Termodinamica del gas perfetto

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI FISICA

Prof. Francesco Marchi

1 Appunti su: termodinamica del gas

ideale

24 dicembre 2010

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Indice

1 La I legge 2

1.1 Richiami di teoria . . . 2

1.1.1 Introduzione qualitativa . . . 2

1.1.2 Definizioni, leggi e formule. . . 3

1.1.3 Prima legge della termodinamica e rendimento . . . 5

1.2 Esempio svolto . . . 7

1.2.1 Testo e dati . . . 7

1.2.2 Soluzione . . . 9

1.3 Esercizi proposti . . . 14

1.3.1 Definizioni e teoria . . . 14

1.3.2 Stati e trasformazioni di un gas perfetto . . . 14

1.3.3 Macchine termiche . . . 15

1.3.4 Stime qualitative . . . 15

1.3.5 Calore, lavoro, energia interna: esercizi qualitativi . . . . 17

1.3.6 Stati e trasformazioni di gas non ideali . . . 19

1.3.7 Rappresentazione di trasformazioni . . . 19

1.3.8 Esercizi vari. . . 20

A Valori delle costanti e conversioni fra unit`a di misura 22

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Capitolo 1

La I legge

1.1 Richiami di teoria

1.1.1 Introduzione qualitativa

La pentola a pressione

Consideriamo una pentola a pressione messa sopra un fornello acceso. Domanda 1. Cosa succede alla pentola se la lasciamo sopra troppo tempo?

La pentola esplode, perch´e la pressione al suo interno `e diventata troppo alta.

Domanda 2. Cosa succederebbe invece ad una normale pentola con coperchio? • In una pentola normale, dopo un po’, il coperchio comincia a trabal-lare, consentendo la fuoriuscita di molecole di vapor acqueo e/o di acqua bollente. Il sistema `e aperto (`e chiuso solo in apparenza).

• In una pentola a pressione, il volume ha un valore fisso, visto che il coper-chio non può muoversi, e ciò porta ad un aumento della pressione interna. Il sistema è chiuso: scambia energia con l’esterno (sotto forma di calore assorbito), ma non può far fuoriuscire materia.

• Nel caso, invece, di un gas contenuto in un pistone, posto sopra una fonte di calore, il calore stesso fa aumentare la temperatura del gas e il pistone tende a salire verso l’alto, in modo che il gas occupi un volume maggiore. Anche in questo caso il sistema `e chiuso.

In altre parole, nel caso della pentola a pressione, l’aumento di temperatura interna, insieme al fatto che il volume non pu`o aumentare, induce un aumento di pressione. Nel caso della pentola normale, invece, anche se si ha un aumento di temperatura, il volume non si pu`o propriamente considerare costante, e questo

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Comprimere un gas

Consideriamo adesso un cilindro all’interno del quale `e racchiuso del gas. Domanda 3. Cosa succede se comprimiamo il gas facendo pressione sul pis-tone?

La temperatura del gas aumenter`a? O rimarr`a costante?

Vedremo più avanti che ciò dipende dal tipo di pareti del pistone: se le pareti sono termicamente isolanti, come quelle di un thermos, il gas non può cedere calore all’esterno e si riscalda; se le pareti lasciano passare il calore, il gas può mantenersi ad una temperatura costante.

Ma qual è allora la relazione tra pressione, volume e temperatura? Nell’esempio della pentola a pressione, all’aumentare del volume la temperatura cresceva; in quest’ultimo esempio, è al diminuire del volume che la temperatura cresce. Per poter stabilire una relazione tra le grandezze che descrivono un gas è neces-sario essere più precisi; per questo, nella prossima sezione, introdurremo alcune definizioni.

1.1.2 Definizioni, leggi e formule

Nel paragrafo precedente abbiamo parlato di pressione, volume e temperatura. Ma di chi?

E’ chiaro che bisognerebbe specificare se stiamo parlando dell’acqua, del vapore acqueo o dei cibi che sono contenuti nella pentola; ad esempio, `e chiaro che la pressione di questi ultimi non aumenta affatto.

Noi non ci occuperemo di sistemi costituiti da più “oggetti”. Anzi, nemmeno ci occuperemo della termodinamica di oggetti solidi come può essere il cibo contenuto in una pentola. Ci occuperemo esclusivamente dello studio di sistemi costituiti da un solo tipo di gas, e perdipiù di un gas con alcune caratteristiche particolari.

Definizioni preliminari

Abbiamo intuito, con gli esempi visti in precedenza, che lo stato di un sistema (d’ora in poi, di un gas) pu`o essere descritto tramite i valori delle tre variabili p, V , T . Perci`o:

Definizione 1. Si definisce variabile di stato ciascuna delle tre variabili p, V , T , necessarie e sufficienti per individuare lo stato termodinamico di un gas. Definizione 2. Lo stato termodinamico di un gas `e completamente carat-terizzato dai valori delle tre variabili di stato.

Definizione 3. Si dice equazione di stato una formula che lega fra loro le variabili di stato.

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Definizione 4. Si definisce processo termodinamico (o trasformazione ter-modinamica) una successione (nel tempo) di stati termodinamici.

Le leggi dei gas ideali

Grazie alle definizioni introdotte, in un arco di tempo che va dalla fine del Seicento ai primi dell’Ottocento, alcuni scienziati furono in grado di formulare leggi precise riguardo il comportamento dei gas.

In particolare, il salto di qualit`a rispetto agli esempi da noi analizzati (della pentola e del pistone) `e possibile quando ci si accorge che bisogna studiare soltanto una coppia di variabili per volta: in altre parole, se si vuole studiare la relazione fra pressione e temperatura, si deve mantenere fisso il volume, e cos`ı via.

Si giunse cos`ı alla formulazione di tre leggi che, in seguito, furono sintetizzate in un’unica legge che le racchiudeva tutte e tre. Tale legge, proposta qui di seguito, vale per la maggior parte dei gas, purch´e non siano sottoposti a condizioni estreme (di pressione o temperatura).

Definizione 5. Si definisce gas ideale (o perfetto) un gas che soddisfa la seguente equazione di stato: pV = nRT .

dove n indica il numero di moli del gas; R `e detta costante dei gas perfetti e vale: R = 8, 31 J K · mol; R = 0, 082 atm K · mol Trasformazioni termodinamiche

Passiamo adesso alle trasformazioni termodinamiche. Ne è un esempio l’acqua (o meglio il vapor acqueo, che è un gas) che si scalda dentro la pentola a pressione: il suo stato varia perché cambiano sia la pressione che la temperatura.

Considereremo quattro tipi di trasformazioni ideali dei gas:

Tabella 1.1: Le principali trasformazioni termodinamiche.

trasformazione equazione isoterma T = cost. isocora V = cost. isobara p = cost. adiabatica P Vγ = cost.

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dove γ `e detto indice adiabatico e per i gas perfetti vale γ = cp cV: γ ' 5 3 (monoatomico) γ ' 7 5 (biatomico); γ ' 9 7 (triatomico) Rappresentazione di processi fisici nel piano pV

E’ utile e comodo rappresentare i processi termodinamici su dei grafici carte-siani, in cui sulle ascisse mettiamo il volume del sistema e sulle ordinate la pressione.

Ad esempio il processo di aumento di pressione all’interno di una pentola, de-scritto all’inizio del capitolo, potrà essere rappresentato come in figura 1.1. Chiaramente nel punto iniziale, che abbiamo indicato con A, avremo una tem-peratura più bassa che nel punto finale, che abbiamo indicato con B, anche se dal grafico non è possibile leggere “direttamente” la temperatura. Vedremo più avanti come dedurre informazioni sulla temperatura da un grafico pV .

Figura 1.1: Rappresentazione del processo di aumento di pressione in una pentola.

1.1.3 Prima legge della termodinamica e rendimento

Le trasformazioni termodinamiche sono possibili grazie allo scambio di quantit`a fra il sistema e l’ambiente. Negli esempi proposti all’inizio del capitolo, il sistema (che fosse la pentola a pressione o il cilindro) scambiava con l’esterno calore oppure lavoro (nel caso in cui il gas viene compresso).

Le quantit`a scambiate sono pure legate allo stato del gas, caratterizzato tramite la sua energia interna, indicata con la lettera U . La relazione tra calore e lavoro scambiati e energia interna del gas `e espressa dalla prima legge della termodinamica.

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La I legge della termodinamica

La prima legge della termodinamica afferma che per una qualsiasi trasformazione termodinamica vale il seguente bilancio energetico:

∆U = Q − L

dove ∆U rappresenta la variazione di energia interna nel corso della trasfor-mazione; Q il calore scambiato; L il lavoro (compiuto o subito).

Per quanto riguarda i segni da attribuire a queste grandezze, valgono le conven-zioni riportate nella tabella1.2.

Tabella 1.2: Prima legge della termodinamica: convenzioni sui segni.

> 0 < 0

lavoro compiuto dal sistema subito dal sistema calore assorbito dal sistema ceduto dal sistema

Il rendimento di una trasformazione termodinamica

Il rendimento di una trasformazione termodinamica `e dato dal rapporto fra lavoro compiuto e calore assorbito; in formule:

η = L Q

Il rendimento di una qualsiasi trasformazione termodinamica risulta sempre inferiore a uno. Questa affermazione è la traduzione fisica del concetto che una macchina non può produrre più energia di quanta ne consuma.

Formule per ∆U , L, Q per particolari trasformazioni termodinamiche In generale, non `e facile individuare delle formule per calcolare lavoro, calore e variazione di energia interna in una trasformazione termodinamica.

Ma, nel caso di un gas ideale e per le trasformazioni particolari elencate nella tabella1.1, sono valide le formule proposte nella tabella1.3.

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Tabella 1.3: Formule per le trasformazioni termodinamiche. trasformazione ∆U Q L isoterma 0 L nRT lnVf Vi adiabatica ncV(TF− Ti) 0 −∆U isocora ncV(Tf− Ti) ∆U 0 isobara ncV(TF− Ti) ncp(Tf− Ti) p(Vf− Vi)

1.2 Esempio svolto

1.2.1 Testo e dati

Testo dell’esercizio

Si considerino 10 moli di gas Argon. Tale gas subisce le trasformazioni schema-tizzate in figura1.2. La trasformazione A → B `e una trasformazione isoterma alla temperatura di 300◦K; per l’Argon risulta che: cp' 20.79; cv' 12.459.

1. Descrivere un’implementazione fisica del processo in termini di un sistema pistone-cilindro-serbatoio.

2. Completare la tabella relativa agli stati termodinamici (tabella1.4). 3. Completare la tabella relativa alle trasformazioni termodinamiche (tabella

1.5).

4. Calcolare le seguenti quantit`a relative all’intero processo: ∆UT OT; LT OT; QT OT.

5. Verificare la I legge della termodinamica. 6. Calcolare il rendimento η del processo.

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Figure e tabelle

Figura 1.2: Rappresentazione delle trasformazioni di 10 moli di Argon (es. 1)

Tabella 1.4: Stati termodinamici

stato temperatura T pressione p volume V

A

B

C

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Tabella 1.5: Trasformazioni termodinamiche

trasformazione nome ∆U [J ] Q [J ] L [J ]

A → B

B → C

C → A

1.2.2 Soluzione

Prima parte: descrizione fisica del processo

Conviene partire da considerazioni relative alla temperatura, ossia individuare la temperatura del bagno termico in cui immergere il sistema; successivamente, stabilire se `e necessario aggiungere, togliere o lasciare invariato il numero di pesetti da porre sul cilindro, facendo considerazioni sulla pressione; infine, sta-bilire cosa ne sar`a del volume.

Trasformazione A → B Si immerge il sistema in un bagno termico a T = TA e si solleva il pistone. Il calore assorbito dal bagno termico `e utilizzato in parte per mantenere la temperatura costante, in parte per compiere lavoro. In questo modo avremo:

T : ↔ p : ↓ V : ↑ (1.1)

Q > 0; L > 0 (1.2)

Trasformazione B → C Si immerge il sistema in un bagno termico a T = TC e non si compie alcuna operazione sul pistone. Il sistema si raffredda, cio`e cede calore all’esterno; la sua contrazione significa che il lavoro compiuto `e negativo.

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In questo modo avremo:

T : ↓ p : ↔ V : ↓ (1.3)

Q < 0; L < 0 (1.4)

Trasformazione C → A Si immerge il sistema in un bagno termico a T = TA e per contrastare l’espansione del gas si pongono dei pesetti sopra il pistone in modo che il volume rimanga costante. Il sistema assorbe calore che usa per aumentare la sua pressione; ma, non espandendosi, n´e contraendosi, non compie n´e subisce lavoro. In questo modo avremo:

T : ↑ p : ↑ V : ↔ (1.5)

Q > 0; L = 0 (1.6)

Seconda parte: stati termodinamici

Innanzitutto riempiamo la tabella con i dati forniti direttamente dal testo o deducibili dal grafico:

A 300◦K 2.5m3

B 300◦K 5 · 103P a

C 5 · 103_{P a} _2.5m3

In seguito completiamo la tabella relativa agli stati, usando l’equazione di stato dei gas:

pAVA= nRTA =⇒ pA= nRTA VA = 10 · 8.3 · 300 2.5 ' 10 4_{P a}

In modo simile si possono determinare VB e TC e completare cos`ı la tabella.

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A 300◦K 104P a 2.5m3

B 300◦K 5 · 103_{P a} _5m3

C 150◦_K _{5 · 10}3_{P a} _2.5m3

Terza parte: calcolo di ∆U , L, Q

Usando le formule relative a variazione di energia interna, calore scambiato, lavoro compiuto, si pu`o completare la tabella relativa alle trasformazioni ter-modinamiche.

Conviene partire calcolando la variazione di energia interna, che `e data sempre dalla stessa formula; successivamente, si calcola il lavoro; infine, utilizzando la I legge della termodinamica, si pu`o calcolare il calore scambiato.

Trasformazione A → B Si tratta di una trasformazione isoterma, per cui avremo: L = nRT lnVB VA ' 10 · 8, 31 · 300 · ln 5 2, 5' 17280J (1.7) ∆U = 0J (1.8) Q = L ' 17280J (1.9) Trasformazione B → C Si tratta di una trasformazione isobara, per cui avremo:

L = p(VC− VB) = 5 · 103· (2, 5 − 5) = −12500J (1.10)

∆U = ncV(TC− TB) ' 10 · 12, 459 · (150 − 300) ' −18688, 5J (1.11)

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Trasformazione C → A Si tratta di una trasformazione isocora, per cui avremo:

L = 0J (1.13)

∆U = ncV(TA− TC) = 10 · 12, 459 · (300 − 150) ' 18688, 5J (1.14)

Q = ∆U ' 18688, 5J (1.15)

Tabella 1.8: Valori di ∆U , L, Q per l’esempio svolto.

trasformazione nome ∆U [J ] Q [J ] L [J ]

A → B isoterma 0 17280 17280

B → C isobara −18688, 5 −31188, 5 −12500

C → A isocora 18688, 5 18688, 5 0

totale ciclica 0 4780 4780

Quarta, quinta e sesta parte: bilanci energetici; I legge della termod-inamica; rendimento

La trasformazione A → B → C → A `e una trasformazione ciclica, per cui, utilizzando i dati riassunti nella tabella1.8, possiamo verificare che:

∆UT OT = ∆UAB+ ∆UBC+ ∆UCA' 0 − 18688, 5 + 18688, 5 = 0J (1.16)

LT OT = LAB+ LBC+ LCA' 17280 − 12500 + 0 ' 4780J (1.17)

QT OT = QAB+ QBC+ QCA' 17280 − 31188, 5 + 18688, 5 ' 4780J (1.18) Il risultato della prima equazione `e coerente con il fatto che in ogni trasfor-mazione ciclica deve risultare ∆U = 0.

Possiamo perci`o verificare la I legge della termodinamica relativamente all’intero

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Infine, per quanto riguarda il rendimento, abbiamo: η = LT OT

QT OT

=4780J 4780J = 1

Si tratta chiaramente di una macchina ideale, visto che le macchine reali hanno sempre un rendimento inferiore a 1.

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1.3 Esercizi proposti

1.3.1 Definizioni e teoria

Esercizio 1

Definisci i seguenti termini: • Stato termodinamico; • Variabile di stato; • Equazione di stato; • Trasformazione termodinamica; • Gas ideale; • Trasformazione ciclica. Esercizio 2

Spiega brevemente come e perch´e, in seguito ad esperimenti sui gas reali, si `e giunti alla formulazione del concetto di gas ideale.

Esercizio 3

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.

1. p√3V2_{= k log T non `}_{e un’equazione di stato di un sistema termodinamico.} 2. Un gas ideale `e, in sostanza, definito tramite una equazione matematica

tra le variabili di stato.

3. Un gas ideale, sebbene sia definito matematicamente, riproduce assai bene le caratteristiche di molti gas reali.

4. L’equazione del gas ideale vale in ogni condizione di temperatura, pressione e volume.

5. Per un gas ideale, ad un aumento di temperatura corrisponde un aumento di pressione.

6. La formula L = nRT lnVf

vi

vale per ogni tipo di sistema termodinamico, puch´e sia un gas.

1.3.2 Stati e trasformazioni di un gas perfetto

Negli esercizi seguenti, si proceda come nell’esempio svolto, calcolando stati del gas, grandezze termodinamiche relative alle trasformazioni . . .

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Esercizio 1 [?]

Si consideri la trasformazione rappresentata in figura1.3(a)(tale ciclo, composto da due isoterme e due isocore, prende il nome di ciclo di Stirling). L’oggetto termodinamico che compie tale ciclo `e costituito da 5 moli di gas elio.

Dati necessari: pA= 1atm; VA= 20l; TAB= 600◦K; TCD= 273◦K. Esercizio 2 [?]

Una certa quantit`a di ossigeno, compie il ciclo termodinamico rappresentato in figura 1.3(b). Dopo aver determinato il numero di moli di gas coinvolte nel processo, completare le tabelle.

Dati necessari: TCA= 241◦K. Esercizio 3 [?]

Una certa quantit`a di Argon subisce la trasformazione ciclica riportata in figura

1.3(c). Sapendo che la temperatura nello stato C `e TC = 350◦K, dopo aver calcolato il numero di moli, completa le tabelle.

1.3.3 Macchine termiche

Esercizio 1

Una certa macchina termica compie un ciclo termodinamico per cui vale Q > 0 e L > 0. Di che macchina si tratta?

• un frigorifero • il motore di un’auto • etc.

1.3.4 Stime qualitative

Esercizio 2.1

Stimare la temperatura interna di un normale pneumatico di un’auto ferma. Si trascuri la considerazione, pure corretta, che l’aria contenuta all’interno del pneumatico tende a portarsi all’equilibrio termico con l’ambiente esterno. Esercizio 2.2

Stimare la pressione che viene raggiunta all’interno di una pentola a pressione quando questa viene usata per bollire dei cibi. Si consideri il suo contenuto come un gas perfetto.

Suggerimento: si consideri la pentola a pressione come un contenitore cilindrico di dimensioni . . .

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(a) Grafico relativo all’esercizio 1.

(b) Grafico relativo all’esercizio 2.

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(a) (b)

(c) Si consideri A → B come isoterma e B → C come adiabatica.

Figura 1.4: Grafici relativi all’esercizio1.3.5.

1.3.5 Calore, lavoro, energia interna: esercizi qualitativi

Vero o falso

• In una trasformazione adiabatica L > 0. • In una trasformazione isoterma ∆U = 0. Esercizio 1

Si consideri la seguente trasformazione di un gas ideale: • isoterma A → B con diminuzione di volume; • isobara B → C con diminuzione di volume.

Per la trasformazione complessiva A → C, determinare il segno di L, Q, ∆U . Esercizio 2

Osservando i grafici riportati in figura 1.4, completa la tabella1.9, segnando

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Tabella 1.9: Tabella relativa all’esercizio1.3.5.

L > 0 L = 0 L < 0 Q > 0 Q = 0 Q < 0 ∆U > 0 ∆U = 0 ∆U < 0 a b c d A → B B → C A → B B → C Esercizio 3

Considerando la trasformazione schematizzata in figura 1.5(a), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. TC> TA 2. TA> TB 3. in C → A vale L > 0 4. in A → B vale Q < 0 5. la trasformazione B → C `e un’isoterma 6. la trasformazione C → A `e un’isocora

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(a)

Figura 1.5: Grafici relativi all’esercizio1.3.5.

1.3.6 Stati e trasformazioni di gas non ideali

Esercizio 1

Un ipotetico gas soddisfa l’equazione di stato p√V = nRT3_.

• Esso subisce una trasformazione isoterma a partire dallo stato (p1, V1) = (2atm, 3lit) ad uno stato tale che p2= 5atm. Quanto vale V2?

• Adesso il gas subisce una trasformazione isocora da (p1, T1) = (3atm, 500◦K) ad un punto in cui si ha T2= 400◦K. Quanto vale p2?

Esercizio 2

Un ipotetico gas soddisfa l’equazione di stato 5p√3

V =√nT2_.

Esso subisce una trasformazione isobara a partire dallo stato (p1; V1; T1) = (2, 3atm; 5lit; 300◦K) fino ad uno stato in cui si ha V2 = 7lit. Infine, da qui, compie una trasformazione isoterma fino ad uno stato in cui p3= 8atm. Quanto vale V3?

1.3.7 Rappresentazione di trasformazioni

Esercizio 1

Si rappresenti nel piano pV la trasformazione seguente: isocora AB, con pB > pA; isoterma BC con VC> VB; adiabatica CD, con VD> VC.

Come si deve completare la trasformazione, utilizzando un’isobara (ed eventual-mente un’isoterma), in modo da renderla ciclica?

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Esercizio 2

Rappresenta nel piano pV le seguenti trasformazioni:

1. Trasformazione isoterma da (pA, VA) a (pB, VB), con pB < pA; trasfor-mazione isocora dal punto B al punto C, in cui pC > pB e pC < pA; trasformazione isobara fino ad incontrare l’isoterma iniziale.

2. Trasformazione isobara da A a B, con VB > VA; trasformazione isocora da B a C, con pC < pB; trasformazione che riporta, tramite un segmento di retta, al punto di partenza, ovvero A.

3. Trasformazione isobara A → B con aumento di volume; trasformazione isocora B → C con diminuzione di pressione; trasformazione isoterma C → D con diminuzione di pressione.

4. Trasformazione isobara da A a B, con VB< VA; trasformazione isocora da B a C, con pC < pB; trasformazione isoterma C → D tale che VD= VA.

1.3.8 Esercizi vari

Esercizio 1 [?]

Calcola la variazione di temperatura di 3 moli di azoto (N2) che assorbono una quantit`a di calore Q = 10cal dall’esterno, nel caso in cui si mantenga costante:

• il volume; • la pressione. Esercizio 2 [?]

Calcola la variazione di energia interna di 6 moli di ossigeno quando il gas viene raffreddato da 100◦C a 15◦C di temperatura, nel caso in cui la trasformazione avvenga:

• a volume costante; • a pressione costante. Esercizio 3 [?]

Facendo riferimento alla trasformazione A → B schematizzata in figura1.6(a), determina il numero di moli n e la temperatura finale del gas, sapendo che la temperatura iniziale `e di 280◦K.

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(a) Grafico relativo all’esercizio 2.5.

(b) Grafico relativo all’esercizio 2.6. Figura 1.6: Grafici relativi agli esercizi proposti.

Esercizio 4 [?]

Si consideri la trasformazione schematizzata nella figura1.6(b), che si riferisce a 0,02 moli di ossigeno. E’ nota la temperatura in A: TA= 300◦K.

1. Si calcoli pC; 2. Si calcoli TC;

3. Nella trasformazione A → B viene compiuto lavoro? Se s`ı, calcolarlo. 4. Nella trasformazione A → B viene scambiato calore? Se s`ı, quale segno

bisogna attribuire al calore scambiato?

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Appendice A

Valori delle costanti e

conversioni fra unit`

a di

misura

Generalmente abbiamo a che fare con volumi misurati in litri o, in alternativa, in metri cubi. Per fare la conversione basta ricordare che:

1lit = 1dm3= 10−3m3

Per quanto riguarda invece le pressioni avremo a che fare con Pascal (P a) o atmosfere (atm). Per convertire, ricordiamo che:

1atm = 1, 013 · 105P a

Infine, per ci`o che riguarda la costante R abbiamo i seguenti valori, da usare co-erentemente con le unit`a di misura scelte per pressione e volume, come riportato nella tabella seguente:

Tabella A.1: Le trasformazioni termodinamiche

unit`a del volume unit`a della pressione valore di R

m3 _{P a} _{R = 8, 31} J

K·mol

lit atm R = 0, 082_K·molatm