(Cognome) (Nome) (Numero di matricola)
Scritto d’esame di Analisi Matematica I
Universit`
a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria dell’Energia
Pisa, 26 luglio 2014
La valutazione terr`a conto sia della correttezza che della completezza delle argomentazioni esposte a sostegno del risultato riportato.
Il solo risultato numerico otterr`a punteggio nullo.
I punteggi riportati sono indicativi. Il voto finale della parte scritta terr`a conto anche del risultato del test.
Tempo a disposizione: 180 minuti
Esercizio 1
(i) Si determini, al variare di α ∈ R, se il limite
lim
x→0+
(1 + x)αx
x3
esiste e, nel caso, se ne calcoli il valore. 4pt (ii) Si determini, al variare di α ∈ R, se il limite
lim
x→0+
(1 + x)αx
(1 + xα)x
esiste e, nel caso, se ne calcoli il valore. 4pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 2
(i) Si dimostri che log(1 + x2) − x < 0 per ogni x > 0. 3pt (ii) Dato l’insieme
log(1 + n2)
n : n ∈ N, n > 0
se ne determinino massimo, minimo, estremo inferiore ed estremo superiore,
se esistono. 5pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 3
Si consideri la successione per ricorrenza an+1 = log(1 + nan) n + 3 n ≥ 1 a1 = 1
(i) Si determini, se esiste, lim an. 5pt
(ii) Si determini, se esiste, lim nan. 3pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 4
Si consideri la funzione
f (x) =√tan x .
(i) Si determini una primitiva di f (x). 5pt (ii) Si determini se l’integrale improprio
π/2 Z 0 f (x)dx converge o diverge. 3pt Pagina 7 di 8
