INTERVALLI DI NUMERI SULL’ASSE DEI NUMERI REALI

(1)

ANALISI MATEMATICA_2 INTERVALLIi numerici - 1 -

INTERVALLI DI NUMERI SULL’ASSE DEI NUMERI REALI

(2)

Esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti di una retta:

Ad ogni punto P della retta possiamo far corrispondere

uno e uno solo

numero reale x .

Sulla retta si fissano:

➢ un punto O, origine (lo zero 0)

0

O

(3)

➢ un verso di percorrenza (solitamente da sinistra verso destra)

➢ una unità di misura u.

0

O

0

O U

1

(4)

Ad ogni punto P della retta possiamo far corrispondere

uno e uno solo

numero reale x .

Se P segue O, x sarà la misura del segmento OP rispetto all'unità di misura u;

se P precede O, x sarà il valore opposto della misura precedente.

Se P coincide con O, x varrà zero.

O U P

P

0 1

x

- x

(5)

la retta trasformata in questo modo è la RETTA DEI NUMERI REALI o retta reale o anche ASSE REALE

O U P

P

0 1

x

- x

Retta reale

(6)

In un sistema di assi cartesiani

L’asse delle ascisse (asse delle x) è l’asse reale

(7)

INTERVALLI di numeri sull’asse reale

Avevamo già incontrato intervalli di numeri sull’asse dei numeri reali studiando le disequazioni di II grado (ax² + bx + c > 0 e simili); per poter risolvere la

disequazione è necessario risolvere preliminarmente l’equazione associata

ax

²

+ bx + c = 0

Le soluzioni x1 e x2 di un’equazione di II grado

ax

²

+ bx + c = 0

dividono l’asse dei numeri reali in tre intervalli

x

2

x

1

x R x

1

< x < x

2

x > x

2

x < x

1

(8)

Esempio

Le soluzioni x1

= 2

^e x2 = 3 dell’equazione di II grado

x

²

 5x + 6 = 0

dividono l’asse dei numeri reali in tre intervalli

2 3

x R

2 < x < 3 x > 3

x < 2

(9)

Consideriamo l’intervallo formato dai numeri

a

^e

b

a Retta reale

centro raggio

2 a b  2

a b  0

x

b

(10)

Esercizi:

1. dopo averli riportati sulla retta reale, calcolare raggio e centro dei seguenti intervalli:

a. ⌈7; 18⌉

b. ⌈−36; 11⌉

c. ⌈√3; √13⌉

d. ⌈−√8; √19⌉

e. ⌈

^√3

2

;

⁷

3

⌉

f. ⌈−

^√3

2

;

^√5

3

⌉

(11)

Presi due qualunque numeri reali a ^e b ^con a < b (a ^e b sono detti

estremi dell’intervallo) , si possono definire i seguenti intervalli:

1. INTERVALLO LIMITATO APERTO (

gli estremi non fanno parte dell’intervallo); si può indicare nei seguenti modi

a<x<b

oppure

]a;b[

a Retta reale

x

b

(12)

Esempio di Intervallo limitato aperto Consideriamo la funzione

𝑓(𝑥) =

¹

√9−𝑥² , il dominio è

x ∈ R; 3 < x < 3 (questo è un intervallo limitato e aperto) la funzione non è definita negli estremi dell’intervallo, infatti:

f(3) e f(3) non esistono perché si otterrebbe in tutte e due i casi

𝑓(3) = ¹

√9−(3)

²

= ¹

0

operazione non definita nell’insieme dei numeri reali!!!!

𝑓(−3) = ¹

√9−(−3)

²

= ¹

0

operazione non definita nell’insieme dei numeri reali!!!!

(13)

Grafico della funzione

𝑓(𝑥) =

¹

√9−𝑥²

(14)

2. LIMITATO CHIUSO (

gli estremi fanno parte dell’intervallo); si può indicare nei seguenti modi a≤x≤b

oppure

[a;b]

Esempio di Intervallo limitato chiuso

Consideriamo la funzione

𝑓(𝑥) = √16 − 𝑥

² , il dominio è x ∈ R; 4 ≤ x ≤ 4 (questo è un intervallo limitato e chiuso)

anche gli estremi dell’intervallo fanno parte del dominio della funzione:

f(4) = 0 e f(4) = 0

a Retta reale

x

b

(15)

𝑓(𝑥) = √16 − 𝑥

²

(16)

3. APERTO A SINISTRA

(l’estremo a non appartiene

all’intervallo); si può indicare come a < x ≤ b oppure ]a;b]

Esempio di Intervallo aperto a sinistra Consideriamo la funzione

𝑓(𝑥) = √

^2−𝑥

𝑥+1 , il dominio è

x ∈ R; 1 < x ≤ 2 (questo è un intervallo aperto a sinistra )

x=1 non appartiene al dominio della funzione, infatti

𝑓(−1) = √

³

0 ; x=2 appartiene al dominio della funzione, infatti

𝑓(2) = √

⁰

3

= 0

a Retta reale

x

b

(17)

grafico della funzione

𝑓(𝑥) = √

^2−𝑥

𝑥+1

(18)

4. APERTO A DESTRA

(l’estremo b non appartiene all’intervallo);

si può indicare come a ≤ x< b oppure [a;b[

Esempio di Intervallo aperto a destra Consideriamo la funzione

𝑓(𝑥) = √

^𝑥+5

5−𝑥 , il dominio è x ∈ R; 5 ≤ x< 5 (questo è un intervallo aperto a destra )

x=5 non appartiene al dominio della funzione, infatti

𝑓(5) = √

¹⁰

0

non è definito nell’insieme dei numeri reali;

x=5 appartiene al dominio della funzione, infatti

𝑓(−2) = √

⁰

10

= 0

a Retta reale

x

b

(19)

𝑓(𝑥) = √ 𝑥 + 5

5 − 𝑥

(20)

INTERVALLI ILLIMITATI

5.

Intervallo chiuso illimitato superiormente

 ^x | ^x  , ^R ^x  ^a  _oppure  ^a ^, ^ 

Esempio

Il dominio della funzione

𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟑

è un intervallo chiuso illimitato superiormente

x ∈ R;

x≥3

a Retta reale

x

(21)

𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟑

(22)

6.

Intervallo aperto illimitato superiormente

 ^x ^| ^x ^{ ,} ^R ^x ^ ^a 

oppure

 ^a ^, ^ 

Esempio

𝒇(𝒙) =

^𝟏

√𝒙+𝟐

è un intervallo aperto illimitato superiormente

x ∈ R;

x >2

x = 2

non appartiene al dominio della funzione, infatti

𝒇(−𝟐) =

^𝟏

√−𝟐+𝟐

=

^𝟏

𝟎

a Retta reale

x

(23)

𝒇(𝒙) =

^𝟏

√𝒙+𝟐

(24)

7.

Intervallo aperto illimitato inferiormente

 ^x | ^x  , ^R ^x  ^a  _oppure  ^ ^ ^, ^a 

𝒇(𝒙) =

^𝟏

√𝟑−𝒙 è un intervallo aperto illimitato inferiormente, x ∈ R;

x <3

x = 3

non appartiene al dominio della funzione, infatti

𝒇(𝟑) =

^𝟏

√𝟑−𝟑

=

^𝟏

𝟎

a Retta reale

x

(25)

𝒇(𝒙) =

^𝟏

√𝟑−𝒙

(26)

8.

Intervallo chiuso illimitato inferiormente

 ^x ^| ^x ^{ ,} ^R ^x ^ ^a  _oppure  ^ ^ ^, ^a 

𝒇(𝒙) = √𝟓 − 𝒙

è un intervallo chiuso illimitato inferiormente, x ∈ R;

x ≤ 5

x = 5

appartiene al dominio della funzione, infatti

𝒇(𝟓) = √𝟓 − 𝟓 = 𝟎

a Retta reale

x

(27)

𝒇(𝒙) = √𝟓 − 𝒙

(28)

Esercizi - domande

1. dopo averli riportati sulla retta reale, calcolare raggio e centro dei seguenti intervalli

:

a. ⌈−17; −8⌉

b.

⌈−

³⁶

4

;

^𝜋

2

⌉

c.

⌈−√13; −

^√3₃

⌉

d.

⌈−√18; −

^√19

3

⌉

2. Un insieme E, sottoinsieme di R è illimitato superiormente; cosa significa?

3. Cosa significa dire che l’insieme dei numeri reali R è “denso”?

(29)

4. Scrivi due funzioni che abbiano come dominio (almeno due per intervallo) un

a. intervallo limitato aperto

b. intervallo limitato chiuso

c. intervallo aperto a sinistra

d. intervallo aperto a destra

5. traccia il grafico della funzione

𝑓(𝑥) =

⁵

√3−𝑥² ; questa funzione ha come dominio un intervallo limitato aperto? Se la risposta è si, scrivi il dominio.

6. Traccia il grafico della funzione

𝑓(𝑥) = √

^𝑥+4

𝑥−7 :

a. è giusto dire che questa funzione ha un dominio formato da due intervalli numerici della retta reale?

b. Quali sono questi intervalli?

(30)

c. Aiutandoti col grafico, dire se, per questa funzione esistono il

𝑥→7

Lim

⁻

√

^𝑥+4

𝑥−7 e

Lim

𝑥→7⁺

√

^𝑥+4 𝑥−7

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