(Cognome) (Nome) (Numero di matricola)
Scritto d’esame di Analisi Matematica I
Universit`
a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria dell’Energia
Pisa, 27 gennaio 2014
La valutazione terr`a conto sia della correttezza che della completezza delle argomentazioni esposte a sostegno del risultato riportato.
Il solo risultato numerico otterr`a punteggio nullo.
I punteggi riportati sono indicativi. Il voto finale della parte scritta terr`a conto anche del risultato del test.
Tempo a disposizione: 180 minuti
Esercizio 1
Si determini il comportamento del seguente limite
lim x→0+ ex−x2/2− sin x + x 3 6 1/xα
al variare del parametro α > 0. 6pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 2
Sia data la funzione g(x) = x
2− x
x2+ 1/4.
(i) Si determinino estremo inferiore e superiore, minimo e massimo (se esistono) dell’immagine di g, ovvero dell’insieme A = {g(x) : x ∈ R}. 5pt (ii) Si tracci un grafico qualitativo della funzione f (x) = sin(g(x)) studiandone dominio, eventuali simmetrie, limiti, punti stazionari e monotonia. 4pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 3
Si consideri la successione per ricorrenza definita da an+1 = n
√
1 + nan, a1 = 1 .
(i) Si dimostri che 1 ≤ an≤ n per ogni naturale n ≥ 1. 2pt
(ii) Si dica se esiste il limite lim an e, nel caso, lo si calcoli. 3pt
(iii) Si discuta il comportamento (converge/diverge/`e indeterminata) della serie P(log an)α al variare di α > 0. 2pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14 Esercizio 4 Si consideri la funzione f (x) = x 2+ 3x − 7 x4+ x2 . (i) Si calcoli √ 3 Z 1 f (x)dx. 5pt
(ii) Si determini se l’integrale improprio
+∞
Z
0
arctan(√x)f (√x)dx
converge, diverge o `e indeterminato. 3pt (iii) Si determini se l’integrale improprio
+∞
Z
1
x sin(x)f (x)dx
converge, diverge o `e indeterminato. 2pt
