UNITÀ 1 RIPASSO E APPROFONDIMENTO DI ARGOMENTI DEL BIENNIO 1. I prodotti notevoli.
2. La scomposizione dei polinomi in fattori. 3. Le frazioni algebriche.
4. Semplificazione e operazioni con le frazioni algebriche. 5. Equazioni di primo grado.
6. I sistemi di equazioni.
7. Sistemi di primo grado con 2 equazioni in 2 incognite. 8. Sistemi di primo grado con 3 equazioni in 3 incognite.
1. I prodotti notevoli.
Sono prodotti di polinomi molto importanti perché si incontrano spesso nelle espressioni matematiche. Conviene saperli a memoria per evitare di perdere tempo nello svolgimento dei calcoli.
I prodotti notevoli sono sei:
1-somma per differenza (𝑥 + 𝑦) · (𝑥 − 𝑦) = 𝑥2− 𝑦2 2-quadrato di un binomio (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
3-cubo di un binomio (𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥3+ 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2+ 𝑦2
4-quadrato di un trinomio (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 = 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2+ 2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 5-somma per il falso quadrato col segno meno (𝑥 + 𝑦) · (𝑥2− 𝑥𝑦 + 𝑦2) = 𝑥3+ 𝑦3
6-differenza per il falso quadrato col segno più (𝑥 − 𝑦) · (𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2) = 𝑥3− 𝑦3 Esercizi vari
2. La scomposizione dei polinomi in fattori.
Scomporre un polinomio in fattori vuol dire trasformare un polinomio di grado elevato in un prodotto di polinomi di grado più basso. Per scomporre un polinomio in fattori ci sono vari metodi:
1- Raccoglimento a fattore comune totale 𝑥2+ 𝑥𝑦 = 𝑥 · (𝑥 + 𝑦)
2- Raccoglimento a fattore comune parziale 𝑥2+ 2𝑥 + 𝑥𝑦 + 2𝑦 = 𝑥(𝑥 + 2) + 𝑦(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 𝑦) 3- Uso dei prodotti notevoli 𝑥3+ 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2+ 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)3= (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) 4- Trinomio particolare di secondo grado 𝑥2+ 3𝑥 + 2 S=3 P=2 2 e 1 (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) 5- Uso del teorema di Ruffini 4𝑥3− 3𝑥2+ 2𝑥 − 3
Enunciato: se un polinomio P(x) si annulla per x=a, allora il polinomio è divisibile per x-a
Per vedere con quale valore si annulla il polinomio bisogna considerare tutti i divisori del termine noto, positivi e negativi.
Nel polinomio: 4𝑥3− 3𝑥2+ 2𝑥 − 3 i divisori del termine noto sono: ±1; ±3 𝑃(1) = 4 · 13− 3 ∙ 12+ 2 ∙ 1 − 3 = 4 − 3 + 2 − 3 = 0
Il polinomio si annulla per x=1 e perciò è divisibile per x-1
Si esegue quindi la divisione tra il polinomio dividendo 4𝑥3− 3𝑥2+ 2𝑥 − 3 con il polinomio divisore 𝑥 − 1
e si ottiene il polinomio quoziente 4𝑥2+ 𝑥 + 3
perciò il polinomio si scompone così: 4𝑥3− 3𝑥2+ 2𝑥 − 3 = (𝑥 − 1)(4𝑥2+ 𝑥 + 3)
Esercizio. Scomporre 𝑥3+ 2𝑥2− 5𝑥 − 6 = (𝑥 + 1)(𝑥2+ 𝑥 − 6) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
Scomporre 𝑥4+ 𝑥3− 11𝑥2− 9𝑥 + 18 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) La scomposizione dei polinomi in fattori serve:
per semplificare le frazioni algebriche;
per calcolare il minimo comune multiplo tra frazioni algebriche;
3. Le frazioni algebriche.
Sono frazioni che al numeratore e al denominatore invece dei numeri contengono monomi o polinomi.
Esempi: 𝑥−5 𝑥
𝑥−3 𝑥+1
𝑥 2𝑥−1
Affinché una frazione algebrica abbia significato il suo denominatore deve essere diverso da zero, altrimenti la frazione algebrica non esiste. Questa condizione che bisogna imporre si chiama condizione di esistenza CE
Per la frazione 𝑥−5
𝑥
risulta CE: 𝑥 ≠ 0
Per la frazione 𝑥−3
𝑥+1
risulta CE:
𝑥 + 1 ≠ 0 cioè 𝑥 ≠ −1 Per la frazione 𝑥
2𝑥−1
risulta CE: 2𝑥 − 1 ≠ 0 cioè 2𝑥 ≠ 1 cioè
𝑥 ≠
1 2
4. Semplificazione e operazioni con le frazioni algebriche.
Quando si opera con le frazioni algebriche, se possibile, è opportuno semplificarle per rendere più semplici i calcoli successivi.
Per semplificare una frazione algebrica si scompone in fattori il numeratore, il denominatore e si semplificano i fattori uguali che compaiono al numeratore e al denominatore.
Esempi: 𝑥+1 𝑥2−1
=
𝑥+1 (𝑥+1)(𝑥−1)=
1 𝑥−12𝑥−2 𝑥3−1
=
2(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥2+𝑥+1)=
2 𝑥2+𝑥+1L’addizione e la sottrazione con le frazioni algebriche si eseguono scomponendo i denominatori in fattori, calcolando il minimo comune multiplo e svolgendo i calcoli al numeratore.
Esempi: 2 𝑥2−1
+
5𝑥 𝑥+1=
2 (𝑥+1)(𝑥−1)+
5𝑥 𝑥+1=
2+5𝑥(𝑥−1) (𝑥+1)(𝑥−1)=
2+5𝑥2−5𝑥 (𝑥+1)(𝑥−13
𝑥
2+ 2𝑥 + 1
−
2
𝑥
2+ 𝑥
=
3
(𝑥 + 1)
2−
2
𝑥(𝑥 + 1)
=
3𝑥 − 2(𝑥 + 1)
𝑥(𝑥 + 1)
2=
3𝑥 − 2𝑥 − 2
𝑥(𝑥 + 1)
2=
𝑥 − 2
𝑥(𝑥 + 1)
2La moltiplicazione tra due frazioni algebriche sui esegue moltiplicando tra loro i numeratori e tra loro i denominatori.
La divisione tra due frazioni algebriche si esegue trasformandola in una moltiplicazione tra la prima frazione algebrica con il reciproco della seconda.
L’elevamento a potenza di una frazione algebrica si esegue elevando a potenza sia il numeratore che il denominatore.
5. Equazioni di primo grado.
Un’equazione è una uguaglianza tra due espressioni letterali che è verificata soltanto per alcuni valori della lettera. La lettera si chiama incognita.
Risolvere l’equazione significa trovare il valore dell’incognita che rende verificata l’uguaglianza. Le equazioni servono per risolvere molti problemi di aritmetica, di geometria, di fisica, di chimica e vari problemi pratici della realtà quotidiana.
Le equazioni si possono classificare in base a vari criteri. Secondo il grado si possono avere:
Equazioni di primo grado 5𝑥 − 3 = 0 Equazioni di secondo grado 𝑥2+ 5𝑥 + 6 = 0
Equazioni di terzo grado 2𝑥3− 3𝑥2+ 𝑥 − 2 = 0 e così via Secondo il numero di incognite si possono avere:
Equazioni con una incognita 5𝑥 − 3 = 0 Equazioni con due incognite 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
Equazioni con tre incognite 2𝑥 + 3𝑦 − 6𝑧 + 5 = 0 e così via Secondo la struttura si possono avere:
Equazioni in forma normale 5𝑥 − 3 = 0
Equazioni intere se l’incognita si trova solo al numeratore 𝑥+2
3
+
1
2
− 2𝑥 = 0
Equazioni fratte se l’incognita si trova anche al denominatore 𝑥+1
2𝑥
−
5𝑥−1
= 0
Equazioni letterali se oltre all’incognita contengono un’altra lettera che si chiama parametro: 3𝑥 − 2𝑎 + 7 = 0
Per esempio l’equazione: 2𝑥3+ 𝑥𝑦 − 4𝑦 = 0 è di terzo grado, con 2 incognite, in forma normale. l’equazione: 1
3𝑥
2+ 𝑥 − 4 =𝑥+1
2 è di secondo grado, con 1 incognita, intera. Secondo il numero di soluzioni si possono avere:
Equazioni determinate se hanno un numero limitato di soluzioni: 3𝑥 − 1 = 0 ; 𝑥2 = 9 Equazioni indeterminate se hanno infinite soluzioni: 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1
Equazioni impossibili se non hanno alcuna soluzione: 𝑥 + 1 = 𝑥 + 2
Qualunque equazione di qualunque grado, per risolverla, bisogna trasformarla prima in forma normale seguendo questa procedura:
Si portano tutti i termini dal secondo membro al primo membro cambiandoli di segno; Si calcola il minimo comune multiplo e si svolgono i calcoli al numeratore;
Si porta il denominatore del primo membro al secondo membro e si ottiene l’equazione in forma normale. Esempio: 1 3
+
𝑥 2=
𝑥 3− 2
; 1 3+ 𝑥 2− 𝑥 3+ 2 = 0; 2+3𝑥−2𝑥+12 6= 0;
𝑥+14 6= 0
;
𝑥 + 14 = 0Un’equazione di primo grado in forma normale si risolve subito applicando il principio di addizione e il principio di moltiplicazione.
Per esempio: 5𝑥 − 3 = 0 ; 5𝑥 = 3 ;
𝑥 =
35
Un’equazione di secondo grado in forma normale si risolve generalmente applicando delle formule e si trovano al massimo due soluzioni.
Un’equazione di grado superiore al secondo si risolve generalmente scomponendo il polinomio che si trova al primo membro in un prodotto di più polinomi di primo grado o di secondo grado. Quindi si applica la legge di annullamento del prodotto e si ottengono varie equazioni che si risolvono separatamente ottenendo al massimo tante soluzioni quanto era il grado dall’equazione.
Se l’equazione è fratta, prima di risolverla, bisogna imporre le condizioni di esistenza CE e, dopo averla risolta, bisogna controllare che le soluzioni trovate siano accettabili.
6. I sistemi di equazioni.
Un sistema di equazioni è un insieme di più equazioni in più incognite che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Per indicare che le equazioni fanno parte di un sistema, si scrivono all’interno di una parentesi graffa che si chiama simbolo di sistema.
Si chiama grado di un sistema, il prodotto dei gradi delle sue equazioni.
La soluzione di un sistema di equazioni è un insieme di numeri reali che verificano contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.
Risolvere un sistema significa trovare tutte le sue soluzioni. Un sistema si dice impossibile se non ha alcuna soluzione; si dice determinato se ha un numero ben preciso di soluzioni; si dice indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni.
Affinché un sistema sia determinato il numero delle equazioni deve essere uguale al numero delle incognite.
7. Sistemi di primo grado con due equazioni in due incognite.
Sono sistemi che si possono risolvere applicando il metodo di sostituzione.
Delle due equazioni se ne sceglie una a piacere (la più semplice) e da questa si ricava un’incognita a piacere (la più facile da ricavare). L’espressione trovata si sostituisce nell’altra equazione, che si risolve calcolando la prima incognita. Il valore trovato si sostituiscono nell’altra equazione e si ricava l’altra incognita.
Esempio. Risolvere il sistema: {3𝑥 + 2𝑦 = −4 2𝑥 + 𝑦 = 1
Conviene scegliere la seconda equazione e ricavare la y che si deve sostituire nella prima equazione:.
{3𝑥 + 2𝑦 = −4 𝑦 = 1 − 2𝑥 { 3𝑥 + 2(1 − 2𝑥) = −4 𝑦 = 1 − 2𝑥 { 3𝑥 + 2 − 4𝑥 + 4 = 0 𝑦 = 1 − 2𝑥 { −𝑥 + 6 = 0 𝑦 = 1 − 2𝑥 { 𝑥 = 6 𝑦 = 1 − 2𝑥 { 𝑥 = 6 𝑦 = 1 − 2·6 { 𝑥 = 6 𝑦 = 1 − 12 { 𝑥 = 6 𝑦 = −11
8. Sistemi di primo grado con tre equazioni in tre incognite.
Sono sistemi che si possono risolvere applicando ripetutamente il metodo di sostituzione.
Delle tre equazioni se ne sceglie una a piacere (la più semplice) e da questa si ricava un’incognita a piacere (la più facile da ricavare). L’espressione trovata si sostituisce nelle altre due equazioni, che si risolvono calcolando le prime due incognite. I valori trovati si sostituiscono nell’altra equazione e si ricava l’altra incognita.
Esempio 1. Risolvere il sistema = − + − − = + − = + − 3 1 2 2 1 3 2 z y x z y x z y x
Dalla prima equazione si ricava l’incognita x e l’espressione trovata si sostituisce nelle altre due equazioni.
(
)
= − + + − − − = + − + − + − = 3 ) 1 3 2 ( 1 2 1 3 2 2 1 3 2 z y z y z y x y z y x = − − + − + − = + + − + − + − = 0 3 1 3 2 0 1 2 2 6 4 1 3 2 z y z y z y z y z y x = − + − = + − + − = 0 4 2 0 3 4 3 1 3 2 z y z y z y xDalla terza equazione si ricava l’incognita y e l’espressione trovata si sostituisce nelle altre equazioni.
− = = + − + − = 4 2 0 3 4 3 1 3 2 z y z y z y x − = = + − − + − − = 4 2 0 3 4 ) 4 2 ( 3 1 3 ) 4 2 ( 2 z y z z z z x − = = + − − + − − = 4 2 0 3 4 12 6 1 3 8 4 z y z z z z x − = = − − = 4 2 0 9 2 7 z y z z x − = = − = 4 2 9 2 7 z y z z x − = = − = 4 2 2 9 7 z y z z x − = = − = 4 2 9 2 2 9 7 2 9 y z x − = = − = 4 9 2 9 2 14 9 y z x = = = 5 2 9 2 5 y z x
La soluzione del sistema è la terna di numeri reali scritti nell’ordine: − = 2 9 ; 5 ; 2 5 ) ; ; (x y z
9. Problemi vari che si risolvono con equazioni o con sistemi di equazioni di primo grado. Questi problemi si risolvono seguendo questa procedura:
1. si legge lentamente e attentamente il testo del problema;
2. se necessario si disegna una figura che rappresenta la situazione reale e si indicano le incognite con delle lettere;
3. si trasforma il testo del problema scritto in linguaggio comune in una equazione se bisogna ricavare un’incognita o in un sistema di più equazioni se bisogna ricavare più incognite.
4. si risolve l’equazione ottenuta o il sistema ottenuto. 5. si risponde alle domande del problema.
Esempi:
1) Risolvere il problema con una equazione: Un negoziante vende un quarto della lunghezza di una stoffa, poi ne vende i 2/3 della parte rimanente e infine i 15 metri rimasti. Calcolare la lunghezza totale che aveva il pezzo di stoffa.
Lunghezza totale stoffa = 𝑥 1 4𝑥 +
2 3∙
3
4𝑥 + 15 = 𝑥 Lunghezza totale della stoffa 𝑥 = 60 𝑚 2) Risolvere il problema con un sistema: In una settimana un cane mangia complessivamente 15,8 Kg di cibo, tra pasta e carne. Sapendo che la quantità di carne è di un chilogrammo inferiore al doppio della quantità di pasta, calcolare la quantità di carne e la quantità di pasta.
Quantità di pasta = 𝑝 Quantità di carne = 𝑐
{𝑝 + 𝑐 = 15,8 𝑐 = 2𝑝 − 1 { 𝑝 + 2𝑝 − 1 = 15,8 𝑐 = 2𝑝 − 1 { 3𝑝 − 1 = 15,8 𝑐 = 2𝑝 − 1 { 3𝑝 = 16,8 𝑐 = 2𝑝 − 1 {𝑝 = 16,8 3 = 5,6 𝑐 = 2·5,6 − 1 { 𝑝 = 5,6 𝑐 = 11,2 − 1 { 𝑝 = 5,6 𝑐 = 10,2
Quantità di pasta 𝑝 = 5,6 𝐾𝑔 Quantità di carne 𝑐 = 10,2 𝐾𝑔
3) Risolvere il problema con una equazione: Due tubi sono lunghi rispettivamente 4,68 metri e 1,44 metri. Calcolare la lunghezza da tagliare al primo tubo e saldare al secondo affinché il primo tubo diventi i quattro terzi del secondo.
4) Risolvere il problema con un sistema: In una fattoria ci sono conigli e galline. Sapendo che le teste sono 34 e le zampe sono 92, stabilire quanti sono i conigli e quante sono le galline.
5) Risolvere il problema con una equazione: Da un conto corrente si prelevano prima i 2/7 della somma, poi i 2/3 della parte rimanente e infine si prelevano i 1200 € rimasti. Stabilire quale era la somma iniziale. 6) Risolvere il problema con un sistema: Un giorno in un negozio si vendono 27 paia di pantaloni, alcuni da donna e alcuni da uomo. Uno da donna costa 75 € e uno da uomo costa 60 €. Se l’incasso totale è stato di 1800 €, stabilire quanti sono i pantaloni da donna e da uomo venduti.
7) Risolvere il problema con una equazione: Due botti contengono rispettivamente 68 litri e 14 litri di vino. Stabilire quanto vino bisogna prelevare dalla prima botte e versare nella seconda affinché il vino nella seconda botte sia uguale ai 3/4 del vino contenuto nella prima botte.
8) Risolvere il problema con un sistema: In una giornata un pasticciere ha venduto complessivamente 33 Kg di paste, tra secche e fresche. Se ogni chilogrammo di paste secche costa 14 €, ogni chilogrammo di paste fresche 12 € e l’incasso complessivo è stato di 432 €, calcolare la quantità di paste secche e fresche vendute
