(Cognome) (Nome) (Numero di matricola)
Scritto d’esame di Analisi Matematica I
Universit`
a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria dell’Energia
Pisa, 8 gennaio 2014
La valutazione terr`a conto sia della correttezza che della completezza delle argomentazioni esposte a sostegno del risultato riportato.
Il solo risultato numerico otterr`a punteggio nullo.
I punteggi riportati sono indicativi. Il voto finale della parte scritta terr`a conto anche del risultato del test.
Tempo a disposizione: 180 minuti
Esercizio 1
(i) Si determini il comportamento del seguente limite, al variare di α ∈ R,
lim
x→+∞
arctan(x + 1) − arctan(x) xα
calcolandolo ove possibile. 4pt (ii) Data la successione
an =
2 cos(1/n) − 1 − e−2/n2 arctan(n + 1) − arctan(n)
!n2 ,
se ne calcoli, se esiste, il limite per n → +∞. 3pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 2
Sia data la funzione
f (x) = arctan x2 1 + x .
(i) Si tracci un grafico qualitativo della funzione f , studiandone dominio, eventuali simmetrie, limiti, punti stazionari e monotonia. 5pt (ii) Si dimostri che f (x) < x per ogni x > 0. 2pt (iii) Si consideri la successione per ricorrenza definita per n ∈ N da
an+1 = f (an)
a0 = 2014
e si calcoli, se esiste, lim an. 3pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 3
Si consideri il problema di Cauchy 4u00+ 4u0+ u = e−t/2 u(0) = 1 2 u0(0) = −4
(i) Si trovi una soluzione u(t) a tale problema. 5pt (ii) Si studi la soluzione trovata per determinare il numero di soluzioni dell’equa-zione u(t) = λ al variare di λ ∈ R. 4pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14 Esercizio 4 Si consideri la funzione f (x) = sin(3xe −x) x .
(i) Si dimostri che 0 ≤ f (x) ≤ 3 per x ∈ [0, 1]. 2pt (ii) Si determini se l’integrale improprio
Z +∞
0
f (x)dx
converge, diverge o `e indeterminato. 4pt
