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Esercizi ed approfondimenti sul

calcolo delle spinte dinamiche

Equilibrio dinamico- soluzioni

L

Determinare la spinta dinamica sulla parete del divergete rappresentato in figura. Il divergente è lungo L. Noti i diametri D1 e D2, la portata Q e la pressione p1 nel punto B1, baricentro della condotta nella sezione 1-1.

Esercizio 1: soluzione (1/8)

Per calcolare la spinta dinamica agente sul divergente, delimitare il volume di controllo su cui verrà applicata l’equazione globale. In figura viene evidenziato il volume di

controllo scelto. Il volume di controllo è delimitato da 3 superfici, due fittizie e una reale:

• La superficie piana AB è fittizia ed è un cerchio di diametro D1 e baricentro B1; • La superficie piana DC è fittizia ed è un cerchio di diametro D2 e baricentro B2; • La terza superficie è costituita dalla superficie del divergente stesso ed è quindi una superficie solida reale.

A B C D x y

L’equazione dell’equilibrio dinamico globale è:

Identificare i contributi agenti sul volume di controllo nel caso in analisi, la loro direzione e verso (definito il sistema di riferimento come indicato in figura):

' 0     p G+I+ _ M M 0 

I Poiché il moto è stazionario

G

È la forza peso applicata nel baricentro del volume di controllo in quanto l’unica forza di volume agente nel sistema è la forza

gravitazionale. La forza peso è diretta verticalmente con verso contrario al versore j

Per quanto riguarda le componenti risultanti dagli sforzi di superficie e il flusso di

quantità di moto, esse vengono scomposte nei diversi contributi per le 3 superfici che delimitano il volume di controllo.

Superficie AB

1

p

 _{Rappresenta la risultate della componente isotropa del tensore degli sforzi}

agente sulla superficie AB. Essa è diretta normalmente la superficie ed entrante nel volume di controllo. Il punto di applicazione di tale componente è più in basso rispetto al baricentro B1 in quanto la distribuzione delle sforzo isotropo non è simmetrica sulla superficie AB.

1   1 M 1 ' M

Rappresenta la risultate dovuta alla parte deviatorica del tensore degli sforzi agenti sulla superficie AB. Essa è rappresentata come un vettore normale alla superficie AB, entrante nel volume di controllo e applicata nel baricentro B1. Ciò è dovuto al fatto che la componente tangenziale dello sforzo viscoso si annulla per simmetria.

Rappresenta la risultate dovuta al flusso di quantità di moto entrante attraverso la superficie AB. Essa è un vettore diretto come la normale alla superficie AB, quindi entrante nel volume di controllo e applicato nel baricentro B1 della superficie essendo la distribuzione di velocità simmetrica.

Rappresenta la risultate dovuta al flusso di quantità di moto turbolenta entrante attraverso la superficie AB. Essa è un vettore diretto come la normale alla superficie AB, quindi entrante nel volume di controllo e applicato nel baricentro B1 della

superficie essendo la distribuzione di velocità simmetrica. Superficie DC

Con considerazioni analoghe a quelle fatte per la superficie AB, vengono identificate le seguenti componenti agenti sulla superficie CD.

2

p

x y

0  '0  0

M M Questa superficie è solida e impermeabile al flusso quindi la quantità di

moto entrante attraverso questa superficie è nulla.

0



Tale componente è l’unica agente sulla superficie tronco-conica. Il suo modulo e la sua direzione sono incognite. Analogamente al calcolo della spinta in caso statico, è la componente legata alla spinta esercitata dal fluido sulla superficie del divergente.

0



2 p  2   M₂ M'₂ 1 p  1   1 M 1 ' M

Esercizio 1: soluzione (3/8)

Scrivere l’equazione dell’equilibrio globale evidenziando tutte le componenti individuate nello step precedente

0 1 2 1 2 1 2 '1 '2 0   _p  _p        G    _ _ M M M M

Individuare possibili semplificazioni in modo da evitare di calcolare componenti che non intervengono nell’equilibrio.

0 1 2 1 2 1 2 '1 '2 0   _p  _p        G    _ _ M M M M

Lo sforzo viscoso in direzione normale è difficilmente quantificabile in

quanto dipende dalla variazione della velocità in direzione del moto. Si

ipotizzi che nelle due superfici piane che delimitano il volume di controllo il moto del fluido possa considerarsi gradualmente variato. Quindi lo

sforzo viscoso in direzione del moto è nullo.

Sono contributi complessi da quantificare in quanto

dipendono dalla distribuzione spaziale delle fluttuazioni di velocità dovuti alla turbolenza. Si ipotizzano trascurabili sulla base di esperienze sperimentali.

Esercizio 1: soluzione (5/8)

Esplicito la relazione esistente tra e la spinta dinamica S, incognita del problema.

0 1 2 1 2

    _p  _p  

S  G   M M

0 

Proiettare le componenti di S in direzione x e y. 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

 

 



























p p x x p x p x x x y y p y p y y y

S

G

M

M

S

G

M

M

S

G

M

M















Esercizio 1: soluzione (7/8)

Calcolare modulo, direzione e verso delle componenti.

0  x G p1x





12 1

4

D

A





1x



M

2 1

V A i

1 1

ˆ

 

2x



M

1 1 Q V A  2 2

V A i

2 2

ˆ

 



22 2

4

D

A





2 2 Q V A  2 2 2

ˆ

p x

 

p A i



Dove il valore di p₂ può essere ricavato scrivendo la

conservazione dell’energia tra il punto B1 e il punto B2, ovvero:





2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 V V p V p V z z m g g g           



y

G





Wj

ˆ

1



2



1



2



0

p y p y

M

y

M

y







2 2



1 1 2 2

12

W





L D



D D



D

1 1

ˆ

p A i

Calcolare delle risultante S.



x

S



y

S



2 2



1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

ˆ

p A



p A



 

V A



 

V A i

ˆ

Wj





2 2



_x



_y

S

S

S

arctan           x y S



,

 

Esercizio 2: testo

Dato il sistema di serbatoi dato in figura determinare il livello del serbatoio di monte Zm. Disegnare qualitativamente l’andamento delle linee dei carichi totali e

piezometrica. Noti: Zv, Du,D,L,ε_1, W_p, η, γ, ν. Calcolare inoltre la spinta dinamica sul tratto di condotta evidenziato in figura e delimitato da B1 e B2. Noti: La, Lb, Lc, Zb1,Zb2,ϑ.

1) Calcolo la portata Q circolante nel sistema a partire dall’efflusso dato dalla luce posta alla base del serbatoio di valle.

3

2

V C

Q



C C

ghA

2 3 3 4 D A 



h



Zv

2) Trovo la prevalenza fornita dalla pompa alla corrente a partire dalla potenza assorbita dalla macchina e nota la sua efficienza.

p p W H Q





 

3) Trovo il livello del serbatoio di monte scrivendo il bilancio dell’energia tra monte e valle. M v c d p H H  H  H  H Dove: 2 2 2 2 1 2 4 4 1 2 2 2 1 1 2 2 1 5 2 5 1 2 8 8 0.5 0.5 2 2 8 8 M m v v c d H z H z V V Q Q H g g D g D g Q Q H J L J L D g D g                   

I due indici di resistenza sono noti dalle seguenti formule:

Re

_i



V D

i i

i

1, 2







64

Re

1

2.51

2 log

3.71

Re

i i i i i i i

moto laminare

i=1,2

moto turbolento e di transizione

D









 







_

_



_{ }

_

_

_







_

_



Risulta quindi che:

m v c d p

Z



Z

 

H

 

H

 

H

p H  2 1 0.5 2 V g 2 2 2 V g  2 1 2 V g  2 2 2 V g   ,

 

Esercizio 2: soluzione (2/2)

Calcolare della spinta dinamica sul tratto B1-B2

Isolare il volume di controllo e le superfici che delimitano il volume di controllo.



• Le superfici AB e DC sono due cerchi di diametro D₂ e con baricentro rispettivamente B1 e B2 (fittizie).

• La superficie cilindrica ABCD delimita

lateralmente il volume di controllo e corrisponde alla superficie della condotta (reale).

x y

proposte per l’esercizio 1. 0  I

G

Superficie AB p1 1 M1 M '1 Superficie DC _p2 _2 M₂ M '₂

Superficie cilindrica della condotta ABCD M0  M '0  0



0

Scrivere l’equazione globale mettendo in evidenza i contributi individuati.

0 1 2 1 2 1 2 '1 '2 0   _p  _p        G    _ _ M M M M

Semplificare l’espressione con considerazioni analoghe all’esercizio precedente.

0 1 2 1 2 1 2 '1 '2 0   _p  _p        G    _ _ M M M M

Inoltre è possibile semplificare anche le due risultati M₁ e M₂ in quanto la velocità è

uguale nelle due sezioni e di conseguenza in modulo e direzione uguali me verso opposto. Quindi:

0 1 2 1 2 1 2 '1 '2 0   _p  _p        G    _ _ M M M M

Esplicito le relazione esistente tra e S.



₀

0 1 2

    _p  _p S  G  

Proietto la spinta nella direzione x e y.

1 2 1 2













x x p x p x y y p y p y

S

G

S

G









In direzione x: 0  x G 1  p x 

p A sen i

_{B1 B1}



ˆ

2 2 1

4

B

D

A





La pressione p_B1 può essere ricavata usando la linea piezometrica precedentemente ricavata e impostando il bilancio di energia tra il punto B1 e un punto appartenente alla superficie libera del serbatoio di valle.

2 1 2 1

(

)

2

2

B B v

p

V

z

z

Lb

Lc J

g









 



2



p x



_{2 2}

ˆ

B B

p A sen i





22 2 1

4

B B

D

A







A

La pressione p_B2 può essere ricavata usando la linea piezometrica precedentemente ricavata e impostando il bilancio di energia tra il punto B2 e un punto appartenente alla superficie libera del serbatoio di valle.

2 2 2 2

(

)

2

2

B B v

p

V

z

z

Lc J

g









 

1  p y 



p A

_{B1 B1}

cos



ˆ

j

2  p y 

p A

_{B2 B2}

cos



ˆ

j

Calcolare delle risultante S.



x

S



y

S



p A sen

B1 B1





p A sen

B2 B1





i

ˆ

ˆ

Wj





2 2



_x



_y

S

S

S

arctan           x y S S

Che rappresenta l’angolo formato dal vettore S con la verticale.

 y G Wjˆ 2 2

4

D

W





Lb

In direzione y:

G 0



2 p  2   2 M 2 ' M 1 p  1   1 M lb

ESERCIZIO 3: testo

Dato il sistema di serbatoi schematizzato in figura determinare la pressione n misurata dal manometro metallico, l’efficienza della pompa e la portate circolante nel sistema Q. Disegnare qualitativamente l’andamento della linea dei carichi totali e la linea piezometrica. Noti: Qe, Zu, Zn, Zm, De, Du, Zb, L1, L2, L3,D1, D2, D3,ε₁ ,ε ₂ ,ε ₃ , Wa (potenza assorbita dalla pompa), ν, γ, β (angolo del divergente). Determinare inoltre la spinta sui due tratti di condotta evidenziati in figura e

delimitati dalle lettere B1-B2 e B3-B4, nota la, l, lb (lunghezza della linea tratteggiata in rosso tra B3 e B5), lc (lunghezza della linea tratteggiata in rosso tra B3 e B4) , Zb1. Non è necessario esplicitare il volume di controllo scelto.

La soluzione dell’esercizio è scomposta in 3 parti:

1. Calcolo della portata, dell’efficienza della pompa e dell’indicazione manometrica. Linee carico totale e piezometrica.

2. Calcolo della spinta sul tratto di condotta B1-B2

ESERCIZIO 3: soluzione (1/3)

1.1 Determinare l’indicazione manometrica dato il diametro De e nota la portata uscente dalla luce Qe.

2

2 (

/ )

1

2







_

_









 

_

_



_

_







e C v e n e n C v e

Q

C C A

g z

n

Q

n

z

g C C A





1.2 Determinare la portata uscente dalla luce Qu.

2 (

/ )





u C v u u

Q

C C A

g z

n



2

4



e e

D

A



2

4



u u

D

A



1.3 Determinare la portata circolante nel sistema.



_e



_u

1.4 Determinare la prevalenza fornita dalla pompa scrivendo il bilancio di energia tra monte e valle. 2 2 2 3 1 1 2 1 1 2 2 3 3 ( ) 1.16 ( ) 2 2 2          M V p V V V V H H m J L J L J L H g  g  g 

Dove l’unico termine incognito è . Infatti: • è noto in quanto equivalente a

• è noto in quanto corrispondente alla quota del piano dei carichi idrostatici del serbatoio di valle ovvero

• Le perdite localizzate sono note in quanto sono note le velocità , e nota la portata Q

• Le perdite distribuite sono note in quanto posso calcolare le cadenti con le seguenti equazioni. p H  M H _ZM V H



b

n

Z



1 V V₂ Re  i i 1, 2,3 i V D i   64 Re 1 2.51 2 log 3.71 Re      _{ }  _{    }    _{ }  i i i i i i i moto laminare i=1,2,3 moto turbolento e di transizione

D     3 V 2 5 8 1, 2,3   i i i Q J i D g  

1.5 Determinare l’efficienza della pompa nota la potenza assorbita.



p a

H

Q

W

 



1.6 Disegnare linea dei carichi totali e linea piezometrica.

PCI ESERCIZIO 3: soluzione (1/3)

CALCOLO DELLA SPINTA SULLA CONDOTTA B1-B2 2.1) isolare il volume di controllo:

- le superfici AB e DC sono fittizie

- il tronco di cono ABCD è la superficie del divergente reale

A B C D x y B1 _B2

0 ' ' 0

    

  _pAB  _pCD  _AB  _CD  _AB  _CD  _AB _CD 

G _{ } M M M M

ESERCIZIO 3: soluzione (2/3)

2.2) identificare i contributi partecipanti all’equilibrio globale superficie per superficie

0  I

G

Superficie AB pABABMABM 'AB Superficie DC _pCD_CDM_CDM '_CD

Superficie tronco-conica della condotta ABCD M0  M '0 0



0

2.3) Scrivere l’equazione globale mettendo in evidenza i contributi individuati.

0 ' ' 0

    

  _pAB  _pCD  _AB  _CD  _AB  _CD  _AB _CD 

G _{ } M M M M

2.4) Semplificare l’espressione con considerazioni analoghe all’esercizio 1.

2.5) Esplicitare la relazione tra S e . 0

0 pAB pCD AB CD

x x pABx pCDx ABx CDx

y y pABy pCDy ABy CDy

S

G

M

M

S

G

M

M





























2.6) scomporre la spinta in direzione x e y

2.7) determinare modulo direzione e verso delle componenti In direzione x: 2 2 1 1 1 1 1 1.16 2 2      B B M p V V z J la Z g g   _pCDx 



p A i

_{B2 CD}

ˆ

2 2

4



CD

D

A



La pressione p_B2 può essere ricavata impostando il bilancio di energia tra il punto B2 e. B1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 2        B B B B p V V V p V z m z g g g  _    0  x G _pABx 

p A i

_{B1 AB}

ˆ

2 1

4



AB

D

A



La pressione p_B1 può essere ricavata impostando il bilancio di energia tra il punto B1 e un punto appartenente alla superficie libera del serbatoio di monte.

ABx

M



2 1

V A i

1 AB

ˆ

 

CDx

M





 

₂

V A i

₂2 _CD

ˆ

In direzione y:  y G W_ABCDˆj

0

ABy

M



0

CDy

M



0



_pCDy



0



_pABy



A B C D x y B1 _B2 G 0



pCD  CD   M_CD M'_CD pAB  AB   AB M '_AB M



x

S



y

S



2 2



1



2



1 1



2 2

ˆ

B AB B CD AB CD

p A

p A

 

V A

 

V A

i

ˆ





W

_ABCD

j

2 2



_x



_y

S

S

S

arctan           x y S

ESERCIZIO 3: soluzione (3/3)

CALCOLO DELLA SPINTA SULLA CONDOTTA B3-B4 2.1) isolare il volume di controllo:

- le superfici EF e HG sono fittizie

- il tronco di cono EFGH è la superficie della condotta reale

E F G H x y

3.2) identificare i contributi partecipanti all’equilibrio globale superficie per superficie 0  I

G

Superficie EF pEFEFMEFM'EF Superficie GH _pGH_GHM_GHM'_GH

Superficie della condotta EFGH M0  M'0  0



0

2.3) Scrivere l’equazione globale mettendo in evidenza i contributi individuati.

0 ' ' 0

    

  _pEF  _pGH  _EF  _GH  _EF  _GH  _EF _GH 

G _{ } M M M M

2.4) Semplificare l’espressione ipotizzando trascurabile il contributo di trasporto di quantità di moto da flusso turbolento e il contributo di sforzo viscoso in direzione normale.

2.5) Esplicitare la relazione tra S e . 0

0 pEF pGH EF GH S    G   M M 0 ' ' 0        _pEF  _pGH  _EF  _GH  _EF  _GH  _EF _GH  G _{ } M M M M

x x pEFx pGHx EFx GHx

y y pEFy pGHy EFy GHy

S

G

M

M

S

G

M

M





























ESERCIZIO 3: soluzione (3/3)

3.6) scomporre la spinta in direzione x e y

3.7) determinare modulo direzione e verso delle componenti In direzione x: 2 2 3 3 3 3 ( ) 3 2 2 B B b p V n V z Z lb lc J g g  _         0  x G _pEFx 

p A i

_{B3 EF}

ˆ

2 3

4



EF

D

A



La pressione p_B3 può essere ricavata impostando il bilancio di energia tra il punto B3 e un punto appartenente alla superficie libera del serbatoio di valle.

EFx

M



2 3

V A i

3 EF

ˆ

 

0 _pGHx 

0

GHx

M



 y G W_EFGH ˆj

0

EFy

M



0



_pEFy



_pGHy 



p A

_{B4 GH}

ˆ

j

2 3

4



GH

D

A



La pressione p_B4 può essere ricavata impostando il bilancio di energia tra il punto B3 e. B4 2 2 3 3 4 3 3 4 3 2 2       B B B B p V p V z z lcJ g g     GHy

M



2 3 3

ˆ



 

V A

_GH

j

E F G H x y G 0



pEF  EF   EF M '_EF M B3 B2 pGH  GH   GH M '_GH M



x

S



y

S



2



3



3 3

ˆ

B EF EF

p A

 

V A

i

2 3 3 4

ˆ

(





W

_EFGH



 

V A

_GH



p A

_{B GH}

)

j

2 2



_x



_y

S

S

S

arctan           x y S