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Nome e Cognome: ………..…… No. di matricola: …….…....…Docente……… Si ricorda che le soluzioni dei problemi del compito vanno consegnate utilizzando un UNICO foglio protocollo. Problema 1 (10 punti)
In una regione dello spazio vuoto è presente un campo elettrico il cui potenziale è dato da V(x,y) = C(x2 – y2) con C una
costante. Noto il campo elettrico per il punto P1(x1,y1,z1) della regione cilindrica, si calcoli:
1. il valore della costante C e la direzione rispetto ad uno degli assi del campo elettrico nel punto P1(x1,y1,z1); (4 punti)
2. l’energia del campo elettrico contenuta in un volume cilindrico di raggio R, altezza H e con il suo asse coincidente con l’asse z di un opportuno sistema di riferimento; (4 punti)
3. la carica totale contenuta nello stesso cilindro. (2 punti) Dati: x1=1m, y1=2m, z1=0, E(P1)=22.4V/m, R=2m, H=3m. Soluzione
Utilizzando la relazione ! ! !!!, si ottengono le componenti cartesiane del campo elettrico all’interno della regione cilindrica presa in considerazione:
!! ! !!!"! !!!!!!!!!!! !!"! !!! !! Di conseguenza, il modulo del campo elettrico per ogni generico punto P vale:
! ! ! !! !!! !!!!! ! !!!! !
! ! !! !!!! !!!!!!! ! !!!!! ! !!!!!!
Prendendo un sistema di riferimento con l’asse z coincidente con l’asse della regione cilindrica, la direzione del campo elettrico E(P1) è definita dall’angolo:
! ! !!!! !!!
!!! ! !!"!!"!
intendendo con il segno meno l’angolo formato con l’asse delle x nel suo verso negativo. Si noti che questo risultato è valido per ogni valore della coordinata z.
L’energia del campo elettrico si ottiene integrando nel volume cilindrico la densità di energia: ! !! !!!!!! !!! !!! !! ! !!!!! da cui ! ! ! ! ! ! !!!!!!"#$" ! !! !!!!!!! !!!"!
Utilizzando la forma differenziale dell’equazione di Gauss, ! ! ! ! !
!! , si ottiene: ! ! !! !!! !" ! !!! !" ! !!! !" ! !! !!! ! !! ! !! per cui la carica nel cilindro è nulla.
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Problema 2 (10 punti)
Si consideri il circuito in figura. Calcolare:
1. la corrente che esce dal generatore non appena viene chiuso l'interruttore sul punto A; (2 punti)
2. la carica Q0 sul condensatore C quando si è raggiunta la situazione di
regime; (2 punti)
3. l'interruttore viene poi spostato sul terminale B. Calcolare dopo quanto tempo la carica sul condensatore è pari a Q0/10; (3 punti).
4. In quale situazione la corrente su R3 è massima e quanto vale. (3 punti).
Dati: C=1nF, V=10V, R1=10k!, R2=20 k!, R3=30 k!. Soluzione
All'istante in cui l'interruttore viene chiuso sul punto A, il condensatore è un corto circuito e quindi si ha: !!!
!
!!! !!! !!!"!"!
A regime la corrente I scorre sulla maglia esterna e la d.d.p. sul condensatore è sempre uguale a quella di R2. Essendo:
! ! !
!!! !!! !!! !!!"!"!
la corrente a regime, abbiamo:
!!! !!!!! !"!!! !!!!"!
Quando l'interruttore si sposta su B, il condensatore si scarica sulla resistenza equivalente e quindi sul parallelo di R2
con la serie delle due resistenze R1 e R3:
!!"! !! !!! !!
!!! !!! !!! !"!!!!!
La costante di tempo del circuito è uguale a:
! ! !!!"! !"!!!!!
Ricordando la legge della scarica del condensatore si ha: ! ! ! !!!!!!!!!!! ! !!!! !
!!!!"! ! !" !" ! !"!!!!!
Con il circuito chiuso in A, la corrente che passa su R3 inizialmente è la corrente I0, poi diminuisce fino al valore di
regime. Quando il circuito è chiuso in B, dobbiamo controllare se la corrente iniziale di scarica del condensatore è maggiore o minore di quella iniziale I0. Pertanto, non appena l'interruttore è spostato sulla posizione B la corrente vale:
! ! !!"!!! !" ! !
!!
! !
!!!!
Considerando che dQ(t)/dt<0, questa corrente al massimo vale I(t=0)=0.11mA. Poiché questa corrente si ripartisce nel parallelo tra R2 e la serie R1+R3, la corrente in R3 non potrà mai superare il valore della corrente iniziale I0 che quindi è
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Problema 3 (10 punti)
Una spira quadrata di lato L e resistenza R si muove con velocità costante v entrando, come illustrato in figura, in una regione di spazio in cui è presente un campo d’induzione magnetica B(x)=Axuz, dove A è
una costante, x la direzione dello spostamento della spira e uz il versore
diretto ortogonalmente al piano della spira con il verso entrante nel foglio. Inoltre, il campo B(x) è presente in una regione di lunghezza h=L/2 e la spira la attraversa completamente. Trascurando gli effetti di autoinduzione, si chiede di determinare:
1. i valori minimi e massimi della corrente che fluisce nella spira quando essa compie un passaggio completo nella regione in cui è
presente il campo d’induzione magnetica B(x) indicandone anche il verso di percorrenza; (5 punti)
2. l’espressione della forza Fext che si deve esercitare sulla spira affinché la sua velocità rimanga costante a quella data;
(2 punti)
3. il lavoro totale eseguito dalla forza Fext per trascinare la spira alla velocità costante v. (3 punti)
Dati: v=1ms-1, L=1.0m, R=5!, A=1Tm-1. Soluzione
Il flusso del campo d’induzione magnetica attraverso la superficie della spira vale: ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!"#$!!!!! ! !"#!
!
dove un è il versore normale alla superficie della spira ed è rivolto nel verso uscente del foglio. Sostituendo si ha:
! ! ! ! !!" !!!!!! !!
!!"!!!
! !
La forza elettromotrice e la corrente indotta nella spira valgono: !!! ! ! ! !! ! ! !" ! ! !! ! ! !" !" !"! !"#$!!!!! !!!!! ! ! !"#$ ! !
Durante il passaggio della spira all’interno della regione in cui è presente il campo d’induzione magnetica, la corrente ha un valore massimo quando il lato AB della spira ne sta uscendo e, successivamente, quando il lato DC ne sta uscendo. Nel primo caso il verso di percorrenza della corrente è in senso antiorario mentre, nel secondo caso, è in verso orario. Nella situazione per la quale la regione dove è presente il campo d’induzione magnetica è completamente contenuta all’interno della superficie della spira il flusso di B(x) è costante e, pertanto, sono nulli la forza elettromotrice e la corrente indotta nella spira.
Di conseguenza il valore minimo della corrente è uguale a zero e il valore massimo è uguale a: !!"# ! ! ! !!"#!
! ! !!!!!
La forza esterna che deve essere applicata affinché la velocità della spira rimanga costante deve essere, istante per istante, uguale e contraria alla forza che il campo d’induzione magnetica esercita sulla spira. Si deve avere:
!!"# ! ! !!! ! ! !!!!! ! !!!! ! !!!! !!"# ! ! !"# ! !!!
!!!!!
! !
La forza esterna Fext agisce solo quando non è nulla la forza elettromotrice indotta nella spira. Di conseguenza, essendo
la forza esterna sempre diretta come il versore ux, si ottiene che il lavoro eseguito vale:
! ! !!!!!! ! !!!" ! !!!!!!!! !! ! ! ! !"!!!"!
