Chirizzi - Limiti delle Funzioni di Una Variabile

Appunti di Analisi Matematica

Prof. Chirizzi Marco

www.elettrone.altervista.org

CAPITOLO II

Limiti delle funzioni di una variabile

2.1 Intorni di un numero o di un punto

Dicesi intorno di un punto P sull’asse delle ascisse, ogni segmento di estremi AeB, che contenga come punto interno P , diverso dagli estremi AeB.

Dicesi intorno destro di P , ogni segmento di estremi P e B, avente l’estremo B alla destra di P ; mentre dicesi intorno sinistro di P , ogni segmento di estremi A e P avente l’estremo A alla sinistra di P .

Dicesi intorno di più infinito ogni insieme di numeri reali il quale contenga tutti i numeri reali x soddisfacenti ad una disuguaglianza del tipo x>h, con h numero conveniente.

Per esempio, l’insieme dei numeri reali maggiori di 3 è un intorno di più infinito.

Dicesi intorno di meno infinito ogni insieme di numeri reali il quale contenga tutti i numeri reali x soddisfacenti ad una disuguaglianza del tipo x<h, con h numero conveniente.

Per esempio, l’insieme dei numeri reali minori di 6 è un intorno di meno infinito.

Dicesi intorno di infinito ogni insieme di numeri reali il quale contenga tutti i numeri reali x soddisfacenti ad una disuguaglianza del tipo x >h, con h numero conveniente.

Per esempio, l’insieme costituito dai numeri minori di –5 e dai numeri maggiori di 8, è un intorno di infinito, perché questo insieme contiene tutti i numeri reali x soddisfacenti, ad esempio, alla disuguaglianza x >9.

2.2 Definizione di limite di una funzione

Consideriamo una funzione f(x) definita in un intervallo

]

[

x di questo. Il nostro obiettivo è studiare il comportamento della funzione in esame attribuendo

Supponiamo che la funzione f(x) sia definita dalla seguente espressione:

2 14 15 6 ) ( 2 3 − − + − = x x x x x f L’insieme di esistenza è:

]

[ ]

[

Attribuendo alla variabile x valori prossimi al numero 2, sia un po’ più piccoli di 2, sia un po’ più grandi di 2, la funzione assume i seguenti valori:

Variabile indipendente

Variabile dipendente

1

4

1,2

3,64

1,4

3,36

1,7

3,09

1,83

3,0289

1,96

3,0016

Variabile indipendente

Variabile dipendente

3

4

2,8

3,64

2,5

3,25

2,43

3,1849

2,15

3,0225

2,07

3,0049

Si nota da queste tabelle che quanto più la variabile x si avvicina al valore 2, tanto più la funzione assume valori prossimi a 3. Cerchiamo di spiegare in modo rigoroso il significato di quest’ultima frase. A tale scopo, denotiamo con ε un numero positivo arbitrariamente piccolo e verifichiamo se la disequazione: − <ε − − + − 3 2 14 15 6 2 3 x x x x (2.1)

ammette o no soluzioni. Per x≠2, 2 3 2 3 2 3 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 8 12 6 3 2 14 15 6 − = − − = − − + − = − − − + − x x x x x x x x x x x

Risolvere la ( 2.1 ) equivale a risolvere la disequazione: (x−2)2 <ε le cui soluzioni sono:

2− ε < x<2+ ε

Come si può notare, la disequazione ( 2.1 ) ammette soluzione per tutti i valori di x interni all’intervallo di estremi 2− ε e 2+ ε , escluso il numero 2. In definitiva, le conclusioni alle quali siamo giunti sono valide qualunque sia il numero positivo ε da noi fissato. In altre parole, il valore della funzione f(x) differisce dal numero 3, in valore assoluto, di una quantità più piccola del numero infinitesimoε . Questo importante risultato può essere riassunto nel seguente modo:

Per ogni ε positivo, arbitrariamente piccolo, esiste sempre un intorno completo di 2, per ogni x del quale, diverso da 2, risulta:

ε < − − − + − 3 2 14 15 6 2 3 x x x x

ossia, per ogni x appartenente all’intorno di 2, i valori assunti dalla funzione data differiscono dal numero 3, in valore assoluto, meno del numero ε .

Tutto ciò può essere espresso ricorrendo ad un linguaggio matematico più appropriato, dicendo che, per x tendente a 2, la funzione f(x) ha per limite il numero 3, e si scrive:

3 2 14 15 6 2 3 2 lim − ₋+ − = → x x x x x

Definizione

1

.

al più il punto x stesso. ₀

Diremo che la funzione f(x) tende ad un limite finito  , per x che tende ad x , quando, fissato un ₀ numero positivo ε arbitrariamente piccolo, è possibile determinare un numero positivo δ , tale che, per ogni x diverso da x ed appartenente all’intorno ₀

]

[

ε

< − f(x) 

 = → ( ) lim 0 x f x x