Flusso del campo elettrico

Flusso del campo elettrico

FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO E TEOREMA DI GAUSS

Si considerino un campo elettrico uniforme ed una superficie piana, come mostrato in figura.

La superficie viene individuata mediante un vettore la cui direzione è ad essa perpendicolare.

Si definisce flusso, Φ, del campo elettrico, E 

, attraverso la superficie 

S , il prodotto scalare tra il vettore campo elettrico 

E ed il vettore superficie  S ^.

Φ

( 

E ^{) =}  

E S ⋅ = E⋅S⋅cos α

dove α è l’angolo formato tra il vettore superficie ed il vettore campo elettrico, nel punto in cui la linea di forza interseca la superficie.

L’unità di misura del flusso è il N⋅m

⋅C

Nel caso più generale in cui la superficie S non sia piana o il campo elettrico non sia uniforme, si suddivide la superficie S in tante piccole superfici S

, per ognuna delle quali il campo corrispondente lo indichiamo con E

. Il flusso del campo elettrico attraverso ciascuna di queste superfici è:

( )

Φ _S

  

E _i = E S _i ⋅ _i = E S _i ⋅ _i ⋅ cos α _i Il flusso totale, Φ

( 

E ), è la somma di tutti i flussi elementari ^{Φ S}

( ) ^{E  i}

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Flusso del campo elettrico

Un esempio per il calcolo del flusso del campo elettrico è quello di una carica puntiforme al centro di una superficie sferica.

Per semplicità, consideriamo una carica positiva, ma il risultato che otterremo sarà valido anche per una carica negativa. I vettori campo elettrico e superficie sono paralleli tra di loro, quindi l’angolo che essi formano è zero (cos0°=1). Inoltre sulla superficie sferica il campo elettrico ha modulo uniforme avente valore:

E = 1 4 ⋅ ⋅ ₀ ⋅

π ε

Q R ²

Il flusso totale attraverso la superficie sferica, facendo la somma di tutte le superfici S

in cui dividiamo la sfera è:

( ) ( )

Φ _S

0

1

E 4 Q

R R Q

=  ⋅ ⋅ ⋅

  

  ⋅ ⋅ ⋅ =

π ε π

ε

2

2

0

4 ,

essendo 4πR

la superficie della sfera.

Nel caso di una carica negativa, il discorso potrebbe essere ripetuto con un campo elettrico entrante, il cui flusso sarà negativo.

Il risultato ottenuto è di validità generale, come afferma il teorema di Gauss.

Teorema di Gauss per il campo elettrico

Se abbiamo diverse cariche elettriche distribuite all’interno di una superficie chiusa qualsiasi (Q

= Q

+ Q

+ Q

+ ... + Q

), allora il flusso totale attraverso la superficie è:

( )

Φ _S = Q + Q + Q + .... + Q ^{1 2 3 n Tot} = Q

E ε ₀ ε ₀

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Flusso del campo elettrico

Il contributo di eventuali cariche esterne alla superficie, invece, è nullo, perché, come evidenziato nella figura seguente, una carica esterna comporta un flusso negativo in entrata ed un flusso negativo in uscita. Si potrebbe dimostrare che i due contributi si annullano.

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