(Cognome) (Nome) (Numero di matricola)
Scritto d’esame di Analisi Matematica I
Universit`
a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria dell’Energia
Pisa, 10 luglio 2014
La valutazione terr`a conto sia della correttezza che della completezza delle argomentazioni esposte a sostegno del risultato riportato.
Il solo risultato numerico otterr`a punteggio nullo.
I punteggi riportati sono indicativi. Il voto finale della parte scritta terr`a conto anche del risultato del test.
Tempo a disposizione: 180 minuti
Esercizio 1
Sia
an =
2 log(n!) − log((2n)!) n
(i) Si determini, se esiste, il limite lim an. 5pt
(ii) Posto bn= (an+1− an), si discuta la convergenza della serie
P
nb2n. 3pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 2
Si determini il numero di soluzioni reali positive dell’equazione x3+ 4x = ex+λ
al variare di λ ∈ R. 8pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 3
Si consideri il seguente problema di Cauchy u00− 3u0+ 2u = 12e−x u(0) = 3 u0(0) = −1
(i) Si determini la soluzione u(x) di tale sistema. 4pt (ii) Si determini c ∈ R tale che il grafico della funzione f (x) = u(x)+c sia tangente (in un qualche punto) alla retta y = x. 4pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 4
Si consideri la funzione
f (x) = cos(x) log(cos(x)) .
(i) Si determini il valore dell’integrale definito
π/3
Z
0
f (x)dx. 5pt
(ii) Si determini se l’integrale improprio
π/3 Z 0 x4/3 f (x)dx converge o diverge. 3pt Pagina 7 di 8
