VIEWS DI MERCATO: DALLA TEORIA DI MARKOWITZ AL MODELLO SVILUPPATO DA BLACK E LITTERMAN

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DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT

Corso di Laurea Magistrale in Banca Finanza Aziendale e

Mercati Finanziari

TESI DI LAUREA

Wiews di mercato:dalla teoria di Markowitz al modello

sviluppato da Black e Litterman

Candidato

Roberto Rizzo

Relatore: Professor Riccardo Cambini

2

INDICE

INTRODUZIONE……….4

CAPITOLO 1- I MODELLI PRECEDENTI A AL MODELLO DI

BLACK E LITTERMAN………..7

1.1 IL MODELLO MEDIA VARIANZA……….9

1.2 INDIVIDUAZIONE DEL PORTAFOGLIO CHE MINIMIZZA IN

ASSOLUTO IL RISCHIO………...11

1.3 FRONTIERA DEI PORTAFOGLI……….13

1.4 INDICI DI PERFORMANCE DELLE ATTIVITÀ FINANZIARIE E

FRONTIERA EFFICIENTE. ………....15

1.5 LIMITI DEL MODELLO DI MARKOWITZ………...17

1.6 IL CAPITAL ASSET PRICING MODEL……….19

1.7 LINEA DEL MERCATO DEI CAPITALI E FORMULA CAPM..20

1.8 IL MODELLO DI FAMA E FRENCH………22

1.9 INDICI DI PERFORMANCE DEL MODELLO CAPM………….22

1.10 L‟OTTIMIZZAZIONE INVERSA……….23

CAPITOLO 2 - IL MODELLO DI BLACK LITTERMAN…………...26

2.1 IL MODELLO………...28

2.2 COMBINAZIONE DELLE VIEWS DELL‟INVESTITORE CON

L‟EQUILIBRIO DI MERCATO………29

2.2.1 ESEMPIO A TRE ASSET……….30

2.3 I RENDIMENTI DI EQUILIBRIO………...32

3

2.5 LA DESCRIZIONE DI τ………..35

2.6 LA SPECIFICAZIONE DELLE VIEWS……….37

2.7 GLI ERRORI DELLE VIEWS………38

2.8 LA MATRICE P……….39

2.9 IL VETTORE Q………..40

2.10 LA MATRICE DI COVARIANZA Ω………40

2.11 PROPORZIONALE ALLA VARIANZA………...41

2.12 IL MODELLO PROPOSTO DA IDZOREK………..42

2.13 I MODELLI DI STIMA………..44

2.14 IL MODELLO MISTO DI THEIL……….45

2.15 IL METODO DI BAYES………49

2.16 MISURARE L‟IMPATTO DELLE VIEWS………...53

2.17 ESTENSIONE DEL MODELLO AI CASI IN CUI LE VIEWS

DELL‟INVESTITORE SONO ERRATE O PARZIALMENTE

ERRATE………..56

2.18 Il CALCOLO DEL PORTAFOGLIO CON L‟ALLOCAZIONE

CORRENTE E‟ LA DISTRIBUZINE A PRIORI………..57

2.19 I COSTI DI TRANSAZIONE DEL PORTAFOGLIO

AGGREGATO………....59

2.20 PORTAFOGLI OTTIMALI………...…62

CAPITOLO 3- APPLICAZIONDE DEL MODELLO DI BLACK

LITTERMAN AD UN PORTAFOGLIO DI TITOLI AZIONARI…63

3.1 LA COMPOSIZIONE DEL PORTAFOGLIO………64

4

3.3 RENDIMENTI ATTESI E PORTAFOGLIO OTTIMO SECONDO

B&L……….78

CAPITOLO 4 - ALTRI MODELLI DÌ OTTIMIZZAZIONE E

GESTIONE DEL PORTAFOGLIO………81

4.1 IL MODELLO MEAN ABSOLUTE DEVIATION ………..84

4.1.1VANTAGGI DEL MODELLO………..85

4.2 MODELLO DEL CVAR………86

4.3 DEFINIZIONE DEL VAR……….87

4.4 FORMULAZIONE DEL CVAR………88

5 INTRODUZIONE

La gestione del portafoglio è la scienza del prendere decisioni riguardo al mix e alla politica degli investimenti, ad armonizzare gli investimenti con gli obiettivi, assegnare risorse agli individui e alle istituzioni e a bilanciare il rischio rispetto alle performance. La gestione del portafoglio riguarda la determinazione dei punti di forza, delle debolezze, delle opportunità e delle minacce nella scelta tra obbligazione ed azioni , tra aree geografiche nazionali o internazionali, della crescita rispetto alla rischio e molti altri trade-off incontrati nel tentativo di massimizzare il rendimento a un certo livello di rischio. La chiave per una gestione efficace del portafoglio è il mix di attività a lungo termine. L'allocazione degli asset è basata sulla comprensione che i diversi tipi di attività non si muovono tutti nella stessa direzione, e sul fatto che alcuni sono più volatili di altri. L'asset allocation cerca di ottimizzare il profilo rischio-rendimento di un investitore investendo in un mix di attività che hanno una certa correlazione tra loro. Gli investitori con un profilo più aggressivo possono pesare il loro portafoglio verso investimenti più volatili. Gli investitori con un profilo più conservatore possono pesare il proprio portafoglio verso investimenti più stabili. L'unica certezza sugli investimenti è che è impossibile prevedere costantemente i guadagni e le perdite, quindi l'approccio prudente è quello di creare un cesto di investimenti che forniscano un'ampia esposizione all'interno di una classe di asset. La diversificazione è la diffusione del rischio gioca un ruolo molto importante nella costruzione e nella ricomposizione portafogli all'interno di una classe di asset. Poiché è difficile sapere quale particolare sottoinsieme di classi o settori di attività è probabile che abbia un rendimento superiore rispetto l'altra, la diversificazione cerca di catturare i rendimenti di tutti i settori nel tempo, ma con una minore volatilità in una sola volta. Una corretta diversificazione avviene attraverso diverse classi di titoli, settori dell'economia e delle regioni geografiche.

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È importante mantenere il mix di asset che meglio rifletta il profilo di rischio / rendimento di un investitore. Altrimenti, i movimenti dei mercati potrebbero esporre il portafoglio a un rischio maggiore o a ridurre le opportunità di rendimento. Ad esempio, un portafoglio che inizia con un 70% in azioni e valore di titoli a reddito fisso del 30% potrebbe, attraverso un rally di mercato esteso, passare ad un'assegnazione di 80/20 che espone il portafoglio a un rischio maggiore di quello che l'investitore può tollerare. Il riequilibrio comporta quasi sempre la vendita di titoli a basso costo / basso valore e la ridistribuzione dei proventi in titoli a basso prezzo / ad alto valore. L'iterazione annuale del ribilanciamento consente agli investitori di acquisire guadagni e di ampliare l'opportunità di crescita nei settori ad alto potenziale pur mantenendo il portafoglio allineato con il profilo di rischio / rendimento dell'investitore.

Questa tesi ha lo scopo di presentare le diverse teorie di gestione ed ottimizzazione del portafoglio che sono state sviluppate a partire dal dopo guerra fino ad oggi. Una delle prime teorie e maggiormente famosa è quella sviluppata dall‟economista americano Markowitz, teoria dalla quale partirà la nostra analisi. Egli ha introdotto un concetto di ottimizzazione media-varianza nel suo articolo di Selezione del portafoglio. Il modello delineato era destinato ad assistere gli investitori nello sforzo di costruire i portafogli ottimali basati su dati finanziari storici. Il suo contributo sarebbe stato poi considerato il fondamento di quello che oggi è conosciuta come la

Modern Portfolio Theory. L'approccio di utilizzare l'ottimizzazione media

di varianze per costruire i portafogli ottimali ha ricevuto grande meriti da parte degli accademici, il metodo non ha influenzato gli stessi professionisti nello stesso modo. L'approccio ha avuto diversi problemi che hanno reso limitate le applicazioni pratiche. Il modello richiede per esempio agli investitori di assegnare opinioni esatte per tutte le attività. Questa assunzione è poco realistica, dal momento che i gestori di portafoglio solitamente seguono solo un piccolo numero di titoli. I pesi di portafoglio risultanti sono altresì estremamente sensibili a piccole

7

variazioni degli input dei rendimenti attesi. Black e Litterman negli anni novanta lavoravano per la grande banca di investimento americana Goldman Sachs e proprio all‟interno della stessa svilupparono un modello di ottimizzazione del portafoglio. Il modello BL si basa sullo stesso approccio di ottimizzazione suggerito da Markowitz, ma con un diverso set di rendimenti attesi. Invece di utilizzare i rendimenti storici come chiave per i futuri rendimenti attesi, Black e Litterman hanno suggerito l'utilizzo dei rendimenti di equilibrio del mercato, con le nozioni del CAPM e Sharpe (1964) come riferimento.

Quindi nei primi due capitoli verranno presentate le diverse teorie mentre nel terzo verrà effettuata un applicazione di tali modelli.

La tesi terminerà con un breve riferimento ad ulteriori modelli di ottimizzazione del portafoglio.

9

CAPITOLO 1- I modelli precedenti a al modello di Black e

Litterman

In questo primo capitolo viene trattato il modello di Markowitz che è il precursore dei successivi modelli relativi alla gestione di portafogli finanziari, modello sviluppato agli inizi degli anni cinquanta e considerato uno dei punti di partenza della finanza moderna. In questo capitolo vengono enunciate le ipotesi su cui si basa il modello e come avviene il processo di selezione del portafoglio ottimo per l‟investitore. Il modello media-varianza ha anche un‟importanza pratica dal momento che, tramite adeguate tecniche statistiche, le medie, le varianze e le covarianze. Verrà altresì trattata la teoria del Capital Asset Pricing Model, modello successivo a quello sviluppato nella teoria di Markowitz.Verranno altresì enunciate le ipotesi su cui si basa questo modello insieme all‟illustrazione delle principali espressioni che sono alla base del modello. Alla trattazione analitica verrà effettuata una presentazione grafica dei modelli che caratterizzano tali teorie. Inoltre verranno presi in considerazione anche i principali indici di performance per entrambi le teorie. Concluderemo il capitolo presentando il teorema della ottimizzazione sviluppato dall‟economista Sharpe durante gli studi sul CAPM , che sarà di utilità nei prossimi capitoli quando approfondiremo il modello di B-L.

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1.1 Il modello media varianza

Cominciamo la nostra analisi prendendo in considerazione le preferenze degli investitori. In particolare, assumeremo che i soggetti, nelle scelte dei titoli finanziari da inserire nei loro portafogli di investimento, preferiscano un rendimento atteso più elevato con un livello di rischio basso(cioè siamo avversi al rischio). In tali circostanze, e sulla base di certe ipotesi che analizzeremo, il problema di scelta del portafoglio ottimo di investimento può essere espresso in termini di massimizzazione di una funzione di utilità che dipende esclusivamente dalla media e dalla varianza dei rendimenti dei vari possibili portafogli di titoli. Nell‟ambito di tale modello, infatti, la media e la varianza dei rendimenti esprimono le aspettative degli investitori, rispettivamente, sul rendimento e sul rischio dei vari portafogli e sono quindi tutte le informazioni che servono loro per effettuare la scelta del portafoglio ottimale. Le scelte degli investitori che studieremo in questo capitolo, quindi, possono essere lette in questi termini: presa conoscenza, tramite le informazioni disponibili, delle medie (rendimenti attesi) e delle varianze (rischi) dei diversi titoli finanziari, gli investitori ne scelgono la combinazione

(portafoglio) che meglio soddisfa le loro preferenze. Le ipotesi fondamentali della teoria di Markowitz sono:

- gli investitori selezionano i portafogli sulla base di dueparametri, il rendimento medio atteso e il rischio atteso;

- orizzonte temporale è uniperiodale;

- il mercato è perfettamente concorrenziale;

- gli investitori hanno come obiettivo la massimizzazione della richiezza finale e sono avversi al rischio.

Per generare il portafoglio ottimo abbiamo bisogno dei redimenti attesi e delle varianze di tutti i titoli oltre alle covarianze tra gli stessi.

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Ora definiamo con P un generico portafoglio di titoli o attività finanziarie (cioè un insieme di diversi titoli o attività finanziarie possedute da un investitore). Il portafoglio P può essere pensato come un vettore (x1, x2, ..., xn), dove xi rappresenta la quantità del titolo generico i presente nel

portafoglio (con n titoli a disposizione su cui poter investire). Immaginiamo poi che le preferenze degli investitori (avversi al rischio) rispetto ai vari portafogli siano rappresentate dalla seguente funzione di utilità:

U = U (µP , σ2

p

)

dove µP =E [rP ] rappresenta il rendimento atteso del portafoglio P (con rP il rendimento effettivo del portafoglio) σ2

p

=E[(rP−µP)2] è la varianza del

rendimento del portafoglio. La varianza del portafoglio viene interpretata come misura di rischio a cui è sottoposto l‟investitore che acquista il portafoglio. Poiché stiamo assumendo che gli investitori siano avversi al rischio, avremo che la funzione V è crescente in µP (maggiore è il rendimento atteso di P maggiore è l‟utilità associata a quel portafoglio) e decrescente nella varianza.

Figura 1 : Curve di infifferenza dell'investitore nel modello media varianza. Fonte:Note di studio su Economia dei Mercati Finanziari. Davide Fiaschi e Nicola Mechheri.

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1.2 Individuazione del portafoglio che minimizza in assoluto

il rischio

Prendiamo in esame il caso in cui l‟investitore abbia come obiettivo esclusivo la minimizzazione del rischio del portafoglio in esame disinteressandosi del rendimento atteso, ossia la minimizzazione della varianza. Supponiamo che il nostro portafoglio sia costituito da due titoli (i,j,k) avremo il seguente problema da risolvere:

µ

p

= iµ

i

+jµ

j

;

σ

2

p

= i

2

σ

2i

+ j

2

σ

2j

+ 2ijσ

ij

,

(dove

σij

rappresenta la covarianza tra il titolo i e j).

Ora è utile calcolarci il coefficiente di correlazione tra i rendimenti dei due titoli in considerazione.

ρ= σ

ij

/ σ

i

σ

j.

Quindi il nostro obiettivo consiste nel minimizzare l‟espressione σ2p ,processo

effettuato tramite il calcolo differenziale. In questo modello spesso vengono inseriti dei vincoli di budget che impone che vengano investite tutte le risorse messe a disposizione, ossia che la somma dei pesi dei titoli sia pari ad uno. Altri vincoli potrebbero essere quelli di non negatività dei pesi per evitare posizioni corte. Tenendo conto che il nostro portafoglio è composto da due attività abbiamo che : i=1-k , quindi il nostro obiettivo diventa il seguente:

min(i) σ

2 p

= i

2

σ

2i

+ (1-i)

2

σ

2j

+ 2i(1-i) σ

ij

Calcolando la derivata di

σ

2p rispetto ad i ed uguagliando a zero otteniamo il

suo valore ottimo:

) 2 /( ) ( * _k2 _{ki i k}2 _i2 _{ik i k} k i          

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Quindi il parametro i* rappresenta la quotata del titolo i che minimizza il rischio del portafoglio. Utilizzando lo stesso procedimento si ottiene un risultato speculare per il titolo k detenuto in portafoglio.

Possiamo applicare la formula cosi ottenuta a tre casi particolari , variando volta per volta il coefficiente di correlazione tra i due titoli. Nello specifico vediamo che risultati otteniamo nel caso in cui il coefficiente di correlazione sia pari ad 1,-1 e 0. Nel caso in cui i due titoli hanno una correlazione perfettamente negativa(P12=-1) tramite un‟opportuna diversificazione di

portafoglio è possibile azzerare il rischio di investimento nonostante i singoli titoli presentino un certo grado di rischiosità. Mentre se i due titoli anno una correlazione nulla il rischio associato al portafoglio (ottimo) diversificato è inferiore al rischio associato all‟investimento in un solo titolo. In fine nel caso di perfetta correlazione positiva con un indice di correlazione pari all‟unità avremo un rischio associato al portafoglio compreso nel intervallo delle varianze tra i due titoli; quindi in questo caso non è possibile sfruttare la diversificazione per ridurre il rischio associato al portafoglio.

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1.3 Frontiera dei portafogli

La frontiera dei portafogli individua tutti i portafogli che consentono all‟investitore di ottenere un certo tasso atteso di rendimento al rischio più basso1.

Figura 2:Frontiera dei portafogli con due titoli rischiosi sul piano varianza-rendimento

Nella figura 2 i punti P2 e P1 rappresentano i portafogli in cui è allocata la disponibilità finanziaria dell‟investitore. Ogni punto sulla curva rappresenta un possibile portafoglio che consente di ottenere un dato rendimento atteso al rischio più basso. Un'altra nozione importante è quella di portafoglio efficiente :un portafoglio si dice tale se massimizza il tasso atteso di rendimento per ogni dato livello di rischio.

Ora è possibile estendere il modello anche a casi in cui il numero dei titoli in portafoglio e maggiore di due , in questo caso avremo una frontiera efficiente come la seguente.

1

Note di studio su Economia dei Mercati Finanziari ,Davide Fiaschi e Nicola Meccheri Dipartimento di Economia e Management Università di Pisa.

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Figura 3

Da notare che l‟insieme dei portafogli efficenti coincide con il tratto crescente della frontiera efficiente. Quindi in base al numero dei titoli che abbiamo in portafoglio tramite un adeguata combinazione otterremo sempre una frontiera simile a quella rappresentata nelle figure due e tre.

Questo modello può essere analizzato anche nel caso in cui noi inseriamo nel portafoglio di investimento un titolo free-risk.

Figura 4Frontiera dei portafogli efficienti con titoli rischiosi ed un titolo privo di rischio, Fiaschi ,Note di Economia Finanziaria

Per portafogli di investimento in cui sono presenti attività rischiose ed un attività free-risk , vale sempre la relazione lineare tra il tasso atteso di rendimento e la deviazione standard ,ossia il rischio del portafoglio. In presenza di titolo senza rischio la frontiera dei portafogli efficienti è la semiretta inclinata positivamente che origina dal portafoglio senza rischio P 0

16

1.4

Indici di performance delle attività finanziarie e

frontiera efficiente.

La frontiera dei portafogli può essere utilizzata per definirla performance di un attività finanziaria o di un portafoglio contenete più titoli simultaneamente. Sono stati introdotti diversi indici per misurare la performance di un attività tenendo conto sia del rendimento atteso che della sua rischiosità.

Un indice molto importante è quello ideato dal economista William Sharpe , che in relazione all‟attività i-esima è definito come :

i i

i r

s  (



 ₀)/



Esso è un indicatore che misura l‟extra-rendimento, rispetto al tasso risk free, realizzato da un portafoglio (o da un fondo) per unità di rischio complessivo sopportato. µ_i rappresenta il rendimento medio del portafoglio gestitoe r₀

rappresenta il rendimento medio dell‟attivita free risk e σi è la deviazione

standard del portafoglio (ossia il rischio complessivo dell‟investimento nel portafoglio). La preferenza è per le attività che presentano un valore più elevato dell‟indice di Sharpe. L‟indice di Sharpe non è adatto a selezionare portafogli (o fondi comuni) alternativi, mentre è adatto a valutare la bontà complessiva della performance del portafoglio totale di un investitore.

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Ad esempio nella figura dell‟indice, il portafoglio P1 ha un rendimento maggiore di P2, ed un livello maggiore di rischio. Se valutiamo tramite l‟indice di Sharpe i due portafogli P2 risulta preferito rispetto P1. Ciò è facilmente intuibile considerando anche che l‟indice di Sharpe non è altro che l‟inclinazione della semiretta che origina dall‟asse delle ordinate

in corrispondenza di r0, il tasso di rendimento del titolo privo di rischio, e

passante per il particolare portafoglio considerato. Visto che il portafoglio P2 è posizionato su una semiretta maggiormente inclinata di quella su cui si colloca P1, in base all‟indice di Sharpe, la performance di P2 è migliore a quella di P1.

L‟indice di Modigliani fa parte degli indicatori denominati “risk duste

performance”. Differentemente dall‟indice di Sharpe, l‟indice in oggetto ha lo scopo di misurare e confrontare la performance di due o più fondi con lo stesso benchmark, considerando il medesimo livello di rischio. In sostanza, la volatilità dei fondi oggetto del confronto viene fatta variare (solitamente viene allineata alla volatilità del benchmark) e successivamente ricalcolato il rendimento generato nel periodo di osservazione. Lo scopo è quello di evidenziare quale fondo ha ottenuto i migliori risultati a parità di rischio.

RAP

i

=r

0

+ σ

bench

(µ

i

-r

o

)/σ

i

Figura 6 Indice di Modigliani, Fiaschi-Machieri

Si evince che il RAP massimo viene raggiunto per i portafogli localizzati sulla frontiera efficiente, quindi, anche questo indice può essere utilizzato ai fini di selezione.

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1.5 Limiti del modello di Markowitz

Il modello presentato ha mostrato nel tempo diversi punti di forza e di debolezza , perciò nel tempo si sono sviluppati modelli che hanno cercato di risolvere tali limiti. Il punto di forza del contributo di Markowitz è l‟aver stabilito una relazione tra rischio e rendimento atteso, l‟aver individuato la figura dell‟investitore razionale nell‟obiettivo di massimizzazione dell‟utilità attesa e l‟aver identificato l‟obiettivo finale di realizzazione dei portafogli efficienti.

Per quanto riguarda i limiti , ne elenchiamo alcuni, tra i principali:

 Elevata sensibilità dell‟output ai dati di input utilizzati. Il risultato ottenuto (il portafoglio ottimo) è fortemente instabile, in quanto legato a doppio filo ai dati storici utilizzati per la stima del rendimento atteso e del rischio degli asset presenti nel mercato. Una lieve modifica di tali dati (aggiornamento delle serie storiche utilizzate, o inserimento di altri titoli) determina una fluttuazione considerevole degli asset da inserire nel portafoglio ottimo e dei loro pesi nell‟aggregato.

 Generazione di soluzioni estreme. Spesso l‟ottimizzazione di Markowitz fornisce soluzioni d‟angolo;

 L‟utilizzo della varianza come misura di rischio del portafoglio è criticabile perche non permette di definire un livello di perdita massimo;

 Quantità dei dati da gestire in ottimizzazione. Il numero dei parametri da stimare cresce con la dimensione del portafoglio, in maniera molto più che proporzionale: se consideriamo ad esempio 100 titoli, per sviluppare il modello è necessario che vengano stimati 100 rendimenti attesi, 1‟00 varianze e 10000 covarianze;

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 Massimizzazione degli errori di stima. L‟ottimizzazione alla Markowitz produce la massimizzazione dei rendimenti, ma essa porta inevitabilmente con sé la massimizzazione degli errori di stima.

 Esclusione di attività valide. La logica dell‟ottimizzazione spinta tende ad escludere totalmente asset o mercati di poco meno redditizi (a parità di rischio) di altri, già selezionati: se A è l‟asset efficiente (massimizza il rendimento con il minimo rischio), l‟ottimizzatore “punterà” tutto su tale asset ed escluderà un eventuale mercato B, che a parità di rischio presenti un rendimento atteso di poco inferiore.

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1.6 Il Capital Asset Pricing Model

Il CAPM (Capital Asset Pricing Model) è un modello matematico della teoria di portafoglio (H. Markowitz) pubblicato da William Sharpe nel 1964, che determina una relazione tra il rendimento di un titolo e la sua rischiosità, misurata tramite un unico fattore di rischio, detto beta.

Nel modello media-varianza, gli investitori, nel decidere i loro portafogli di investimento, considerano i prezzi e i rendimenti attesi delle singole attività finanziarie come dati. In altri termini, il modello media-varianzia non dice niente su come si formano sul mercato i prezzi (e i rendimenti attesi) dei singoli titoli. Il modello CAP, che analizzeremo in questo capitolo, si propone invece di spiegare proprio come si formano, in equilibrio i rendimenti attesi delle attività finanziarie.

Il CAPM si basa su diverse ipotesi che sono alla base del modello:

 il mercato è atomistico, non esistono barriere alla possibilità di investire, tutti hanno le medesime opportunità anche se l‟ammontare della ricchezza disponibile differisce tra gli individui;

 il mercato è perfetto, ossia le informazioni sono liberamente ed istantaneamente disponibili agli operatori;

 possibilità di concedere ed ottenere prestiti (senza limite) ad un unico tasso di interesse privo di rischio;

 le aspettative degli investitori sono omogenee, ossia essi hanno le medesime percezioni circa i rendimenti attesi, le varianze e le covarianze: quindi la frontiera è unica e valida per tutti;

 gli investitori ambiscono alla massimizzazione della ricchezza finale e sono avversi al rischio;

 le attività sono perfettamente divisibili, non esistono costi di transazione e tasse.

Le precedenti ipotesi consentono agli investitori, noti i valori di rendimento atteso, deviazione standard e covarianza dei titoli, di disegnare un identico insieme concavo (in virtù della omogeneità delle aspettative) e di scegliere i

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portafogli efficienti. Essendo il CAPM un modello di equilibrio di mercato tutti gli investitori giungeranno alla medesima scelta.

1.7 Linea del mercato dei capitali e formula CAPM

La linea del mercato dei capitali, esprime la relazione di equilibrio tra il rendi- mento atteso e il rischio (deviazione standard) dei portafogli

efficienti2.Un‟altra nozione importante è quella di portafoglio di mercato ,che è quello composto da tutti i titoli rischiosi presenti sul mercato dove le quote di ciascun titolo sono quelle detenute in equilibrio dal mercato nel suo complesso. L‟equazione fondamentale alla base del modello è la seguente:

2 0 ( ) / ) (r_i r _m r_{f mi m} E  









Dove:

E(ri) è il rendimento atteso del asset rischioso i;

rf è il rendimento del titolo risk free;

µm rendimento atteso del portafoglio di mercato

definiamo il parametro beta:







im

/



m2

la formula può essere riscritta nel modo più diffuso: E(r)r_f (_m r_f). La relazione espressa da questa ultima formula è nota come Security Market Line , ed esprime la relazione di equilibrio tra il rendimento atteso e il rischio delle singole attività finanziarie, dove il rischio è espresso dal beta delle attività. Dalla formula si nota come vige una relazione lineare tra il rendimento dell‟asset risk free ed il rischio. Il premio per il rischio di un portafoglio è funzione lineare del coefficiente e del premio per il rischio del portafoglio di mercato. Si avrà dunque un premio del singolo asset pari a

β*(µ

m

-r

f

) .

2

22

È possibile, dunque, osservare:

- un uguale a zero corrisponde ad un titolo privo di rischio il cui rendimento è pari a rf ;

- un uguale ad uno corrisponde al rendimento del portafoglio di mercato. In questa situazione il rendimento atteso sarà pari a µm .

Figura 7Rappresentazione grafica del CAPM

Il valore (µm - r0 ) rappresenta il rendimento in eccesso sul tasso privo di

rischio (excess returns). Il CAPM permette di definire il valore di un‟attività in funzione del suo rischio non diversificabile .Gli individui essendo avversi al rischio non investirebbero mai in titoli rischiosi se l‟extra rendimento fosse nullo. Nel mercato deve esistere almeno un titolo con rendimento superiore a quello privo di rischio altrimenti, tutti gli investitori investirebbero soltanto sul titolo privo di rischio.

Ora tramite alcuni semplici calcoli è possibile ricavare i prezzi di equilibrio delle attività in esame, partendo dalla formula per il calcolo del tasso atteso di rendimento per una generica attività i:

i i i

i E v p p

r

E( )( ( ) )/ , e sostituendola nella formula della SML otterremo il seguente risultato:

23 ) ( 1 / ) (v r r₀ E p_i  _i  _f _i _m .

Quindi in equilibrio il prezzo dell‟attività i deve essere pari al totale dei suoi playoff attesi scontato per il tasso del titolo privo di rischio sommato all‟eccesso di rendimento del titolo i ponderato per il suo beta.

1.8 IL MODELLO DI FAMA FRENCH

Il CAPM ha subito diverse critiche e l‟idea che il beta non fosse l‟unico fattore in grado di spiegare i rendimenti dei titoli azionari, ha preso sempre più corpo. French e Fama hanno spiegato (e statisticamente dimostrato sul mercato azionario USA) che le variabili sfruttabili sul mercato azionario per calibrare i rendimenti attesi di portafoglio sono tre:

1) Il premio per il rischio di mercato

2) La dimensione media delle società oggetto d'investimento

3) Il grado di sovra-sottovalutazione delle società oggetto d'investimento, misurato dal rapporto BE/ME (rapporto tra valore contabile e valore di mercato)

R

p

=α+β

1

R

M

+β

2

(ME) + β

3

(BE/ME)

La prima variabile è la stessa contemplata nel CAPM. In base alla seconda variabile, i rendimenti dei portafogli tendono a diminuire man mano che aumenta la dimensione

media delle società oggetto d'investimento: in questo modo sarebbe possibile lucrare un extrarendimento rispetto al premio per il rischio globale del mercato azionario privilegiando investimenti in società piccole e medie.

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1.9 INDICI DI PERFORMANCE DEL MODELLO CAPM

Ora vedremo i principali indici di performance utilizzati nella formulazione del CAPM.

Un primo è l‟indice di Treynor : ti = (µi-rf ) / βi ,tale indice esprime il premio

per il rischio dell‟attività considerata normalizzato per il rischio dell‟attività in termini del suo beta.

Un altro indice molto diffuso è quello di Jesen cosi formulato: ) ( 0 i m f i i r r J 



 







L‟Alfa di Jensen rientra tra gli indici di rendimento "risk-adjusted" e misura il rendimento incrementale o extrarendimento che un fondo di investimento ha prodotto rispetto alla redditività che avrebbe dovuto offrire sulla base del suo livello di rischio sistemico.

Se si considera il rischio sistemico beta del fondo e pertanto la correlazione tra il rendimento del fondo e quello del benchmark di riferimento, i fondi che presentano un valore dell‟alfa di Jensen elevato hanno prodotto un rendimento maggiore rispetto a quello che avrebbero dovuto registrare sulla base del solo rischio sistemico.

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1.10 L’OTTIMIZZAZIONE INVERSA

In questo ultimo paragrafo del capitolo , introduciamo il concetto di ottimizzazione inversa dandone una breve trattazione analitica; essa è una derivazione dal modello CAPM il cui obiettivo è quello di calcolare i rendimenti attesi in via implicita attraverso la conoscenza di alcuni parametri. Assunzione alla base dell‟ottimizzazione inversa è che il portafoglio ottimo sia quello di mercato.

Sharpe , l‟ideatore del procedimento in un suo articolo3

definisce il portafoglio ottimo come la somma dei seguenti parametri : rendimento atteso , rischio, correlazioni e coefficiente di avversione al rischio;

considerando il portafoglio di mercato come quello ottimo, è possibile ottenere indirettamente i suoi rendimenti attesi. Ora per concludere si fornisce un breve trattazione analitica dell‟argomento in esame:



  N j j j m w r r 1 f i i



E

(

r

)



r



)

)

(

(

_{m f} i i





E

r



r





   N Ii r j j i f m i E r r r r w 1 2 / ) , cov( ) ) ( (





w   



Dove ∑ matrice varianza covarianza cosi definita:

3 _{Sharpe W.F. (2007), “Expected Utility Asset Allocation”, Financial Analysts Jornual, Vol 63, No. 5, pp} 18

26

















)

,

cov(

)...

,

cov(

)

,

cov(

)....

cov(

1 1 , 1 ₁ n m m n r

r

r

r

r

r

r

r

Dove:

Π è il vettore degli extra rendimenti di equilibrio ( Nx1 vettore colonna) δ vettore di avversione al rischio.

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CAPITOLO 2 - IL MODELLO DI BLACK LITTERMAN

Il modello Black-Litterman fu pubblicato per la prima volta da Fischer Black e Robert Litterman di Goldman Sachs . Il loro documento è stato pubblicato nel Journal of Fixed Income nel 1991. Un documento più lungo e ricco è stato pubblicato nel 1992 sul Journal of Financial Analysts (FAJ). Quest'ultimo articolo è stato poi ripubblicato dalla FAJ a metà degli anni '90. Il modello è molto articolato e consente una scelta molto più penetrante del portafoglio, a differenza di quello classico di ottimizzazione media-varianza di Markowitz produce. In pratica, l'ottimizzazione media di varianze produce allocazioni di portafoglio non intuitive ed estreme, che sono molto sensibili alle variazioni degli ingressi. Infatti ,molto spesso, frontiere efficienti basate su dati storici portano a portafogli fortemente concentrati. Il problema principale dell‟implementazione meccanica dell‟ottimizzazione di portafoglio deriva dall‟affidarsi ai dati sui rendimenti storici dei titoli, che si rilevano previsori scorretti dei rendimenti futuri . L'approccio Black-Litterman supera, o almeno mitiga, questi problemi in larga misura. Il punto forte di questo approccio è che ci permette di incorporare viste d'investimento (che sono soggettive in natura) e assegna livelli di fiducia ai punti di vista a discrezione del modello. Il modello di B-L si basa sull‟ipotesi che un investitore scegli il suo portafoglio all‟interno di un insieme dato di titoli. Tale insieme che potrebbe essere l‟indice S&P 500 o il FTSE MIB o un mix di indici internazionali definisce l‟ambito nel quale l‟investitore effettua la scelta: l‟universo dei titoli rappresenta per l‟investitore un portafoglio di confronto ovvero il benchmark. Il modello di B-L si basa sul presupposto che in assenza di informazione aggiuntiva, non si può battere il benchmark. Tale assunto è supportato da molte ricerche,che mostrano come sia difficile fare meglio di un benchmark rappresentato da un portafoglio ben diversificato4.In questo modello invece di fornire i dati come input e poi derivare il portafoglio ottimale, l‟approccio di

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BL presuppone l‟ottimalità di un certo portafoglio e sulla base di tali ipotesi, deriva i rendimenti attesi impliciti dei titoli che lo compongono .I rendimenti di equilibrio rappresentano dei punti di partenza neutrali per la stima dei rendimenti attesi; questi ultimi verranno poi calibrati in base alle preferenze espresse dal singolo investitore. Se l‟investitore non ha alcuna previsione sui rendimenti dei titoli in esame, allora potranno essere utilizzati direttamente i valori di equilibrio; altrimenti se l‟investitore desidera esprimere delle opinioni riguardante i rendimenti attesi relativi o assoluti dei titoli, allora i valori neutrali andranno aggiustati tenendo conto di queste views. Per cui la soluzione ottima verrà influenzata dalle opinioni dell‟investitore tenendo conto anche dal grado di fiducia espresso. Uno dei punti di forza di questo modello è che i pesi del portafoglio finale si scosteranno da quello di mercato a seconda di quanto le opinioni siano estreme e la fiducia che l‟investitore ha nelle stesse. L‟approccio bayesiano è utilizzato in tale modello per calcolare il rendimento atteso degli assets ; il teorema di Bays viene utilizzato per unire due tipi di input , le views dell‟investitore e l‟equilibrio di mercato e con tale teorema è possibile fondere queste due informazioni ed ottenere i rendimenti attesi dei titoli considerati. E‟ opportuno puntualizzare le ipotesi principale alla base del modello:

- Si assume che il mercato non è pienamente efficiente ;

- I portafogli vengono confrontati con un benchmark di riferimento; - Per ogni view è necessario stimare un certo livello di confidenza; - I rendimenti sono distribuiti normalmente;

- La matrice delle covarianze può essere determinata;

- La migliore ipotesi per i rendimenti attesi è data dal cosiddetta ottimizzazione inversa;

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2.1 Il MODELLO DÌ BL

Iniziamo la descrizione del modello partendo dall‟articolo Global Portfolio Optimization. I modelli di assets allocation quantitativa , non giocano quel ruolo determinante che essi dovrebbero nella gestione globale di portafogli. Una buona parte del problema è che questi modelli sono difficoltosi da usare e tendono a risultati che non si comportano in modo coerente. Considerando l‟equilibrio raggiunto nel CAPM può incrementare l‟utilità di tale modello. In particolare il rendimento di equilibrio per azioni, obbligazioni e valute fornisce un naturale punto di partenza per la stima dei set di expcted excess

returns(eccessi di rendimento attesi) necessari per guidare il processo di

ottimizzazione del portafoglio.

Gli investitori con portafogli globali costituiti da azioni e obbligazioni sono generalmente consapevoli del fatto che le loro decisioni di allocazione degli assets sono molto importanti e decisive. Essi generalmente hanno l‟obiettivo di massimizzare il rendimento atteso per ogni dato livello di rischio. Per quanto riguarda i rendimenti attesi esistono due input di informazioni per calcolarli : in prima istanza abbiamo i rendimenti attesi dal modello CAPM e rappresentano il punto di riferimento neutrale ossia il portafoglio di mercato; la seconda fonte di informazione invece, è rappresentata dalle views (opinioni) espresse dall‟investitore. In questo modo si combinano le nostre views con i valori di mercato di equilibrio. Il vettore dei rendimenti attesi ottenuto tramite questo procedimento verrà utilizzato nella procedura dio ottimizzazione. Questo modello non assume che il mercato sia a livello dell‟equilibrio dettato dal CAPM ,ma piuttosto quando i rendimenti attesi si allontanano dal loro valore di equilibrio, gli squilibri nei mercati tendono a spingerli indietro .Per questo si assume che i rendimenti attesi poco probabilmente si discosteranno molto dal valore di equilibrio. Questo suggerisce che l‟investitore potrebbe ottenere profitto combinando le sue views circa i rendimenti nei differenti mercati con le informazioni contenute nei prezzi e sui rendimenti di equilibrio. Questo approccio differenzia tra le views dell‟investitore e i rendimenti attesi

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dall‟analisi condotta tramite l‟ottimizzazione del portafoglio. I redimenti attesi utilizzati nella nostra ottimizzazione devieranno dal premio per il rischio di equilibrio in ragione con le views espresse dall‟investitore. L‟ampiezza della deviazione dall‟equilibrio dipenderà dal grado di confidenza che l‟investitore ha nelle views. Un insieme di esempi illustra come l‟incorporazione dell‟equilibrio all‟interno del modello standard di asset allocation consente di generare intuizioni per il gestore del portafoglio. A tale scopo partiamo con una discussione come l‟approccio di equilibrio può aiutare un investitore a tradurre le sue views in un insieme di rendimenti attesi per ogni asset detenuto. Esistono diversi approcci del modello che illustrano come l‟equilibrio risolve il problema che ha portato ad immotivati risultati nel modello standard media varianza.

Figura 8 BL portafoglio di investimento senza alcuna views, Institute of Financial and Actuarial Mathematics at Vienna università of technology

Molte volte gli investitori hanno opinioni circa la sopravvalutazione o sottovalutazione di alcuni titoli o valute. L‟investitore può esprimere le proprie views sia in modo relativo che in modo assoluto:ad esempio l„investitore potrà impostare nel modello “il titolo K avrà un rendimento minore del titolo J del 3 %” quindi una view relativa oppure una struttura del tipo “il titolo K avrà un rendimento pari al 4%” ed in questo caso è una view assoluta. Un modello di allocazione degli assets può aiutarli nel applicare queste opinioni a loro

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vantaggio, ma comunque è impensabile che un investitore predica in maniera esatta l‟eccesso di rendimento atteso per ogni assets e valuta detenuta. L‟equilibrio comunque, può produrre all‟investitore un adeguato punto di riferimento. Supponiamo ad esempio che l‟investitore non abbia alcuna wiews , e ci si chiede come l‟investitore possa definire il suo portafoglio ottimale in questa circostanza. La risposta a questa domanda dimostra l‟utilità dell‟premio per il rischio di equilibrio. Inoltre oltre all‟approccio el premio per il rischio ci sono differenti metodi che l‟investitore potrebbe utilizzare per costruire un portafoglio ottimale nei casi in cui non abbia opinioni circa il rendimento degli strumenti in esame. Esaminiamo tre differenti approcci:

historical average , equal means ed il risk aduste equal means.

L‟approccio dei rendimenti storici assume che l‟eccesso di rendimento eguaglierà i rendimenti storici. Il problema con questo metodo è che le medie storiche forniscono scarse previsioni sui rendimenti futuri. Nell‟approccio

equal means l‟investitore potrebbe assumere neutrali i rendimenti uguali per

ogni classe di titoli con riferimento a tutti gli stati. Problema di questo modello è che ce un livello diverso di rischio in assets tra nazioni diverse. Nell‟ultimo approccio il risk aduste equal means, si assume che i titoli obbligazionari ed azionari abbiano lo stesso excess return atteso per ogni unità di rischio,dove la misura del rischio è data dalla volatilità del rendimento dell‟asset preso in considerazione. Un problema con questo approccio è costituito dal fatto che non prende in considerazione la correlazione tra i rendimenti degli asset in considerazione.

32

2.2

Combinazione

delle

views

dell’investitore con

l’equilibrio di mercato.

Una delle caratteristiche più complesse di questo modello è quella di tradurre le nostre poche views in eccessi di rendimento atteso per ogni strumento in considerazione. Vengono elencate le intuizioni dietro questo approccio.

-

Ci sono due distinte risorse di informazioni circa gli eccessi di rendimento futuri, le opinioni degli investitori e l‟equilibrio di mercato;

-

Si assume che entrambi queste fonti sono incerte è rappresentano nel migliore dei modi la distribuzione di probabilità;

-

Si scelgono gli eccessi di rendimento attesi che sono nel migliore modo possibile consistenti con entrambi le fonti di informazioni.

2.2.1 ESEMPIO A TRE ASSET

Sempre nell‟articolo „Global Portfolio Optimization5_{‟ viene fatto un semplice}

esempio dell‟approccio descritto fino ad ora prendendo in considerazione tre asset. Supponiamo di avere tre asset A, B,C;l‟eccesso di rendimento per ognuno di questi asset è generato da un premio per il rischio di equilibrio più quattro fattori di rischio, uno comune a tutti ed altri invece relativi ad ogni specifico asset. Esprimiamo tale modello in questo modo:

Ra=Πa+γaZ+νa

Rb=Πb+γbZ+νb

Rc=Πc+γcZ+νc

Dove

Ri = è il rendimento in eccesso dell‟ i-esimo titolo;

Πi = premio per il rischio dell‟ i-esimo titolo;

γi = impatto sull‟ i-esimo titolo del fattore comune;

Z = il fattore comune;

5

33

ν = fattore indipendente sull‟i-esimo asset.

In questo modello , la matrice delle covarianze degli eccessi di rendimento è determinata dall‟impatto relativo al fattore comune ed allo shock indipendente. L‟eccesso di rendimento atteso è funzione del premio per il rischio di equilibrio, del valore atteso del valore comune e del valore atteso dello shoc indipendente di ciascun asset.

E(Ri) = Πi + γiE(Z)+E(νi)

Si assume che questo mercato sia in equilibrio con i valori E(Z) E(νi)s pari a

zero. Inoltre E(Ri) è una variabile causale la cui distribuzione è centrata a

livello del premio per il rischio di equilibrio. Il grado di incertezza di E(Z) e

di E(νi)s è proporzionale alla volatilità di Z e di νis.

Il rendimento atteso ha media pari a Πi e incertezza legata all‟incertezza a E(Z)

ed E(νi) la quale è proporzionale all‟incertezza su Z e su νi. Se questa ultima è

definita dalla matrice delle covarianze ∑ ,allora l‟incertezza sui rendimenti attesi sarà definita dalla matrice τ∑,dove τ è una costante con valore vicino allo zero. Supponiamo che l‟investitore formuli una view, per determinare il livello di confidenza di quest‟ultima noi possiamo esprimere la view direttamente come una distribuzione di probabilità per la differenza dei rendimenti degli asset. Alternativamente si può esprimere tramite una statistica riassuntiva da un campione di dati derivato dalla distribuzione dei futuri rendimenti attesi degli asset.In entrambi gli approcci abbiamo bisogno del livello di fiducia dell‟investitore su queste views.Si utilizza questa misura per determinare quanto peso dare alle view quando combiniamo queste con l‟equilibrio. Si può pensare a questo livello di confidenza determinato nel primo caso come il numero di osservazioni che abbiamo dalla distribuzione dei rendimenti futuri, nel secondo caso la deviazione standard della distribuzione di probabilità.

34 2.3 I RENDIMENTI DÌ EQUILIBRIO

Il fondamentale obiettivo del modello di BL è quello di modellare i rendimenti attesi , i quali sono assunti come distribuiti normalmente con media µ e varianza ∑. Da notare come avremo bisogno ,in seguito, almeno di questi valori, il rendimento atteso e la matrice delle covarianze saranno successivamente degli input nel modello di scelta del portafoglio.

Iniziamo definendo la distribuzione normale dei rendimenti attesi:

r~N(µ,∑)

definiamo la media dei rendimenti attesi, come una variabile aleatoria ,la cui dispersione rappresenta il possibile errore di stima

µ~N(Π,∑Π)

il parametro pi greco rappresenta la nostra stima della media e ∑Π è la varianza

della stima della media dei rendimenti. Questa relazione può essere vista anche in un altro modo

µ=Π+ɛ

Il primo rendimento è distribuito normalmente nell‟intorno di Π con un elemento di disturbo έ. Il parametro di disturbo è anche esso normalmente distribuito con media zero e varianza ,∑Π e si assume che sia incorrelato con

µ. Possiamo completare il modello in esame definendo ,∑r che è la varianza

dei rendimenti circa la nostra stima di Π. Dalla formula precedente e dalle assunzioni circa la non correlazione tra έ e µ la formula da computare sarà:

∑r = ∑+∑Π

La formula dice la relazione tra le varianze è : ∑r >= ∑+∑Π

E‟ possibile controllare il modello di riferimento testandolo nelle condizioni limite. Se l‟errore di stima è nullo allora ∑r = ∑. Inoltre se la stima peggiora

(∑Π) allora ∑r aumenta allo stesso modo.

35

E(r) ~ N(Π, ∑

r

).

I rendimenti che saranno utilizzati nel modello sono quelli del CAPM.

2.4 EQUILIBBRIO DI MERCATO

Il modello di BL parte dall‟equilibrio di portafoglio dai precedenti rendimenti stimati. Il modello si basa sul fatto che se il portafoglio aggregato è in equilibrio ogni sub-portafoglio deve essere in equilibrio. Il portafoglio di equilibrio(detto anche neutrale) è quello che l‟investitore dovrebbe avere se non avesse nessuna view. Per neutrale si intende quel portafoglio avente un insieme di rendimenti attesi che porterebbero all‟uguaglianza tra domanda ed offerta di titoli se tutti gli investitori avessero le medesime informazioni. Ma questo nella realtà non si verifica , infatti l‟informazione può essere classificata in debole (ossia informazione basata sulle informazioni passata) , semi-forte( gli investitori costruiscono le loro aspettative sui prezzi futuri in base a tutte le informazioni di pubblico dominio) e forte (quando si ha a disposizione tutta l‟informazione sia privata che pubblica).

La determinazione dei rendimenti di equilibrio avviene tramite il processo di

reverse optimization a partire dalla seguente funzione di utilità quadratica.

U=w'Π – (δ/2)w'∑w Dove

U = funzione utilità dell‟investitore

w = vettore dei pesi investiti in ogni titolo Π = vettore dei rendimenti attesi di equilibrio δ = parametro di avversione al rischio

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Tramite questa funzione di utilità si trova quel valore che massimizza il rendimento del portafoglio tenendo conto del grado di avversione al rischio dell‟investitore. Un incremento del rendimento aumenta l‟utilità dell‟investitore viceversa un aumento della varianza provoca l‟effetto contrario. Per trovare i rendimenti attesi stimati dal mercato è necessario risolvere un problema di massimizzazione inversa ; per fare questo uguagliamo a zero la derivata prima della funzione di utilità rispetto ai pesi uguale a zero.

dU/dw = Π-δ∑w = 0

risolvendo avremo la soluzione del problema

Π = δ∑w

Per utilizzare questa soluzione è necessario avere un valore δ, il coefficiente di avversione al rischio del mercato. Un modo per trovare il valore di questo parametro è quello di moltiplicare entrambi i lati dell‟espressione relativa alla soluzione per wT sostituendo il vettore con un termine scalare

(r

m

- r

f

) = δσ

2

Questa espressione in equilibrio è data dal prodotto tra il parametro di avversione al rischio per la varianza del portafoglio.

δ = (r

m

- r

f

)/σ

2

dove

r

m rendimento complessivo del portafoglio di mercato (

r=w

t

Π+r

f)

r

f risk free

σ-2

37

Partendo dalla soluzione Π = δ∑w, questa ci permette partendo da un portafoglio ottimo non vincolato i di calcolare i rendimenti degli asset stimati dal mercato; sempre da questa formula è possibile ottenere i pesi ottimi di portafoglio esplicitando semplicemente rispetto a w tenendo conto il vincolo di budget (∑w=1) tramite la formula:

𝑤 = (𝛿∑)-1_Π

2.5 LA DESCRIZIONE DI τ

In questo paragrafo viene discusso il parametro τ chiamata costante weight-on-views il quale misura l‟incertezza della distribuzione dei rendimenti di equilibrio ed è data dal rapporto tra la covarianza del vettore atteso dei rendimenti e la covarianza dei rendimenti stessi. Quando stimiamo la media di una distribuzione , la varianza della media stimata sarà proporzionale all‟inverso al numero di campioni. La matrice della covarianza si stima dai dati storici , quindi avremo

τ=1/T stimatore di massima verosimiglianza

τ=1/(T-k) migliore stimatore quadratico. dove

T è il numero di campioni K il numero di asset

Τ è un valore compreso tra 0 ed 1. L‟incertezza della stima sarà inversamente proporzionale al numero di osservazioni, per cui , maggiore è il dataset minore è l‟incidenza degli errori e maggiore è la stima di Π. Per dare coerenza al procedimento si dovrebbe tenere conto anche del grado di incertezza che il gestore ha circa le proprie wiev.

38

2.6 LA SPECIFICAZIONE DELLE VIEWS

In questo capitolo viene descritto il processo di specificazione delle view nella stima dei rendimenti attesi. Molto spesso gli investitori hanno delle opinioni sui rendimenti attesi che si discostano dai rendimenti di equilibrio per cui non voglio investire il proprio capitale soltanto tramite il portafoglio di mercato. Per definizione ogni opinione deve essere unica e incorrelata con le altre opinioni ed indipendenti anche dalla distribuzione dei rendimenti di equilibrio. Inoltre non è necessario che si formino opinioni riguardante tutti gli asset nel portafoglio. Da ricordare come le opinioni dell‟investitore possono essere effettuate sia in modo assoluto che relativo.

Rappresentiamo le K view dell‟investitore di un insieme di n asset usando la seguente matrice:

 P ,a k×n matrice riguardante il peso degli asset per ogni view. K è il numero di view espresse N è il numero di asset in portafoglio. Per una view relativa la somma dei pesi deve essere pari a zero, per un opinione relativa la somma deve essere pari ad uno.

 Q, k×1 vettore contenete i rendimenti attesi di ogni view;

 Ω a k×k matrice delle covarianze delle view. Questa matrice è diagonale e l‟i-esimo elemento è rappresentato da ωi , ovvero il livello

di confidenza assegnato ad ogni opinione.

Le views possono essere rappresentate tramite la seguente formulazione.

PE(r) = q + έ

Con il valore έ distribuito normalmente e varianza Ω.

Illustriamo con un breve esempio 6 nel quale si assume di avere quattro asset e due views. Una view relativa nella quale l‟investitore crede che l‟asset A avrà una performance maggiore dell‟ asset C di un valore pari al 2% con un livello di confidenza ω1. Inoltre ha una view assoluta in cui l‟investitore crede che

6

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l‟asset B avrà un rendimento pari al 3% con un livello di confidenza pari ad ω1. Queste views sono specificate nel modo seguente.

P = 1 0 − 1 0 0 1 0 0 𝑞 = _      3 2

Il vettore q rappresenta la differenza di rendimento prevista tra il titolo A e C (prima opinione) e il rendimento previsto dal titolo B.

Ω = ω11_{0 ω22}0

La matrice Ω contiene le informazioni relative con cui vengono espresse le views.

2.7 GLI ERRORI DELLE VIEWS

Il grado di incertezza dell‟operatore rispetto alle proprie opinioni ci fa scaturire un termine di errore, quindi una maggiore incertezza si ripercuote in un maggiore valore del termine di errore . Il termine di errore si distribuisce come

έ v _{~ N(0, Ω)}

Ω è la matrice ( k x k) di varianza covarianza delle views, ed è una matrice

diagonale dato che le views devono essere indipendenti ed incorrelate tra loro . La varianza di ogni termine di errore forma la matrice Ω. L‟i-esimo elemento di Ω(ωi) misura il grado di incertezza sulla view con un valore inversamente

proporzionale al grado di sicurezza sulla view

Le views si distribuiscono quindi come una normale con media Q e varianza Ω Pµ ~ N(Q , Ω)

Il calcolo di Ω è uno degli aspetti più cruciali di tutto il modello perché questa matrice viene calcolata dall‟investitore. Un metodo per calcolare tale matrice consiste nel definire un intervallo di confidenza attorno al valore medio delle

40

views per poi individuare il valore della varianza sfruttando l‟ipotesi di normalità delle views stesse. Oppure un altro metodo è quello di utilizzare una formula che permette di mantenere la varianza delle views proporzionale alla varianza dei rendimenti di equilibrio . La formula per calcolare tale matrice è la seguente

Ω = diag (P(τ∑)P’)

2.8 LA MATRICE P

La matrice P è una matrice KxN definita dall‟investitore in cui vengono specificati gli assets considerati dalle views. L‟investitore potrebbe avere delle informazioni aggiuntive ottenute in vari modi che gli consente di formulare varie ipotesi. Ci sono diverse possibilità per specificare la matrice P: si possono esprimere views su un solo asset , su un portafoglio di asset o anche una view relativa. Nel caso in cui la view relativa prenda in esame più asset la riga corrispondente alla matrice P deve essere sempre pari a zero. In questo caso si deve dividere l‟unità per il numero di asset considerati in senso positivo e negativo. In pratica, per gli asset considerati negativamente l‟unità verrà divisa per il numero di asset presi in esame.

Una alternativa a questo procedimento è il metodo suggerito da Idzorek. In questo modello i pesi della matrice P sono proporzionali alla capitalizzazione di mercato di ciascun titolo , modello molto utilizzato quando vengono presi in considerazione molti titoli.

41 2.9 IL VETTORE Q

Q è un vettore K x 1 è rappresenta le previsioni sui rendimenti degli assets stabiliti dall‟investitore. Nel caso di view assoluta viene inserito direttamente il valore del rendimento atteso dell‟asset , mentre nel caso di una view relativa è presente la differenza tra i rendimenti attesi degli asset sotto analisi.

2.10 LA MATRICE DI COVARIANZA Ω

La matrice di incertezza contiene la varianza delle views e poiché due delle ipotesi principali del modello Black-Litterman sono che le opinioni degli investitori sono indipendenti e non correlate, l'Ω sarà una matrice diagonale m × m. In questo caso la matrice sarà,

dove ωm è l'incertezza nella visualizzazione m. Se ω = 0 significa che

l'investitore ha il 100% di fiducia circa la view.

Nella prima pubblicazione di Black-Litterman non hanno fornito un intuitivo e pratico metodo su come definire l'incertezza nei punti di vista. Gli studiosi sono d'accordo che questa è la causa più comune di errore nel modello e alcuni di loro suggeriscono addirittura che le covarianze tra le views siano nulle. Vari matematici hanno sviluppato e proposto la loro strategia di come per specificare questa una matrice . Verranno analizzati a tale proposito alcuni dei metodi utilizzati da diversi autori per la specificazione della matrice.

42

2.11 PROPORZIONALE ALLA VARIANZA DEL PRECEDENTE, Σ

Sia He Litterman (1999) che Meucci (2008) assumono che gli elementi di Ω siano proporzionali alla varianza dei rendimenti . Nonostante ciò, utilizzano formule differenti per calcolare la matrice richiesta. L'equazione utilizzata per risolvere il problema è quella proposta da He e Litterman,

Ω = τ · diag(PΣP T ).

Meucci (2008) non prende in considerazione né il nostro scalare τ né la diagonale della matrice. Nella sua formula introduce un altro parametro c> 0 che rappresentano un nuovo livello di fiducia globale nei punti di vista,

Ω = 1 /c (PΣP T)

.

Un valore spesso utilizzato di c è spesso τ-1

perché tende a semplificare i calcoli del modello.

2.12 IL MODELLO PROPOSTO DA IDZOREK

Nel modello di Idzorek la varianza di una view è pari a pk∑pk' , dove il valore

pk è un vettore 1 x N appartenente alla matrice P corrispondente alla k-esima

view con ∑ la matrice di covarianza.

Nel modello di BL gli asset sottoposti a view si distanzino dalla capitalizzazione di mercato la cui entità di distanziamento è data dal parametro τ e dalla varianza della view considerata. In questo modello viene fissata la confidenza di una view in modo tale che il rapporto ω/τ sia uguale alla varianza della view. Lo scopo principale del modello di Idzorek è quello di ridurre la complessità del modello di BL per gli investitori che non abbiamo un approccio quantitativo allo studio dei mercati. Thomas Idzorek (2004) ha dichiarato nel suo articolo che ci possono essere altre fonti di informazioni oltre alla varianza del portafoglio di visualizzazione che influenza una fiducia

43

degli investitori in una view. Con questo in considerazione ha sviluppato un nuovo metodo specificato dall'utente per calcolare la matrice, chiamata metodo Idzorek. In tal modo, il modello Black-Litterman consente di massimizzare le informazioni di un investitore. Idzorek ha sviluppato due modelli per il calcolo del livello di confidenza implicito di una view.

La teoria fondamentale dietro al metodo è che consente all'investitore di assegnare un valore compreso tra 0-100%, in base a quanto sia sicuro di essere in ciascuna delle view. In questo modo è possibile ottenere la matrice Ω eliminando la necessità di determinare un valore per il parametro τ.

Tuttavia Idzorek ha sviluppato due modelli per determinare il livello di confidenza implicito di una view.

Nel primo caso inizia calcolando il vettore ottimale del peso, w100% nel caso in

cui il l'investitore è al 100% fiducioso in tutte le m-view.Questo viene fatto impostando tutti gli elementi nella matrice di incertezza a 0. A questo punto è opportuno introdurre la formula per il per il calcolo del vettore dei rendimenti attesi che verrà successivamente spiegata maggiormente, data da:

E[R

100%

] = Π + τ∑P' (P τ∑P' )

-1

_{(q − PΠ).}

Se Ω = 0 e la mettiamo nella formula otteniamo un nuovo vettore dei rendimenti combinati dato la certezza completa sulle view. Il livello di confidenza implicito di ciascuna view è dato da :

D

m

=(w

m

-w

mkt

)

e la differenza

Dm,100%=(wm,100%-wmkt)

con

w

m= vettore dei pesi determinato tramite la formula del vettore dei

rendimenti;

44

w

k,100%

=

vettore dei pesi determinato dal vettore dei rendimenti con una

confidenza pari al 100%.

Le differenze sopra enunciate rappresentano uno scostamento rispetto ai pesi di mercato. Calcolati tutti i livelli impliciti di confidenza di tutte le views, si generano delle differenze tra questi ed i livelli fissati inizialmente. Per cui una volta arrivati a questo punto si può sostituire la nuova matrice Ω con quella utilizzata in precedenza ;da questo si determina il nuovo vettore dei rendimenti attesi ed il nuovo vettore dei pesi.

Inoltre Idzorek ha sviluppato un modello alternativo a quello sopra descritto per determinare la matrice Ω. Anche in questo modello è necessario calcolare il vettore dei rendimenti con riferimento ad un livello di confidenza pari al 100% ed il successivo valore dei pesi. Si moltiplica ogni differenza Dm,100%

Dm,100%=(wm,100-wmkt) per la specifica confidenza dell‟investitore nella

m-esima view ( espressa con un valore compreso tra 0-100) e viene cosi determinata la distanza dal portafoglio di mercato desiderata e causata dalla m-esima view.

Tilt

m

≈ (w

100%

− w

mkt

)*C

m

Dove

Tiltm= deviazione approssimata causata dalla m-esima view.

Cm= confidenza nella m-esima view

Nell‟assenza di altre view il vettore dei pesi approssimato risultante della view è :

w

m ,%

≈ w

mkt

+Tilt

m

dove

w

m ,% = è il vettore del peso di riferimento .

La dimensione della distanza dai pesi di mercato può essere controllata esprimendo la propria confidenza implicita. Adesso è possibile determinare gli elementi diagonali della matrice minimizzando la somma delle differenze al quadrato wm,% , wm

45

Min ∑( w

m,%

- w

m

) con ω

m

>0.

Se ripetiamo il procedimento per ognuna delle m-views si determinano tutti gli elementi diagonali ω e si costruisce cosi la nuova matrice Ω. Si calcola successivamente il nuovo vettore dei rendimenti attesi ottenuto esprimendo le views con la confidenza espressa.

Durante questo processo, il valore dello scalare (τ) viene mantenuto costante e non influenzano il nuovo vettore dei rendimenti che elimina le difficoltà associata a specificarlo. Nonostante le relative complessità delle fasi per la specificazione degli elementi diagonali di Ω, il vantaggio fondamentale di questo nuovo metodo è che consente ad un utente di determinare i valori di Ω basati su una scala di fiducia intuitiva da 0% a 100%.

Metodi alternativi per specificare gli elementi diagonali di Ω richiedono uno specificare questi valori astratti direttamente. Con questo nuovo metodo per specificare ciò che era in precedenza un parametro matematico estremamente astratto, dovrebbe essere il modello Black-Litterman più facile da usare e più investitori dovrebbero essere in grado di raccogliere i suoi vantaggi.

46 2.13 I MODELLI DI STIMA

L‟elaborato originale di Black-Litterman si riferisce al modello misto di stima di Theil piuttosto che al modello di stima seguendo l‟algoritmo di Bayes, anche se si possono ottenere risultati simili da entrambi le tipologie. Inizieremo la nostra analisi con il modello di Theil.

Con entrambi i metodi, useremo il modello base di B-L. In questo modello di riferimento la stima del modello è utilizzata per computare la distribuzione della stima dei rendimenti attesi.

2.14 IL MODELLO MISTO DI THEIL

Il modello misto di Theil è stato creato per lo scopo di stimare i parametri da un insieme misto di dati parziali condizionali ed è considerato un adattamento al modello di stima dei minimi quadrati. Questa è una buona metodologia applicata con il nostro problema in quanto ci permette esprimere opinioni su un solo sottoinsieme dei rendimenti di assets, quando non esiste alcuna esigenza di esprimere opinioni su tutti loro. Con questo modello le view dell‟investitore e le informazioni di mercato vengono combinate per determinare il vettore dei rendimenti attesi. Alla base del modello vi è la presenza di una distribuzione a priori relativamente ai parametri non noti. L‟informazione a priori è rappresentata dalle views espresse dalla formula q = PE(r) + ɛ

q = è il vettore noto dei rendimenti previsti dalle views;

P = è anche essa una matrice nota all‟investitore definita sulla base delle views formulate e dal numero di asset a cui si riferiscono tali views;