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∀x, y, z ∈ A, (x · y) · z = x · (y · z) ❡❞ ❛♥❝❤❡ ❞✐.&1✐❜✉&✐✈❛ 1✐.♣❡&&♦ ❛❧❧✬❛❞❞✐③✐♦♥❡✱ ♦✈✈❡1♦
∀x, y, z ∈ A, x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x + z · x ✸✳ ✈❛❧❡ ❧❛ ♣1♦♣1✐❡&8 ❝♦♠♠✉&❛&✐✈❛ ♣❡1 ❧❛ ♠♦❧&✐♣❧✐❝❛③✐♦♥❡✱ ♦✈✈❡1♦
∀x, y ∈ A, x · y = y · x
✹✳ ❡.✐.&❡ ❡❞ - ✉♥✐❝♦ ✉♥ ❡❧❡♠❡♥&♦ ❞❡&&♦ ♥❡✉&1♦ ✭❞❡❧❧❛ ♠♦❧&✐♣❧✐✲ ❝❛③✐♦♥❡✮ ♦ ✐❞❡♥&✐❝♦ ✭❞✐ A✮ ❝❤❡ .✐ ✐♥❞✐❝❛ ❝♦♥ 1✱ &❛❧❡ ❝❤❡
∀x ∈ A, x · 1 = 1 · x = x ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✳ ❉✬♦#❛ ✐♥ ♣♦✐ ✉)✐❧✐③③❡#❡♠♦ .❡♠♣❧✐❝❡♠❡♥)❡ ❧❛ ♥♦)❛③✐♦♥❡ xy ♣❡# ✐♥❞✐❝❛#❡ ❧❛ ♠♦❧)✐♣❧✐❝❛③✐♦♥❡ ❞✐ ❞✉❡ 1✉❛❧.✐❛.✐ ❡❧❡✲ ♠❡♥)✐ ❞✐ ✉♥ ❣❡♥❡#✐❝♦ ❛♥❡❧❧♦ A✱ ❛❧ ♣♦.)♦ ❞✐ x · y✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✸✳ ◆❡❧ ❝♦#.♦ ❞❡❧❧❛ )#❛))❛③✐♦♥❡✱ ♥♦♥ ❡.❝❧✉❞❡#❡♠♦ ❝❤❡ ❧✬❡❧❡♠❡♥)♦ ✐❞❡♥)✐❝♦ 1 ❞❡❧❧✬❛♥❡❧❧♦ A ♣♦..❛ ❡..❡#❡ ✉❣✉❛❧❡ ❛ ③❡#♦❀ ✐♥ )❛❧ ❝❛.♦✱ x = x1 = x0 = 0, ∀x ∈ A ✾
♣❡" ❝✉✐ &✐ ♦((✐❡♥❡ ❝❤❡ A = {0} ❡ ❞✐"❡♠♦ ❝❤❡ ❧✬❛♥❡❧❧♦ A 0 ❧✬❛♥❡❧❧♦ ♥✉❧❧♦✱ ✐♥❞✐❝❛♥❞♦❧♦ ❛♥❝❤❡✱ ❝♦♥ ✉♥ ❛❜✉&♦ ❞✐ ♥♦(❛③✐♦♥❡✱ &❡♠♣❧✐❝❡♠❡♥(❡ ❝♦♥ 0✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✹✳ ❉❛ ♦"❛ ✐♥ ♣♦✐✱ ("❛♥♥❡ ✉❧(❡"✐♦"✐ &♣❡❝✐✜❝❛③✐♦♥✐✱ ❝❤✐❛♠❡"❡♠♦ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❝♦♠♠✉(❛(✐✈♦ ✉♥✐(❛"✐♦✱ ♦✈✈❡"♦ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A &♦❞❞✐&❢❛❝❡♥(❡ ❧❛ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✱ ❛♥❡❧❧♦✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✺✳ ❙✐❛♥♦ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❡❞ S ⊂ A ✉♥ )✉♦ )♦**♦✐♥✲ )✐❡♠❡❀ S . ❞❡**♦ )♦**♦❛♥❡❧❧♦ ❞✐ A )❡ ❡ )♦❧♦ )❡ S . ❝❤✐✉)♦ 1✐)♣❡**♦ ❛❧❧✬❛❞❞✐③✐♦♥❡ ❡❞ ❛❧❧❛ ♠♦❧*✐♣❧✐❝❛③♦♥❡ ❞✐ A ❡ ❧✬❡❧❡♠❡♥*♦ ✐❞❡♥*✐❝♦ ❞✐ A✱ 1✱ ❛♣♣❛1*✐❡♥❡ ❛❞ S✳ ❖✈✈✐❛♠❡♥*❡ A . )♦**♦❛♥❡❧❧♦ ❞✐ )❡ )*❡))♦✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✳ ❙✐❛♥♦ A✱ B ❞✉❡ ❛♥❡❧❧✐❀ ✉♥ ♦♠♦♠♦1✜)♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐ . ✉♥❛ ❢✉♥③✐♦♥❡ f : A −→ B *❛❧❡ ❝❤❡ ✶✳ f 1✐)♣❡**❛ ❧✬❛❞❞✐③✐♦♥❡✱ ♦✈✈❡1♦ f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ A ✷✳ f 1✐)♣❡**❛ ❧❛ ♠♦❧*✐♣❧✐❝❛③✐♦♥❡✱ ♦✈✈❡1♦ f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ A ✶✵
✸✳ f "✐$♣❡''❛ ❧✬❡❧❡♠❡♥'♦ ♥❡✉'"♦ ❞❡❧❧❛ ♠♦❧'✐♣❧✐❝❛③✐♦♥❡✱ ♦✈✈❡"♦ f (1A) = 1B
❝♦♥ 1A ❧✬❡❧❡♠❡♥'♦ ♥❡✉'"♦ ♠♦❧'✐♣❧✐❝❛'✐✈♦ ❞✐ A✱ 1B 4✉❡❧❧♦ ❞✐ B✳
❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✼✳ ▲❛ ❝♦♠♣♦&✐③✐♦♥❡ ❞✐ ♦♠♦♠♦,✜&♠✐ ,✐♠❛♥❡ ✉♥ ♦♠♦♠♦♠♦,✜&♠♦ ❡ ❧✬✐♥❝❧✉&✐♦♥❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛ ✐♥ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A ❞✐ ✉♥ &✉♦ &♦11♦❛♥❡❧❧♦ S✱ i : S −→ A✱ 3 ✉♥ ♦♠♦♠♦,✜&♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✳
❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✽✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✳ ❯♥ $♦''♦✐♥$✐❡♠❡ I ❞✐ A 7 ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A $❡ ❡ $♦❧♦ $❡ I 7 ✉♥ $♦''♦❣"✉♣♣♦ ❛❞❞✐'✐✈♦ ❞✐ A ❡ ✈❛❧❡
AI ⊆ I ⇐⇒ xy ∈ I, ∀x ∈ A, ∀y ∈ I
❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✾✳ ❙✐❛♥♦ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✱ I ✉♥ &✉♦ ✐❞❡❛❧❡ ❡ ❝♦♥✲ &✐❞❡,✐❛♠♦ ✐❧ ❣,✉♣♣♦ 8✉♦③✐❡♥1❡ A/I = {x + I : x ∈ A}✳ ❆❧❧♦,❛ A/I ❡,❡❞✐1❛ ❞❛ A ❧✬♦♣❡,❛③✐♦♥❡ ❞✐ ♠♦❧1✐♣❧✐❝❛③✐♦♥❡ ❝♦♥ 1✉11❡ ❧❡ ❜✉♦♥❡ ♣,♦✲ ♣,✐❡1; ❞❡❧❧❛ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✱ ❞✐✈❡♥❡♥❞♦ ❞✉♥8✉❡ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✱ ♥❡❧ &❡♥&♦ ❞❡❧❧❛ ♠❡❞❡&✐♠❛ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡✱ ❞❡11♦ ❛♥❡❧❧♦ 8✉♦③✐❡♥1❡✳ ❙✐ ♥♦1✐ ❝❤❡ ❧❛ ♣,♦✐❡③✐♦♥❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛ π : A −→ A/I, x 7−→ x + I 3 ❜❛♥❛❧✲ ♠❡♥1❡ &✉,✐❡11✐✈❛ ❡❞ ✉♥ ♦♠♦♠♦,✜&♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✳ ✶✶
❉❛"✐ x, y ∈ A✱ ♥❡❧ (❡❣✉✐"♦ ✉(❡,❡♠♦ ❧❛ ♥♦"❛③✐♦♥❡ x ≡ y mod I✱ ✐♥"❡♥❞❡♥❞♦ ❝❤❡ x − y ∈ I✳ ❉✐❛♠♦ ♦,❛ ✉♥ ,✐(✉❧"❛"♦ ❞✐ ♥❛"✉,❛ ❣❡♥❡,❛❧❡✿ !♦♣♦$✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✵✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✱ I ✉♥ )✉♦ ✐❞❡❛❧❡ ❡ π : x 7−→ x + I ❧❛ ♣,♦✐❡③✐♦♥❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❀ ❛❧❧♦,❛ ❡)✐)0❡ ✉♥❛ ❝♦,,✐)♣♦♥❞❡♥③❛ ❜✐✲ ✉♥✐✈♦❝❛ 0,❛ ❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ J ❞✐ A 0❛❧✐ ❝❤❡ I ⊆ J ❡ ❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ¯J ❞✐ A/I✱ ❞❛0❛ ❞❛ J = π−1"¯ J ✳ ❚❛❧❡ ❝♦,,✐)♣♦♥❞❡♥③❛ ♣,❡)❡,✈❛ ❧❡ ✐♥❝❧✉)✐♦♥✐✳ ❖$$❡!✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✶✳ ❙✐❛♥♦ A✱ B ❞✉❡ ❛♥❡❧❧✐ ❡ f : A −→ B ✉♥ ♦♠♦♠♦,✜(♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐❀ ❛❧❧♦,❛ ✐❧ ♥✉❝❧❡♦ ❞✐ f✱ ker(f) = f−1(0)✱ 7 ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ I ❞✐ A✱ ♠❡♥",❡ ❧✬✐♥(✐❡♠❡ ❞❡❧❧❡ ✐♠♠❛❣✐♥✐ ❞✐ f✱ ℑ(f) = f(A)✱ 7 ✉♥ (♦""♦❛♥❡❧❧♦ C ❞✐ B❀ ✐♥♦❧",❡✱ f ✐♥❞✉❝❡ ✉♥ ✐(♦♠♦,✜(♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐ ✭♦✈✈❡,♦ ✉♥ ♦♠♦♠♦,✜(♠♦ ❜✐✐❡""✐✈♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✱ ❧❛ ❝✉✐ ✐♥✈❡,(❛ 7 ❛♥❝♦,❛ ✉♥ ♦♠♦♠♦,✜(♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✮ ",❛ A/I ❡ C✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✷✳ ❯♥♦ ③❡,♦ ❞✐✈✐)♦,❡ ✐♥ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A 9 ✉♥ ❡❧❡✲ ♠❡♥0♦ ❞✐ A ❝❤❡ ❞✐✈✐❞❡ ❧♦ ③❡,♦✱ ♦✈✈❡,♦ 9 ✉♥ x ∈ A 0❛❧❡ ❝❤❡ ❡)✐)0❡ ❛❧♠❡♥♦ ✉♥ y ∈ A, y 6= 0✱ 0❛❧❡ ❝❤❡ xy = 0✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✸✳ ❯♥ ❛♥❡❧❧♦ A ♣,✐✈♦ ❞✐ ③❡,♦ ❞✐✈✐)♦,✐ ❞✐✈❡,)✐ ❞❛ ③❡,♦ ❡ ❞♦✈❡ 1 6= 0 9 ❞❡00♦ ❞♦♠✐♥✐♦ ❞✐ ✐♥0❡❣,✐0;✳ ✶✷
❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✹✳ ▲✬❛♥❡❧❧♦ ❞✐ ♥✉♠❡+✐ +❡❧❛,✐✈✐✱ Z✱ / ✉♥ ❞♦♠✐♥✐♦ ❞✐ ✐♥,❡❣+✐,1✱ ❝♦34 ❝♦♠❡ ❧✬❛♥❡❧❧♦ ❞❡✐ ♣♦❧✐♥♦♠✐ ✐♥ n✲✐♥❞❡,❡+♠✐♥❛,❡✱ K [X1, ..., Xn]✱ ❝♦♥ K ✉♥ ❝❛♠♣♦✳ ■❧ ❝♦♥❝❡,,♦ ❞✐ ❝❛♠♣♦ / ❝❤✐❛+✐,♦ ❞❛❧❧❡ 3❡❣✉❡♥,✐ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✺✳ ❙✐❛ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦❀ x ∈ A ) ✉♥✬✉♥✐+, -❡ ❡ -♦❧♦ -❡ ❞✐✈✐❞❡ 1✱ ♦✈✈❡1♦ ❞❡✈❡ ❡-✐-+❡1❡ y ∈ A +❛❧❡ ❝❤❡ xy = 1✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✻✳ ❉❛❧❧❛ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✺✱ 3✐ ❞❡❞✉❝❡ 3✉❜✐,♦ ❝❤❡ ❧✬❡❧❡♠❡♥,♦ y ❞✐ A ❛33♦❝✐❛,♦ ❛❧❧✬✉♥✐,1 x / ✉♥✐✈♦❝❛♠❡♥,❡ ❞❡,❡+♠✐✲ ♥❛,♦ ❞❛❧❧✬✉♥✐,1 3,❡33❛ ❡ 3❝+✐✈✐❛♠♦ ❞✉♥<✉❡ y = x−1✳ ▲❡ ✉♥✐,1 ✐♥ A ❢♦+♠❛♥♦ ❡✈✐❞❡♥,❡♠❡♥,❡ ✉♥ ❣+✉♣♣♦ ♠♦❧,✐♣❧✐❝❛,✐✈♦ ❛❜❡❧✐❛♥♦✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✼✳ ❯♥ ❝❛♠♣♦ ) ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A +❛❧❡ ❝❤❡ 1 6= 0 ❡❞ ♦❣♥✐ -✉♦ ❡❧❡♠❡♥+♦ ♥♦♥ ♥✉❧❧♦ ) ✉♥✬✉♥✐+,✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✽✳ ❖❣♥✐ ❝❛♠♣♦ / ❜❛♥❛❧♠❡♥,❡ ✉♥ ❞♦♠✐♥✐♦ ❞✐ ✐♥,❡❣+✐,1✱ ♠❛ ♥♦♥ ✈✐❝❡✈❡+3❛✱ ❝♦♠❡ ♠♦3,+❛ ❧✬❡3❡♠♣✐♦ ❞❡❧❧✬❛♥❡❧❧♦ Z✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✾✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❡ x ∈ A❀ ♣❡+ ♦❣♥✐ a ∈ A✱ ✐ ♠✉❧,✐♣❧✐ ax ❞✐ x ❢♦+♠❛♥♦ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A ❞❡,,♦ ♣+✐♥❝✐♣❛❧❡ ✭✐♥ ♣+❛,✐❝❛✱ ❝♦♥ ❵♣+✐♥❝✐♣❛❧❡✬ 3✐ ✐♥,❡♥❞❡ ❝❤❡ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ / ✜♥✐,❛♠❡♥,❡ ❣❡♥❡+❛,♦ ❞❛ ✶✸
✉♥ "♦❧♦ ❡❧❡♠❡♥'♦ ❞✐ A✮✱ ❝❤❡ ✐♥❞✐❝❤✐❛♠♦ ❝♦♥ < x > ♦ Ax✳ ❈❛1❛'✲ '❡1✐③③✐❛♠♦ ✉♥✬✉♥✐'5 ❞✐ A✱ ❛""❡1❡♥❞♦ ❝❤❡ x ∈ A 6 ✉♥✬✉♥✐'5 "❡ ❡ "♦❧♦ "❡ < x >= A =< 1 >✳ ❈♦♥ ❧♦ "'❡""♦ ❛❜✉"♦ ❞✐ ♥♦'❛③✐♦♥❡ ✐♥✈♦✲ ❝❛'♦ ♥❡❧❧✬❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✸✱ ✐♥❞✐❝❤❡1❡♠♦ ❧✬✐❞❡❛❧❡ ♥✉❧❧♦ < 0 > "❡♠♣❧✐❝❡♠❡♥'❡ ❝♦♥ 0✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✵✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦❀ x ∈ A ) ❞❡++♦ ❡❧❡♠❡♥+♦ ♥✐❧♣♦+❡♥+❡ .❡ ❡ .♦❧♦ .❡ xn = 0 ♣❡/ 0✉❛❧❝❤❡ n ∈ N✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✶✳ ❯♥ ❡❧❡♠❡♥'♦ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A ❝❤❡ "✐❛ ♥✐❧♣♦✲ '❡♥'❡✱ 1✐"✉❧'❛ ✉♥♦ ③❡1♦ ❞✐✈✐"♦1❡✱ ♠❛ ♥♦♥ ✈✐❝❡✈❡1"❛✳ 1#♦♣♦!✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✷✳ ❙✐❛ A 6= 0 ✉♥ ❛♥❡❧❧♦❀ ❛❧❧♦/❛ .♦♥♦ ❡0✉✐✈❛❧❡♥✲ +✐✿ ✶✳ A ) ✉♥ ❝❛♠♣♦❀ ✷✳ ✐ .♦❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A .♦♥♦ 0 ❡ < 1 >❀ ✸✳ ♣❡/ ♦❣♥✐ f : A −→ B ♦♠♦♠♦/✜.♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✱ ❝♦♥ B ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✱ f ) ✐♥✐❡++✐✈♦✳ ■♥'1♦❞✉❝✐❛♠♦ ♦1❛ ❞✉❡ ❝♦♥❝❡''✐ ❢♦♥❞❛♠❡♥'❛❧✐ ♣❡1 ✐❧ "❡❣✉✐'♦ ❞❡❧❧❛ ✶✹
!❛ ❛③✐♦♥❡✱ ♦✈✈❡!♦ *✉❡❧❧♦ ❞✐ ✐❞❡❛❧❡ ♣!✐♠♦ ❡ *✉❡❧❧♦ ❞✐ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛00✐✲ ♠❛❧❡✿ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✸✳ ❙✐❛♥♦ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❡❞ I ✉♥ )✉♦ ✐❞❡❛❧❡✳ ❉✐❝✐❛✲ ♠♦ ❝❤❡ I 0 ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣2✐♠♦ )❡ ❡ )♦❧♦ )❡ I 6=< 1 > ❡ ✈❛❧❡ xy ∈ I =⇒ x ∈ I ∨ y ∈ I ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✹✳ ❙✐❛♥♦ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❡❞ I ✉♥ )✉♦ ✐❞❡❛❧❡✳ ❉✐✲ ❝✐❛♠♦ ❝❤❡ I 0 ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛))✐♠❛❧❡ )❡ ❡ )♦❧♦ )❡ I 6=< 1 > ❡ ✈❛❧❡ ∀J ⊆ A|I ⊆ J ⊆ A =⇒ I = J ∨ J = A ❝♦♥ J ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A✳ ❉✐❛♠♦ ♦!❛ ❛❧❝✉♥❡ ❝❛!❛ ❡!✐③③❛③✐♦♥✐ ✉ ✐❧✐ ✐♥ ♠❡!✐ ♦ ❛❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ♣!✐♠✐ ❡ ♠❛00✐♠❛❧✐ ♥❡❧❧❛ 0❡❣✉❡♥ ❡ ❖--❡.✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✺✳ ❙✐❛ I ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A❀ ❛❧❧♦!❛✿ ✶✳ I : ♣!✐♠♦ 0❡ ❡ 0♦❧♦ 0❡ ✐❧ *✉♦③✐❡♥ ❡ A/I : ✉♥ ❞♦♠✐♥✐♦ ❞✐ ✐♥ ❡❣!✐ ;❀ ✐♥ ♣❛! ✐❝♦❧❛!❡✱ ❧✬✐❞❡❛❧❡ ♥✉❧❧♦ 0 : ♣!✐♠♦ 0❡ ❡ 0♦❧♦ 0❡ A : ✉♥ ❞♦♠✐♥✐♦ ❞✐ ✐♥ ❡❣!✐ ;✳ ✷✳ I : ♠❛00✐♠❛❧❡ 0❡ ❡ 0♦❧♦ 0❡ ✐❧ *✉♦③✐❡♥ ❡ A/I : ✉♥ ❝❛♠♣♦✳ ✶✺
✸✳ ❙❡ I $ ♠❛''✐♠❛❧❡✱ ❛❧❧♦,❛ $ ❛♥❝❤❡ ♣,✐♠♦✱ ♠❛ ♥♦♥ ✈✐❝❡✈❡,'❛✳ ✹✳ ▲❛ !♦♣♦$✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✵ ❝♦♥4✐♥✉❛ ❛ ✈❛❧❡,❡ ♣❡, ❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ♣,✐♠✐ ✐♥ ♣❛,4✐❝♦❧❛,❡✳ ❖$$❡!✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✻✳ ❙✐❛♥♦ A✱ B ❛♥❡❧❧✐✱ f : A −→ B ✉♥ ♦♠♦♠♦,✲ ✜'♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✱ I ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣,✐♠♦ ❞✐ B ❡ J ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛''✐♠❛❧❡ ❞✐ B✳ ❆❧❧♦,❛✱ ❞❛❧❧✬❖$$❡!✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✺ f−1(I) $ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣,✐♠♦ ❞✐
A✱ ✐♥ <✉❛♥4♦ A/f−1(I) $ ✐'♦♠♦,❢♦ ❛❞ ✉♥ '♦44♦❛♥❡❧❧♦ ❞✐ B/I ❡ ♣❡,❝✐> ♥♦♥ ♣♦''✐❡❞❡ ❞✐✈✐'♦,✐ ❞✐ ③❡,♦ ❞✐✈❡,'✐ ❞❛ ③❡,♦✱ ,✐'✉❧4❛♥❞♦ ❞✉♥<✉❡ ✉♥ ❞♦♠✐♥✐♦ ❞✐ ✐♥4❡❣,✐4@ ✭'✐ ✈❡❞❛ ❧❛ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✸✮✳ C❡, ❝✐> ❝❤❡ ,✐❣✉❛,❞❛ f−1(J)✱ ❝❡,4❛♠❡♥4❡ ❡''♦ $ ❞✐ ♥✉♦✈♦ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣,✐♠♦ ❞✐ A ❞❛❧❧✬❖$$❡!✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✺ '❡♥③❛ ♣❡,> ❡''❡,❡ ✐♥ ❣❡♥❡,❛❧❡ ✉♥ '✉♦ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛''✐♠❛❧❡✱ ❝♦♠❡ ♠♦'4,❛ ✐❧ ❝❛'♦ ✐♥ ❝✉✐ A = Z✱ B = Q✱ J = 0 ❡❞ f $ ❧✬✐♥❝❧✉'✐♦♥❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛ ❞✐ A ✐♥ B✳ ❈♦♠❡ ❣✐@ ❛♥4✐❝✐♣❛4♦✱ ✐ ❝♦♥❝❡44✐ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ♠❛''✐♠❛❧❡ ❡ ♣,✐♠♦ '♦♥♦ ❢♦♥❞❛♠❡♥4❛❧✐ ♣❡, ❧♦ '4✉❞✐♦ ❞❡❧❧✬❛❧❣❡❜,❛ ❝♦♠♠✉4❛4✐✈❛❀ ✐ '❡❣✉❡♥4✐ ❚❡♦!❡♠❛ ❡ '✉♦✐ ❈♦!♦❧❧❛!✐ ❢♦,♥✐'❝♦♥♦ ,✐'✉❧4❛4✐ ✐♥ ♠❡,✐4♦ ❛❧❧✬❡'✐'4❡♥✲ ③❛ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ♠❛''✐♠❛❧✐ ❡ <✉✐♥❞✐✱ ❞❛❧❧✬❖$$❡!✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✺✱ ♣,✐♠✐ ✐♥ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A✳ ✶✻
❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✼✳ ❯♥ ✐♥#✐❡♠❡ S ♥♦♥ ✈✉♦)♦ * ❞❡))♦ ♣❛.③✐❛❧♠❡♥)❡ ♦.❞✐♥❛)♦ #❡ ❡ #♦❧♦ #❡ ✈✐ ❡#✐#)❡ ✉♥❛ .❡❧❛③✐♦♥❡ ≤ )❛❧❡ ❝❤❡✿ ✶✳ ≤ * .✐✢❡##✐✈❛✱ ✷✳ ≤ * ).❛♥#✐)✐✈❛ ❡ ✸✳ ≤ * ❛♥)✐#✐♠♠❡).✐❝❛✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✽✳ ❯♥ #♦))♦✐♥#✐❡♠❡ T ❞✐ ✉♥ ✐♥#✐❡♠❡ S * ✉♥❛ ❝❛)❡♥❛ ❞✐ S #❡ ❡ #♦❧♦ #❡ T * )♦)❛❧♠❡♥)❡ ♦.❞✐♥❛)♦✳ ▲❡♠♠❛ ✶✳✶✳✷✾ ✭❞✐ ❩♦3♥✮✳ ❙✐❛ S ✉♥ ✐♥#✐❡♠❡ ♥♦♥ ✈✉♦)♦ ❡ ♣❛.③✐❛❧✲ ♠❡♥)❡ ♦.❞✐♥❛)♦✳ ❆❧❧♦.❛✱ #❡ ♣❡. ♦❣♥✐ T ⊆ S ❝❛)❡♥❛ ❞✐ S ❡#✐#)❡ x ∈ S )❛❧❡ ❝❤❡ t ≤ x ♣❡. ♦❣♥✐ t ∈ T ✱ S ♣♦##✐❡❞❡ ✉♥ ❡❧❡♠❡♥)♦ ♠❛##✐♠❛❧❡✳ ❚!❛♠✐%❡ ✐❧ ▲❡♠♠❛ ✶✳✶✳✷✾ (✐ ❞✐♠♦(%!❛ ✐❧ (❡❣✉❡♥%❡ ❚❡♦3❡♠❛ ✶✳✶✳✸✵✳ >❡. ♦❣♥✐ ❛♥❡❧❧♦ A✱ ❡#✐#)❡ #❡♠♣.❡ ❛❧♠❡♥♦ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛##✐♠❛❧❡✳ ❈♦3♦❧❧❛3✐♦ ✶✳✶✳✸✶✳ ❙✐❛ I 6=< 1 > ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A❀ ❛❧❧♦.❛ ❡#✐#)❡ #❡♠♣.❡ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛##✐♠❛❧❡ ❞✐ A✱ J✱ )❛❧❡ ❝❤❡ I ⊆ J✳ ✶✼
❈♦"♦❧❧❛"✐♦ ✶✳✶✳✸✷✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦❀ ❛❧❧♦)❛ ♣❡) ♦❣♥✐ x ∈ A ,❛❧❡ ❝❤❡ x ♥♦♥ / ✉♥✬✉♥✐,1 ❞✐ A✱ ❡4✐4,❡ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛44✐♠❛❧❡ J ❞✐ A ,❛❧❡ ❝❤❡ x ∈ J✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✸✸✳ ❯♥ ❛♥❡❧❧♦ A ,❛❧❡ ❝❤❡ 4♦❞❞✐4✜ ❧❛ ❝♦♥❞✐③✐♦♥❡ ❞✐ 4,❛③✐♦♥❛)✐❡,1 ♣❡) ❧❡ ❝❛,❡♥❡ ❞✐4❝❡♥❞❡♥,✐ ❞✐ 4✉♦✐ ✐❞❡❛❧✐✱ ♦✈✈❡)♦ ,❛❧❡ ❝❤❡ ∀ I1 ⊇ I2 ⊇ ... ⊇ In ⊇ In+1 ⊇ ..., ∃m ∈ N|Ii = Im, ∀i ≥ m / ❞❡,,♦ ❆),✐♥✐❛♥♦✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✸✹✳ ❯♥ ❛♥❡❧❧♦ A ✐♥ ❝✉✐ ♦❣♥✐ ✐❞❡❛❧❡ 4✐❛ ✜♥✐,❛♠❡♥,❡ ❣❡♥❡)❛,♦ / ❞❡,,♦ ◆♦❡,❤❡)✐❛♥♦✳ 0"♦♣♦2✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✸✺✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✳ ❆❧❧♦)❛ 4♦♥♦ ❡=✉✐✈❛❧❡♥,✐✿ ✶✳ A / ◆♦❡,❤❡)✐❛♥♦✳ ✷✳ ❱❛❧❡ ❧❛ ❝♦♥❞✐③✐♦♥❡ ❞✐ 4,❛③✐♦♥❛)✐❡,1 ♣❡) ❧❡ ❝❛,❡♥❡ ❛4❝❡♥❞❡♥,✐ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A ✭❝✳❝✳❛✳✮✱ ♦✈✈❡)♦ ∀ I1 ⊆ I2 ⊆ ... ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ ..., ∃m ∈ N|Ii = Im, ∀i ≥ m ✶✽
❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✸✻✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✳ ❙❡ A ) ♥♦❡*❤❡,✐❛♥♦✱ ❛❧❧♦,❛ ❞❛❧ ▲❡♠♠❛ ✶✳✶✳✷✾ /✐ ♦**✐❡♥❡ ❝❤❡ ❧✬✐♥/✐❡♠❡ ❞❡❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A ❞✐✈❡,/✐ ❞❛ < 1 > ❛♠♠❡**❡ ✉♥ ❡❧❡♠❡♥*♦ ♠❛//✐♠❛❧❡✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✸✼✳ ❯♥ ❛♥❡❧❧♦ A ❝♦♥ ❡'❛((❛♠❡♥(❡ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛'✲ '✐♠❛❧❡ m . ❞❡((♦ ❛♥❡❧❧♦ ❧♦❝❛❧❡ ❡❞ ✐❧ /✉♦③✐❡♥(❡ K = A/m . ❞❡((♦ ❝❛♠♣♦ 2❡'✐❞✉♦ ❞✐ A✳ 5#♦♣♦!✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✸✽✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦❀ ❛❧❧♦2❛✿ ✶✳ '❡ m . ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A ❞✐✈❡2'♦ ❞❛ < 1 > ❡ (❛❧❡ ❝❤❡ ♣❡2 ♦❣♥✐ x ∈ A \ m x . ✉♥✬✉♥✐(< ❞✐ A✱ ❛❧❧♦2❛ A . ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❧♦❝❛❧❡ ❡❞ ✐❧ '✉♦ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛''✐♠❛❧❡ . ♣2♦♣2✐♦ m❀ ✷✳ '❡ m . ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛''✐♠❛❧❡ ❞✐ A (❛❧❡ ❝❤❡✱ ♣❡2 ♦❣♥✐ x ∈ m✱ 1+x . ✉♥✬✉♥✐(< ❞✐ A ✭✐✳❡✳ (✉((✐ ❣❧✐ ❡❧❡♠❡♥(✐ ❞✐ 1 + m '♦♥♦ ✉♥✬✉♥✐(< ❞✐ A✮✱ ❛❧❧♦2❛ A . ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❧♦❝❛❧❡ ❡❞ ✐❧ '✉♦ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛''✐♠❛❧❡ 2✐'✉❧(❛ ❡''❡2❡ ♣2♦♣2✐♦ m✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✸✾✳ ❯♥ ❛♥❡❧❧♦ A ❝♦♥ ✉♥ ♥✉♠❡2♦ ✜♥✐(♦ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ♠❛''✐♠❛❧✐ . ❞❡((♦ '❡♠✐✲❧♦❝❛❧❡✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✹✵✳ ❋❛❝❝✐❛♠♦ ❛❧❝✉♥✐ ❡/❡♠♣✐✳ ✶✾
✶✳ ❙✐❛ K ✉♥ ❝❛♠♣♦✱ A = K [X1, ..., Xn] ❧✬❛♥❡❧❧♦ ❞❡✐ ♣♦❧✐♥♦♠✐ ✐♥ n✲✐♥❞❡1❡2♠✐♥❛1❡ ❡ f ∈ A ✉♥ ♣♦❧✐♥♦♠✐♦ ✐22✐❞✉❝✐❜✐❧❡✱ ♦✈✈❡2♦ ✉♥ ♣♦❧✐♥♦♠✐♦ ♥♦♥ ❞❡❝♦♠♣♦♥✐❜✐❧❡ 5✉ K❀ ❛❧❧♦2❛✱ ❞❛1♦ ❝❤❡ A 8 ❛ ❢❛11♦2✐③③❛③✐♦♥❡ ✉♥✐❝❛✱ ❧✬✐❞❡❛❧❡ ♣2✐♥❝✐♣❛❧❡ < f > ✭5✐ ✈❡❞❛ ❧✬❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✾✮ 8 ♣2✐♠♦✳ ✷✳ ❙✐❛ A = Z❀ ♦❣♥✐ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ Z 8 ♣2✐♥❝✐♣❛❧❡✱ ❝✐♦8 ❞❡❧❧❛ ❢♦2♠❛ < x >✱ ❝♦♥ x ✉♥ ✐♥1❡2♦ ♣♦5✐1✐✈♦ ✭❡✈❡♥1✉❛❧♠❡♥1❡ ❛♥❝❤❡ 0✮✳ ■♥ ♣❛21✐❝♦❧❛2❡✱ < x > 8 ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣2✐♠♦ 5❡ ❡ 5♦❧♦ 5❡ x = 0∨x = p✱ p ✉♥ ♥✉♠❡2♦ ♣2✐♠♦ ❡ ♦❣♥✐ ✐❞❡❛❧❡ ❞❡❧ 1✐♣♦ < p > 8 ♠❛55✐♠❛❧❡ ✐♥ Z ❡ Z/ < p > 8 ✉♥ ❝❛♠♣♦ ✭✈❡❞✐ ❧✬❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✺✮ ❞✐ ❡5❛11❛♠❡♥1❡ p ❡❧❡♠❡♥1✐✳ ❚✉11♦ ❝✐A ✈❛❧❡ ❛♥❝❤❡ ♣❡2 ❧✬❛♥❡❧❧♦ K [X] ❞❡✐ ♣♦❧✐♥♦♠✐ ❛❞ ✉♥✬✐♥✲ ❞❡1❡2♠✐♥❛1❛✱ ♠❛ ♥♦♥ ♣❡2 K [X1, ..., Xn] ❝♦♥ n > 1❀ ✉♥ ❝♦♥✲ 12♦❡5❡♠♣✐♦ 8 ❞❛1♦ ❞❛❧❧✬✐❞❡❛❧❡ ❞❡✐ ♣♦❧✐♥♦♠✐ ✐❧ ❝✉✐ 1❡2♠✐♥❡ ♥♦1♦ 8 0✿ ❡55♦ 8 ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♠❛55✐♠❛❧❡ ❞✐ K [X1, ..., Xn]✱ ♣❡2❝❤C 8 ✐❧ ♥✉❝❧❡♦ ❞❡❧❧✬♦♠♦♠♦2✜5♠♦ 5✉2✐❡11✐✈♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐ K [X1, ..., Xn] −→ K, f 7−→ f(0) ❡ ✈❛❧❣♦♥♦ ❧✬❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✶ ❡ ❧✬❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✺✱ ♠❛ ♥♦♥ 8 ❝❡21❛♠❡♥1❡ ♣2✐♥❝✐♣❛❧❡✱ ♣❡2❝❤C 8 ❣❡♥❡2❛1♦ ❞❛ ✷✵
❛❧♠❡♥♦ n ♣♦❧✐♥♦♠✐✳ ❙✉ ♠♦❞❡❧❧♦ ❞✐ Z✱ - ♥❛.✉/❛❧❡ ❞❛/❡ ❧❛ 0❡❣✉❡♥.❡ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✹✶✳ ❯♥ ❞♦♠✐♥✐♦ ❛❞ ✐❞❡❛❧✐ ♣*✐♥❝✐♣❛❧✐ , ✉♥ ❞♦♠✐♥✐♦ ❞✐ ✐♥.❡❣*✐.0 .❛❧❡ ❝❤❡ ♦❣♥✐ 2✉♦ ✐❞❡❛❧❡ , ♣*✐♥❝✐♣❛❧❡✳ ❖++❡,✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✹✷✳ ■♥ ✉♥ ❞♦♠✐♥✐♦ ❛❞ ✐❞❡❛❧✐ ♣/✐♥❝✐♣❛❧✐✱ ♦❣♥✐ ✐❞❡❛✲ ❧❡ ♣/✐♠♦ ❞✐✈❡/0♦ ❞❛ 0 - ♠❛00✐♠❛❧❡✳ ❙✐ ✈❡❞❛ ❧✬❖++❡,✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✹✵ ♣❡/ ❞❡❣❧✐ ❡0❡♠♣✐✳ 7❛00✐❛♠♦ ♦/❛ ❛ ❞❛/❡ ✐ ❝♦♥❝❡..✐ ❞✐ ♥✐❧/❛❞✐❝❛❧❡ ❡ /❛❞✐❝❛❧❡ ❞✐ ❏❛❝♦❜✲ 0♦♥✳ 1,♦♣♦+✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✹✸✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✳ ▲✬✐♥2✐❡♠❡ ℜ ❞✐ .✉..✐ ❣❧✐ ❡❧❡♠❡♥.✐ ♥✐❧♣♦.❡♥.✐ ❞✐ A , ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A❀ ✐♥♦❧.*❡✱ ✐❧ 9✉♦③✐❡♥.❡ A/ℜ ♥♦♥ ♣♦22✐❡❞❡ ❡❧❡♠❡♥.✐ ♥✐❧♣♦.❡♥.✐ ♥♦♥ ♥✉❧❧✐✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✹✹✳ ▲✬✐❞❡❛❧❡ ℜ , ❞❡..♦ ♥✐❧*❛❞✐❝❛❧❡ ❞✐ A✳ ❯♥❛ ❝❛/❛..❡/✐③③❛③✐♦♥❡ ❞❡❧ ♥✐❧/❛❞✐❝❛❧❡ - ❞❛.❛ ❞❛❧❧❛ 0❡❣✉❡♥.❡ 1,♦♣♦+✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✹✺✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✳ ❆❧❧♦*❛ ✐❧ 2✉♦ ♥✐❧*❛❞✐❝❛❧❡ ℜ , ❧✬✐♥.❡*2❡③✐♦♥❡ ❞✐ .✉..✐ ❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ♣*✐♠✐ ❞✐ A✳ ✷✶
❙✉ "✉❡$%❛ ❧✐♥❡❛✱ ❞✐❛♠♦ ❧❛ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ❞✐ .❛❞✐❝❛❧❡ ❞✐ ❏❛❝♦❜$♦♥✿ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✹✻✳ ❉❛"♦ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✱ ✐❧ *✉♦ ✐❞❡❛❧❡ ,❛❞✐❝❛❧❡ ❞✐ ❏❛❝♦❜*♦♥ 0 ❧✬✐♥"❡,*❡③✐♦♥❡ ❞✐ "✉""✐ ❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ♠❛**✐♠❛❧✐ ❞✐ A ❡ ❧♦ ✐♥❞✐❝❤✐❛♠♦ ❝♦♥ ¯ℜ✳ ❊❞ ✉♥❛ ❝❛.❛%%❡.✐③③❛③✐♦♥❡ ❞❡❧ .❛❞✐❝❛❧❡ ❞✐ ❏❛❝♦❜$♦♥ 5 ❞❛%❛ ❞❛❧❧❛ $❡❣✉❡♥%❡ +,♦♣♦.✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✹✼✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❡ x ∈ A❀ ❛❧❧♦,❛ x ∈ ¯ℜ *❡ ❡ *♦❧♦ *❡ 1 − xy 0 ✉♥✬✉♥✐"9 ❞✐ A ♣❡, ♦❣♥✐ y ∈ A✳ ■ $❡❣✉❡♥%✐ ❚❡♦,❡♠❛ ❡ ❈♦,♦❧❧❛,✐ $♦♥♦ ✐♠♣♦.%❛♥%✐ ♣❡. ✐❧ $❡❣✉✐%♦✿ ❚❡♦,❡♠❛ ✶✳✶✳✹✽ ✭❚❡♦,❡♠❛ ❞❡❧❧✬✐♥9❡,.❡③✐♦♥❡ ❞✐ ❑,✉❧❧✮✳ ❙✐❛♥♦ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ◆♦❡"❤❡,✐❛♥♦✱ I ✉♥ *✉♦ ✐❞❡❛❧❡✳ ❆❧❧♦,❛ *♦♥♦ ❡=✉✐✈❛❧❡♥"✐✿ ✶✳ ❧✬✐♥"❡,*❡③✐♦♥❡ ❞❡❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ I0, I, I2, I3, ..., In, ... 0 ✉❣✉❛❧❡ ❛ 0❀ ✷✳ ♥❡**✉♥ ❡❧❡♠❡♥"♦ ❞❡❧❧❛ ❢♦,♠❛ 1 + a✱ ❝♦♥ a ∈ I✱ 0 ✉♥♦ ③❡,♦✲ ❞✐✈✐*♦,❡ ✐♥ A✳ ❈♦,♦❧❧❛,✐♦ ✶✳✶✳✹✾✳ ❙❡ ¯ℜ 0 ❧✬✐❞❡❛❧❡ ❞✐ ❏❛❝♦❜*♦♥ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ◆♦❡"❤❡✲ ,✐❛♥♦✱ ❛❧❧♦,❛ \ n≥0 ¯ ℜn = 0 ✷✷
❈♦"♦❧❧❛"✐♦ ✶✳✶✳✺✵✳ ❙❡ I " ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣*♦♣*✐♦ ❞✐ ✉♥ ❞♦♠✐♥✐♦ ❞✐ ✐♥-❡❣*✐-/ ◆♦❡-❤❡*✐❛♥♦✱ ❛❧❧♦*❛ \ n≥0 ¯ ℜn = 0 ❖++❡"✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✺✶✳ ❙✐❛♥♦ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❡❞ I, J ⊆ A ❞✉❡ ✐❞❡❛❧✐✳ *♦++✐❛♠♦ ❝♦♥+✐❞❡.❛.❡ /.❡ ♦♣❡.❛③✐♦♥✐ /.❛ ✐❞❡❛❧✐✱ ♦✈✈❡.♦ ❧❛ +♦♠♠❛ +✱ ✐❧ ♣.♦❞♦//♦ · ❡ ❧✬✐♥/❡.+❡③✐♦♥❡ ∩✱ ♦//❡♥❡♥❞♦ ✐ +❡❣✉❡♥/✐ /.❡ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A I + J = {x + y|x ∈ I, y ∈ J} I · J =< {xy|x ∈ I, y ∈ J} >= X f inita xiyi|xi ∈ I, yi ∈ J I ∩ J = {x|x ∈ I ∧ x ∈ J} ■♥ ♣❛./✐❝♦❧❛.❡✱ I + J 7 ✐❧ ♣✐8 ♣✐❝❝♦❧♦ ✐❞❡❛❧❡ ❝❤❡ ❝♦♥/✐❡♥❡ +✐❛ I ❝❤❡ J✳ ❚✉//❡ ❡ /.❡ ❧❡ ♦♣❡.❛③✐♦♥✐ ♣♦++♦♥♦ ❡++❡.❡ ❣❡♥❡.❛❧✐③③❛/❡ ❛ ❢❛♠✐❣❧✐❡ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A ❝♦♠❡ +❡❣✉❡✿ ✶✳ ❞❛/❛ {Ii}i∈Γ ✉♥❛ ❢❛♠✐❣❧✐❛ >✉❛❧✉♥>✉❡ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A✱ +✐ ♦//✐❡♥❡ ❧✬✐❞❡❛❧❡ X i∈Γ Ii = ( X i∈Γ xi|xi ∈ Ii,∀i ∈ Γ ∧ xi = 0,∀i ∈ Γ − Λ, |Λ| ∈ N ) ❝❤❡ 7 ❞✐ ♥✉♦✈♦ ✐❧ ♣✐8 ♣✐❝❝♦❧♦ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A ❝❤❡ ❝♦♥/✐❡♥❡ /✉//✐ ❣❧✐ Ii✳ ✷✸
✷✳ ❉❛$❛ {Ii}i∈Γ ✉♥❛ ❢❛♠✐❣❧✐❛ ✜♥✐$❛ -✉❛❧✉♥-✉❡ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A✱ 1✐ ♦$$✐❡♥❡ ❧✬✐❞❡❛❧❡ Y i∈Γ Ii =< ( Y i∈Γ xi|xi ∈ Ii,∀i ∈ Γ ) > ■♥ ♣❛6$✐❝♦❧❛6❡✱ ♣❡6 ♦❣♥✐ n > 0✱ 1✐ ♣✉8 ❛❧$6❡19 ❞❡✜♥✐6❡ ❧❛ ♣♦$❡♥✲ ③❛ ❞❡❧❧✬✐❞❡❛❧❡ I ❞✐ A ❝♦♠❡ ❧✬✐❞❡❛❧❡ In ❞✐ A ❣❡♥❡6❛$♦ ❞❛ $✉$$✐ ✐ ♣6♦❞♦$$✐ x1x2· · · xn $❛❧✐ ❝❤❡ xi ∈ I ♣❡6 ♦❣♥✐ i❀ ❝♦♥✈❡♥③✐♦♥❛❧✲ ♠❡♥$❡✱ I0 =< 1 >✳ ✸✳ ❉❛$❛ {Ii}i∈Γ ✉♥❛ ❢❛♠✐❣❧✐❛ -✉❛❧✉♥-✉❡ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A✱ 1✐ ♦$$✐❡♥❡ ❧✬✐❞❡❛❧❡ \ i∈Γ Ii = {x|x ∈ Ii,∀i ∈ Γ} ▲❡ $6❡ ♦♣❡6❛③✐♦♥✐ ❝♦♥1✐❞❡6❛$❡ ✜♥♦6❛ 1♦♥♦ $✉$$❡ ❛11♦❝✐❛$✐✈❡ ❡ ❝♦♠✲ ♠✉$❛$✐✈❡ ❡❞ ✐♥♦❧$6❡ ✈❛❧❣♦♥♦✿ ✶✳ ❧❛ ♣6♦♣6✐❡$C ❞✐1$6✐❜✉$✐✈❛ $6❛ 1♦♠♠❛ ❡ ♣6♦❞♦$$♦✱ ♦✈✈❡6♦ I · (J + Z) = I · J + I · Z ♣❡6 ♦❣♥✐ I, J, Z ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A✱ ✷✳ ❧❛ ▲❡❣❣❡ ♠♦❞✉❧❛)❡ $6❛ 1♦♠♠❛ ❡❞ ✐♥$❡61❡③✐♦♥❡✱ ♦✈✈❡6♦ I ∩ (J + Z) = I ∩ J + I ∩ Z ✷✹
♣❡" ♦❣♥✐ I, J, Z ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A *❛❧✐ ❝❤❡ I ⊇ J ♦ I ⊇ Z✳ ■♥✜♥❡✱ 1✐ ♥♦*✐ ❝❤❡ I ∪ J ♥♦♥ 2 ✐♥ ❣❡♥❡"❛❧❡ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✺✷✳ ❙✐❛ A = Z✱ I =< x > ❡ J =< y >❀ ❛❧❧♦"❛ "✐1✉❧*❛ ❝❤❡ I +J 2 ❧✬✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A ❣❡♥❡"❛*♦ ❞❛❧ ♠❛11✐♠♦ ❝♦♠✉♥❡ ❞✐✈✐1♦"❡ *"❛ x ❡❞ y✱ I ∩J 2 ❧✬✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A ❣❡♥❡"❛*♦ ❞❛❧ ♠✐♥✐♠♦ ❝♦♠✉♥❡ ♠✉❧*✐♣❧♦ *"❛ x ❡❞ y ❡❞ I · J 2 ❧✬✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A ❣❡♥❡"❛*♦ ❞❛❧ ♣"♦❞♦**♦ xy✳ ■♥ *❛❧ ❝❛1♦✱ 1✐ ❤❛ I · J = I ∩ J 1❡ ❡ 1♦❧♦ 1❡ x ❡❞ y 1♦♥♦ ❝♦♣"✐♠✐✳ ■♥♦❧*"❡✱ 1❡♠♣"❡ ✐♥ Z✱ ✈❛❧❡ ❧❛ ▲❡❣❣❡ ♠♦❞✉❧❛#❡ ❢"❛ ❧❡ ♦♣❡"❛③✐♦♥✐ *"❛ ✐❞❡❛❧✐ ∩ ❡ +✱ ♠❛ 1❡♥③❛ ❛❧❝✉♥ ✈✐♥❝♦❧♦ *"❛ ❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ✐♥*❡"❡11❛*✐✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✺✸✳ ❙✐❛ A = K[X1, ..., Xn]❡❞ I =< X1, ..., Xn > ✐❧ 1✉♦ ✐❞❡❛❧❡ ✜♥✐*❛♠❡♥*❡ ❣❡♥❡"❛*♦ ❞❛ X1, ..., Xn❀ ❛❧❧♦"❛✱ ❡✈✐❞❡♥*❡✲ ♠❡♥*❡ Im 2 ❧✬✐♥1✐❡♠❡ ❞✐ *✉**✐ ✐ ♣♦❧✐♥♦♠✐ ✐♥ n✲✐♥❞❡*❡"♠✐♥❛*❡ *❛❧✐ ❝❤❡ ✐ ❧♦"♦ *❡"♠✐♥✐ ♥♦♥ 1✐❛♥♦ ❞✐ ❣"❛❞♦ ♠✐♥♦"❡ ❞✐ m✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✺✹✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❡❞ I✱ J ❞✉❡ 1✉♦✐ ✐❞❡❛❧✐✳ ■♥ ❣❡♥❡"❛❧❡✱ ✈❛❧❡ ❝❤❡ (I + J)· (I ∩ J) = I · (I ∩ J) + J · (I ∩ J) ⊆ I · J ✷✺
■♥ ♣❛$%✐❝♦❧❛$❡✱ ,❡ A = Z ,✐ ❤❛ (I + J)· (I ∩ J) = I · J ❚✉%%❛✈✐❛✱ ❡,,❡♥❞♦ ❜❛♥❛❧♠❡♥%❡ I · J ⊆ I ∩ J✱ ♣❡$ ♦❣♥✐ ❛♥❡❧❧♦ A ,✐ ♣✉5 ,❝$✐✈❡$❡ I + J =< 1 >=⇒ I ∩ J = I · J ❡ 6✉❡,%♦ ♣♦$%❛ ♥❛%✉$❛❧♠❡♥%❡ ❛❧❧❛ ,❡❣✉❡♥%❡ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✺✺✳ ❉✉❡ ✐❞❡❛❧✐✱ I ❡ J✱ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A *♦♥♦ ❞❡++✐ ❝♦♣.✐♠✐ ✭♦ ❝♦♠❛**✐♠❛❧✐✮ *❡ ❡ *♦❧♦ *❡ I + J =< 1 >⇐⇒ ∃x ∈ I, ∃y ∈ J|x + y = 1 ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✺✻✳ ❙✐❛♥♦ A1, ..., An ❛♥❡❧❧✐✳ ■❧ ❧♦.♦ ♣.♦❞♦++♦ ❞✐.❡+✲ +♦ 6 ❧✬❛♥❡❧❧♦ ✭❝♦♠♠✉+❛+✐✈♦✱ ✉♥✐+❛.✐♦✮ A = n Y i=1 Ai = {(x1, ..., xn)|xi ∈ Ai,∀i = 1, ..., n} ❝♦♥ ❧❡ ♦♣❡.❛③✐♦♥✐ ❞✐ *♦♠♠❛ ❡ ♣.♦❞♦++♦ ❞❡✜♥✐+❡✱ ❛ ♣❛.+✐.❡ ❞❛ ;✉❡❧❧❡ ❞❡❣❧✐ Ai✱ ❝♦♠♣♦♥❡♥+❡ ♣❡. ❝♦♠♣♦♥❡♥+❡✳ ❖,,❡-✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✺✼✳ ❙✐❛ A ❧✬❛♥❡❧❧♦ ❞❡%❡$♠✐♥❛%♦ ❞❛❧ ♣$♦❞♦%%♦ ❞✐✲ $❡%%♦ ❞❡❣❧✐ ❛♥❡❧❧✐ A1, ..., An✳ ▲✬❡❧❡♠❡♥%♦ ✐❞❡♥%✐❝♦ ❞✐ A < ♦✈✈✐❛♠❡♥%❡ ✷✻
1A = (1A1, ..., 1An)✳ ❉❡✜♥✐❛♠♦ ✐♥♦❧*+❡ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛③✐♦♥❡ ♣+♦✐❡③✐♦♥❡ ❞✐ A 1✉❧ ❢❛**♦+❡ Ai ❝♦♠❡ pi : A −→ Ai, pi(x) = xi✱ ❧❛ 5✉❛❧❡ 6 ✉♥ ♦♠♦♠♦+✜1♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐ ✭1✐ ✈❡❞❛ ❧❛ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✮✳ *+♦♣♦-✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✺✽✳ ❙✐❛♥♦ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✱ I1, ..., In ❞❡✐ *✉♦✐ ✐❞❡❛✲ ❧✐ ❡ ❝♦♥*✐❞❡-✐❛♠♦ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛③✐♦♥❡ φ : A −→ Qn i=1(A/Ii), φ(x) = (x + I1, ..., x + In)✱ ❝❤❡ 3 ✉♥ ♦♠♦♠♦-✜*♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐❀ ❛❧❧♦-❛ ✶✳ *❡ ♣❡- ♦❣♥✐ i 6= j Ii ❡❞ Ij *♦♥♦ ❝♦♠♣-✐♠✐✱ *✐ ❤❛ Qni=1Ii = Tn i=1Ii✳ ✷✳ φ 3 *✉-✐❡::✐✈❛ *❡ ❡ *♦❧♦ *❡ Ii ❡❞ Ij *♦♥♦ ❝♦♣-✐♠✐ ♣❡- ♦❣♥✐ i 6= j✳ ✸✳ φ 3 ✐♥✐❡::✐✈❛ *❡ ❡ *♦❧♦ *❡ Tn i=1Ii = 0✳ ❆♥❞✐❛♠♦ ♦+❛ ❛ ❞❡❧✐♥❡❛+❡ ✐ ❝♦♥❝❡**✐ ❞✐ ✐❞❡❛❧❡ ❛♥♥✉❧❧❛*♦+❡ ❡ +❛❞✐✲ ❝❛❧❡✱ ❢♦♥❞❛♠❡♥*❛❧✐ ♣❡+ ✐❧ ♣+♦1✐❡❣✉♦ ❞❡❧❧❛ *+❛**❛③✐♦♥❡✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✺✾✳ ❙✐❛♥♦ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❡❞ I✱ J ❞✉❡ *✉♦✐ ✐❞❡❛❧✐✳ ■❧ >✉♦③✐❡♥:❡ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ I ❡ J 3 ❧✬✐❞❡❛❧❡ (I : J) = {x ∈ A|xJ ⊆ I} ✷✼
■♥ ♣❛$%✐❝♦❧❛$❡✱ ✐❧ ,✉♦③✐❡♥%❡ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ (0 : J) ❞✐ 0 ❡ J 0 ❞❡%%♦ ❧✬❛♥♥✉❧✲ ❧❛%♦$❡ ❞✐ J ❡ 3✐ ✐♥❞✐❝❛ ❛♥❝❤❡ ❝♦♥ ❆♥♥A(J) = {x ∈ A|xJ = 0} ◆❡❧ 3❡❣✉✐%♦ ✉3❡$❡♠♦ ✐♥❞✐❝❛$❡✱ ,✉❛♥❞♦ ♥♦♥ ❝✐ 3✐❛♥♦ ❛♠❜✐❣✉✐%9✱ ❆♥♥A(J) 3❡♠♣❧✐❝❡♠❡♥%❡ ❝♦♥ ❆♥♥ (J)✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✵✳ ■♥ ❣❡♥❡%❛❧❡✱ )✐ ♣✉- ❞❡✜♥✐%❡ ❢♦%♠❛❧♠❡♥3❡ ❧✬✐♥✲ )✐❡♠❡ (I : J) ❛♥❝❤❡ 8✉❛♥❞♦ I ❡ J )♦♥♦ )♦❧♦ )♦33♦✐♥)✐❡♠✐ ❞❡❧❧✬❛♥❡❧❧♦ A✳ ■♥ 3❛❧ ❝❛)♦✱ ♦✈✈✐❛♠❡♥3❡ (I : J) ♥♦♥ ; ♥❡❝❡))❛%✐❛♠❡♥3❡ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡✳ ❙❡❣✉❡♥❞♦ ❧❛ ♥♦3❛③✐♦♥❡ ❞❡❧❧❛ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✺✾✱ ❧✬✐♥)✐❡♠❡ ❞✐ 3✉33✐ ❣❧✐ ③❡%♦ ❞✐✈✐)♦%✐ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A ; D = [ x6=0 ❆♥♥ (< x >) ■♥♦❧3%❡ )❡ J ; ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣%✐♥❝✐♣❛❧❡ ❞✐ A✱ ❛❧❧♦%❛ )❝%✐✈❡%❡♠♦ ❝❤❡ ✐❧ 8✉♦③✐❡♥3❡ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ 3%❛ I ❡ J ; (I : x) ❡ ♥♦♥ (I :< x >)✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✶✳ ❙✐❛ A = Z✱ I =< x > ❡ J =< y >✱ ❝♦♥ x = Y p primo pµp, y = Y p primo pνp ❧❡ ❞❡❝♦♠♣♦)✐③✐♦♥✐ ✐♥ ❢❛33♦%✐ ♣%✐♠✐ ❞❡✐ ♥✉♠❡%✐ x ❡❞ y✳ ❆❧❧♦%❛ (I : J) = (x : y) =< q > ✷✽
❞♦✈❡ q = Y p primo pγp, γ p = max (µp− νp, 0) = µp− min (µp, νp) ◗✉✐♥❞✐ q = x (x,y)✱ ❝♦♥ (x, y) ✐❧ ♠❛--✐♠♦ ❝♦♠✉♥❡ ❞✐✈✐-♦.❡ /.❛ x ❡❞ y✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✷✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✳ ❱❛❧❣♦♥♦ ❧❡ -❡❣✉❡♥/✐ ♣.♦✲ ♣.✐❡/6 -✉✐ 7✉♦③✐❡♥/✐ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐✿ ✶✳ I ⊆ (I : J)✱ ♣❡. ♦❣♥✐ I✱ J ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A✳ ✷✳ (I : J) · J ⊆ I✱ ♣❡. ♦❣♥✐ I✱ J ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A✳
✸✳ ((I : J) : Z) = (I : Z · J) = ((I : Z) : J)✱ ♣❡. ♦❣♥✐ I✱ J✱ Z ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A✳ ✹✳ "Ti∈ΓIi : J = Ti∈Γ(Ii : J)✱ ♣❡. ♦❣♥✐ ❢❛♠✐❣❧✐❛ {Ii}i∈Γ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A ❡ ♣❡. ♦❣♥✐ J ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A✳ ✺✳ "I : Pi∈ΓJi = Ti∈Γ(I : Ji)✱ ♣❡. ♦❣♥✐ I ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A ❡ ♣❡. ♦❣♥✐ ❢❛♠✐❣❧✐❛ {Ji}i∈Γ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A✳ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✸✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ❡❞ I ✉♥ )✉♦ ✐❞❡❛❧❡✳ ■❧ ,❛❞✐❝❛❧❡ ❞✐ I . ✐❧ )♦//♦✐♥)✐❡♠❡ ❞✐ A r (I) = {x ∈ A|xn ∈ I, ♣❡. 7✉❛❧❝❤❡ n > 0} ✷✾
❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✹✳ ■❧ "❛❞✐❝❛❧❡ r (I) ❞✐ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ I ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A + ❛ ,✉❛ ✈♦❧.❛ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A❀ ✐♥❢❛..✐✱ ♣"❡,♦ π ❧✬♦♠♦♠♦"✜,♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐ ✐♥."♦❞♦..♦ ♥❡❧❧✬❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✾✱ ,✐ ♣✉6 ,❝"✐✈❡"❡ r (I) = π−1"ℜA/I ✳ ▼❛ "✐❝♦"❞❛♥❞♦ ❝❤❡ ✈❛❧❣♦♥♦ ❧❡ /#♦♣♦!✐③✐♦♥✐ ✶✳✶✳✶✵ ❡ ✶✳✶✳✹✸✱ ❝❡".❛♠❡♥.❡ ✐❧ "❛❞✐❝❛❧❡ ❞✐ I + ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A✳ /#♦♣♦!✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✺✳ ❙✐❛ A ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✳ ❱❛❧❣♦♥♦ ❧❡ ,❡❣✉❡♥.✐ ♣"♦✲ ♣"✐❡.> ,✉✐ "❛❞✐❝❛❧✐✿
✶✳ r (I) ⊇ I✱ ♣❡" ♦❣♥✐ I ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A✳
✷✳ r (r (I)) = r (I)✱ ♣❡" ♦❣♥✐ I ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A✳
✸✳ r (I · J) = r (I ∩ J) = r (I) ∩ r (I)✱ ♣❡" ♦❣♥✐ I✱ J ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A✳ ✹✳ r (I) =< 1 > ,❡ ❡ ,♦❧♦ ,❡ I =< 1 >
✺✳ r (I + J) = r (r (I) + r (J))✱ ♣❡" ♦❣♥✐ I✱ J ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A✳
✻✳ ❙❡ I + ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣"✐♠♦ ❞✐ A✱ ❛❧❧♦"❛ r (In) = I ♣❡" ♦❣♥✐ n > 0✳
/#♦♣♦!✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✻✳ ■❧ "❛❞✐❝❛❧❡ ❞✐ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ I ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A + ✉❣✉❛❧❡ ❛❧❧✬✐♥.❡"/❡③✐♦♥❡ ❞✐ .✉..✐ ❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ♣"✐♠✐ ❞✐ A ❝❤❡ ❝♦♥.❡♥❣❛♥♦ I /.❡//♦✳
❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✼✳ ▲❛ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✸ ♣✉$ ❡&&❡'❡ ❣❡♥❡'❛✲ ❧✐③③❛.❛ ❛❞ ✉♥ &♦..♦✐♥&✐❡♠❡ 2✉❛❧✉♥2✉❡ E ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A✳ ▲✬✐♥&✐❡♠❡ ❝♦&6 ♦..❡♥✉.♦✱ r (E)✱ 8 ✉♥ &♦..♦✐♥&✐❡♠❡ ❞✐ A ♠❛ ✐♥ ❣❡♥❡'❛❧❡ ♥♦♥ 8 ✉♥ &✉♦ ✐❞❡❛❧❡ ❡❞ 8 ❞❡..♦ '❛❞✐❝❛❧❡ ❞✐ E✳ ■♥ ♣❛'.✐❝♦❧❛'❡✱ ♣❡' r (E) ✈❛❧❡ ❝❤❡ r [ α∈Γ Eα ! = [ α∈Γ r (Eα), ∀Eα ⊆ A ▲❡ "❡❣✉❡♥&✐ ❞✉❡ !♦♣♦$✐③✐♦♥✐ ❝❛+❛&&❡+✐③③❛♥♦ ❧✬✐❞❡❛❧❡ +❛❞✐❝❛❧❡ ❞✐ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ 0✉❛❧✉♥0✉❡ ❡ ❞✐"❝❡♥❞♦♥♦ ❞✐+❡&&❛♠❡♥&❡ ❞❛❧❧❛ !♦♣♦$✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✺✳ !♦♣♦$✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✽✳ ❙✐❛ D ❧✬✐♥&✐❡♠❡ ❞✐ *✉**✐ ❣❧✐ ③❡.♦ ❞✐✈✐&♦.✐ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A✳ ❆❧❧♦.❛ D = [ x6=0 r (❆♥♥ (< x >)) !♦♣♦$✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✻✾✳ ❙✐❛♥♦ I✱ J ❞✉❡ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A *❛❧✐ ❝❤❡ ✐ ❧♦.♦ .❛❞✐❝❛❧✐ r (I)✱ r (J) &✐❛♥♦ ❝♦♣.✐♠✐✳ ❆❧❧♦.❛ I ❡ J &♦♥♦ ❝♦♣.✐♠✐✳
❖$$❡!✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✼✵✳ ❙✐❛ A = Z✱ I =< x > ❡ "✐❛♥♦ pi, i =
1, ..., r✱ ✐ ❢❛$$♦&✐ ♣&✐♠✐ ❞✐ x❀ ❛❧❧♦&❛ r (I) =< p1· · · pr >= r \ i=1 < pi > !♦♣♦$✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✼✶✳ ■♥ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ ◆♦❡(❤❡*✐❛♥♦ A ♦❣♥✐ ✐❞❡❛❧❡ I ❝♦♥(✐❡♥❡ ✉♥❛ ♣♦(❡♥③❛ ❞❡❧ 1✉♦ *❛❞✐❝❛❧❡ r(I)✳ ❉✐♠♦1(*❛③✐♦♥❡✳ ❙✐❛ I ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A✳ ❊22❡♥❞♦ ✐❧ &❛❞✐❝❛❧❡ ❞✐ I ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A ❡❞ ❡22❡♥❞♦ A ◆♦❡$❤❡&✐❛♥♦✱ r (I) 6 ✜♥✐$❛♠❡♥$❡ ❣❡♥❡&❛$♦❀ 2✐❛♥♦ x1, ..., xm ✐ ❣❡♥❡&❛$♦&✐ ❞✐ r (I)✳ ❆❧❧♦&❛✱ ♣❡& ♦❣♥✐ i ∈ {1, ..., m}✱
❡2✐2$❡ ❛❧♠❡♥♦ ✉♥ ni ∈ N $❛❧❡ ❝❤❡ xnii ∈ I ❡ ❞✉♥:✉❡✱ ♣♦♥❡♥❞♦ n =
maxini✱ 2✐ ♦$$✐❡♥❡ 2✉❜✐$♦ ❝❤❡ r (I)n ⊆ I✱ ❝✐♦6 ❧✬❛22❡&$♦✳
=❛22✐❛♠♦ ♦&❛ ❛ ❞❛&❡ ❧❡ ❉❡✜♥✐③✐♦♥✐ ❡ ♣&♦♣&✐❡$> ❞❡❧❧❡ ❡2$❡♥2✐♦♥✐ ❡ ❝♦♥$&❛③✐♦♥✐ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦✳
❖$$❡!✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✼✷✳ ❙✐❛♥♦ A✱ B ❛♥❡❧❧✐ ❡ f : A −→ B ✉♥ ♦♠♦✲ ♠♦&✜2♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✳ ❙❡ I 6 ✉♥ ✐❞❡❧❡ ❞✐ A✱ ✐❧ 2♦$$♦✐♥2✐❡♠❡ f (I) ❞✐ B ♥♦♥ 6 ♥❡❝❡22❛&✐❛♠❡♥$❡ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ B✱ ❝♦♠❡ ♠♦2$&❛ ❧✬❡2❡♠♣✐♦ ❞♦✈❡ 2✐❛ A = Z✱ B = Q✱ f ❧✬✐♥❝❧✉2✐♦♥❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛ ❡❞ I 6= 0 ✉♥ :✉❛❧✉♥:✉❡ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ Z✳ ❉✬❛❧$&♦ ❝❛♥$♦ 2❡ J 6 ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ B✱ ❛❧❧♦&❛ ❧❛ 2✉❛ ❝♦♥✲ $&♦✐♠♠❛❣✐♥❡ ✐♥ A✱ f−1(J)✱ 6 2❡♠♣&❡ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A✳ ❊❝❝♦ ❝❤❡ 2✐
❞❛♥♥♦ ✐♥ ♠❛♥✐❡&❛ ♥❛✉&❛❧❡ ❧❡ 2❡❣✉❡♥$✐ ❉❡✜♥✐③✐♦♥✐✳
❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✼✸✳ ❙✐❛♥♦ A✱ B ❛♥❡❧❧✐✱ I ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A ❡❞ f : A −→ B ✉♥ ♦♠♦♠♦+✜-♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✳ ❈❤✐❛♠✐❛♠♦ ❡-1❡♥-✐♦♥❡ ❞✐ I ❡ ❧♦ ✐♥❞✐❝❤✐❛♠♦ ❝♦♥ Ie✱ ❧✬✐❞❡❛❧❡ ❞✐ B ❣❡♥❡+❛1♦ ❞❛ f (I)✱ ♦✈✈❡+♦ Ie =< f (I) >= B · f (I) = X f inita yif (xi)|xi ∈ I, yi ∈ B ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✼✹✳ ❙✐❛♥♦ A✱ B ❛♥❡❧❧✐✱ J ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ B ❡ f : A −→ B ✉♥ ♦♠♦♠♦+✜-♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✳ ❈❤✐❛♠✐❛♠♦ ❝♦♥1+❛③✐♦♥❡ ❞✐ J ❡ ❧♦ ✐♥❞✐❝❤✐❛♠♦ ❝♦♥ Jc✱ ❧✬✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A f−1(J)✳ ❖--❡.✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✼✺✳ ❈♦♥#✐❞❡'✐❛♠♦ A✱ B ❛♥❡❧❧✐ ❡ f : A −→ B ✉♥ ♦♠♦♠♦'✜#♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐❀ ♣'❡#♦ I ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣'✐♠♦ ❞✐ A✱ ✐♥ ❣❡♥❡'❛❧❡ Ie ♥♦♥ 1 ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣'✐♠♦ ❞✐ B✱ ✐♥❢❛33✐ ❜❛#3❛ ♣'❡♥❞❡'❡ f : Z −→ Q ❡ < x >6= 0 ✉♥ 5✉❛❧✉♥5❡ ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ Z✱ ♣❡' ❝✉✐ < x >e= Q ♥♦♥ 1 ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣'✐♠♦ ❞✐ Q✳ ▼❛ #❡ J 1 ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣'✐♠♦ ❞✐ B✱ ❛❧❧♦'❛ Jc 1 ❝❡'3❛♠❡♥3❡ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣'✐♠♦ ❞✐ A ❞❛❧❧✬❖--❡.✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✷✻✳ ❖--❡.✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✼✻✳ ❈♦♥#✐❞❡'✐❛♠♦ ❛♥❝♦'❛ f : A −→ B ✉♥ ♦♠♦♠♦'✜#♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✳ :♦##✐❛♠♦ #❡♠♣'❡ ❢❛33♦'✐③③❛'❡ f ❝♦♠❡ #❡❣✉❡✿ A→ f(A)p → Bj ❝♦♥ p #✉'✐❡33✐✈❛ ❡ j ✐♥✐❡33✐✈❛ ✭✐♥ ♣'❛3✐❝❛✱ p 1 ❧❛ '❡#3'✐③✐♦♥❡ ❞✐ f ❛❞ ✸✸
f (A) ✉❧ ❝♦❞♦♠✐♥✐♦ ❡ j * ❧✬✐♥❝❧✉ ✐♦♥❡ ❞✐ f(A) ✐♥ B✮✳ ❖/❛✱ ❞❛❧✲ ❧✬❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✶ ❡ ❞❛❧❧❛ ,#♦♣♦!✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✶✵✱ ❝❡/3❛♠❡♥3❡ p ❞❡3❡/♠✐♥❛ ✉♥❛ ❝♦// ✐♣♦♥❞❡♥③❛ ❜✐✉♥✐✈♦❝❛ 3/❛ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ f(A) ❡❞ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ A 3❛❧✐ ❝❤❡ ❝♦♥3❡♥❣❛♥♦ ker (f) ❡❞ ❛❞ ✐❞❡❛❧✐ ♣/✐♠✐ ❝♦//✐ ♣♦♥✲ ❞♦♥♦ ✐❞❡❛❧✐ ♣/✐♠✐✳ :❡/;✱ ♣❡/ <✉❡❧ ❝❤❡ ❝♦♥❝❡/♥❡ j ❧❛ ✐3✉❛③✐♦♥❡ ♥♦♥ * ❝♦ = ❡♠♣❧✐❝❡✱ ❝♦♠❡ ♠♦ 3/❛ ✐❧ ❡❣✉❡♥3❡ ❡ ❡♠♣✐♦ ❞✐ 3❡♦/✐❛ ❛❧❣❡❜/✐❝❛ ❞❡✐ ♥✉♠❡/✐✿ ✐❛ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛③✐♦♥❡ Z −→ Z[i]✱ ❝♦♥ i = √−1✳ :/❡ ♦ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣/✐♠♦ < x > ❞✐ Z✱ ♥♦♥ * ❞❡33♦ ❝❤❡ ❧❛ ✉❛ ❡ 3❡♥③✐♦♥❡ ✐♥ Z[i] ✐❛ ✉♥ ✐❞❡❛✲ ❧❡ ♣/✐♠♦❀ ✐♥❢❛33✐✱ Z[i] * ✉♥ ❞♦♠✐♥✐♦ ❛❞ ✐❞❡❛❧✐ ♣/✐♥❝✐♣❛❧✐ ✭ ✐ ✈❡❞❛ ❧❛ ❉❡✜♥✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✹✶✮✱ ♣❡/❝❤B ✈❛❧❡ ✐♥ ❡ ♦ ❧✬❛❧❣♦/✐3♠♦ ❞❡❧❧❛ ❞✐✈✐ ✐♦♥❡ ❡✉❝❧✐❞❡❛ ❡ ✈❛❧❡ <✉❛♥3♦ ❡❣✉❡✿ ✶✳ < 2 >e=< 1 + i >2✱ ❝✐♦* ❧✬❡ 3❡♥③✐♦♥❡ ❞❡❧❧✬✐❞❡❛❧❡ < 2 > ✐♥ Z[i] * ✐❧ <✉❛❞/❛3♦ ❞✐ ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣/✐♠♦ ❞✐ Z[i]✳ ✷✳ ❙❡ x ∈ Z ♣/✐♠♦ * 3❛❧❡ ❝❤❡ x ≡ 1 mod 4✱ ❛❧❧♦/❛ < x >e * ✐❧ ♣/♦❞♦33♦ ❞✐ ❞✉❡ ❞✐ 3✐♥3✐ ✐❞❡❛❧✐ ♣/✐♠✐ ❞✐ Z[i]✱ ♣❡/ ❡ ❡♠♣✐♦ < 5 >e=< 2 + i >· < 2 − i > ✸✹
✸✳ ❙❡ x ∈ Z ♣%✐♠♦ ) *❛❧❡ ❝❤❡ x ≡ 3 mod 4✱ ❛❧❧♦%❛ < x >e ) ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ♣%✐♠♦ ❞✐ Z[i]✳ ❉✐ 4✉❡5*❡ *%❡ ♣♦55✐❜✐❧✐*7✱ ❧❛ 5❡❝♦♥❞❛ ♥♦♥ ) ❜❛♥❛❧❡✱ ♣❡%❝❤8 )✱ ❛ *✉**✐ ❣❧✐ ❡✛❡**✐✱ ❡4✉✐✈❛❧❡♥*❡ ❛❞ ✉♥ ❚❡♦#❡♠❛ ❞✐ ❋❡#♠❛)✱ ✐♥ ♣❛%*✐❝♦❧❛%❡ 4✉❡❧❧♦ ❝❤❡ ❛✛❡%♠❛ ❝❤❡ 5❡ x ) ✉♥ ♥✉♠❡%♦ ♣%✐♠♦ *❛❧❡ ❝❤❡ x ≡ 1 mod 4✱ ❛❧❧♦%❛ ❡55♦ ♣✉< ❡55❡%❡ ❡5♣%❡55♦ ✐♥ ♠♦❞♦ ✉♥✐❝♦ ❝♦♠❡ 5♦♠♠❛ ❞✐ ❞✉❡ 4✉❛❞%❛*✐ ❞✐ ♥✉♠❡%✐ ✐♥*❡%✐✱ ♣❡% ❡5❡♠♣✐♦ 5 = 22+12 ♦ 97 = 92+42✳ ❈♦♠❡ 5✐ ✐♥*✉✐5❝❡ ❞❛❧❧✬❖++❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✼✻✱ ❧♦ 5*✉❞✐♦ ❞❡❧ ❝♦♠✲ ♣♦%*❛♠❡♥*♦ ❞❡❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ♣%✐♠✐ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A ❡5*❡5✐ ❛❧ ❝♦❞♦♠✐♥✐♦ B ❞✐ ✉♥ ♦♠♦♠♦%✜5♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐ ) ✉♥ ♣%♦❜❧❡♠❛ ❝♦♠♣❧✐❝❛*♦ ❡ ❝❡♥*%❛❧❡ ♥❡❧❧❛ *♦❡%✐❛ ❛❧❣❡❜%✐❝❛ ❞❡✐ ♥✉♠❡%✐✳ ❈♦♥*✐♥✉✐❛♠♦ ❞❛♥❞♦ ❛❧❝✉♥❡ ♣%♦✲ ♣%✐❡*7 ❢♦♥❞❛♠❡♥*❛❧✐ ❞❡❧❧❡ ❡5*❡♥③✐♦♥✐ ❡ ❝♦♥*%❛③✐♦♥✐ ❞✐ ✐❞❡❛❧✐✱ *%❛♠✐*❡ ❧❡ 5❡❣✉❡♥*✐ 3#♦♣♦+✐③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✼✼✳ ❙✐❛ f : A −→ B ✉♥ ♦♠♦♠♦'✜)♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✱ I ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞❡❧❧✬❛♥❡❧❧♦ A ❡ J ✉♥ ✐❞❡❛❧❡ ❞❡❧❧✬❛♥❡❧❧♦ B✳ ❆❧❧♦'❛ ✈❛❧❡ ❝❤❡ ✶✳ I ⊆ Iec ❡ J ⊃ Jce✳ ✷✳ Jc = Jcec ❡ Ie = Iece✳ ✸✺
✸✳ ❙❡ C $ ❧✬✐♥)✐❡♠❡ ❞❡❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ❝♦♥01❛00✐ ❞✐ A ❡ E $ ❧✬✐♥)✐❡♠❡ ❞❡❣❧✐ ✐❞❡❛❧✐ ❡)0❡)✐ ❞✐ B✱ ❛❧❧♦1❛ C = {I ⊆ A tc Iec = I} ❡ E = {J ⊆ B tc Jce = J}✳ ■♥♦❧01❡✱ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛③✐♦♥❡ C −→ E✱ I 7−→ Ie $ ❜✐✐❡00✐✈❛ ❝♦♥ ✐♥✈❡1)❛ J 7−→ Jc✳ ❖!!❡#✈❛③✐♦♥❡ ✶✳✶✳✼✽✳ ❙❡ I1✱ I2 #♦♥♦ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ A ❡ J1✱ J2 #♦♥♦ ✐❞❡❛❧✐ ❞✐ ✉♥ ❛♥❡❧❧♦ B ❡ f : A −→ B + ✉♥ ♦♠♦♠♦-✜#♠♦ ❞✐ ❛♥❡❧❧✐✱ ❛❧❧♦-❛ ❧❡ ❡#/❡♥③✐♦♥✐ ❡ ❧❡ ❝♦♥/-❛③✐♦♥✐ ❣♦❞♦♥♦ ❞❡❧❧❡ ♣-♦♣-✐❡/4 ✶✳ (I1 + I2)e = I1e + I2e✳ ✷✳ (J1 + J2)c ⊃ J1c + J2c✳ ✸✳ (I1 ∩ I2)e ⊆ I1e∩ I2e✳ ✹✳ (J1 ∩ J2)c = J1c ∩ J2c✳ ✺✳ (I1 · I2)e = I1e · I2e✳ ✻✳ (J1 · J2)c ⊃ J1c · J2c✳ ✼✳ (I1 : I2)e ⊆ (I1e : I2e)✳ ✽✳ (J1 : J2)c ⊆ (J1c : J2c)✳ ✾✳ r (I)e ⊆ r (Ie)✱ ♣❡- ♦❣♥✐ I ✐❞❡❛❧❡ ❞✐ A✳ ✸✻
