Esercitazioni di Elettrotecnica
a cura dell’Ing. Antonio Maffucci
Parte II:
Circuiti in regime sinusoidale
ESERCITAZIONE N.7: Fasori ed impedenze
ESERCIZIO 7.1
Esprimere la corrente i(t) in termini di fasore nei seguenti tre casi:
a) i(t)=4cos(ωt−1.14) b) i(t)=10cos(ωt−π) c) i(t)=8cos(ωt+π/2)
Risultato: a) I =4exp(−j1.14); b) I =−10; c) I =8j.
ESERCIZIO 7.2
Valutare (in coordinate cartesiane e polari) le impedenze viste ai capi dei morsetti:
L R C C 2 s rad F C L R c / 10 5 . 2 , 10 16 , 200 ) ( 3 ⋅ = ω µ = = Ω = mH R R L s rad mH R a / 10 1 L 10 ) ( 4 = ω = Ω = Hz f mF C mH L R b 50 , 4 . 0 15 , 8 ) ( = = = Ω = C L
Risultato: a) Z& =10+10j=10 2exp(jπ/4)Ω;
b) Z& =8+11.54j=14exp(j0.965)Ω;
c) Z& =8+20j=21.5exp(j1.19)Ω;
ESERCIZIO 7.3
Le seguenti coppie di fasori esprimono tensione e corrente relative ad un dato bipolo. Dire, nei tre casi, se si tratta di un resistore, un condensatore o un induttore e valutare il valore di R, C o L
a) v(t)=15cos(400t+1.2), i(t)=3sin(400t+1.2); b) v(t)=8cos(900t−π/3), i(t)=2sin(900t+2π/3); c) v(t)=20cos(250t+π/3), i(t)=5sin(250t+5π/6);
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
a) V =15ej1.2, I =3ej(1.2−π/2). Posto V =Z&I si ha che:
mH I V L L j Z I V Z 12.5 2 ) arg( ) arg( ) arg( = ω = ⇒ ω = ⇒ π = − = & & .
b) V =8e−jπ/3, I =2ej(2π/3−π/2) =2e−jπ/6. Posto V =Z&I si ha che:
mF V I C C j Z I V Z 0.28 2 ) arg( ) arg( ) arg( = ω = ⇒ ω − = ⇒ π − = − = & & .
c) V =20ejπ/3, I =5ej(5π/6−π/2) =5ejπ/3. Posto V =Z&I si ha che:
Ω = = ⇒ = ⇒ = − =arg( ) arg( ) 0 4 ) arg( I V R R Z I V Z& & .
ESERCIZIO 7.4
Si consideri il circuito in figura, determinando L tale che la parte immaginaria dell’impedenza vista ai capi dei morsetti indicati col pallino risulti Im
{ }
Z& =100Ω.R
C
L Cf ==110kHzµF
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
L'impedenza totale vista ai capi dei morsetti è
LC L j R C L j C j L j R Z 2 1 ) / 1 ( ) /( ) ( ω − ω + = ω − ω ω ω + = & ,
quindi basta imporre
{ }
L mH LC L Z 100 2.19 1 Im 2 = ⇒ = ω − ω = & . ESERCIZIO 7.5A quale di queste impedenze corrisponde la fase ϕ=−π/4?
1: R-L serie 2: R-C serie 3: R-C parallelo 4: L-C serie
s / rad mH L R 100 10 10 = ω = Ω = s / rad mF C R 100 10 10 = ω = Ω = s / rad F . C . R 10 2 0 5 0 = ω = Ω = s / rad H L F C 1 1 1 = ω = = °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Caso 3:
( )
4 1 ) 1 ( 25 . 0 2 2 1 / 1 1 1 = − ⇒ ϕ= 1 − =−π + = ω + = = j tg− j C j R Y Z & & . ESERCIZIO 7.6Dati i seguenti fasori V1 =10exp(jπ/6), V2 =10exp(−jπ/6), V3 =5exp(−jπ/3): a) rappresentare nel piano complesso i fasori V1,V2,V3;
b) calcolare i fasori: V1 +V2,V1−V2,V1+V3,V1−V3;
c) rappresentare nel piano complesso i fasori valutati al punto b)
d) rappresentare nel tempo le tensioni corrispondenti ai fasori dei punti a) e b), avendo definito la trasformazione fasoriale come segue: v(t)=Vcos(ωt+α) ↔V =V exp(jα)
ESERCITAZIONE N.8: Analisi di reti in regime sinusoidale
ESERCIZIO 8.1
Con riferimento al seguente circuito, valutare:
a) l'impedenza Z&eq vista ai capi del generatore;
b) le correnti iL(t)e iC(t) R L C + ) (t iL ) (t iC mF C mH L R V t t e 1 . 0 20 10 ) 1000 cos( 10 ) ( = = Ω = = ) (t e
Risultato: a) Z&eq =5 j− 15Ω; b) iL(t)=0.45cos(1000t−1.11) A, iC(t)=−sin(1000t) A.
ESERCIZIO 8.2
Con riferimento al seguente circuito valutare le correnti iL(t) ed iC(t).
(
)
(
)
F C H L R A t sin t j A t t j µ = µ = Ω = = = 1 1 1 1000 10 ) ( 1000 cos 10 ) ( 2 1 ) t ( ic ) t ( j1 j2(t) ) (t iL C L R R °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di ammettenze:
. 1 1 , 10 1 1 , 10 , 10 , 10 2 3 3 1 A J jA Y j C j S Y R j L j S Y R S J C RL ≈ − R = = ω + = = ω = − =
= & − & − &
Questa rete ha due nodi: preso come riferimento il nodo in basso in figura ed indicato con V il potenziale A
del nodo in alto, il metodo dei potenziali nodali consente di scrivere immediatamente
5 5 ) (Y Y Y J1 J2 V -j
VA &C + &RL + &R = + ⇒ A = . La corrente nel condensatore sarà data da
) 4 / exp( 10 07 . 7 ) 1 ( 10 5⋅ 3 + = ⋅ 3 π = =V Y − j − j IC A&C ,
a cui corrisponde, nel tempo: ic(t)=7.07cos(1000t+π/4) mA.
La corrente nell'induttore sarà invece
) 4 / exp( 07 . 7 ) 1 ( 5 − = − π ≈ =V Y j j IL A&RL ,
ESERCIZIO 8.3
Con riferimento al seguente circuito, valutare:
a) l'impedenza Z&eq vista ai capi del generatore;
b) la potenza complessa erogata dal generatore; S&
) (t j C L R R
( )
F C H L R A t t j 25 . 0 1 2 2 cos 10 ) ( = = Ω = = °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
. 2 , 2 , 2 ) /( , 10 =− ω =− = ω = = = = Z j C j Z j L j Z R
J &C &L &R
L'impedenza di ingresso vista dal generatore è data da:
. 4 . 0 8 . 0 ] // //[ + = + Ω =Z Z Z Z j
Z&eq &R &C &R &L
La potenza complessa erogata da j(t) si valuta facilmente una volta nota Z&eq:
20 40 2 100 ) 4 . 0 8 . 0 ( 2 1 2 1 2 1 * * 2 j j J Z J J Z J V
S&J ≡ J = &eq = &eq = + = + .
ESERCIZIO 8.4
Con riferimento al seguente circuito, valutare:
a) la matrice delle ammettenze Y& del doppio-bipolo visto ai capi dei generatori; b) la potenza complessa erogata dai generatori; S&
C L R e2(t) ) ( 1 t i i2(t) R ) ( 1 t e mF C mH L R V t sin t e V t t e 1 1 1 ) 1000 ( 20 ) ( ) 1000 cos( 10 ) ( 2 1 = = Ω = = = + +
Risultato: a) Y&11=0.5Ω−1, Y&m =0.5jΩ−1, Y&22 =0.5− jΩ−1;
ESERCIZIO 8.5
Con riferimento al seguente circuito valutare
a) la potenza complessa erogata dal generatore;
b) la reattanza da inserire in parallelo al generatore in modo che l'impedenza complessiva vista dal generatore stesso assorba la stessa potenza media di prima ma abbia un fase ϕ tale che cosϕ=0.9 (rifasamento).
C + L mH mF C R s rad V t sin t e 5 . 0 L , 1 . 0 1 , / 10 ) ( ) ( 4 = = Ω = = ω ω = ) (t e R °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
a) Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
. 1 , 5 , , 1 =− Ω = Ω = Ω = V ZC j ZL j ZR
E & & &
L'impedenza equivalente vista dal generatore è
, 53 . 4 1.46 Ω = + + = j R C R C L eq e Z Z Z Z Z Z & & & & & &
quindi la potenza complessa erogata dallo stesso sarà
VAr j mW e Z E Z E E I E jQ P S j eq eq 11 . 0 2 . 12 53 . 4 2 1 2 1 2 1 2 1 1.46 * 2 * * * = = = = + = + = & & & .
b) La fase dell'impedenza vista dal generatore deve essere tale che ϕ
rad 0.45 ) 9 . 0 ( cos 9 . 0 cosϕ= ⇒ ϕ= −1 = .
Poiché la fase di non verifica tale condizione, occorre inserire un'opportuna tra l'impedenza ed il generatore in modo che l'impedenza complessiva verifichi tale richiesta. Affinchè tale inserzione non alteri la potenza media
eq
Z& Z&x
eq
Z& Z&TOT
{ }
S mW P=Re & =12.2 x Z& E + Z&eq xZ& deve essere posta in parallelo al generatore e deve essere: Z&x = jX . Per stabilire il valore di tale reattanza si può applicare il principio di conservazione delle potenze, che impone, dopo l'inserzione di Z&x, che:
x TOT
TOT P Q Q Q
P = , = + .
Q Ptg Q P Q Q tg P Q tg x x TOT TOT ⇒ = − + = = − − ϕ ϕ 1 1 .
Imponendo la condizione desiderata su ϕ si ottiene Qx =−0.10VAr, il che significa che è un'impedenza capacitiva. Ricordando l'espressione della potenza reattiva assorbita da una capacità ai capi della quale sia imposta la tensione si ha la condizione richiesta.
x Z& . 20 10 . 0 2 2 F C E C Qx =−ω =− ⇒ = µ ESERCIZIO 8.6
Calcolare la potenza attiva P2 e la potenza reattiva Q2 assorbita dalla serieR2 −L2.
C ) t ( j1 j2(t) 1 R 1 L 2 R 2 L
( )
(
)
F C H L L R R A t t j A t t j 2 1 2 3 / 2 4 cos 2 ) ( 4 cos 4 ) ( 2 1 2 1 2 1 = = = Ω = = π − = = °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
. 4 2 , 8 / , 2 , 4 2 2 /3 1 2 1 = J = e− π Z =−j Ω Z =Z = + j Ω
J j &C & &
Applicando la sovrapposizione degli effetti, valutiamo il contributi ad I dovuti a 2 J ed a 1 J 2
, 01 . 0 03 . 2 1 2 1 1 2 j A Z Z Z Z J I C + = + + = ′ & & & & . 85 . 0 50 . 0 1 2 1 2 2 j A Z Z Z Z Z J I C C =− − + + + = ′′ & & & & & Pertanto si ha , ) 502 . 0 exp( 75 . 1 84 . 0 53 . 1 2 2 2 I I j j A I = ′ + ′′ = − = −
quindi la potenza complessa assorbita da Z&2 sarà
) 2 1 ( 06 . 3 75 . 1 2 4 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 * 2 2 2 * 2 2 2 2 2 j j I Z I I Z I V jQ P
ESERCITAZIONE N.9: Analisi di reti in regime sinusoidale/2
ESERCIZIO 9.1
Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore R e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie.
R L C mF C mH L R A t sin t j A t t j 1 . 0 1 1 ) 200 ( ) ( ) 100 cos( ) ( 2 1 = = Ω = = = ) ( 2 t j ) ( 1 t j °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Poiché i generatori non sono isofrequenziali, cioè ω1 ≠ω2, il circuito non ammette un regime sinusoidale e quindi non è possibile trasformare la rete in una rete di impedenze. Tuttavia, essendo la rete lineare, si può applicare la sovrapposizione degli effetti e ricavare la corrente che circola in R come i=i′+i′′, dove i′ si ricava dal circuito ausiliario I e i ′′ dal circuito ausiliario II.
L ) ( 1 t j i′ C R
Ciascuna di queste due reti può essere rappresentata da una rete di impedenze:
C L i ′′ II R ) ( 2 t j I
rete I: J1 =1, Z&C′ =−100j, Z&L′ =0.1j, Z&R′ =1.
rete II: J2 =1, Z&C′′ =−50j, Z&L′′ =0.2j, Z&R′′ =1.
Applicando i partitori di corrente:
. ) 13 . 3 100 cos( ) ( 10 3 313 1 e i t t mA Z Z Z Z J I j . R C L L = ⇒ ′ = + ′ + ′ + ′ ′ = ′ − & & & & . ) 12 . 3 200 ( ) ( 12 3 2 e i t sin t A Z Z Z Z J I j . R L C C = ⇒ ′′ = + ′′ + ′′ + ′′ ′′ − = ′′ & & & &
Quindi i(t)=i′(t)+i′′(t)=10−3cos(100t+3.13)+sin(200t+3.12) A.
Nota la corrente si può calcolare la potenza istantanea assorbita da R e quindi la potenza media:
∫
∫
∫
∫
∫
= = ′ + ′′ + ′ ′′ = T T T T Ti t i t dt T R dt t i T R dt t i T R dt t Ri T dt t p T P 0 0 2 0 2 0 2 0 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ω π ω π = 2 1 2 , 2 max T .I primi due contributi rappresentano le potenze medie dissipate nei circuiti I e II, quindi sono:
, 10 5 . 0 2 ) ( 6 0 2 t dt R I W i T RT ′ = ′ = ⋅ −
∫
i t dt R I W T RT 5 . 0 2 ) ( 0 2 = ′′ = ′′∫
.L'ultimo contributo è nullo perché per ω1 ≠ω2 si ha:
∫
cos(ω +α) (ω +β) =0 ∀α,β.0 2 1 T dt t sin t
ESERCIZIO 9.2
Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie.
2
R
Risultato: P=0.41kW.
ESERCIZIO 9.3
Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1'.
mF C H L R R V t t e A t j 10 2 . 0 2 12 ) 20 cos( 110 ) ( 14 ) ( 2 1 = = Ω = Ω = = = ) (t e L 1 R C ) (t j + 2 R ) (t i 1 ) (t ri ) (t e R C 1′ L Ω = Ω = Ω = Ω = π + ω = 1 4 3 2 ) 6 / ( 2 ) ( C L X X r R V t sin t e + + °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Passando alla rete di impedenze si avrà:
. 2 , 4 , , 2 /6 =− = = = ejπ ZC j ZL j ZR
E & & &
Per calcolare V basta applicare la LKT alla maglia di sinistra della rete: 0
0.368 j0.157 r Z E I I r I Z E L L + ⇒ = + = − = & & . Applicando un partitore di tensione si ha, quindi:
V e j Z Z Z I r V j C R R 0.06 0 = & + & =1.070+ 0.064=1.07 & .
Per calcolare Z&eqoccorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E . Applicando ancora la la LKT alla maglia di sinistra della rete:
0
0=Z&LI +rI ⇒ I =
quindi nella rete per il calcolo di risulta spento anche il generatore controllato, visto che la sua variabile di controllo è nulla, per cui in definitiva:
eq Z& Ω − = + = 0.4(1 2j) Z Z Z Z Z C R C R eq & & & & & .
ESERCIZIO 9.4
Il circuito seguente riproduce lo schema equivalente di un amplificatore a transistor per alta frequenza. Determinare la tensione ai capi del resistore di carico
S R ) (t vS o R − + in v − + U v i R C L nF C pH L g R R R R s rad V t t v U i o S S 1 1 100 , 100 5 , 1 / 10 ) cos( 10 ) ( 1 8 = = Ω = Ω = Ω = Ω = = = ω ω = − + ) (t gvin U R Risultato: vU(t)=95.9cos(ωt+3.06)kV. ESERCIZIO 9.5
Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i1(t) nel circuito primario.
) (t e 1 R ) ( 1 t i 2 R 2 L 1 L + mH M mH L mH L R R V t sin t e 20 200 3 200 1 ) 1000 ( 2 10 ) ( 2 1 2 1 = = = Ω = Ω = = °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Poiché L1L2 ≠M2 l'accoppiamento non è perfetto. Posto L1 =L1′+L1′′, possiamo scegliere L ′′1 in modo che l'aliquota verifichi le condizioni di accoppiamento perfetto:
. A questo punto il circuito equivalente sarà il seguente
1 L ′′ L / 2 mH M L L L1′′ 2 =M2 ⇒ 1′′= 2 =2 ) (t e 1 R ) ( 1 t i 2 R 1 L′ 1 L ′′ a + = 1′′ =0.1 M L a
Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche equivalente al seguente: ) (t e 1 R ) ( 1 t i 2 2R a 1 L′ 1 L ′′ +
Trasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore E 10= V , l'impedenza equivalente vista dal generatore è:
j L jω R a L jω R a L jω R Zeq = + Ω ′′ + ′′ + ′ + = 2 2 2 2 1 2 2 1 1 & da cui A t sin t i A e j Z E I j eq ) 4 / 1000 ( 5 ) ( 2 5 ) 1 ( 2 5 1 4 / 1 = & = − = − π ⇒ = −π . ESERCIZIO 9.6
Con riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa assorbita dal condensatore. S&
1 R L1 L2 C 2 R mF C mH M mH L mH L R R A t t j 5 . 12 , 2 4 , 1 5 ) 100 cos( 2 10 ) ( 2 1 2 1 = = = = Ω = = = ) (t j
