rp =
R1R2
R1+ R2
Quindi la corrente fornita diviene:
Io =
f Rp
= 0.5 A
Mentre a regime nel ramo del condensatore non scorre corrente per cui; I∞=
f R1
= 0.2 A b)
Il generatore di Thevenin vale f e la resistenza di Thevenin R2 per cui la carica del
conden-satore segue la legge:
Q(t) = f C(1 − exp(−t/τ1))
con τ1 = R2C = 40 µs. Di conseguenza la tensione ai capi del condensatore vale:
Vc(t) = f [1 − exp(−t/τ1)]
mentre la corrente circolante vale: I2(t) = dQ dt = f R2 exp(−t/τ1) Quindi ai capi di R2: VR2 = f exp(−t/τ1) Imponendo che: f [1 − exp(−t1/τ )] = f exp(−t1/τ1) Si ha che: t1 = τ1log(2) = 28 µs Q1 = f C(1 − exp(−t1/τ1)) = 6 · 10−6 C Problema 3 a)
Il campo magnetico generato dal filo indefinito `e diretto secondo l’asse delle z e vale: Bz =
µoI1
2πy
Quindi la forza (repulsiva) che agisce sul lato AB (dalla II legge di Laplace) vale: FABy =
µoI1N I2a
2πy
Mentre la forza sui lati BC e DA `e nulla essendo il campo parallelo al filo. Mentre la forza (attrattiva) sul lato CD vale:
FCDy = −
µoI1N I2a
Quindi la forza totale agente sulla spira (repulsiva) vale: FT y = FABy+ FCDy = µoI1N I2a 2π 1 y − 1 y + a ! = µoI1N I2a 2 2πy(y + a) b) Nel caso di y = y1: Fy = 5.3 · 10−4 N Nel caso di y = y2: Fy = 1.57 · 10−7 N c)
Il momento magnetico della spira vale, tenendo conto della regola della mano destra: mz = −N I2a2 = −0.016 Am2
mentre la derivata del campo magnetico del filo vale: dBz
dy = − µoI1
2πy2
ed il loro prodotto vale:
mz dBz dy = µoI1N I2a2 2πy2 = 1.6 · 10 −7 N
Cio`e il 2% in pi`u rispetto al valore esatto. d)
Per quanto riguarda il lavoro fatto nello spostare la spira da y1 Riprendendo l’espressione
della forza: W1 = Z y2 y1 Fydy = µoI1N I2a 2π Z y2 y1 1 y − 1 y + a ! dy W1 = µoI1N I2a 2π ln y2(y1+ a) y1(y2+ a) = 8.6 · 10−6 J Problema 4 a) Detto: ωr= 2πνr = 9.4 × 106 rad/s La induttanza vale: L = QR ωr = 186 µH La capacit`a vale: C = 1 Lω2 r = 61 pF b)
La corrente massima che scorre nel circuito vale quindi: Imax = ωrCVmax = 0.46 A Quindi: Vef f = Imax√ R 2 = 2.3 V c)
Se la capacit`a diminuisce del 2% diviene:
C1 = 59 pF
Quindi la parte immaginaria non `e pi`u nulla e vale: Zi = ωrL − 1 ωrC = −36 Ω Quindi: |Z| =qZ2 i + R2 = 36 Ω Quindi: |I|ef f = Vef f |Z| = 0.062 A
