Quesiti

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LICEO DELLA COMUNICAZIONE 2010 -

SESSIONE SUPPLETIVA

QUESITO 1

Si determini il campo di esistenza della funzione:

𝑦 =

√2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − √3

log 𝑐𝑜𝑠𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

Il campo di esistenza si ottiene risolvendo il seguente sistema:

{ 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − √3 ≥ 0 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0 log 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ; { 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − √3 ≥ 0 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0 𝑙𝑜𝑔 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ; { 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) ≥ √3 2 0 ≤ 𝑥 ≤𝜋 2 ; 3 2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 cos 𝑥 ≠ 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 { 𝜋 3+ 2𝑘𝜋 ≤ 2𝑥 ≤ 2 3𝜋 + 2𝑘𝜋 0 ≤ 𝑥 ≤𝜋 2 ; 3 2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 2𝜋 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ; { 𝜋 6+ 𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 3+ 𝑘𝜋 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 ; 3 2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 2𝜋 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ; { 𝜋 6 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 3, 7 6𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 4 3𝜋 0 ≤ 𝑥 ≤𝜋 2 ; 3 2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 2𝜋 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

Il campo di esistenza è quindi: 𝜋

6 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 3

QUESITO 2

Si il limite della funzione √𝑥+√𝑥−1−1

√𝑥2₋₁ , quando x tende a 1 +_.

Il limite si presenta nella forma indeterminata [0

0].

La funzione può essere scritta nella forma: √𝑥 − 1 √𝑥2_{− 1}+ √𝑥 − 1 √𝑥2_{− 1} = 1 √𝑥 + 1+ (√𝑥 − 1)(√𝑥 + 1) √𝑥2_{− 1} ~ 1 √2+ 𝑥 − 1 √𝑥 + 1√𝑥 − 1= = 1 √2+ (𝑥 − 1)√𝑥 − 1 √2 (𝑥 − 1) = 1 √2+ √𝑥 − 1 √2 → 1 √2 𝑠𝑒 𝑥 → 1 +

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QUESITO 3

Si provi che le due funzioni 𝑓(𝑥) = cos2_{𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛}2_{𝑥 hanno le derivate uguali e}

se ne dia una giustificazione.

Risulta:

𝑓′_{(𝑥) = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) , 𝑔}′_{(𝑥) = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥}

Quindi le due funzioni hanno la stessa derivata.

Osserviamo che ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = cos2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 e quindi ℎ′(𝑥) = 0. Ma ℎ′(𝑥) = 𝑓′_{(𝑥) − 𝑔}′_{(𝑥), quindi 𝑓}′_{(𝑥) − 𝑔}′_{(𝑥) = 0 perciò 𝑓}′_{(𝑥) = 𝑔}′_(𝑥).

Si può anche notare che 𝑓(𝑥) = cos2_{𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛}2_{𝑥 = 1 + 𝑔(𝑥), quindi f e g differiscono}

per una costante e perciò hanno la stessa derivata.

QUESITO 4

Un rettangolo ABCD è tale che risulta AB = 4 e BC =1.

Si determini il triangolo isoscele di area minima circoscritto al rettangolo e tale che la base contenga il segmento AB.

Posto EI=x (con x>0), dalla similitudine fra i triangoli EFG ed EDC si ha: 𝐹𝐺: 𝐶𝐷 = 𝐸𝐻: 𝐸𝐼, 𝐹𝐺: 4 = (1 + 𝑥): 𝑥, 𝐹𝐺 =4(1 + 𝑥)

𝑥 L’area del triangolo EFG circoscritto al rettangolo dato è quindi: 𝐴(𝐸𝐹𝐺) = 1 2∙ 𝐹𝐺 ∙ 𝐸𝐻 = 1 2∙ 4(1+𝑥) 𝑥 ∙ (1 + 𝑥) = 2(1+𝑥)2 𝑥 che è mima se lo è: 𝑦 =2(1 + 𝑥) 2 𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 0

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3 / 7 Studiamo la derivata prima:

𝑦′_{= 2 −} 2

𝑥2 ≥ 0 𝑠𝑒 𝑥2− 1 ≥ 0, 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑟 𝑥 ≥ 1

Quindi y è crescente se x>1 e decrescente fra 0 ed 1: è minima se x=1. L’area del triangolo è minima se la sua altezza è 2; l’area minima vale 8.

QUESITO 5

Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse x della porzione di piano limitata dalla curva 𝑦 = 𝑥2_{− 𝑥}3_{e dall’asse delle x.}

Osserviamo che la curva taglia l’asse x nei punti di ascissa 0 ed 1 e che risulta 𝑥2_{− 𝑥}3 _{≥ 0 𝑠𝑒 𝑥}2_{(1 − 𝑥) ≥ 0 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1}

Il grafico qualitativo della funzione (cubica) è quindi il seguente:

Il volume richiesto si ottiene mediante il seguente calcolo integrale:

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝜋 ∫ (𝑥2− 𝑥3)2_𝑑𝑥 1 0 = 𝜋 ∫ (𝑥4− 2𝑥5 + 𝑥6)𝑑𝑥 1 0 = 𝜋 [𝑥 5 5 − 1 3𝑥 6₊𝑥7 7]₀ 1 = = 𝜋 (1 5− 1 3+ 1 7) = 𝜋 105 𝑢 3 _{≅ 0.030 𝑢}3 _{= 𝑉}

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QUESITO 6

In cima ad una roccia a picco sulla riva di un fiume è stata costruita una torretta

d’osservazione alta 11 metri. Le ampiezze degli angoli di depressione per un punto situato sulla riva opposta del fiume, misurate rispettivamente dalla base e dalla sommità della torretta, sono pari a 18° e 24°. Si determini la larghezza del fiume in quel punto.

Indichiamo con h l’altezza della roccia e con 𝑙 la larghezza del fiume. Risulta: ℎ = 𝑙 ∙ 𝑡𝑔18° , ℎ + 11 = 𝑙 ∙ 𝑡𝑔24° , da cui: ℎ 𝑡𝑔18°= ℎ + 11 𝑡𝑔24° ⟹ ℎ(𝑡𝑔24° − 𝑡𝑔18°) = 11 𝑡𝑔18° ⟹ ℎ = 11 𝑡𝑔18° 𝑡𝑔24° − 𝑡𝑔18° ≅ 29.71 𝑚 Quindi: 𝑙 = ℎ 𝑡𝑔18°≅ 29.71 𝑚 𝑡𝑔18° ≅ 91.44 𝑚

Il fiume, nel punto richiesto, è quindi largo circa 91.44 metri.

QUESITO 7

Considerata la funzione: 𝑓(𝑥) = 33𝑥−𝑎𝑥

6𝑥₋₅𝑥, dove a è una costante reale positiva, si determini

tale costante, sapendo che 𝑙𝑖𝑚_𝑥→0𝑓(𝑥) = 2 .

Risulta: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 33𝑥− 𝑎𝑥 6𝑥_{− 5}𝑥 = 𝑙𝑖𝑚_𝑥→0 𝑒3𝑥𝑙𝑛3− 𝑒𝑥𝑙𝑛𝑎 𝑒𝑥𝑙𝑛6_{− 𝑒}𝑥𝑙𝑛5 = 𝑙𝑖𝑚_𝑥→0 (𝑒3𝑥𝑙𝑛3_{− 1) − (𝑒}𝑥𝑙𝑛𝑎 _{− 1)} (𝑒𝑥𝑙𝑛6_{− 1) − (𝑒}𝑥𝑙𝑛5_{− 1)} = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 3𝑥𝑙𝑛3 − 𝑥𝑙𝑛𝑎 𝑥𝑙𝑛6 − 𝑥𝑙𝑛5 = 3𝑙𝑛3 − 𝑙𝑛𝑎 𝑙𝑛6 − 𝑙𝑛5 = 𝑙𝑛 (27_{𝑎 )} 𝑙𝑛 (6₅) = 2 𝑠𝑒 𝑙𝑛 (27 𝑎) = 2 ∙ 𝑙𝑛 ( 6 5) 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖 ∶

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5 / 7 𝑙𝑛 (27 𝑎 ) = 𝑙𝑛 ( 36 25) ⟹ 27 𝑎 = 36 25 ⟹ 𝑎= 27 ∙ 25 36= 75 4 (Nota: ricordiamo che , se 𝑓(𝑥) → 0 , risulta: 𝑒𝑓(𝑥)_{− 1 ~𝑓(𝑥) ).}

QUESITO 8

Su un piano orizzontale 𝛼 si pongono un cono circolare retto, il cui raggio di base è r e

l’altezza 2r, e una sfera di raggio r. A quale distanza x dal piano α bisogna segare questi due solidi con un piano orizzontale 𝛽, perché la somma delle aree delle sezioni così

ottenute sia massima?

La distanza x dal piano α soddisfa la limitazione: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑟 La sezione con il cono ha area: 𝑆(𝑐𝑜𝑛𝑜) = 𝜋 ∙ 𝐺𝐿2

Determiniamo GL.

Dalla similitudine fra i triangoli GLC e AEC segue che:

𝐺𝐿: 𝐶𝐿 = 𝐴𝐸: 𝐶𝐸 ⟹ 𝐺𝐿: (2𝑟 − 𝑥) = 𝑟: 2𝑟 ⟹ 𝐺𝐿 =2𝑟 − 𝑥 2 Quindi: 𝑆(𝑐𝑜𝑛𝑜) = 𝜋 ∙ 𝐺𝐿2 _{= 𝜋 ∙ (}2𝑟−𝑥

2 ) 2

La sezione con la sfera ha area: 𝑆(𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎) = 𝜋 ∙ 𝑆𝐻2

Per il secondo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo FSM risulta: 𝑆𝐻2 = 𝐹𝐻 ∙ 𝐻𝑀 = 𝑥(2𝑟 − 𝑥)

Quindi: 𝑆(𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎) = 𝜋 ∙ 𝑆𝐻2 = 𝜋 ∙ 𝑥 ∙ (2𝑟 − 𝑥) La somma delle aree delle sezioni è quindi: 𝑆 = 𝑆(𝑐𝑜𝑛𝑜) + 𝑆(𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎) = 𝜋 ∙ (2𝑟−𝑥

2 ) 2

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6 / 7 𝑦 = (2𝑟−𝑥 2 ) 2 + 𝑥 ∙ (2𝑟 − 𝑥) = (2𝑟 − 𝑥) (2𝑟−𝑥 4 + 𝑥) = (2𝑟 − 𝑥) ( 2𝑟+3𝑥 4 ) = max 𝑠𝑒 𝑙𝑜 è:

𝑧 = (2𝑟 − 𝑥)(2𝑟 + 3𝑥) = −3𝑥2_{− 4𝑟𝑥 + 4𝑟}2_{; tale funzione ha per grafico una parabola con}

la concavità rivolta verso il basso, quindi ha il massimo nel vertice, cioè per: 𝑥 = − 𝑏

2𝑎 = 4𝑟

6 = 2

3𝑟 , valore che soddisfa la limitazione della x.

In conclusione:

La somma delle aree delle sezioni è massima quando la distanza x dal piano di base α è uguale ai 2/3 del raggio di base del cono.

QUESITO 9

Si dimostri che per gli zeri 𝑥1 e 𝑥2 di una funzione 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 vale la relazione

𝑓′(𝑥1) + 𝑓′(𝑥2) = 0 e si dia una interpretazione geometrica della affermazione dimostrata.

Risulta: 𝑓′(𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏, quindi (ricordando che 𝑥₁+ 𝑥₂ = −𝑏/𝑎 ) 𝑓′_(𝑥

1) + 𝑓′(𝑥2) = (2𝑎𝑥1+ 𝑏) + (2𝑎𝑥2+ 𝑏) = 2𝑎(𝑥1+ 𝑥2) + 2𝑏 = 2𝑎 ∙ (−

𝑏

𝑎) + 2𝑏 = 0 Interpretazione geometrica:

le tangenti nei punti di intersezione di una parabola con l’asse delle x hanno coefficienti angolari opposti.

Infatti 𝑓′(𝑥1) è il coefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa 𝑥1 ed 𝑓′(𝑥2) è il

coefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa 𝑥2 e la relazione

𝑓′(𝑥₁) + 𝑓′(𝑥2) = 0 può essere vista nella forma 𝑓′(𝑥1) = −𝑓′(𝑥2).

QUESITO 10

Si calcoli il valore medio della funzione 𝑓 (𝑥) =𝑒𝑥(𝑥−1)

𝑥2 , nell’intervallo 1 ≤ 𝑥 ≤ 2.

Il valor medio richiesto è dato da:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎𝑏 𝑏 − 𝑎 = ∫ 𝑒 𝑥_{(𝑥 − 1)} 𝑥2 𝑑𝑥 2 1 2 − 1 = ∫ 𝑒𝑥_{(𝑥 − 1)} 𝑥2 𝑑𝑥 2 1

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7 / 7 Cerchiamo una primitiva di 𝑒𝑥(𝑥−1)

𝑥2 integrando per parti:

∫𝑒 𝑥_{(𝑥 − 1)} 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ (− 1 𝑥) ′ (𝑒𝑥(𝑥 − 1))𝑑𝑥 = −1 𝑥𝑒 𝑥_{(𝑥 − 1) − ∫ −}1 𝑥[𝑒 𝑥_{(𝑥 − 1) + 𝑒}𝑥_{]𝑑𝑥 =} = −𝑒𝑥+𝑒 𝑥 𝑥 + ∫ 1 𝑥(𝑥𝑒 𝑥_{− 𝑒}𝑥_{+ 𝑒}𝑥_{)𝑑𝑥 = −𝑒}𝑥₊𝑒𝑥 𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥_{𝑑𝑥 =}𝑒𝑥 𝑥 + 𝑘 Quindi: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎𝑏 𝑏 − 𝑎 = ∫ 𝑒𝑥(𝑥 − 1) 𝑥2 𝑑𝑥 2 1 = [𝑒 𝑥 𝑥]1 2 = 𝑒 2 2 − 𝑒 ≅ 0.98