Inversione di parametri di superfici classiche e frattali da misure di campo diffuso - Matematicamente

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI NAPOLI “FEDERICO II”

Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea Specialistica in

Ingegneria delle Telecomunicazioni

TESI DI LAUREA

IN

TELERILEVAMENTO E DIAGNOSTICA

ELETTROMAGNETICA

INVERSIONE DI PARAMETRI DI SUPERFICI CLASSICHE E

FRATTALI DA MISURE DI CAMPO DIFFUSO

RELATORE CANDIDATO

Ch.mo Prof. Daniele Riccio

De Rosa Nicola

CO-RELATORE matr. 887/ 34

Ing. Giuseppe Ruello

SOMMARIO

SOMMARIO

• Modello di inversione

• Risultati ottenuti

Problemi diretti ed inversi

Problemi diretti ed inversi

Problemi diretti:

Modello di superficie diffondente +

Parametri dielettrici +

Modello di scattering

elettromagnetico

Problemi inversi:

MISURE DI

Campo

diffuso

STIMA DEI

PARAMETRI

DIELETTRICI E DI

RUGOSITA’

Campo

diffuso

Modello di

inversione

• La superficie frattale usata nelle simulazioni dirette ed i cui

parametri devono essere recuperati nel processo inverso, è stata

costruita artificialmente sovrapponendo strati di cartone, resa

rugosa tramite copertura con alluminio, e circolare per minimizzare

gli effetti di bordo durante le misure.

PARAMETRI

k₀ [m-1_] 5.71 B [m] 0.011 H 0.7 ν 0.5e s [m1-H_] 0.0574894 S₀ [m2-2H _] 0.010

Problemi diretti ed inversi

• Algoritmo dei minimi quadrati:

Modello di inversione

Modello di inversione





_





 







N

i

i

MISURATO

i

TEORICO

f

1

2

0

0

_,

_H,

_s

s

H,









 

0



,

H

_VERO

,

s

_VERO



;

0 i TEORICO i MISURATO











• Con dati simulati

• Presuppone la disponibilità di misure multi-angolo;

• La funzione da minimizzare viene campionata con differenti passi al

variare della coppia (H,s) in intervalli predefiniti e messa in forma

matriciale;

• La posizione del minimo di tale matrice consente di ottenere di

volta in volta le stime dei parametri di interesse;

• L’algoritmo in generale è esaustivo-multiscala: le stime sono

ottenute per raffinamenti successivi.

Algoritmo di inversione per dati

Algoritmo di inversione per dati

simulati

simulati

≥ soglia

SI

NO

[H

2 min

, H

2max

, Δ

2H

]

[s

2 min

, s

2max

, Δ

2s

]

[H

1 min

,H

1max

, Δ

1H

]

[s

1 min

, s

1max

, Δ

1s

]

[H

3 min

, H

3max

, Δ

3H

]

[s

3 min

, s

3max

, Δ

3s

]

Algoritmo



_H

2

_,

_s

2







_H

_H

31

_,

_,

_s

_s

31





1s 2s 1H 2H 1s 1 2 max 1s 1 2 min 1H 1 2 max 1H 1 2 min

0.1Δ

Δ

0.1Δ

Δ

Δ

s

s

,

Δ

s

s

Δ

H

H

,

Δ

H

H





















2s 3s 2H 3H 2s 2 3 max 2s 2 3 min 2H 2 3 max 2H 2 3 min

0.1Δ

Δ

0.1Δ

Δ

Δ

s

s

,

Δ

s

s

Δ

H

H

,

Δ

H

H





















1 STIMA 1 STIMA

s

s

H

H





3 STIMA 3 STIMA

s

s

H

H













2 VERO 1 1s 2 VERO 1 1H

s

s

err

H

H

err

















2 VERO 2 2s 2 VERO 2 2H

s

s

err

H

H

err









2 STIMA 2 STIMA

s

s

H

H





Algoritmo

Algoritmo

generale

_generale

di inversione

_{di inversione}

≥ soglia

SI

NO

[H

2 min

, H

2max

, Δ

2H

]

[s

2 min

, s

2max

, Δ

2s

]

[H

1 min

,H

1max

, Δ

1H

]

[s

1 min

, s

1max

, Δ

1s

]

[H

3 min

, H

3max

, Δ

3H

]

[s

3 min

, s

3max

, Δ

3s

]

Algoritmo

[H

1 min

, H

1max

, Δ

0H

]

[s

1 min

, s

1max

, Δ

0s

]

Algoritmo



_H

1

_,

_s

1







_H

_H

32

_,

_,

_s

_s

32





1s 2s 1H 2H 1s 1 2 max 1s 1 2 min 1H 1 2 max 1H 1 2 min

0.1Δ

Δ

0.1Δ

Δ

Δ

s

s

,

Δ

s

s

Δ

H

H

,

Δ

H

H





















2s 3s 2H 3H 2s 2 3 max 2s 2 3 min 2H 2 3 max 2H 2 3 min

0.1Δ

Δ

0.1Δ

Δ

Δ

s

s

,

Δ

s

s

Δ

H

H

,

Δ

H

H





















1 STIMA 1 STIMA

s

s

H

H





2 STIMA 2 STIMA

s

s

H

H





3 STIMA 3 STIMA

s

s

H

H











_{1 0}



2 1s 2 0 1 1H

s

s

err

H

H

err















_{2 1}



2 2s 2 1 2 2H

s

s

err

H

H

err











_H

0

_,

_s

0



Risultati ottenuti nel caso frattale

Risultati ottenuti nel caso frattale

CONFRONTO TRA COEFFICIENTE DI BACKSCATTERING

TEORICO E MISURATO

•

I dati misurati sono stati ricavati mettendo la superficie costruita

artificialmente su un rotore in camera anecoica;

• Fino a 25° il modello di Kirchhoff verifica le misure come ci si

aspetta.

Risultati ottenuti

Risultati ottenuti

nel caso KA-fBm

_{nel caso KA-fBm}

con dati simulati

con dati simulati

[H

1 min

=0.1, H

1max

=0.9, Δ

1H

=10

-3

]

[s

1 min

=0.01, s

1max

=0.1, Δ

1s

=10

-5

]

H_STIMA=0.7 s_STIMA=0.05749 m1-H Polarizzazione HH

Versione non iterativa HSTIMA=0.702

s_STIMA=0.058 Versione iterativa H_STIMA=0.702 s_STIMA=0.058 m1-H Polarizzazione HH Versione iterativa

• La procedura è stata applicata nel range [4°,24°];

• Le stime non cambiano se si considera l’intero range [0°,70°].

Tempo di calcolo Decina di ore Tempo di calcolo 10 minuti

[H

1 min

=0.1, H

1max

=0.9,Δ

1H

=10

-1

]

[s

1 min

=0.01, s

1max

=0.1, Δ

1s

=10

-1

]

Risultati ottenuti

Risultati ottenuti

nel caso KA-fBm

_{nel caso KA-fBm}

con dati simulati affetti da rumore

con dati simulati affetti da rumore

• Introduzione di rumore gaussiano a media nulla e varianza tale da

garantire un fissato SNR;

• Con 200 realizzazioni la soglia di SNR accettabile per ottenere stime

buone è 14dB;

• La soglia si abbassa al crescere del numero di realizzazioni e cresce

col numero di dati considerati.

Polarizzazione HH 200 Realizzazioni H_STIMA=0.719 s_STIMA=0.062 m1-H Polarizzazione HH 20000 Realizzazioni H_STIMA=0.702 s_STIMA=0.058 m1-H

Risultati ottenuti

Risultati ottenuti

nel caso KA-fBm

_{nel caso KA-fBm}

con dati reali

con dati reali

Δ

_0H

=2*10

-1

_{, Δ}

0s

=2*10

-1

[H

1 min

=0, H

1max

=1, Δ

1H

=10

-1

]

[s

1 min

=0, s

1max

=1, Δ

1s

=10

-1

]

H

STIMA

=0.71

s

_STIMA

=0.058 m

1-H

Polarizzazione HH

H

STIMA

=0.69

s

_STIMA

=0.057 m

1-H

Polarizzazione VV

Risultati ottenuti

Risultati ottenuti

nel caso

_{nel caso}

SPM-fBm con dati reali

SPM-fBm con dati reali

Polarizzazione VV

H

STIMA

=0.531

S

_0STIMA

=0.002 m

2-2H

• I parametri da recuperare sono (S

0

,H);

• La procedura di minimizzazione è analoga al caso KA;

• Si è considerato il range [14°,38°].

Polarizzazione HH

H

STIMA

=0.417

S

_0STIMA

=0.001 m

2-2H

[H

1 min

=0, H

1max

=1, Δ

1H

=10

-3

]

[S

₀1 min

=0, S

01max

=1, Δ

_1S0

=10

-3

]

Risultati ottenuti

Risultati ottenuti

nel caso KA

_{nel caso KA}

con descrizione classica e dati reali

con descrizione classica e dati reali

• I parametri da recuperare sono la deviazione standard del profilo

σ e la lunghezza di correlazione L;

• I valori effettivi sono rispettivamente (σ =0.007m, L=0.033m);

Δ

_0σ

=2*10

-2

_{, Δ}

0L

=2*10

-2

[σ

1 min

=0, σ

1max

=1, Δ

1σ

=10

-2

]

[L

1 min

=0, L

1max

=1, Δ

1L

=10

-2

]

Polarizzazione HH σ_STIMA=0.01m L_STIMA=0.263m Autocorrelazione Esponenziale Polarizzazione HH σ_STIMA=0.0088m L_STIMA=0.072m Autocorrelazione Gaussiana

Risultati ottenuti

Risultati ottenuti

nel caso KA

_{nel caso KA}

con descrizione classica e dati reali

con descrizione classica e dati reali

• Effettuando la ricerca del minimo in [-1,1] per ambo i parametri con

gli stessi passi si ha:

• Analoghi risultati si hanno per polarizzazione VV ;

• Le stime errate o prive di interpretazione fisica si spiegano col fatto che la descrizione classica dei profili naturali non porta in conto le caratteristiche di non stazionarietà ed autoaffinità degli stessi.

• Stessi risultati nel caso SPM e descrizione classica.

Polarizzazione HH σ_STIMA=-0.01m L_STIMA=0.262m Autocorrelazione Esponenziale Polarizzazione HH σ_STIMA=-0.0088m L_STIMA=0.072m Autocorrelazione Gaussiana

• Al crescere del numero di angoli di incidenza considerato le

stime peggiorano perché non sono più soddisfatti i limiti di

validità di KA.

Risultati ottenuti

Risultati ottenuti

nel caso KA al

_{nel caso KA al}

crescere del numero di dati

crescere del numero di dati

Polarizzazione HH

_{Polarizzazione HH}

_{Polarizzazione HH}

• Fino a 38°-40° le stime sono ancora buone; per angoli maggiori

le stime si allontanano dai valori effettivi.

Risultati ottenuti nel caso KA al

Risultati ottenuti nel caso KA al

crescere del numero di dati

crescere del numero di dati

Polarizzazione VV

_{Polarizzazione VV}

• Fino a 30° le stime sono ancora buone; per angoli maggiori

le stime si allontanano dai valori effettivi;

• Analoghi risultati in polarizzazione HH e VV si ottengono usando

la procedura non iterativa.

Considerazioni sull’inversione

Considerazioni sull’inversione

• Ma siamo sicuri che il metodo proposto funzioni in generale?

• E’ un caso che i risultati ottenuti rispettino le aspettative teoriche e

che la procedura di minimizzazione dia i risultati sperati?

• E se la funzione da minimizzare avesse più minimi locali?

• La validità generale della procedura di minimizzazione dipende,

quindi, strettamente dalla forma della funzione da minimizzare;

• Se la funzione è convessa negli intervalli di analisi allora siamo

sicuri di ottenere il minimo globale;

Considerazioni sull’inversione

Considerazioni sull’inversione

• Grafichiamo la funzione da minimizzare nel caso di dati simulati:

Taglio per s=0.0574894

Valore minimo di

s=0.0574894

Taglio per H=0.7

Valore minimo di

H=0.7

Valore minimo di

s=0.0574894

Considerazioni sull’inversione

Considerazioni sull’inversione

•

E con dati misurati sperimentalmente?

•

Considerando i dati in polarizzazione HH nel range [2°,26°] si

ottengono questi tagli della funzione f (H,s), fissato uno dei valori

stimati dalla procedura:

•

Anche in tal caso la convessità dei tagli della funzione da

minimizzare ci assicura di non sbagliare nelle stime.

Taglio per H=0.71

Taglio per s=0.058

Valore minimo di

s=0.058

Valore minimo di

H=0.71

Conclusioni

Conclusioni

 E’ stato proposto un algoritmo di recupero di parametri superficiali

a partire da misure di campo diffuso del tutto generale;

 E’ stato applicato ad una superficie frattale a nostra disposizione

costruita artificialmente che rispetta i limiti di validità

dell’approccio di Kirchhoff e non dell’SPM ;

 I risultati dell’inversione sono stati buoni nel caso KA e non

nell’SPM confermando le aspettative teoriche;

 La procedura non funziona nel caso di descrizione classica della

superficie confermando che le complesse forme degli oggetti

naturali possono essere descritte in maniera adeguata solo

attraverso la geometria frattale;

 Lo studio della convessità della funzione da minimizzare ha

mostrato che l’algoritmo implementato consente sempre di

FINE PRESENTAZIONE

GRAZIE

PER

Geometria Frattale

Geometria Frattale

• Autoaffinità o autosimilarità:

su differenti scale, i frattali

deterministici (costruiti matematicamente al calcolatore come

la curva di Von Koch) saranno identici, mentre i frattali

aleatori presenteranno le stesse proprietà statistiche;

• Dimensione frattale:

misura il grado di frastagliatura ed

irregolarità di un oggetto; è in generale un numero reale

positivo (ad esempio la dimensione della curva di Von

Koch è 1.2618).

Geometria Frattale: fBm

Geometria Frattale: fBm

Un processo z(x,y) descrive una superficie fBm se per ogni

x, x’,y, y’, i suoi incrementi soddisfano tale relazione:

  







_











































d

s

s

y

x

z

y

x

z

_H

H

2

2

2

2

exp

2

1

,

,

Pr

dove:

• H:coefficiente di Hurst;

•

D=3-H:dimensione frattale;

• s=T

(1-H)

_;

• T :Topotesia.

Geometria Frattale: WM

Geometria Frattale: WM

Una superficie WM è descritta dal procsso z(x,y):

 

1 0





0

,

M _n Hn

sin

n

cos

_n

sin

_{n n}

n

z x y

B

C



k



x



y





  









_





_

 C

_n

e 

n

tengono conto del comportamento in’ampiezza e fase di ogni tono;

 k

0

è il numero d’onda della componente fondamentale;

  irrazionale, è il passo della progressione geometrica con cui sono

spaziate le componenti spettrali;

 B è un fattore di scala dell’altezza del profilo;

Geometria frattale

Geometria frattale

M=1

M=2

M=3

M=4

Parametri superficiali:

B[m]

L[m]

M

0.03

5

1,2,3,4,5,6



e

Geometria frattale

Geometria frattale

M=5

Coefficiente di backscattering per

Coefficiente di backscattering per

piccole pendenze in KA-fBm

piccole pendenze in KA-fBm

2 _{2 2 2} 0 2 2 2 2 0 2 1 2 2 0 2 2 2 2 1

1

( 1)

( )

₍

₎

0.5

4

2 ( !)

2

2

2

2

( 1) 2

(1

)

( )

0.5

! (1

)

(

)

n n pq xy pq _{n n} n _H z n z n nH pq pq _nH n _xy

n

F

k T

_H

_T

H

H

n

T

T

n

nH

F

Hk T

H

n

nH

T



_













      









 





_

_



_

_



_

_



_

_



_

_





















_

_



 

_

_



_

_

_



_{ }







Coefficiente di backscattering per

Coefficiente di backscattering per

piccole pendenze in KA-fBm

piccole pendenze in KA-fBm

• F

pq

sono i coefficienti di riflessione di Fresnel;

•

•



z



2 cos

 



;

 

2sin

;

xy









































cos

)

(

2

)

(

0

)

(

)

(

cos

)

(

2

)

(

v

vv

vh

hv

h

hh

R

F

F

F

R

F

2 2 2 2

cos

sin

( )

cos

sin

cos

sin

( )

cos

sin

h v

R

R



































_

_



















_{ }









Coefficiente di backscattering per

Coefficiente di backscattering per

superfici classiche in KA

superfici classiche in KA



 





 

 



2 _{2 2} 2 0 2 2 ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 * * ( 1) 0 1 2 1

exp

( , )

4

!

exp

Re

(

)

( , )

2

!

n z pq _n pq z x y n n z _n z z x y x y n

k F

W

n

jk

a

a

a

W

n n

 



 

 



 

 

 





 



     

























_{2 2}

 

₂ 1.5

PSD per autocorrelazione esponenziale

,

2

1 (2 sin

)

x y

W

 





L



_



k



L



_







2 2 2 2 2

 

PSD per autocorrelazione gaussiana

,

exp

sin

x y

Coefficiente di backscattering per

Coefficiente di backscattering per

superfici classiche in KA

superfici classiche in KA

0 0 1 2 0 1

2

( )cos

polarizzazione HH

0

2

( )sin

2

( )cos

a

R

a

a

a

a

R

R













  





 





 



 





0 ||0 1 2 ||1 ||0

2 ( )cos

polarizzazione VV

0

2 ( )cos

2 ( )sin

a

R

a

a

a

a

R

R













 





_





 



  













0 1 0 2 ||0 ||0 ||1 ₂

( )

( )

2sin

( )

( )

cos

sin

( )

( )

sin

1

( )(1

)

( )

cos

sin

h v

R

R

R

R

R

R

R

R







































  









_{ }



_

_





_{ }





_

_

_{ }

_

_

_



_



_

_



2 2 2 2

cos

sin

( )

cos

sin

cos

sin

( )

cos

sin

h v

R

R



































_

_



















 









Coefficiente di backscattering per

Coefficiente di backscattering per

SPM-fBm

SPM-fBm

2 0 4 4 2 4 4 0 2 2

8

cos

(

,

)

4

cos

(2 sin )

pq pq x y pq _H

k

W

S

k

k



 

 

 











2 2 2 2 2 2

cos

sin

cos

sin

0

sin

(1 sin )

(

1)

cos

sin

hh hv vh vv



















 























_









_

_





_

_



_{ }



_

_

_

_



_

_



Modelli elettromagnetici: KA-SPM

Modelli elettromagnetici: KA-SPM

APPROCCIO DI KIRCHHOFF

• Approssimazione dell’ottica fisica o del piano tangente: applicabile se il raggio di curvatura medio della superficie è molto più grande della lunghezza d’onda incidente;

• Non tiene in considerazione eventuali fenomeni di multipath e shadowing, per cui non è applicabile per incidenza radente o quasi;

• La superficie considerata è stata costruita rispettando i limiti di validità di Kirchhoff e non dell’SPM;

• Problema: rigorosamente per superfici frattali il raggio medio di curvatura e la varianza della pendenza del profilo non sono definiti!!!!!

METODO DELLE PICCOLE PERTURBAZIONI

• Applicabile se la deviazione standard del profilo è molto più

piccola della lunghezza d’onda e il valore efficace della