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Verifica sul grafico qualitativo di una funzione

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Academic year: 2021

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(1)

Liceo “Falchi” Montopoli in Val d’Arno - Classe 5a

I - Prof. Francesco Daddi

Verifica scritta del 9 gennaio 2010

Studia le seguenti funzioni:

Esercizio 1.

f

(x) =

6 x − 2

8 − 2 x − x

2

Esercizio 2.

f

(x) =

12 x − 12

x

2

+ 4 x + 4

Esercizio 3.

f

(x) =

2 x

2

− 8

3 − 3 x

2

(2)

Liceo “Falchi” Montopoli in Val d’Arno - Classe 5aI - Prof. Francesco Daddi

Soluzione verifica scritta del 9 gennaio 2010

Esercizio 1. Studiare la funzione

f(x) = 6 x − 2 8 − 2 x − x2

Soluzione. Il dominio della funzione `e

Df = {x 6= −4 ∧ x 6= 2} ;

la funzione presenta uno zero per x = 1

3 . Studiamo ora il segno della funzione: N >0 ⇒ 6 x − 2 > 0 ⇒  x > 1 3  D >0 ⇒ 8 − 2 x − x2 >0 ⇒ {−4 < x < 2}

la funzione `e positiva per {x < −4} ∪ 1

3 < x <2 

. Poich´e il grado del numeratore `e minore del grado del denominatore, la retta y = 0 (asse x) `e asintoto orizzontale per la funzione. Le rette x= −4 e x = 2 sono asintoti verticali per la funzione.

(3)

Esercizio 2. Studiare la funzione

f(x) = 12 x − 12 x2+ 4 x + 4

Soluzione. Il dominio della funzione `e

Df = {x 6= −2} ;

la funzione presenta uno zero per x = 1 . Studiamo ora il segno della funzione: N >0 ⇒ 12 x − 12 > 0 ⇒ {x > 1}

D >0 ⇒ x2+ 4 x + 4 > 0 ⇒ {x < −2} ∪ {x > −2}

la funzione `e positiva per {x > 1}. Poich´e il grado del numeratore `e minore del grado del de-nominatore, la retta y = 0 (asse x) `e asintoto orizzontale per la funzione. La retta x = −2 `e asintoto verticale per la funzione. Per x > 1 la funzione ha un massimo assoluto.

(4)

Esercizio 3. Studiare la funzione

f(x) = 2 x2− 8 3 − 3 x2

Soluzione. Il dominio della funzione `e

Df = {x 6= −1 ∧ x 6= 1} ;

la funzione presenta due zeri per x = 2 e per x = −2 . Studiamo ora il segno della funzione: N >0 ⇒ 2 x2− 8 > 0 ⇒ {x < −2} ∪ {x > 2}

D >0 ⇒ 3 − 3 x2 >0 ⇒ {−1 < x < 1}

la funzione `e positiva per {−2 < x < −1} ∪ {1 < x < 2}. Poich´e il grado del numeratore `e uguale al grado del denominatore, la retta y = −2

3 `e asintoto orizzontale per la funzione. Le rette x= −1 e x = 1 sono asintoti verticali per la funzione. Cerchiamo l’intersezione con l’asintoto orizzontale:

2 x2− 8

3 − 3 x2 = −

2

3 ⇒ impossibile ; il grafico della funzione, perci`o, non interseca la retta y = −2

3 . In x = 0 la funzione presenta un massimo relativo.

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